S10 s1 - PPT Descomposición vectorial 2y 3D-Solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
SABERES 
PREVIOS
¿Cómo define a un vector 
en dos y tres dimensiones?
Responda a la siguiente pregunta:
¿Cuáles son las componentes 
cartesianas de un vector en 3D?
a) ______________ 
b) ______________
c) ______________
¿Mencione alguna aplicación de los vectores en la cotidiana?
https://www.youtube.com/watch?v=uyyhtJrD7KQ
Utilidad
La descomposición de vectores en
sus componentes rectangulares
tiene muchas aplicaciones en
ingeniería. En la ingeniería civil son
importantes para calcular los
momentos que actúan sobre una
columna y determinar si esta es
estable.
Cálculo aplicado a la física 1
Descomposición vectorial 
en 3D
(Semana 10 – Sesión 1)
Datos/Observaciones
LOGROS DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante
determina la magnitud y dirección de la
resultante de un vector en tres dimensiones.
✓Vectores en 3D.
✓Descomposición de vectores 
en 3D.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
Agenda
Datos/Observaciones
Un vector en el espacio.
El módulo:
El vector Ԧ𝐹 podemos expresarlo
en término de sus componentes
vectoriales:
𝑥
𝑦
𝑧
Ԧ𝐹
Ԧ𝐹𝑥
Ԧ𝐹𝑦
Ԧ𝐹𝑧 Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑥 + Ԧ𝐹𝑦 + Ԧ𝐹𝑧
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2 + 𝐹𝑧
2
Datos/Observaciones
Se observa que los cosenos directores
de cualquier vector son las
componentes de un vector unitario que
tiene la misma dirección que el vector.
Característica de un vector en el espacio.
Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑥 + Ԧ𝐹𝑦 + Ԧ𝐹𝑧
Suponga que Ƹ𝑒 es un vector unitario con la misma dirección de Ԧ𝐹, de
forma que en término de las componentes:
Así tenemos:
𝐹𝑥 = Ԧ𝐹 𝑒𝑥 𝐹𝑦 = Ԧ𝐹 𝑒𝑦 𝐹𝑧 = Ԧ𝐹 𝑒𝑧
Datos/Observaciones
Característica de un vector en el espacio.
Una manera de describir la dirección de un
vector en tres dimensiones es especificar los
ángulos entre el vector y los ejes coordenados
positivos:
Ԧ𝐹𝑥 = Ԧ𝐹 cos 𝜃𝑥 Ƹ𝑖
Ԧ𝐹𝑦 = Ԧ𝐹 cos 𝜃𝑦 Ƹ𝑗
Ԧ𝐹𝑧 = Ԧ𝐹 cos 𝜃𝑧 ෠𝑘
cos2θ𝑥 + cos
2θ𝑦 + cos
2θ𝑧 = 1
Datos/Observaciones
Ejemplo 1:
La figura muestra dos cables unidas en el punto A. Si los valores de la fuerzas que se
ejercen en los cables son FB = 200 N y FC = 100 N. Determine la magnitud y dirección de
la fuerza total ejercida en A por los dos cables.
Datos/Observaciones
1.- La figura muestra dos cables unidas en el punto A. Si los
valores de la fuerzas que se ejercen en los cables son FB = 200
N y FC = 100 N. Determine la magnitud y dirección de la fuerza
total ejercida en A por los dos cables.
Método de la descomposición
𝑹𝒙 = ෍ → −෍ ← 𝑹𝒚 =෍ ↑ −෍ ↓
𝐑𝐓 = 𝐑𝐱
𝟐 + 𝐑𝐲
𝟐 + 𝐑𝐳
𝟐
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐:
μ =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑼𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐:
Solución
𝟐𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙𝑩
𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚𝑩
𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑩
𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒙𝑪
𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒚𝑪
𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑪
𝑹𝒙 =
𝑹𝒙 = −𝟏𝟐𝟏 𝑵
𝑹𝒚 = ෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝐲 =
𝑹𝐲 = 𝟏𝟖𝟗 𝑵
𝑹𝒛 =෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝐳 = −𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒛𝑩 − 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒛𝑪
𝑹𝐳 = −𝟏𝟑𝟎 𝑵
𝑹𝑻 = 𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒛
𝟐
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐:
𝑹𝐓 = 𝟐𝟓𝟗, 𝟑𝟓 𝐍
μ =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑼𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐:
𝑹𝒙 + 𝑹𝒚 + 𝑹𝒛
𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒛
𝟐
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝝁𝑹 = −𝟎, 𝟒𝟕 Ԧ𝒊 + 𝟎, 𝟕𝟑 Ԧ𝒋 − 𝟎, 𝟓𝟎𝒌
𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒙𝐶 − 𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙𝑩
𝝁𝑩 =
𝑨𝑩
𝑨𝑩
𝝁𝑩 =
−3𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
−6𝑖 + 6𝑗 − 2𝑘
62 + 62 + 22
𝝁𝑩 = −0,69𝑖 + 0,69𝑗 − 0,23𝑘
𝝁𝑪 =
𝑨𝑪
𝑨𝑪
μ𝐶 =
−3𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
2𝑖 + 6𝑗 − 10𝑘
22 + 62 + 102
μ𝐶 = +0,17𝑖 + 0,51𝑗 − 0,84𝑘
𝑹𝒙 =෍ → −෍ ←
𝟐𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒚𝑩 + 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒚𝑪
Datos/Observaciones
Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza
resultante.
Ejemplo 2:
2.- Determine la magnitud y los ángulos directores 
coordenados de la fuerza resultante.
𝟔𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚𝑨
𝟔𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑨
𝟓𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙𝑪
𝟓𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚𝑪
𝟓𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑪
Solución
𝝁𝑩 =
𝑨𝑩
𝑨𝑩
μ𝐵 =
−3𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
0𝑖 − 2𝑗 − 4𝑘
02 + 22 + 42
μ𝐵 = +0𝑖 − 0,45𝑗 − 0,89𝑘
𝝁𝑪 =
𝑨𝑪
𝑨𝑪
μ𝐶 =
−3𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
+4𝑖 + 6𝑗 − 4𝑘
42 + 62 + 42
μ𝐶 = +0,48𝑖 + 0,73𝑗 − 0,48𝑘
𝑹𝒙 =෍ → −෍ ←
𝑹𝒙 = 𝟓𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙𝑪
𝑹𝒙 = 𝟐𝟒𝟎 𝑵
𝑹𝒚 = ෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝐲 = 𝟓𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚𝑪 − 𝟔𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚𝑩
𝑹𝐲 = 𝟗𝟓 𝑵
𝑹𝒛 =෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝐳 = −𝟓𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑪 − 𝟔𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝑩
𝑹𝐳 = −𝟕𝟕𝟒 𝑵
Método de la descomposición
𝑹𝒙 =෍ → −෍ ← 𝑹𝒚 = ෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝑻 = 𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒛
𝟐
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐:
μ =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑼𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐:
𝑹𝑻 = 𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒛
𝟐
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐:
𝑹𝐓 = 𝟖𝟏𝟓, 𝟗𝟎 N
μ =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑼𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐:
𝑹𝒙 + 𝑹𝒚 + 𝑹𝒛
𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒛
𝟐
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝝁𝑹 = 𝟎, 𝟐𝟗 Ԧ𝒊 + 𝟎, 𝟏𝟐 Ԧ𝒋 − 𝟎, 𝟗𝟓𝒌
Practicando
La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si
la tensión en ab y cd es FA = 300 N y FC = 250N,
respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en
forma cartesiana vectorial.
Alternativas
𝑏) 𝑭𝑨 = 𝟎Ԧ𝒊 + 𝟐𝟖𝟓 Ԧ𝒋 − 𝟗𝟑𝒌 𝑵
𝑭𝑪 = 𝟏𝟔𝟎 Ԧ𝒊 + 𝟏𝟖𝟐 Ԧ𝒋 − 𝟔𝟎𝒌 𝑵
c) 𝑭𝑨 = 𝟎Ԧ𝒊 + 𝟐𝟖𝟓 Ԧ𝒋 − 𝟗𝟑𝒌 𝑵
𝑭𝑪 = 𝟎 Ԧ𝒊 + 𝟏𝟖𝟐 Ԧ𝒋 − 𝟔𝟎𝒌 𝑵
a) 𝑭𝑨 = 𝟐𝟎Ԧ𝒊 + 𝟐𝟖𝟓 Ԧ𝒋 − 𝟗𝟑𝒌 𝑵
𝑭𝑪 = 𝟏𝟔𝟎 Ԧ𝒊 + 𝟏𝟖𝟐 Ԧ𝒋 − 𝟔𝟎𝒌 𝑵
Datos/Observaciones
La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la
tensión en ab y cd es FA = 300 N y FC = 250N, respectivamente,
exprese cada una de esas fuerzas en forma cartesiana vectorial.
Método de la descomposición
𝑹𝒙 = ෍ → −෍ ← 𝑹𝒚 =෍ ↑ −෍ ↓
𝐑𝐓 = 𝐑𝐱
𝟐 + 𝐑𝐲
𝟐 + 𝐑𝐳
𝟐
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐:
μ =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
= (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙Ԧ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛𝒌)
𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑼𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐:
Solución
μ =
𝐹𝐴
𝐹𝐴
𝝁𝑨𝑩 =
𝑨𝑩
𝑨𝑩
𝝁𝑨𝑩 =
−3𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
0𝑖 + 2,30𝑗 − 0,75𝑘
02 + 2,302 + (−0,75)2
𝝁𝑨𝑩 = +0,95𝑗 − 0,31𝑘
𝝁𝑪𝑫 =
𝑪𝑫
𝑪𝑫
μ𝐶𝐷 =
−3 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘
32 + 22 + 22
2𝑖 + 2,30𝑗 − 0,75𝑘
22 + 2,302 + (−0,75)2
𝐴 = 0;−1 − 1𝑐𝑜𝑠30𝑜; 1,5𝑐𝑜𝑠60𝑜
𝐵 = 0; 0; 0
𝐴 = 0 ;−2,30 ; 0,75
𝑭𝑨 = 𝟐𝟖𝟓 Ԧ𝒋 − 𝟗𝟑𝒌 N
𝐶 = −2,5 ; −1 − 1𝑐𝑜𝑠30𝑜; 1,5𝑐𝑜𝑠60𝑜
𝐷 = −0,5; 0; 0
𝐶 = −2,5; −2,30; 0,75
μ =
𝐹𝐶
𝐹𝐶
𝝁𝑪𝑫 = +0,64𝑖 + 0,73𝑗 − 0,24𝑘
𝑭𝑪 = 𝟏𝟔𝟎 Ԧ𝒊 + 𝟏𝟖𝟐, 𝟓 Ԧ𝒋 − 𝟔𝟎𝒌 N
𝟏
,𝟓
𝒄
𝒐
𝒔
𝟔
𝟎
°
Solucionario-Practicando
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
Cierre
Todo vector se puede descomponer en sus ___________________
__________________________ .
✓Un vector en 3D puede expresarse
en función de sus componentes
rectangulares.
✓ La resultante de varios vectores es
otro vector.
No olvidar!
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed.
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
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	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
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