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S06 s1 - PPT Producto de Vectores-Solucionario
Fernando Gonzales Flores
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Bienvenidos estimados y estimadas estudiantes. En breve iniciamos la sesión. ¿con qué tipo de las manzanas se identifican? ¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada? ¿Que recordamos de la clase anterior? Datos/Observaciones Recogemos nuestros Saberes Previos ¿Se pueden multiplicar dos vectores? ¿Al multiplicar dos vectores se obtiene, un vector o un escalar? ¿Conoce la regla de la mano derecha? Inicio SABERES PREVIOS ✓ El producto vectorial es útil como método de construcción de un vector perpendicular al plano, si se tiene dos vectores en ese plano. Físicamente, aparece en el cálculo de par de fuerza y en el cálculo de la fuerza magnética de una carga en movimiento. UTILIDAD Utilidad Cálculo aplicado a la Física 1 Semana 6 – Sesión 1 Producto de Vectores Datos/Observaciones Logro Al término de la sesión, el estudiante resuelve problemas de productos entre vectores de manera vectorial; además determina volúmenes utilizando las propiedades del producto vectorial, para presentar sus resultados siguiendo una secuencia lógica. AGENDA ✓Producto Vectorial. ✓Ejercicios. ✓Práctica. ✓Cierre. Datos/Observaciones I. Producto Vectorial (𝑨 𝒙 𝑩) Dados dos vectores 𝒂 𝑦 𝒃, el producto vectorial o producto cruz se define como: 𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen𝜃 ො𝑢 Donde su módulo es: 𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen 𝜃 Geométricamente, el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por los vectores Ԧ𝑎 y 𝑏. Ԧ𝑎 𝑏 𝜃 𝒂 × 𝒃 𝒂𝒃𝒔𝒆𝒏𝜽 Datos/Observaciones Propiedades del producto vectorial 1. La dirección del vector se define por la regla de mano derecha. 2. No posee propiedad conmutativa: 3. Es válida la propiedad distributiva: 4. Su módulo es 0 si los vectores forman 0° ó 180°. 5. Su módulo es máximo si los vectores forman 90°. Ԧ𝑎 × Ԧ𝑏 = −Ԧ𝑏 × Ԧ𝑎 Ԧ𝑎 + Ԧ𝑐 × Ԧ𝑏 = Ԧ𝑎 × Ԧ𝑏+ Ԧ𝑐 × Ԧ𝑏 Datos/Observaciones Como sabemos el producto vectorial no es conmutativo, puesto que: 𝒂 × 𝒃 = −𝒃 × 𝒂 De lo anterior se verifica que: Ƹ𝑖 × Ƹ𝑗 = 𝑘; Ƹ𝑗 × 𝑘 = Ƹ𝑖 𝑘 × Ƹ𝑖 = Ƹ𝑗; Ƹ𝑗 × Ƹ𝑖 = −𝑘 𝑘 × Ƹ𝑗 = − Ƹ𝑖; Ƹ𝑖 × 𝑘 = − Ƹ𝑗 Ƹ𝑖 × Ƹ𝑖 = 0; Ƹ𝑗 × Ƹ𝑗 = 0 𝑘 × 𝑘 = 0 Si multiplicamos ambos vectores y utilizamos las propiedades antes mencionadas tenemos: Ԧ𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑘 Cuyo resultado equivale a desarrollar el determinante de 3 x 3. Ԧ𝑎 × 𝑏 = Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 𝑘 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 ¿Cómo efectuar un producto vectorial? Datos/Observaciones Ejemplo: 1.- Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman ambos vectores en el plano que los contiene. 𝑚 = −3 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + 5𝑘 𝑛 = 6 Ƹ𝑖 − 10 Ƹ𝑗 − 𝑘 Solución 𝒎 𝒏 𝜃 𝒎×𝒏 𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏𝜽 Area = 𝒎 × 𝒏 = 𝒎 𝒏 𝑠𝑒𝑛𝜃 a) producto vectorial 𝑴𝑻𝟏 𝒎× 𝒏 = 𝒊 𝒋 𝒌 −𝟑 −𝟐 𝟓 𝟔 −𝟏𝟎 −𝟏 = 𝒊 𝒋 𝒌 −𝟑 −𝟐 𝟓 𝟐 Ƹ𝒊 +𝟑𝟎𝒌 +𝟑𝟎 Ƹ𝒋 − −𝟏𝟐𝒌 −𝟓𝟎 Ƹ𝒊 +𝟑 Ƹ𝒋 = 𝟐 Ƹ𝒊 +𝟑𝟎𝒌 +𝟑𝟎 Ƹ𝒋 +𝟏𝟐𝒌 +𝟓𝟎 Ƹ𝒊 −𝟑 Ƹ𝒋 = 𝟓𝟐 Ƹ𝒊 +𝟒𝟐𝒌 +𝟐𝟕 Ƹ𝒋 𝒎 × 𝒏 = 𝟓𝟐 Ƹ𝒊 + 𝟐𝟕 Ƹ𝒋 + 𝟒𝟐𝒌 𝑴𝑻𝟐 𝒎×𝒏 = Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 −𝟑 −𝟐 𝟓 𝟔 −𝟏𝟎 −𝟏 = −𝟐 𝟓 −𝟏𝟎 −𝟏 Ԧ𝒊 − −𝟑 𝟓 𝟔 −𝟏 Ԧ𝒋 + −𝟑 −𝟐 𝟔 −𝟏𝟎 𝒌 = −𝟎 − 𝟐 Ԧ𝒊 − 𝟏 − 𝟒 Ԧ𝒋 + 𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎 𝒌𝟐 −𝟓𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟑𝟎 −𝟏𝟐 = 𝟓𝟐 Ԧ𝒊+ 𝟐𝟕 Ԧ𝒋 + 𝟒𝟐 𝒌 𝒎 × 𝒏 = 𝟓𝟐 Ƹ𝒊 + 𝟐𝟕 Ƹ𝒋 + 𝟒𝟐𝒌 b) área que forman ambos vectores Area = 𝒎 × 𝒏 Area = (52)2+(27)2+(42)2 Area = 72 Datos/Observaciones Ejemplo: 2.- Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman ambos vectores en el plano que los contiene. a = −2 Ƹi + 6 Ƹj + k b = 3 Ƹi − 7 Ƹj + 10k Solución 𝒂 𝒃 𝜃 𝒂 × 𝒃 𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏𝜽 Area = 𝒎 × 𝒏 = 𝒎 𝒏 𝑠𝑒𝑛𝜃 a) producto vectorial 𝑴𝑻𝟏 𝒂 × 𝒃 = 𝒊 𝒋 𝒌 −𝟐 +𝟔 +𝟏 +𝟑 −𝟕 +𝟏𝟎 = 𝒊 𝒋 𝒌 −𝟐 −𝟔 𝟏 𝟔𝟎 Ƹ𝒊 +𝟏𝟒𝒌 +𝟑 Ƹ𝒋 − 𝟏𝟖𝒌 −𝟕 Ƹ𝒊 −𝟐𝟎 Ƹ𝒋 = 𝟔𝟎 Ƹ𝒊+𝟏𝟒𝒌 +𝟑 Ƹ𝒋 −𝟏𝟖𝒌 +𝟕 Ƹ𝒊 +𝟐𝟎 Ƹ𝒋 = 𝟔𝟕 Ƹ𝒊 −𝟒𝒌 +𝟐𝟑 Ƹ𝒋 𝒂 × 𝒃 = 𝟔𝟕 Ƹ𝒊 + 𝟐𝟑 Ƹ𝒋 − 𝟒𝒌 𝑴𝑻𝟐 𝒂 × 𝒃 = Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 −𝟐 +𝟔 +𝟏 +𝟑 −𝟕 +𝟏𝟎 = +𝟔 𝟏 −𝟕 +𝟏𝟎 Ԧ𝒊 − −𝟐 𝟏 +𝟑 𝟏𝟎 Ԧ𝒋 + −𝟐 +𝟔 +𝟑 −𝟕 𝒌 = −𝟎 − 𝟐 Ԧ𝒊 − 𝟏 − 𝟒 Ԧ𝒋 + 𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎 𝒌𝟔𝟎 −𝟕 −𝟐𝟎 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟖 = 𝟔𝟕 Ԧ𝒊+ 𝟐𝟑 Ԧ𝒋 + −𝟒 𝒌 𝒂 × 𝒃 = 𝟔𝟕 Ƹ𝒊 + 𝟐𝟑 Ƹ𝒋 − 𝟒𝒌 b) área que forman ambos vectores Area = 𝒂 × 𝒃 Area = (67)2+(23)2+(4)2 Area = 71 Practicando Alternativas a) − 𝟏𝟎 Ƹ𝒊 + 𝟓𝟔 Ƹ𝒋 − 𝟑𝟏𝒌 , 64,78 𝑐) − 𝟑𝟎 Ƹ𝒊 + 𝟓𝟒 Ƹ𝒋 − 𝟑𝟑𝒌 , 68,78 b) −20 Ƹ𝒊 + 𝟓8 Ƹ𝒋 − 𝟑2𝒌 , 65,78 Práctica Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman ambos vectores en el plano que los contiene. 𝒂 = 5 Ƹ𝒊 + 2 Ƹ𝒋 + 𝟐𝒌 𝒃 = 3 Ƹ𝒊 − 5 Ƹ𝒋 − 10𝒌 Datos/Observaciones Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman ambos vectores en el plano que los contiene. 𝒂 = 5 Ƹ𝒊 + 2 Ƹ𝒋 + 𝟐𝒌 𝒃 = 3 Ƹ𝒊 − 5 Ƹ𝒋 − 10𝒌 Solución 𝒂 𝒃 𝜃 𝒂 × 𝒃 𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏𝜽 Area = 𝒎 × 𝒏 = 𝒎 𝒏 𝑠𝑒𝑛𝜃 a) producto vectorial 𝑴𝑻𝟏 𝒂 × 𝒃 = 𝒊 𝒋 𝒌 +𝟓 +𝟐 +𝟐 +𝟑 −𝟓 −𝟏𝟎 = 𝒊 𝒋 𝒌 +𝟓 +𝟐 +𝟐 −𝟐𝟎 Ƹ𝒊−𝟐𝟓𝒌 +𝟔 Ƹ𝒋 − 𝟔𝒌 −𝟏𝟎 Ƹ𝒊 −𝟓𝟎 Ƹ𝒋 = −𝟐𝟎 Ƹ𝒊 −𝟐𝟓𝒌 +𝟔 Ƹ𝒋 −𝟔𝒌 +𝟏𝟎 Ƹ𝒊 +𝟓𝟎 Ƹ𝒋 = −𝟏𝟎 Ƹ𝒊 −𝟑𝟏𝒌 +𝟓𝟔 Ƹ𝒋 𝒂𝒙𝒃 = −𝟏𝟎 Ƹ𝒊 + 𝟓𝟔 Ƹ𝒋 − 𝟑𝟏𝒌 𝑴𝑻𝟐 𝒂 × 𝒃 = Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 +𝟓 +𝟐 +𝟐 +𝟑 −𝟓 −𝟏𝟎 = +𝟐 +𝟐 −𝟓 −𝟏𝟎 Ԧ𝒊 − +𝟓 +𝟐 +𝟑 −𝟏𝟎 Ԧ𝒋 + +𝟓 +𝟐 +𝟑 −𝟓 𝒌 = − 𝟎 − 𝟐 Ԧ𝒊 − 𝟏 − 𝟒 Ԧ𝒋 + 𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎 𝒌−𝟐𝟎 −𝟏𝟎 −𝟓𝟎 𝟔 −𝟐𝟓 𝟔 = −𝟏𝟎 Ԧ𝒊+ 𝟓𝟔 Ԧ𝒋− 𝟑𝟏 𝒌 𝒂𝒙𝒃 = −𝟏𝟎 Ƹ𝒊 + 𝟓𝟔 Ƹ𝒋 − 𝟑𝟏𝒌 b) área que forman ambos vectores Area = 𝒂 × 𝒃 Area = (10)2+(56)2+(21)2 Area = 64,78 Practicando - SOLUCION Datos/Observaciones ¿Qué hemos aprendido hoy? Para culminar nuestra sesión respondemos a: Cierre CIERRE Datos/Observaciones IMPORTANTE 1. El resultado del producto vectorial es otro vector perpendicular al plano. Excelente tu participación No hay nada como un reto para sacar lo mejor de nosotros. Ésta sesión quedará grabada para tus consultas. PARA TI 1. Sigue practicando, vamos tu puedes!! . 2. No olvides que tienes un FORO para tus consultas. Cierre Diapositiva 1 Diapositiva 2 Diapositiva 3 Diapositiva 4 Diapositiva 5 Diapositiva 6: Cálculo aplicado a la Física 1 Diapositiva 7 Diapositiva 8 Diapositiva 9 Diapositiva 10 Diapositiva 11 Diapositiva 12 Diapositiva 13 Diapositiva 14 Diapositiva 15 Diapositiva 16 Diapositiva 17 Diapositiva 18 Diapositiva 19 Diapositiva 20
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