Sucesiones o progresiones aritméticas

Vista previa del material en texto

Sucesiones o progresiones aritméticas
Contenido de esta página:
1. Concepto de sucesión (recordatorio)
2. Sucesión aritmética
3. Sucesión creciente y decreciente
4. Término general
5. Suma de los n� primeros términos
6. 15 problemas resueltos
Esta página está dedicada exclusivamente a las sucesiones aritméticas. Recordamos el concepto de sucesión para poder definir el de sucesión aritmética y proporcionamos sus fórmulas. Al final de la página resolvemos 15 problemas de los conceptos vistos.
Temas relacionados:
· Test básico sobre progresiones
· Problemas de sucesiones aritméticas y geométricas
· Introducción a las progresiones (problemasyecuaciones.com)
Páginas relacionadas:
· Progresiones geométricas
· Problemas (aritméticas y geométricas)
· Temas y calculadoras de sucesiones
· Test (nivel básico) sobre sucesiones
· Más problemas de sucesiones
· Calculadora online de Pitágoras
· Problemas y Ecuaciones
· Logaritmos
· Calculadora de porcentajes
· Ecuaciones Resueltas
· Foro de ayuda
1. Concepto de sucesión
Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.
Ejemplo
Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...
El término que ocupa la posición n� se denota por an�� y se denomina término general o término n�-ésimo.
Ejemplo
En la sucesión de las pares, el primer término es a1=2�1=2 y el sexto es a6=12�6=12. El término general es
an=2⋅n��=2⋅�
En esta página trabajaremos con sucesiones con infinitos términos (no hay un último término).
2. Sucesión aritmética
Una sucesión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por d�.
Ver ejemplo
Fórmula para calcular la diferencia:
Es decir, la diferencia se obtiene restando términos consecutivos.
Si la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante en toda la sucesión, entonces la sucesión no es aritmética.
3. Sucesión creciente y decreciente
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior:
an+1>an��+1>��
Esto ocurre cuando la diferencia es positiva: d>0�>0.
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior:
an+1<an��+1<��
Esto ocurre cuando la diferencia es negativa: d<0�<0.
Nota: si la diferencia es d=0�=0, la sucesión es constante (todos los términos son iguales).
Ver ejemplo
4. Término general
Se puede calcular cualquier término de la sucesión mediante una fórmula (fórmula o término general). Esta fórmula se obtiene a partir del primer término y de la diferencia:
Ejemplo
Calculamos el término 10-ésimo (es decir, el décimo término) de la sucesión de los pares.
Como el primer término es a1=2�1=2 y la diferencia es d=2�=2, el término que ocupa la décima posición es
Podemos calcular igualmente otros términos de esta sucesión a partir de su término general:
an=2+2⋅(n−1)��=2+2⋅(�−1)
O bien, operando un poco,
an=2⋅n��=2⋅�
5. Suma de n� términos
Primera fórmula:
Conociendo el primer término y el término n�-ésimo de la sucesión, podemos calcular la suma de los n� primeros términos con la fórmula
Ver ejemplo
Segunda fórmula:
También podemos calcular la suma de los n� primeros términos a partir del primero y de la diferencia con la fórmula
Nota: la fórmula se obtiene al sustituir la expresión del término general an�� en la primera fórmula de la suma Sn��.
Ver ejemplo
6. Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones:
a. 11, 13, 15, 17, 19,...
b. 11, 16, 21, 26, 31,...
c. 10, 6, 2, -2, -6, -10,...
Ver solución
Problema 2
¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética?
a. 16, 26, 36, 46,...
b. 16, 6, 13, 3,...
c. -26, -36, - 46, -56,...
Ver solución
Problema 3
¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética?
5,a2,21,29,...5,�2,21,29,...
Ver solución
Problema 4
Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas:
a. 45, 55, 65,...
b. 11, 22, 33,...
c. 87, 76, 65,...
¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones?
Ver solución
Problema 5
Si dos sucesiones tienen la misma diferencia, ¿son la misma sucesión?
Ver solución
Problema 6
Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes:
a. 20, 15, 10, 5,...
b. -3, -6, -9, -12,...
c. 4, 14, 24, 34,...
Ver solución
Problema 7
Calcular el término a10�10 de cada sucesión:
a. 8, 14, 20, 26,...
b. 4, 10, 16, 22,...
c. 8, 5, 2, -1,...
Ver solución
Problema 8
Calcular el término a5�5 de cada sucesión a partir de los datos proporcionados:
a. a1=3, d=6�1=3, �=6
b. a1=6, d=−3�1=6, �=−3
c. an=3+3(n−1)��=3+3(�−1)
Determinar si las sucesiones son crecientes o decrecientes.
Ver solución
Problema 9
Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
a. 6, 13, 20, 27,...
b. 6, 2, -2, -6,...
c. 0, -1/2, -1, -3/2,...
Ver solución
Problema 10 (difícil)
Calcular el término a1�1 de las sucesiones aritméticas a partir de los datos dados:
a. a4=11, a5=14�4=11, �5=14
b. a4=23, d=4�4=23, �=4
c. a4=28, a6=34�4=28, �6=34
Ver solución
Problema 11
Calcular la suma de los 10 primeros términos de las siguientes sucesiones:
a. 3, 10, 17,...
b. 12, 15, 18,...
c. 15, 12, 9,...
Ver solución
Problema 12
Calcular la suma de los 10 primeros términos las sucesiones a partir de los datos dados:
a. a1=5, a10=14�1=5, �10=14
b. a1=5, d=4�1=5, �=4
c. a2=18, d=5�2=18, �=5
Ver solución
Problema 13
Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea 3 y que sus tres primeros términos sumen 12.
Ver solución
Problema 14 (difícil)
Calcular cuántos números impares hay entre 20 y 50 y calcular su suma.
Ver solución
Problema 15 (difícil)
El primer término de una sucesión aritmética es a1=12�1=12 y la suma de los 5 primeros términos es S5=90�5=90 . Calcular el término a5�5 y el término general an��.
Ver solución