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Capítulo 4.-FACTOREO DE POLINOMIOS 
 
 
 Como se ha dicho, FACTOR es el vocablo con que se designa a cada elemento de una 
multiplicación. 
 
 En consecuencia, FACTOREAR un polinomio significa descomponerlo en FACTORES, 
esto es, transformarlo en una multiplicación. 
 Debe entenderse, entonces, que al factorear un polinomio se recorrerá un camino operativo 
inverso al de multiplicar polinomios. Por ello, a cada caso de multiplicación de expresiones 
algebraicas enteras (operación directa), le corresponderá un caso de factoreo (operación recíproca o 
inversa). 
 
 Intentaremos mostrar esta última observación con ejemplos. 
 
Primer caso: FACTOR COMUN 
 
 La multiplicación más sencilla en la que interviene un polinomio es : 
 [ polinomio ] . [ monomio ] = [ polinomio ] 
 
 El polinomio producto (resultado), se obtiene por aplicación de la propiedad distributiva de la 
multiplicación con respecto a la suma, de manera que el monomio se incorpora en cada término del 
polinomio como factor, es decir que se ha transformado en un factor común a todos los términos del 
polinomio producto. 
 Así: 
 (3x2-5x+7).2x = 3x2.2x-5x.2x+7.2x = 6x3-10x2+14x 
 
 Si se pretende factorear el polinomio 6x3-10x2+14x, lo que se busca es volverlo al producto 
indicado que lo originó, o sea: 
 
(3x2-5x+7).2x ; pero ¿cómo obtener esa descomposición? 
 
Pasos para extraer un FACTOR COMUN (F.C.)en un polinomio: 
 
1ero.- Se busca el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio (esto es, el producto de los 
factores numéricos y literales que se encuentren en todos los términos, con el menor exponente con que 
aparezcan). 
 
2do.- El FACTOR COMUN así formado, se multiplica por el polinomio que resulta de dividir el dado 
por el referido F. C. 
 Queda así el polinomio dado, descompuesto en el producto entre un monomio (el F.C.) y un 
polinomio (el cociente), es decir que el polinomio ha sido FACTOREADO. 
 
 Entonces, volviendo al ejemplo anterior: 
 
 7)+5x-x2x.(3=)2x
14x+x10-x62x.(=14x+x10-x6 2
23
23 
 
 
 
Segundo Caso: AGRUPACION EN IGUAL N� DE TERMINOS 
 
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 Este caso de factoreo recorre el camino operativo inverso al de la multiplicación de dos polinomios. 
 Se trata de aplicar sucesivamente la técnica de extracción de un Factor Común, inicialmente en 
cada uno de los grupos formados al efecto, y luego entre los términos resultantes. 
 
 Ejemplo: factorear am + an + bm + bn. 
 
1ero.- Se forman grupos de igual número de términos, en este caso, dos en cada grupo, de modo que en 
cada uno haya un F. C.: 
 
 am + an + bm + bn = (am+an)+(bm+bn) 
 
2do.- Se extrae el F. C. en cada grupo, siguiendo los pasos explicados para el primer caso de factoreo: 
 
 am + an + bm + bn = (am+an)+(bm+bn) = a.(m+n)+b.(m+n) 
 
3ero.- Se extrae ahora un nuevo F. C., el que resultará ser un binomio, trinomio, etc., según el número 
de términos que tenga cada grupo de los formados en el paso anterior. 
 En nuestro ejemplo, el F. C. es el binomio (m+n), que se extrae: 
 
 am + an + bm + bn = (am+an)+(bm+bn) = a.(m+n)+b.(m+n) 
 
 = (m+n).(a+b) 
 
 
Tercer Caso: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 
Definición: un término se dice "cuadrado perfecto" cuando resulta de elevar al cuadrado a un número o 
a un monomio o expresión dados. 
 
Definición: un trinomio se dice "cuadrado perfecto" si está formado por dos términos que son 
cuadrados perfectos y el tercer término es el doble producto de las bases de esos cuadrados perfectos. 
 
Ejemplo: 9x2+24x+16 es un Trinomio Cuadrado Perfecto, pues: 
 
9x2 es el cuadrado de 3x : 9x2 = (3x)2 ; 
 
16 es el cuadrado de 4 : 16 = 42 ; 
 
24x es el doble producto de las bases de los cuadrados perfectos: 
 
24x = 2. 3x. 4 
 
 Todo TRINOMIO CUADRADO PERFECTO se factoriza en el cuadrado de un binomio 
que es la suma o la diferencia de las bases de los términos cuadrados perfectos, según que el 
término doble producto sea positivo o negativo, respectivamente. 
 
 En el ejemplo: 9x2+24x+16 = (3x+4)2 
 
 En general, todo trinomio de la forma a2 ± 2ab + b2 se factorea en (a ± b)2. Simbólicamente: 
 
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 Advierta el lector que en el factoreo de un trinomio cuadrado perfecto se ha recorrido el camino 
operativo inverso al de la obtención del cuadrado de un binomio. 
 
 
Cuarto Caso: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO 
 
Definición: una expresión o término se dice que es un "cubo perfecto" cuando resulta de elevar al cubo 
una expresión o término dados. 
Definición: un cuatrinomio se dice "cubo perfecto", cuando tiene dos términos que son cubos perfectos 
y los otros dos son el triple producto entre una de las bases y el cuadrado de la otra. 
 
 Todo cuatrinomio cubo perfecto tiene la forma algebraica: 
 
 ±a3 ± 3a2b ± 3ab2 ± b3 , 
 
y se factorea o factoriza en el cubo de un binomio cuyos términos son las bases de los cubos perfectos. 
En símbolos: 
b)(a=b+2ab 222 ��a 
)ba(=b 332 ���ab3ba3a 23 ��� 
 
 
 
 
 
 
Quinto caso: DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
 Si recordamos que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia entre los 
cuadrados de sus términos, y recíprocamente, resulta: 
 b)-b).(a+(a=b-a 22 
 
 
 
 
 Es decir que una diferencia de cuadrados se factorea en el producto de los binomios suma 
y diferencia de sus bases. 
 
 Nota: antes de conceptualizar el sexto caso de factoreo, desarrollaremos un conocimiento 
previo, FUNDAMENTAL en el manejo de las operaciones con polinomios. 
 
 
DIVISIBILIDAD DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS DE IGUAL 
 
GRADO, POR LA SUMA O LA DIFERENCIA DE SUS BASES 
 
 
Definición: una expresión algebraica es divisible por otra, cuando el resto de la división es 0(cero). 
 
 Se trata de conocer cuando un binomio del tipo xn±an es divisible por x+a o por x-a, es decir, 
en qué condiciones algebraicas las divisiones 
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 1- (xn+an):(x+a) 2- (xn+an):(x-a) 
 
 3- (xn-an):(x+a) 4- (xn-an):(x-a) 
 
son exactas (tienen resto nulo). 
 
 Usemos una conocida herramienta algebraica para averigüarlo, el teorema del resto. 
 Según éste, en (xn+an):(x+a) el resto está dado por: 
 
R = (-a)n+an ; si tenemos en cuenta la regla de los signos de la 
 potenciación, este resto es 2an si n es número par y nulo si n es número impar; entonces: 
 
 Una suma de dos potencias de igual grado es divisible por la suma de sus bases, sólo 
cuando el exponente de las potencias es un número impar. 
 
 Sea ahora la división (xn+an):(x-a) ; su resto es 
 
R = an+an = 2an ; de modo que el resto no es cero. Por ello: 
 
 Una suma de dos potencias de igual grado nunca es divisible por la diferencia de sus bases. 
 
 El caso siguiente es (xn-an):(x+a) ; su resto es 
 
R = (-a)n-an , el que resulta -2an si n es un número impar y nulo si n es un número par; por lo tanto: 
 
 Una diferencia de dos potencias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el 
exponente de aquéllas es un número par. 
 
 Finalmente, el resto de (xn-an):(x-a), es R = an-an = 0. 
 
 Una diferencia de dos potencias de igual grado siempre es divisible por la diferencia de 
sus bases. 
 
 
Sexto Caso: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS DE IGUAL GRADO 
 
 Aplicando el conocimiento del punto anterior, es posible factorear, en determinadas 
condiciones, una suma o diferencia de dos potencias de igual grado. 
 Analizaremos las distintas situaciones que se presentan. 
 
1ero.- Factorear xn+an ; los casos posibles son: i)n es par; ii)n es impar. 
 
i) Si n es par, el polinomio dado no acepta divisores polinómicos; luego, no es posible 
factorearlo. Decimos en este caso que el polinomio dado es primo. 
 
ii) Si n es impar sabemos que el polinomio resulta divisible por la suma de las bases de las 
potencias, o sea 
 
 (xn+an):(x+a) = Q(x) ,donde Q(x) es el cociente que se puede obtener de diversas 
formas, 
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 por ejemplo, por Regla de Ruffini y es exacto para n impar.Y haciendo pasaje de términos: 
 
 xn+an = (x+a).Q(x) , con lo que queda factoreado. 
 
2do.- Factorear xn-an ; los casos posibles son: i) n es par; ii) n es impar. 
 
i) Si n es par, el binomio dado es divisible por x+a y por x-a; luego, siguiendo el mismo 
razonamiento del caso 1ero. ii), resulta: 
 
 (xn-an):(x±a) = Q(x) y haciendo pasaje de términos: 
 
 xn-an = (x±a). Q(x) . El binomio está factoreado. 
 
 ii) Si n es impar, el binomio dado sólo es divisible por x-a; en consecuencia, 
 
 (xn-an):(x-a) = Q(x) y haciendo pasaje de términos: 
 
 xn-an = (x-a). Q(x) ; el binomio está factoreado.