Elipse_Hiperbola

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168 
ELIPSE 
 
6.1. Definición 
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de 
distancias a dos punto fijos F y F’ llamados focos, es constante. (Fig.6.1.) 
En símbolos: 
ctePF'PF =+ 
La recta que pasa por los focos 
F y F’, se llama eje focal o eje 
de simetría de la elipse. 
El punto medio del segmento FF' 
es el centro de la curva y se desig-
na con la letra C. 
 
 
 Fig.6.1. 
 
6.2. Ecuación de la elipse con centro en el origen 
6.2.1. Si el eje focal es el eje x 
C(0, 0) y los focos son puntos del eje x cuyas coordenadas son: F(c, 0) y 
F ’(-c, 0), donde c es la medida del segmento que separa al centro de cada 
foco (Fig. 6.2.) y recibe el nombre de distancia focal. 
 169 
 
 
Fig. 6.2. 
Aplicando la definición y llamando 2a a la constante: 
 2aPF'PF =+ 
( ) ( ) ( ) ( ) 2a0ycx0ycx 2222 =−+++−+− 
 
 ( ) ( ) 2222 ycx2aycx ++−=+− 
 Elevando ambos miembros al cuadrado: 
( ) 222222222 yc2cxxycx4a4ayc2cxx ++++++−=++− 
 ( ) 222 ycx4a4a4cx ++−=−− 
 ( ) 222 ycxaacx ++=+ 
 170 
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene: 
 )yc2cx(xaacx2axc 22224222 +++=++ 
22222224222 ayac2cxaxaacx2axc +++=++ 
 cx2axcay2cxaxaaca 22222222224 −−++=− 
 222222224 xcayxaaca −+=− 
 ( ) ( ) 22222222 aycaxcaa +−=− 
Llamando b2 a la diferencia 22 ca − : 
 222222 aybxba += 
Dividiendo ambos miembros por 22ba 
 
2
2
2
2
b
y
a
x
1 += o lo que es lo mismo 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
 
Esta es la Ecuación de la Elipse de centro en el origen y eje focal x. 
Ahora bien, ¿Qué representan los números a y b que figuran en esa ex-
presión?.Para determinarlo se calcularán las intersecciones de la curva 
con el eje focal y con el eje perpendicular a él que pasa por C. 
Como el eje focal es el eje x, las intersecciones buscadas tendrán ordena-
da 0. Reemplazando en la ecuación de la curva: 
1
b
0
a
x
2
2
2
2
=+ 
 x2 = a2 
 x =  a 
 171 
La intersección con el eje focal son dos puntos V(a, 0) y V’(−a, 0) que 
reciben el nombre de vértices de la elipse. 
a es la medida del segmento que separa el centro de cada vértice y se 
llama semieje mayor de la elipse. En consecuencia, 2a es la longitud del 
eje mayor de la elipse (longitud del segmento VV'). 
El eje perpendicular al eje focal que pasa por C es el eje y, entonces las 
intersecciones buscadas tendrán abcisa 0. Reemplazando en la ecuación 
de la curva: 
2
2
2 b
y
a
0
+ = 1 
 y2 = b2 
 y =  b 
La intersección con el eje y son dos puntos B(0, b) y B’(0,−b) que reci-
ben el nombre de extremos del eje menor de la elipse. 
b es la medida del segmento que separa el centro de cada extremo del eje 
menor y se llama semieje menor de la elipse. En consecuencia, 2b es la 
longitud del eje menor de la elipse (longitud del segmento BB' ) 
Relación entre 
Sea la elipse: 
 172 
 
Según la definición, siendo un punto de la elipse, debe cumplirse: 
 
 
Lo mismo ocurre con el punto 
 
Pero de los triángulos rectángulo por ser congruentes 
surge que 
Por lo tanto 
 
Luego 
En toda elipse, la diferencia entre los cuadrados del semieje mayor y la 
distancia focal es igual al cuadrado del semieje menor 
222 bca =− 
 173 
6.2.2. Si el eje focal es el eje y 
Cuando los focos están sobre el 
eje y, sus coordenadas son: 
F(0, c) y F’(0, −c) 
La ecuación de la elipse de centro 
en el origen y eje focal y es: 
(Fig.6.3) 
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=+ 
 En esta elipse los vértices son los 
puntos: 
V(0, a) y V’(0, −a) 
Los extremos del eje menor son 
los puntos: 
 B(b,0) y B’(−b, 0) 
 
 
Fig.6.3. 
 6.3. Lado recto 
 6.3.1. Definición 
Se llama lado recto (latus rectum) a la cuerda focal que es perpendicular 
al eje focal. 
La elipse tiene 2 lados rectos que son los segmentos DEyAM de la 
elipse de eje focal x y centro C(0, 0) de la Fig.6.4. 
 
 174 
6.3.2. Longitud del lado recto 
Para calcular la longitud de los lados rectos se calcularán primero las 
coordenadas de los puntos A, M, D, y E. (Fig. 6.4.) 
A y M tienen abcisa c ; D y E tienen abcisa – c. Entonces si en la ecua-
ción de la curva, se hace x =  c 
( )
1
b
y
a
c
2
2
2
2
=+

 
222222 bayacb =+ 
 
2
2222
2
a
cbba
y
−
= 
 
( )
2
222
2
a
cab
y
−
= 
 
2
4
2
a
b
y = 
 
a
b
y
2
= 
 
 
Fig.6.4. 
 
 
Los puntos A, M, D y C tienen, entonces las siguientes coordenadas: 
 






−






a
b
, cM
a
b
, cA
2
2
 






−−






−
a
b
, cE
a
b
, cD
2
2
 
 175 
 ( )
2
22
2
a
b
a
b
ccAM 





−−+−= 
2
2
a
2b






−= 
2
4
a
4b
= 
a
2b2
= 
 
 Análogamente: 
a
2b
DE
2
= 
La longitud del lado recto de una elipse es el doble del cociente entre el 
cuadrado del semieje menor y el semieje mayor. 
a
2b
rectum)(latusLR
2
= 
 
6.4. Excentricidad de la elipse 
Se llama excentricidad al cociente entre la distancia focal y el semieje 
mayor. 
a
c
e= 
En las elipses, como c < a , resulta que la excentricidad es siempre un 
número positivo menor que 1. 
 
Ejemplo 
 176 
Hallar y representar la ecuación de la 
elipse cuyos focos son los puntos F(0, 
3) y F’(0, −3) y cuyo lado recto mide 
6,4. 
Sobre un sistema de ejes se ubican los 
puntos F y F’. 
Entonces C(0, 0) (Fig.6.5.) 
La distancia focal c es 3. 
El lado recto mide 6,4: 
6,4
a
2b2
= 
Como en toda elipse: 222 bca =− , 
reemplazando en la expresión ante-
rior, se tiene: 
a3,2ca 22 =− 
 a3,29a 2 =− 
 093,2aa 2 =−− 
 
 
 
 
Fig.6.5. 



−=
=


=
+
=
1,8a
5a
2
6,83,2
a
2
3610,243,2
a
2
1
 
Desechando el valor negativo porque a es siempre positivo, se puede 
calcular b: 
4b16b925b 22 ==−= 
También aquí se desecha la raíz negativa. La ecuación de la elipse será: 
 177 
1
16
x
25
y 22
=+ 
 
6.5. Ecuación de la elipse cuyo centro no es el origen 
6.5.1. El eje focal es paralelo al eje x 
Sea la elipse de la Fig. 6.6. cuyo eje es paralelo al eje x y el centro está en 
el punto C(h, k). 
Si se traza un sistema auxiliar de ejes x’y’, paralelo al sistema original y 
tal que su origen coincide con el punto C, la ecuación de la curva en ese 
sistema es: 
1
b
y'
a
x'
2
2
2
2
=+ (I) 
 
Pero: x’ = x − h e y’ = y – k 
Reemplazando en (I): 
( ) ( )
1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
 
Los focos de esta elipse 
serán los puntos F(h+c, k) 
y F’(h−c, k). El eje focal es 
una recta paralela al eje x y 
su ecuación es: y = k. 
Los vértices serán los pun-
tos V(h+a, k) y V’(h−a, k). 
 
 
Fig.6.6. 
 178 
6.5.2. El eje focal es paralelo al eje y 
Si el eje focal es paralelo al eje y, razo-
nando en forma similar a la anterior, se 
obtiene la ecuación 
( ) ( )
1
b
hx
a
ky
2
22
2
=
−
+
−
 
Una elipse de este tipo es la de la Fig. 
6.7. 
Los focos de esta elipse serán los pun-
tos F(h, k+c) y F’(h, k−c). 
El eje focal o eje de simetría será parale-
lo al eje y. Su ecuación es: x = h 
 
 
 
Fig.6.7. 
Los vértices son los puntos: V(h, k+a) y V’(h, k−a) 
En laselipses cuyo centro no está en el origen, como en las anteriores, el 
lado recto mide 
a
2b 2
 y la excentricidad es 
a
c
e= 
Ejemplos 
1) Hallar la ecuación de la elipse de centro en (4, −3) y foco en el punto 
(2, −3) y cuya excentricidad es 0,5. 
Dadas la posición del centro y de uno de los focos se deduce la distancia 
focal: c = 2 
 179 
Como la excentricidad es 
a
c
e= se puede calcular a: 
a
c
0,5= , de donde 
resulta que a= 4. Además, 222 bca =− , de donde 2b416 =− 
Entonces 12b= 
La ecuación de la elipse 
(Fig. 6.8.) es 
 
( ) ( )
1
12
3y
16
22
=
+
+
− 4x
 
El lado recto mide 6 
 
 
Fig.6.8. 
 
2) Hallar la ecuación de la elipse de centro en (−3,−1), lado recto igual a 2 
y un vértice en (1, −1). 
Solución: (Fig. 6.9) 
Si el centro es (−3,−1) y el vértice (1, −1), 
 el eje focal es paralelo al eje x y el semieje mayor a mide 4. 
Si el lado recto vale 2: 
 180 
4
2
42
b2
a
2b 2
2
=

== 
( ) ( )
1
4
1y
16
3x
22
=
+
+
+
 
 
 
Fig.6.9. 
6.6. Ecuación General de la Elipse 
Sea la ecuación de la elipse: 
 
 multiplicando m a m por a2b2 
 desarrollando los 
cuadrados y aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la 
suma. 
 181 
 reordenando 
 
 donde los coeficientes A y C deben ser del 
mismo signo. 
Recíprocamente: 
 
 reordenando 
 extrayendo factor común 
 completando cua-
drados 
 
 representa una elipse de 
 representa un punto 
 no representa ningún lugar geométrico 
real (elipse imaginaria) 
Luego si los signos de los coeficientes A y C de la ecuación 
 son iguales, esta representa una elipse de 
 182 
ejes paralelos a los coordenados, ó bien un punto ó ningún lugar geomé-
trico real 
Ejemplo: 
Determinar que representa la siguiente ecuación 
 
 
 
 
 
No representa ningún lugar geométrico real o representa una elipse ima-
ginaria 
 
6.7. Rectas tangente y normal a una elipse 
Para hallar las rectas tangente y normal a una elipse se procede en la 
misma forma que se indicó en el capítulo de circunferencia. 
Ejemplos 
1) Hallar la ecuación de la tangente a la elipse 
( ) ( )
1
4
1y
16
3x
22
=
+
+
+
 
trazada desde el punto A(−1, 5) 
 183 
Se plantea el sistema 
( ) ( )
( )



+=−
=
+
+
+
1xm5y
1
4
1y
16
3x
22
 
o también 



+=−
=−+++
mmx5y
038y6x4yx 22
 
En la segunda ecuación se despeja y: 
5mmxy ++= 
Se reemplaza en la primera ecuación: 
 ( ) ( ) 035mmx86x5mmx4x 22 =−+++++++ 
 ++++++ 40mxx8m1004mx4mx 22222 
 03408m8mx6x40m =−+++++ 
 ( ) ( ) ( ) 01378m4mx648m8mx4m1 2222 =+++++++ 4 
Igualando a 0 el discriminante de esta ecuación: 
 ( ) ( )( ) 01378m4m4m14648m8m 2222 =+++−++ 4 
−−+++++ 22324 16m576m96m768m362304m64m 
 02192m768m64m548192m 234 =−−−−− 
0512384m192m 2 =−+ 
 086m3m 2 =−+ 






−−
=
+−
=

−
=
3
333
m
3
333
m
6
3326
m
2
1
 
Hay dos tangentes a la elipse que pasan por el punto A. Sus ecuaciones 
son: (Fig. 6.10.): 
 184 
1)(x
3
333
5y
1)(x
3
333
5y
+
−−
=−
+
+−
=−
 
 
Fig.6.10. 
 
 
2) Hallar y representar la ecuación de las rectas tangente y normal a la 
elipse 164yx 22 =+ , en el punto ( )2,22 − . 
Ecuación de la tangente (Fig. 6.11.): 
Se plantea el sistema ( )


−=+
=−+
22xm2y
0164yx 22
 
En la segunda ecuación se despeja la variable y: 2mmxy −−= 22 . 
Reemplazando en la primera ecuación: 
 ( ) 0162m22mx4x 22 =−−−+ 
 185 
 01632mmx28xm216832mx4mx 22222 =−+−−+++ 
 ( ) ( ) ( ) 0832m32mxm28m216xm1 2222 =−++−−++ 4 
Igualando a 0 el discriminante de esta ecuación (condición de tangencia): 
 ( ) ( )( ) 0832m32mm14m28m216 2222 =−++−−− 4 
+−+−−++ 42234 512m32128m128m128m512m512m 
 0128m512m 2 =++ 
032128m128m2 =+− 
 014m4m2 =+− 
 ( ) 012m 2 =− 
 
2
1
m = 
La ecuación de t es, enton-
ces: 
( )22x
2
1
2y −=+ 
 
0242yx =−− 
 
 
 Fig.6.11 
 
 
Ecuación de la recta normal en ( )2,22 − 
n ⊥ t  mn =− 2  ( )22x22y −−=+ 
 023y2x =−+ 
 186 
6.8. Propiedad Focal de la elipse 
La normal a una elipse en un punto T de la misma, es bisectriz del ángu-
lo que forman los radios vectores de la curva 
Demostración 
La demostración de esta propiedad se hará para el caso de una elipse con 
centro en el origen y cuyo eje focal es el eje x, es decir, una elipse de cuya 
ecuación sea: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ , (Fig.6.12.). 
 
 Fig.6.12. 
 
Sin embargo la propiedad es válida para cualquier elipse. 
Si T(xT, yT) es un punto de la elipse, se verifica: 1
b
y
a
x
2
2
T
2
2
T =+ 
 187 
o también 222T
22
T
2 bayaxb =+ (I) 
La ecuación de la tangente a la curva en T es: 
0bayyaxxb 22T
2
T
2 =−+ 
De allí resulta: 
T
2
T
2
ya
xb
tm −= 
T
2
T
2
xb
ya
nm = 
Además, como los focos son F(c, 0) y F’(−c, 0), los radios vectores 
TF'yFT pertenecen a rectas cuyas pendientes son: 
cx
y
m
cx
0y
m
T
T
FT
T
T
FT
−
=
−
−
= 
cx
y
m
cx
0y
m
T
T
TF'
T
T
TF'
+
=
+
−
= 
Con estos datos se verificará que el ángulo α que forma F’T con la nor-
mal es igual al ángulo α’ que forma ésta con FT. 
tg α 
+
−
=
T'F
T' F
m
n
m1
m
n
m
tg α = 








+
+
+
−
cx
y
x2b
ya
1
cx
y
xb
ya
T
T
T
T
2
T
T
T
2
T
2
 
 188 
tg α = 
( )
( )
( )
( )cxxb
yacxxb
cxxb
xbycxya
TT
2
2
T
2
TT
2
TT
2
T
2
TTT
2
+
++
+
−+
 
tg α = 
2
T
2
T
22
T
2
TT
2
T
2
TT
2
yacxbxb
yxbcyayxa
++
−+
 
De (I), 222T
22
T
2 bayaxb =+ y entonces reemplazando se obtiene: 
tg α = 
( )
T
2
2
2
T
222
TT
cxbba
cyabayx
+
+−
 
Pero en toda elipse: 222 cba =− 
( )T22
T
2
TT
2
cxab
cyayxc
αtg
+
+
= 
( )
( ) 2
T
T
22
2
TT
b
yc
αtg
cxab
acxcy
αtg =
+
+
= (II) 
Por otra parte: 
tg α’ = 
+
−
nmm1
nmm
FT
FT tg α’ = 
T
2
T
2
T
T
T
2
T
2
T
T
xb
ya
cx
y
1
xb
ya
cx
y

−
+
−
−
 
 189 
 tg α’ = 
( )
( )
( )
( )cxxb
yacxxb
cxxb
cxyayxb
TT
2
2
T
2
TT
2
TT
2
TT
2
TT
2
−
+−
−
−−
 
 
2
T
2
T
22
T
2
T
2
TT
2
TT
2
yacxbxb
cyayxayxb
α'tg
+−
+−
= 
( )
22
T
2
T
222
TT
bacxb
cyaabyx
α'tg
+−
+−
= 
( )
( )2T2
T
22
TT
acxb
cyacyx
α'tg
+−
+−
= 
( )
( )2T2
2
TT
acxb
acxcy
α'tg
+−
+−
= 
2
T
b
cy
α'tg = (III) 
De (II) y (III), resulta α = α’ quedando la propiedad demostrada. 
 
 
 190 
HIPÉRBOLA 
 
7.1. Definición 
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que 
el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos punto fijos F y 
F’ llamados focos, es cons-
tante (Fig.7.1.). En símbo-
los: 
ctePF'PF =− 
La recta que pasa por los 
focos F y F’, se llama eje 
focal o eje de simetría de 
la hipérbola. 
El punto medio del seg-
mento FF' es el centro de la 
curva y se designa con la 
letra C. 
 
 
Fig.7.1. 
7.2. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen 
7.2.1. Si el eje focal es el eje x 
 C(0, 0) y los focos son puntos del eje x cuyas coordenadas son: 
F(c, 0) y F ’(−c, 0). 
c es la medida del segmento que separa al centro de cada foco (Fig. 7.2.) 
y recibe el nombre de distancia focal. 
 191 
Aplicando la definición y 
llamando 2a a la constan-
te: 
 
2aPF'PF =− 
 
 
Fig.7.2. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2a0ycx0ycx 2222 =−++−−+− 
 ( ) ( ) 2222 ycx2aycx +++=+−Elevando ambos miembros al cuadrado: 
( ) 222222222 yc2cxxycx4a4ayc2cxx ++++++=++− 
 ( ) 222 ycx4a4a4cx ++=−− 
 ( ) 222 ycxaacx ++=+ 
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene: 
 )yc2cx(xaacx2axc 22224222 +++=++ 
 22222224222 ayac2cxaxaacx2axc +++=++ 
422222222 aacayxaxc −=−− 
 ( ) ( )22222222 acaayacx −=−− 
 192 
Llamando 2b a la diferencia 22 ac − : 
 222222 baaybx =− 
Dividiendo ambos miembros por 2ba 2 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− 
Donde 222 acb −= 
La anterior es la Ecuación de la Hipérbola de centro en el origen y eje 
focal x. 
Ahora bien, ¿Qué representan los números a y b que figuran en esa ex-
presión?. Para determinarlo se calcularán las intersecciones de la curva 
con el eje focal y con el eje perpendicular a él que pasa por C. 
Como el eje focal es el eje x, las intersecciones buscadas tendrán ordena-
da 0. Reemplazando en la ecuación de la curva: 
1
b
0
a
x
2
2
2
2
=− 
 22 ax = 
 ax = 
La intersección con el eje focal son dos puntos V(a, 0) y V’(−a, 0) que 
reciben el nombre de vértices de la hipérbola. 
a es la medida del segmento determinado por el centro y cada uno de los 
vértices y se llama semieje real de la hipérbola. En consecuencia, 2a es 
la longitud del eje real de la hipérbola (longitud del segmento VV'). 
 193 
2aVV'= 
El eje perpendicular al eje focal que pasa por C es el eje y, entonces las 
intersecciones buscadas tendrán abscisa 0. Reemplazando en la ecuación 
de la curva: 
1
b
y
a
0
2
2
2
=− 
 22 by −= 
 ∄ intersección con el eje y 
Como la curva no corta al eje y, al mismo se lo llamará “eje imaginario o 
eje conjugado” 
Pero entonces, ¿Qué representan geométricamente el número b? Esto se 
verá en el apartado “Asíntotas de la hipérbola de eje x”. 
Relación entre a, b y c. 
Sea la hipérbola 
 
 194 
Según la definición, siendo un punto de la hipérbola, debe cumplirse: 
 
 
El diámetro imaginario se determina llevando a partir de la medida de 
la semidistancia focal ( c). Luego en el triángulo imaginario de hi-
potenusa c y catetos a y b se cumple: 
 
En toda hipérbola, la diferencia entre los cuadrados de la distancia focal 
y del semieje real es igual al cuadrado del semieje imaginario 
c2 − a2 = b2 
De esta expresión se deduce que no hay una relación de tamaño entre a y 
b. El semieje real a puede ser menor, igual o mayor que el semieje imagi-
nario b. (a ≶ b) 
La determinación de los puntos permite obtener un rectángulo tal 
que sus diagonales pertenecen a dos rectas llamadas asíntotas. 
 
7.2.1.1. Asíntotas de la hipérbola de eje x 
Si de la ecuación de la curva se despeja y, resulta: 
2
2222
a
baxb
y
−
= 
 195 
2
2
2
22
a
x
a
1xb
y






−
= 
 
2
2
x
a
1x
a
b
y −= 
Esta última expresión muestra que si un punto de la hipérbola se mueve 
a lo largo de la curva de manera que su abscisa aumenta numéricamente 
indefinidamente, el radical del segundo miembro se aproxima cada vez 
más a la unidad y la ecuación tiende a la forma: 
x
a
b
y = 
 
 
Fig.7.3. 
 196 
Esta es la ecuación de dos rectas, que son las asíntotas de la curva, ya que 
se puede demostrar que la distancia de cada una de estas rectas a la curva 
decrece continuamente, aproximándose a cero*. 
Ambas rectas pasan por el origen, es decir que se cortan en el centro de 
la hipérbola. Sus pendientes son : 
a
b
y
a
b
− , respectivamente. 
En consecuencia, si a partir del centro, sobre el eje perpendicular al eje 
focal se toman, a ambos lados, segmentos cuya medida sea b quedarán 
determinados dos puntos B y B’. (Fig. 7.3.) 
Si por estos puntos se trazan paralelas al eje focal hasta cortar a las per-
pendiculares a dicho eje trazadas por los vértices de la curva, se formará 
un rectángulo de lados 2a y 2b. 
Es fácil verificar que las diagonales de ese rectángulo están contenidas en 
las asíntotas de la hipérbola. 
El segmento BB' cuya medida es 2b se llama eje normal o eje imagi-
nario de la hipérbola. En consecuencia b es el semieje imaginario de la 
curva. 
La construcción del rectángulo mencionado facilita el trazado de la curva 
ya que determina las asíntotas de la misma. 
 
7.2.2. Si el eje focal es el eje y 
Cuando los focos están sobre el eje y, sus coordenadas son: 
F (0, c) y F’ (0, −c) 
 
* Asíntota: Para una curva dada, una asíntota es una recta tal que, a medida que un 
punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la 
recta decrece continuamente y tiende a cero. 
 197 
La ecuación de la hipérbola de eje focal y y centro en el origen es: 
(Fig.7.4) 
 
 
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=− 
 
 
En esta hipérbola los vértices 
son los puntos: 
V (0, a) y V’ (0, −a) 
Los extremos del eje imagi-
nario son los puntos: 
B (b, 0) y B’ (−b, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7.4. 
7.2.2.1. Asíntotas de la hipérbola de eje y 
Como se observa en el dibujo, las asíntotas pasan por el centro de la 
curva, pero ahora sus pendientes son: 
b
a
y
b
a
− . O sea que la ecuación 
de las asíntotas es: 
x
b
a
y = 
 
 198 
7.3. Lado recto 
7.3.1. Definición 
En toda hipérbola, se llama lado recto (latus rectum) a la cuerda focal 
que es perpendicular al eje focal. 
La hipérbola tiene 2 lados rectos. En el ejemplo de la Fig. 7.5., los lados 
rectos son los segmentos DEyAM de la hipérbola de centro C (0, 0) 
y eje focal x. 
 
7.3.2. Longitud del lado recto 
Para calcular la longitud de los lados rectos se calcularán primero las 
coordenadas de los puntos A, M, D, y E. 
A y M tienen abscisa c; D y E tienen abscisa – c. Entonces si en la ecua-
ción de la curva, se hace x =  c 
( )
1
b
y
a
c
2
2
2
2
=−

 
 
222222 bayacb =− 
 
 199 
2
2222
2
a
bacb
y
−
= 
( )
2
222
2
a
acb
y
−
= 
2
4
2
a
b
y = 
a
b
y
2
= 
 
 
Fig. 7.5. 
 
Los puntos A, M, D y E tienen, entonces las siguientes coordenadas: 
 






a
b
c,A
2
 





−
a
b
c,M
2
 





−
a
b
c,D
2
 





−−
a
b
c,E
2
 
 
 
 ( )
2
22
2
a
b
a
b
ccAM 





−−+−= 
2
2
a
2b






−= 
 200 
2
4
a
4b
=  =AM
a
2b 2
 
 Análogamente: 
a
2b
DE
2
= 
La longitud del lado recto de una hipérbola es el doble del cociente entre 
el cuadrado del semieje imaginario y el semieje real. 
a
2b
rectum)(latusLR
2
= 
Ejemplo 
Hallar y representar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los pun-
tos F(0, 3) y F’(0, −3) y cuyo lado recto mide 6,4. 
Sobre un sistema de ejes se ubican Fy F’. Entonces C(0, 0) (Fig.7.6.) 
La distancia focal c es 3. El lado recto mide 6,4: 
6,4
a
2b2
= 
Como en toda hipérbola: 
222 bac =− , 
reemplazando en la expresión 
anterior, se tiene: 
 a3,2ca 22 =− 
 a3,2a9 2 =− 
093,2aa 2 =−+ 
2
3610,243,2
a
+−
= 
 
 
 
 Fig.7.6. 
 201 
2
3,2
a
8,6−
= 



−=
=

5a
1,8a
2
1
 
Desechando el valor negativo porque a es siempre positivo, se puede 
calcular b: 
 5,76b3,249b 22 =−= 2,45,76b == 
También aquí se desecha la raíz negativa.Entonces la ecuación de la hi-
pérbola será: 
 1
5,76
x
3,24
y 22
=− 
 
7.4. Excentricidad de la hipérbola 
Se llama excentricidad al cociente entre la distancia focal y el semieje real. 
a
c
e= 
En las hipérbolas, como c > a , resulta que la excentricidad es siempre 
un número positivo mayor que 1. 
 
7.5. Ecuación de la hipérbola cuyo centro noes el origen 
7.5.1. El eje focal es paralelo al eje x 
Sea la hipérbola de la Fig. 7.7. de centro en el punto C(h, k) y cuyo eje es 
paralelo al eje x. Si se traza un sistema auxiliar de ejes x’y’, paralelo al 
sistema original y tal que su origen coincide con el punto C, la ecuación 
de la curva en ese sistema es: 
 
 202 
1
b
y'
a
x'
2
2
2
2
=− (I) 
Pero: x’ = x − h e 
y’ = y − k 
Reemplazando en (I): 
( ) ( )
1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
−
−
 
Los focos de esta hipér-
bola serán los puntos 
F(h+c, k) y F’(h−c, k). 
 
 
Fig.7.7. 
El eje focal es una recta paralela al eje x y su ecuación es: y = k. 
Los vértices serán los puntos V(h+a, k) y V’(h−a, k). 
Las asíntotas pasan por el centro y tienen pendiente 
a
b
 . Su ecuación es: 
( )hx
a
b
ky −=− 
7.5.2. El eje focal es paralelo al eje y 
Si el eje focal es paralelo al eje y, razonando en forma similar a la ante-
rior, se obtiene la ecuación: 
( ) ( )
1
b
hx
a
ky
2
2
2
2
=
−
−
−
 
 203 
Una hipérbola de este tipo es la de la Fig. 7.8. 
 
 
Fig. 7.8. 
Los focos de esta hipérbola serán los puntos F(h, k+c) y F’(h, k−c). 
El eje focal o eje de simetría será paralelo al eje y. Su ecuación es: x = h 
Los vértices son los puntos: V(h, k+a) y V’(h, k−a) 
Las asíntotas pasan por el centro y tienen pendiente 
b
a
 . Su ecuación es: 
( )hx
b
a
ky −=− 
En las hipérbolas cuyo centro no está en el origen, como en las anterio-
res, el lado recto mide 
a
2b 2
 y la excentricidad es 
a
c
e= 
 204 
Ejemplos 
2) Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (4, −3) y foco en el 
punto (2, −3) y cuya excentricidad es 2. 
Dadas la posición del centro y 
de uno de los focos se deduce 
la distancia focal: c = 2. Como 
la excentricidad es 
a
c
e= se 
puede calcular a: 
a
c
2= , de 
donde resulta que a= 1. 
Además, 222 bac =− , de 
donde 2b14 =− . 
Entonces 3b= 
La ecuación de la hipérbola 
(Fig. 7.9.) es 
( ) ( )
1
3
3y
1
4x
22
=
+
−
−
 
El lado recto mide 6 
 
 
 
 Fig.7.9. 
Ecuación de las asíntotas: 
( )4x
1
3
3y −=+ 
3) Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (−3,−1), lado recto 
igual a 2 y un vértice en (1, −1). 
 205 
Si el centro es (−3,−1) y el vértice (1, −1), el eje focal es paralelo al eje x 
y el semieje real a mide 4. (Fig. 7.10) 
Si el lado recto vale 2: 4
2
42
b2
a
2b 2
2
=

== 
( ) ( )
1
4
1y
16
3x
22
=
+
−
+
 
 
Fig. 7.10. 
 
7.6.- Ecuación general de la hipérbola 
 realizando un análisis similar al realizado con la elipse 
se puede concluir que si los coeficientes A y C difieren en el signo la 
ecuación representa una hipérbola de ejes 
paralelos a los ejes coordenados o bien un par de rectas que se cortan. 
 206 
7.7.- Hipérbola equilátera 
Cuando los ejes transverso y conjugado tienen igual longitud, o sea 
la hipérbola se dice equilátera 
Por lo tanto las ecuaciones son: 
 
En este caso las ecuaciones de las asíntotas son: 
Para el caso de las hipérbolas equiláteras la excentricidad es constante e 
igual a ya que: 
 
Como 
Por lo tanto 
 
Otra forma de la ecuación de la hipérbola equilátera es donde es 
una constante distinta de cero. 
Ejemplo 
Graficar la hipérbola 
 
 
 207 
 
 
7.8.- Hipérbolas conjugadas 
Si dos hipérbolas son tal que el eje transverso de cada una es idéntico al 
eje conjugado de la otra, las hipérbolas se dicen conjugadas. 
 
Las hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas 
Ejemplo 
Las ecuaciones representan dos hipérbolas conjuga-
das. 
 208 
 
 
7.9. Rectas tangente y normal a una hipérbola 
Para hallar las rectas tangente y normal a una hipérbola se procede en la 
misma forma que se indicó en el capítulo de circunferencia. 
Ejemplos 
1) Hallar la ecuación de la recta, trazada desde el punto A(−1, 5) y que es 
tangente a la hipérbola: 
( ) ( )
1
4
1y
16
3x
22
=
+
−
+
 
 209 
Se plantea el sistema 
( ) ( )
( )



+=−
=
+
−
+
1xm5y
1
4
1y
16
3x
22
 
 o también 



+=−
=−−+−
mmx5y
0118y6x4yx 22
 
En la segunda ecuación se despeja y: 
5mmxy ++= 
Se reemplaza en la primera ecuación: 
 ( ) ( ) 0115mmx86x5mmx4x 22 =−++−+++− 
 −+−−−−−− 6x40m40mxx8m1004mx4mx 22222 
 011408m8mx =−−−− 
 
( ) ( ) ( ) 015148m4mx648m8mx4m1 2222 =−−−++−−+− 
Igualando a 0 el discriminante de esta ecuación: 
 ( ) ( )( ) 01518m4m4m14648m8m 2222 =−−−−−+−− 4 
++−−+++ 22324 16m576m96m768m362304m64m 
 02416m768m64m604192m 234 =−−−++ 
 0640384m192m 2 =+−− 
 0106m3m 2 =−+ 
 
 210 
 






−−
=
+−
=

−
=
3
393
m
3
393
m
6
3926
m
2
1
 
Hay dos tangentes a la hipérbola que pasan por el punto A. Sus ecuacio-
nes son: (Fig. 7.11.): 
 
 
1)(x
3
393
5y
1)(x
3
393
5y
+
−−
=−
+
+−
=−
 
 
 
 
Fig. 7.11. 
 
2) Hallar y representar la ecuación de las rectas tangente y normal a la 
hipérbola 164yx 22 =− , en el punto ( )1−,52 de la hipérbola. 
Ecuación de la tangente (Fig. 7.12.): 
Se plantea el sistema ( )


−=+
=−−
52xm1y
0164yx 22
 
En la segunda ecuación se despeja la variable y: 1m52mxy −−= . 
Reemplazando en la primera ecuación: 
 211 
 ( ) 0161m52mx4x 22 =−−−− 
 016m5168mxxm516480mx4mx 22222 =−−++−−− 
 ( ) ( ) ( ) 020m51680mx8mm516x4m1 2222 =−−−+++− 
Igualando a 0 el discriminante de esta ecuación (condición de tangencia): 
 ( ) ( )( ) 020m51680m4m148mm516 2222 =−−−−−+ 
 −+++++ 80m564320m64mm52561280m 2234 
 0320mm52561280m 234 =−−− 
080m56464m 2 =++ 
 05m544m2 =++ 
 ( ) 052m 2 =+ 
 
2
5
m −= 
La ecuación de t es, entonces: 
( )52x
2
5
1y −−=+ 
n ⊥ t  mn =
5
52
 
 
 
 
 
 
 
Fig.7.12. 
 
 212 
 ( )52x
5
52
1y −=+ 
0yx52 =−− 255 
Esta expresión representa la ecuación de la recta normal a la hipérbola, 
en el punto ( )1−,52 
 
7.10. Propiedad Focal de la hipérbola 
La tangente a una hipérbola en un punto T de la misma es bisectriz del 
ángulo que forman los radios vectores de la curva 
Demostración 
La demostración de esta propiedad se hará para el caso de una hipérbola 
con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje x, es decir, una hipérbola 
de ecuación: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− , (Fig.7.13.). Sin embargo la propiedad es válida 
para cualquier hipérbola. 
Si T(xT, yT) es un punto de la hipérbola, se verifica: 
222
T
22
T
2
2
2
T
2
2
T bayaxbtambiéno1
b
y
a
x
=−=− (I) 
La ecuación de la tangente a la curva en el punto T es: 
0bayyaxxb 22T
2
T
2 =−− y su pendiente: 
T
2
T
2
ya
xb
tm = 
 213 
 
Fig.7.13. 
 
Además, como los focos son F(c, 0) y F’(−c, 0), los radios vectores 
TF'yFT pertenecen a rectas cuyas pendientes son, respectivamente: 
cx
0y
m
T
T
−
−
=FT
cx
y
m
T
T
−
= FT 
cx
y
m
cx
0y
m
T
T
T
T
+
=
+
−
=
T'FT'F
 
Con estos datos se verificará que el ángulo α que forma F’T con la tan-
gente es igual al ángulo α’ que forma ésta con FT. 
 214 
tg α 
+
−
=
T'F
T' F
mtm1
mtm
tg α = 








+
+
+
−
cx
y
ya
xb
1
cx
y
ya
xb
T
T
T
2
T
2
T
T
T
2
T
2
 
tg α = 
( )
( )
( )
( )cxya
yxbcxya
cxya
yacxxb
TT
2
TT
2
TT
2
TT
2
2
T
2
TT
2
+
++
+
−+
 
tg α = 
TT
2
T
2
TT
2
2
T
2
T
22
T
2
yxbcyayxa
yacxbxb
++
−+
 
tg α = 
cya)b(ayx
cxbyaxb
T
222
TT
T
22
T
22
T
2
++
+−
 
Pero por (I), 222T
22
T
2bayaxb =− y, además, a2+ b2 = c2. Entonces re-
emplazando se obtiene: 
tg α = 
T
2
TT
2
T
222
cyayxc
cxbba
+
+
 
( )
( ) T
2
T
2
T
T
22
yc
b
αtg
cxacy
cxab
αtg =
+
+
= (II) 
Por otra parte: 
 215 
tg α’ = 
+
−
tmm1
tmm
FT
FT
tg α’ = 
T
T
T
T
T
2
T
2
T
T
y2a
x2b
cx
y
1
ya
xb
cx
y

−
+
−
−
 
 tg α’ = 
( )
( )
( )
( )cxya
yxbcxya
cxya
cxxbya
TT
2
TT
2
TT
2
TT
2
TT
22
T
2
−
+−
−
−−
 
 
TT
2
T
2
TT
2
T
22
T
22
T
2
yxbcyayxa
cxbxbya
α'tg
+−
+−
= 
 
T
22
TT
T
222
cyacyx
cxbba
α'tg
−
+−
= 
( )
( )2TT
T
22
acxcy
cxab
α'tg
−
+−
= 
T
2
cy
b
α'tg = (III) 
De (II) y (III), resulta α = α’ quedando la propiedad demostrada.