S07 s1 - PPT Derivadas e Integrales-Solucionario

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Estimada y estimado estudiante, comenzamos en breve:
¿Qué dudas o 
inquietudes tienen 
respecto a la clase 
anterior? 
Cálculo aplicado a la 
Física 1
Semana 7 - Sesión 01
Datos/Observaciones
Recogemos nuestros Saberes Previos
¿Los procesos de integración y derivación tienen alguna 
relación entre sí?
¿Qué métodos de derivación conoces?
¿Qué métodos de integración conoces?
Inicio
Datos/Observaciones
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
aplica las derivadas e integrales a
ejercicios concretos de movimiento.
AGENDA
✓Derivadas
✓Regla de derivación 
✓ Integrales 
✓ Integral indefinida
✓ Integrales definidas
UTILIDAD
Utilidad:
¿Qué se observa en las imágenes?
Datos/Observaciones
REGLAS BÁSICAS
Datos/Observaciones
REGLAS BÁSICAS
Datos/Observaciones
Ejemplo 1:
Para obtener la ecuación de la velocidad derivamos la expresión propuesta:
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
=
Solución:
12𝑡2 Ԧ𝑖 + 25𝑡4 Ԧ𝑗Ԧ𝑣 =
Datos/Observaciones
Ejemplo 2:
Determine la velocidad si la posición de la partícula es: 𝑥 = 4,0 cos 2,0𝑡
Solución:
Derivamos las siguiente expresión:
𝑥 = 4,0 cos 2,0𝑡
Aplicamos regla de la cadena:
𝑣 = 𝑥´ = −4𝑠𝑒𝑛2𝑡.
𝑑(2𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 = −8𝑠𝑒𝑛2𝑡
Datos/Observaciones
Ejemplo 3:
Una partícula se mueve en el plano xy, por lo que en cualquier tiempo t ≥0, la
posición del vector es (-3t3 + 4t2, t3 + 2).
¿Cuál es el vector de aceleración de la partícula en t = 3?
Solución:
Ԧ𝑟 = 3𝑡3 + 4𝑡2 𝑖 + 𝑡3 + 2 𝑗
Ԧ𝑣 =
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
= 9𝑡2 + 8𝑡 𝑖 + 3𝑡2𝑗
Derivamos para obtener v:
Ahora derivamos a “v” para 
obtener “a”:
Ԧ𝑎 =
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= 18𝑡 + 8 𝑖 + 6𝑡𝑗
Ԧ𝑎 3 = 18.3 + 8 𝑖 + 6.3𝑗
El vector aceleración para un: t=3
Ԧ𝑎 3 = 62𝑖 + 18𝑗 𝑚/𝑠2
Datos/Observaciones
Ejemplo 4:
Una partícula se mueve en el plano xy, de tal manera que para cualquier tiempo t
≥ 0, sus coordenadas son x = t3 + 4t y y = t2 + 8t
¿Cuál es la magnitud del vector de velocidad de la partícula cuando t = 1?
Solución:
El vector posición esta expresado como:
Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡3 + 4𝑡 𝑖 + 𝑡2 + 8𝑡 𝑗
Derivamos la expresión dada:
Ԧ𝑣 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
= 3𝑡2 + 4 𝑖 + 2𝑡 + 8 𝑗
Ahora reemplazamos en v(t), para t=1
V(1)= (7i+10j) m/s
Datos/Observaciones
Ejemplo 5:
Una partícula se mueve en el plano xy, de tal manera que para cualquier 
tiempo t ≥ 0, sus coordenadas son x = t3 + 4t y y = t4 + 2t2.
¿Cuál es la magnitud del vector de aceleración de la partícula cuando t = 1?
Solución:
El vector posición estará expresado de 
la siguiente forma
Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑡3 + 4𝑡 𝑖 + 𝑡4 + 2𝑡2 𝑗
Derivamos: 
Ԧ𝑣 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
= 3𝑡2 + 4 𝑖 + 3𝑡3 + 4𝑡 𝑗
Volvemos a derivar: 
Ԧ𝑎 𝑡 =
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= 6𝑡 𝑖 + 9𝑡2 + 4 𝑗
Ahora reemplazamos en a(t), para t=1
Ԧ𝑎 1 = 6𝑖 + 13𝑗 𝑚/𝑠2
Datos/Observaciones
Integral Indefinida
Datos/Observaciones
Integral Definida
Datos/Observaciones
Ejemplo 6:
Solución:
Para obtener la ecuación de la posición integramos:
Ԧ𝑟 𝑡 = න Ԧ𝑣. 𝑑𝑡 = (𝑡4 −3𝑡 + 𝑐1)𝑖 + (
5𝑡6
6
+
𝑡2
2
+ 𝑐2)𝑗
Ԧ𝑟 0 = 𝑐1𝑖 + 𝑐2𝑗
Datos/Observaciones
Ejemplo 7:
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la siguiente ecuación:
𝑣 = 𝑡4 − 3𝑡2+3
Si x = 2.0 m cuando t = 2.0 s, determine el valor de x cuando t = 3.0s.
Solución:
𝑥 𝑡 = න𝑣𝑑𝑡 = න(𝑡4−3𝑡2 + 3)𝑑𝑡
𝑥 𝑡 =
𝑡5
5
− 𝑡3 + 3𝑡 + 𝑐
𝑃𝑎𝑟𝑎: 𝑡 = 2 , hallamos c:
𝑥 2 = 2 =
32
5
− 8 + 6 + 𝑐
𝑐 = −2,4
Ahora reemplazamos en:
𝑥 3 =
81
5
− 27 + 9 − 2,4
𝑥 3 = −4,2 𝑚
Practicando
Alternativas
a) 16 𝑚
b) 48 𝑚
Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el
nivel del piso con una velocidad inicial, tiene una
velocidad de 𝑣 𝑡 = −32𝑡 + 64 m/s después de t
segundos. Si y=0 cuando t=0, determine la posición
para t=3 s.
c) 0 𝑚
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
NO OLVIDAR!
✓ Las derivadas e 
permiten 
magnitudes físicas.
✓ La integral es 
de la derivada.
integrales 
determinar
la inversa
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4: Cálculo aplicado a la Física 1
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7: AGENDA
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9: Utilidad:
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25