Álgebra

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ÍndiceÍndice
Operaciones en Z....................................................................................................................5
Operaciones en Q..................................................................................................................12
Leyes de exponentes I...........................................................................................................21
Leyes de exponentes II..........................................................................................................29
Leyes de exponentes III.........................................................................................................37
Ecuación exponencial............................................................................................................45
Expresiones algebraica..........................................................................................................54
Grados de polinomios............................................................................................................63
Polinomios especiales...........................................................................................................71
Valor númerico en polinomios................................................................................................79
Reducción de términos semejantes.......................................................................................86
Operaciones con polinomios..................................................................................................92
Productos notables I............................................................................................................102
Productos notables II...........................................................................................................110
Productos notables III..........................................................................................................119
División algebraica I............................................................................................................126
División algebraica II...........................................................................................................136
División algebraica III (Teorema del resto)..........................................................................145
Factorización I.....................................................................................................................154
Factorización II....................................................................................................................162
Ecuaciones..........................................................................................................................169
Desigualdades.....................................................................................................................179
Inecuaciones de primer grado.............................................................................................187
Colegio Particular 545
Juego del 100 
(4 jugadores, 2 equipos de 2 jugadores)
Cada equipo alternativamente lanza un dado 4 veces y anota los resultados.
Cada equipo tacha todos los números del tablero que haya podido obtener enlazando los 
números obtenidos mediante 3 operaciones (se puede utilizar +, –, ⋅, ÷).
Por ejemplo, si han salido 3, 3, 2 y 5 se pueden tachar los siguientes números:
(3 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5) = 19
(3 +3 + 2) ⋅ 5 = 40
(3 ⋅ 5) – (3 ⋅ 2) = 9
(3 ⋅ 2 ⋅ 5) ÷ 3 = 10
(5 – 2) 3 ⋅ 3 = 27
Gana el equipo que ha tachado más números.
¡Inténtalo en grupo!
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce al conjunto de los números enteros ().
 ¾ Realiza operaciones con los números enteros utilizando símbolos de 
agrupación.
OPERACIONES EN  1
45
Juego del 100 
(4 jugadores, 2 equipos de 2 jugadores)
Cada equipo alternativamente lanza un dado 4 veces y anota los resultados.
Cada equipo tacha todos los números del tablero que haya podido obtener enlazando los 
números obtenidos mediante 3 operaciones (se puede utilizar +, –, ⋅, ÷).
Por ejemplo, si han salido 3, 3, 2 y 5 se pueden tachar los siguientes números:
(3 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5) = 19
(3 +3 + 2) ⋅ 5 = 40
(3 ⋅ 5) – (3 ⋅ 2) = 9
(3 ⋅ 2 ⋅ 5) ÷ 3 = 10
(5 – 2) 3 ⋅ 3 = 27
Gana el equipo que ha tachado más números.
¡Inténtalo en grupo!
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce al conjunto de los números enteros ().
 ¾ Realiza operaciones con los números enteros utilizando símbolos de 
agrupación.
OPERACIONES EN 
45
Juego del 100 
(4 jugadores, 2 equipos de 2 jugadores)
Cada equipo alternativamente lanza un dado 4 veces y anota los resultados.
Cada equipo tacha todos los números del tablero que haya podido obtener enlazando los 
números obtenidos mediante 3 operaciones (se puede utilizar +, –, ⋅, ÷).
Por ejemplo, si han salido 3, 3, 2 y 5 se pueden tachar los siguientes números:
(3 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5) = 19
(3 +3 + 2) ⋅ 5 = 40
(3 ⋅ 5) – (3 ⋅ 2) = 9
(3 ⋅ 2 ⋅ 5) ÷ 3 = 10
(5 – 2) 3 ⋅ 3 = 27
Gana el equipo que ha tachado más números.
¡Inténtalo en grupo!
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce al conjunto de los números enteros ().
 ¾ Realiza operaciones con los números enteros utilizando símbolos de 
agrupación.
OPERACIONES EN 
1er Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
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ÁtiCa
I. Adición de números enteros
1. Caso: Adición de números enteros del mismo 
signo
 Para sumar número enteros del mismo signo, se su-
man los valores absolutos y a dicha suma se le ante-
pone el signo común.
 Ejemplos
a. (+100) + (+50) = +150
b. (+20) + (+5) = +25
c. (–8) + (–2) = –10
d. (–10) + (–5) = –15
2. Caso: Adición de números enteros de signos 
diferentes
 Para sumar dos números enteros de signos diferen-
tes, se halla la diferencia y se le antepone el signo 
del sumando que tiene mayor valor absoluto.
 Ejemplos
a. (+200) + (–100) = +100
b. (+50) + (–30) = +20
c. (–500) + (+400) = –100
d. (–300) + (–50) = –350
Axiomas de la adición en 
En el conjunto , se cumple las siguientes propiedades:
1. Clausura
 La suma de dos números enteros es otro entero.
	 ∀	a, b ∈  → (a + b) ∈ 
 Ejemplo
 (+2) ∈  y (–5) ∈  → (+2) + (–5) = –3 ∈ 
2. Conmutativa
 El orden de los sumandos no altera la suma.
	 ∀	a, b ∈  → a + b = b + a
 Ejemplo
 (–3) + (+7) = (+7) + (–3) = +4
3. Asociativa
 La forma como se agrupan los sumandos no altera la 
suma.
 Ejemplo
 
(+8 + –3) + –2 = +8 + (–3 + –2)
+5 + –2 = +8 + –5
+3 = +3
4. Elemento neutro
 En  el elemento neutro es el cero (0), que suma-
do con cualquier número entero, resulta el mismo 
número.
∀	a ∈	 , se cumple que a + 0 = a
 Ejemplos
(+8) + 0 = +8
(+10) + 0 = +10
5. Elemento inverso aditivo
 Todo número entero tiene un opuesto que, sumado 
con dicho número, resulta cero.
 Ejemplos 
(+8) + (–8) = 0
(–200) + (+200) = 0
II. Sustracción de números enteros
 Para calcular la diferencia entre dos números ente-
ros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. 
Es decir, para cualquier par de enteros a y b se cum-
ple que
a – b = a + (–b)
 Ejemplos
(+5) – (+3) = (+5) + (–3) = +2
(+10) – (–3) = (+10) + (+3) = +13
III. Multiplicación de enteros
	 En	forma	general	se	define	del	siguiente	modo:
( ) ( ) ( ) ( )
veces
... ;
a
a b b b b a b a +− = − + − + + − = − ⋅ ∈

( ) ( ) ( ) ( )[ ]
veces
– ... ;
a
a b b b b a b a +− = − − + − + + − = ⋅ ∈

 Regla de signos
1. (+) · (+) = +
2. (+) · (–) = –
3. (–) · (+) = –
4. (–) · (–) = + 
OPERACIONES EN 
Helicoteoría
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7Colegio Particular
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1.er grado Compendio de CienCias i
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Át
iC
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Axiomas de la multiplicación
Tenemos las siguientes propiedades:
1. Clausura.- El producto de dos números enteros es 
también otro número entero.
 ∀ a, b ∈ 
 Ejemplo
(–4)(5) = –20
2. Conmutativa.- El orden delos factores no altera el 
producto.
 ∀ a, b ∈  → a ⋅ b = b ⋅ a
 Ejemplo
 
(–2)(–3) = (–3)(–2)
+6 +6
3. Asociativa.- En la multiplicación de tres o más fac-
tores, la forma como se agrupan los mismos no alte-
ra el producto.
∀	a, b, c ∈ , (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ c) ⋅ b
 Ejemplo
[(–2)(4)](–3) = (–2)[(4)(–3)] = [(–2)(–3)](4)
(–8)(–3) = (–2)(–12) = (+6)(4)
+24 +24 +24
4. Elemento neutro.- El elemento neutro de la multi-
plicación es el 1.
∀	a ∈ , a ⋅ 1 = a
 Ejemplos
17 · 1 = 17
5. Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo núme-
ro entero multiplicado por cero, da como producto 
cero.
∀	a ∈ , a ⋅ 0 = 0
 Ejemplos
a. 6 · 0 = 0 
b. (–8) · 0 = 0
6. Distributiva.- Sean a, b y c números enteros, enton-
ces se cumple que
a(b + c) = a · b + a · c
a(b – c) = a · b – a · c
 Ejemplo
 4(–3 + –5) = 4(–3) + 4(–5)
 = –12 + –20
 = –32
IV. División de números enteros
 La división es la operación inversa de la multiplica-
ción que consiste en lo siguiente: “Dado dos números 
enteros llamados dividendo y divisor (este diferente de 
cero), hallar un tercer número llamado cociente, que 
multiplicado por el divisor, dé el dividendo”.
 D ÷ d = q → d ⋅ q = D, d ≠ 0
 Donde
 D: dividendo; d: divisor; q: cociente
 Regla de signos
1. (+) ÷ (+)= +
2. (–) ÷ (+)= –
3. (+) ÷ (–) = –
4. (–) ÷ (–) = +
 ¾ La división de un número por cero, no está de-
finida,	por	tanto
Número
0
 = No existe
 
Clases de división
1. División exacta 
 La división es exacta cuando el resto es cero.
 D ÷ d = q ↔ D = d ⋅ q ↔	D ÷ q = d
 Propiedad
 Si el dividendo y el divisor de una división exacta 
se multiplican o se dividen por un mismo número 
diferente de cero, el cociente no varía.
 Ejemplo
12
4
 = 3
 ¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
	
12(5)
4(5)
60
20
= = 3 → El cociente no 
varía.
 ¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
	
12 ÷ 2
4 ÷ 2
6
2
= = 3 → El cociente no 
varía.
 
2. División inexacta
 En toda división inexacta hay un cociente, el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cocien-
te, más el residuo.
 
D = d ⋅ q + r
Cociente
Residuo
Divisor
Dividendo
1er Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
1.er Grado
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ÁtiCa
1. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
	 Al	simplificar	la	expresión
 S = 1 – (2 – (3 – (4 – 5))) – (6 – (7 – (8 – (9 – 10))))
 ¿qué valor se obtiene?
 Resolución
 S = 1 – (2 – (3 – (–1))) – (6 – (7 – (8 – (–1))))
 S = 1 – (2 – 4) – (6 – (7 – 9))
 S = 1 – (–2) – (6 – (–2))
 S = 1 + 2 – (8)
 S = 3 – 8
 S= –5
 Rpta.: –5
2. Nivel I (primera fase ONEM 2005)
 Efectúe la siguiente operación:
2 3 25 3 72( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1  + − − − ÷ −  
 Resolución
2 3 25 3 72( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1  + − − − ÷ −  
= 2(7 + 0)2 – [2(64 – 5 · 12)][9 – 2 · 11 ÷ 11 – 1]
= 2(49) – [2(64 – 60)][9 – 2 · 1 – 1]
= 98 – 8 · 6
= 98 – 48
= 50
 Rpta.: 50
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
 Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números 
que cumplen
a = 100, b = 2/a, c = 3/b, d = 4/c, e = 5/d, f = 6/e, 
g = 7/f, h = 8/g
 Calcule el producto abcdefgh.
 Resolución
De la segunda relación: ab = 2
De la cuarta relación: cd = 4 
De la sexta relación: ef = 6
De la última relación: gh = 8
Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh) = 2 · 4 · 6 · 8
 = 384
 Rpta.: 384
4. Efectúe la siguiente operación:
4 2 03 364 ( 2) 100 (( 5) ) 125− − − + − − + −
 Resolución
= (–4) – (+16 ) + 10 –(+25)0 + (–5)
= –4 – 16 + 10 – 1 – 5
= – 20 + 10 – 6
= – 26 + 10
= – 16
 Rpta.: –16
5. Efectúe la siguiente operación:
 
3 3 03 3( 4) 16 ( 3) 27 ( 5) 1− ÷ + − + − − − + −
 Resolución
= – 64 ÷ 4 +(–27)+(–3)–1+(–1)
 
= –16 – 27– 3 – 1 – 1
 
= – 48
 Rpta.: –48
NÚMEROS ENTEROS
Enteros positivos

+= {1; 2; 3; 4; 5;...}
El cero
{0}
Enteros negativos

–= {–1; –2; –3; –4;...}
Helicosíntesis
Problemas resueltos
www.freeprintablepdf.eu
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1.er Grado
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ÁtiCa
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
Helicotaller
1.er Grado
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Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
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Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
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Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
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Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
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Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
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1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
Helicotaller
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
50
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atem
ÁtiCa
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
Helicotaller
1.er Grado
Á
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G
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Compendio de CienCias i
50
m
atem
ÁtiCa
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )
c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
Helicotaller
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
50
m
atem
ÁtiCa
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Todo número entero positivo es mayor que cero.
 ( )
b. Si p ∈	+ →	p>0. ( )c. Si p ∈	– ∧		q ∈	+ →	p < q. ( )
2. Denotemos por “op(x)” al opuesto del número x. 
Complete según corresponda:
a. op(–274) : ______________________________
b. op(3) : ______________________________
c. op(–275) : ______________________________
d. op(+7) : ______________________________
e. op[op(–5)]: ________________________________
Nivel II
3. El profesor Juan, en el colegio Saco Oliveros dice:
 Coloque el signo > o < según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Calcule
 ¾ Min(–9; –5) = ____________
 ¾ Max(0; –2) = ____________
 ¾ Min(–3; 15) = ____________
5. Calcule las siguientes sumas:
a. (+7) + (+8) : ______________________
b. (–4) + (–9) : _______________________
c. (+12) + (–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcule las siguientes sustracciones:
a. (+127) – (+372) : ______________________
b. (–548) – (+148) : _______________________
c. (+327) – (–23) : ________________________
7. Efectúe (+10) + (+3) + (+3) + (–5) + (+8).
 Resolución
8. Efectúe
[(–8 + 6) – (–3 – 2)] + [4 –(2 – 1)]
 Resolución
HelicotallerDesarrollando en clase
1er Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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1.er grado Compendio de CienCias i
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Helicodesafío
1. Efectúe
 [(–3 + 16) + (–12 + 5)] ÷ [– (–6 + 5 – 5)]
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 5
2. Efectúe
op(–5 + 4 – 6) – Min(–3; 5; –7) + Max(–10; –7; –9)
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
Helicorreto
1. Complete en los recuadros.
 – 4 + 7 = 
 – 3 – 2 = 
 – 17+20 = 
2. Efectúe (–1+5 – 6) – 7.
A) 5 B) – 9 C) 97
D) 9 E) – 5
3. Efectúe (– 4+2)+(– 8+10).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
4. Halle el valor de
 (– 4 – 2) – (–16+5)
A) –5 B) 5 C) 4
D) – 4 E) 1
5. Efectúe
 M=op(–13) – mín(5; –7)+máx(– 5; 20)
A) 30 B) 20 C) 10
D) 5 E) 40
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1.er grado Compendio de CienCias i
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Helicodesafío
1. Efectúe
 [(–3 + 16) + (–12 + 5)] ÷ [– (–6 + 5 – 5)]
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 5
2. Efectúe
op(–5 + 4 – 6) – Min(–3; 5; –7) + Max(–10; –7; –9)
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
Helicorreto
1. Complete en los recuadros.
 – 4 + 7 = 
 – 3 – 2 = 
 – 17+20 = 
2. Efectúe (–1+5 – 6) – 7.
A) 5 B) – 9 C) 97
D) 9 E) – 5
3. Efectúe (– 4+2)+(– 8+10).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
4. Halle el valor de
 (– 4 – 2) – (–16+5)
A) –5 B) 5 C) 4
D) – 4 E) 1
5. Efectúe
 M=op(–13) – mín(5; –7)+máx(– 5; 20)
A) 30 B) 20 C) 10
D) 5 E) 40
Sigo practicando
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Álgebra
11Colegio Particular
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
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ÁtiCa
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. El cero, es el neutro aditivo ( )
b. Si b ∈	+ ∧		c ∈	+ →	(b + c) ∈	+ ( )
c. op(–3 + 5) = op(–3) + op(5) ( )
2. Coloque los signos < o > según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
3. Calcule
 Min(–2; –4) = _______
 Max(–7; 3) = _______
 Min(0; –2) = _______
 Max(–5; 1) = _______
4. Efectúe las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Complete
op(–10): _________
op(50): _________
op(–333): _________
op[op(–4)]: _________
6. Efectúe
 M = +(2) – (–3) + 7 – (–1)
A) 12 B) 13 C) 11 
D) 10 E) 5
7. Efectúe
R = Min(–1; 5) – [op(2)] – [Max(–7; –5)]
A) –6 B) –2 C) 6 
D) 3 E) 4
8. Complete las siguientes sumas (restas):
a. (–20) + (–5) : ______________
b. 200 – (–20) : ______________
c. (–5) – (–3) : ______________
c. op(3) + op(–2): ______________
Nivel III
9. En el aula del 1.er B del colegio Saco Oliveros, Pe-
pito le dice a Juanito quiero reducir:
 A = 20 – (4 – 14) – (–12 + 7)
 El resultado señala la edad de mi padre que es
A) 35. B) –20. C) 11.
D) 25. E) 12.
10. Reduzca
 P = [2 + 5 + (–8)] + [7 – (9 + 5) + 8]
A) –1 B) 0 C) 1 
D) –2 E) 7
HelicotareaExigimos más
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre12 57
Origen de las fracciones
La palabra fracción viene del latín fractio, utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando 
Juan de Luna tradujo a ese idioma la aritmética árabe de Al-Juarizmi.
El origen de las fracciones se remonta a la Antigüedad. Es po-
sible encontrar muestras de su uso en diversas culturas de ese 
periodo histórico. Los babilonios las utilizaron teniendo como 
único denominador al número 60. Los egipcios, por su parte, 
las emplearon con solo el 1 como numerador. Por ejemplo, si 
querían representar 5/8 escribían 1/2 y 1/8, considerando que 
1/2 equivale a 4/8.
En tanto, los griegos marcaban con un acento el numerador, y 
con dos el denominador.
¿Por qué fueron creadas?
En la historia, es posible distinguir dos motivos principales por los que fueron inventadas las 
fracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Estas son aquellas 
en que el cociente no es factor del dividendo, y tienen residuo. Por ejemplo representa 5 ÷ 3. 
Como no hay ningún número cardinal que multiplicado por 3 dé como producto 5, lo más 
exacto es escribir 5/3. Lo mismo sucede con 4/7.
Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones resultó de la aplicación de unidades 
de medida de longitud.
En geometría, por ejemplo, vimos que los trazos se pueden medir. Para realizar las medi-
ciones de trazos, se toma otro trazo como unidad de medida, y se ve las veces que contiene 
en el otro. Como no siempre cabe de manera exacta, se divide el trazo que sirve de unidad 
en partes iguales y más pequeñas, para que el resultado sea exacto. Este resultado de la me-
dición se expresa en fracción.
A	 continuación	 queremos	 que	 estudies	 esto	 gráficamente,	
con el ejemplo de 5/3.
5/3 representa que el trazo que se utilizó como unidad de 
medida, debió dividirse en 3 pedazos iguales para que el 
trazo a medir lo contenga 5 veces exactas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identifica	al	conjunto	de	los	números	racionales	y	sus	ele-
mentos.
 ¾ Realiza operaciones básicas entre números racionales.
OPERACIONES EN 
2
5
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57
Origen de las fracciones
La palabra fracción viene del latín fractio, utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando 
Juan de Luna tradujo a ese idioma la aritmética árabe de Al-Juarizmi.
El origen de las fracciones se remonta a la Antigüedad. Es po-
sible encontrar muestras de su uso en diversas culturas de ese 
periodo histórico. Los babilonios las utilizaron teniendo como 
único denominador al número 60. Los egipcios, por su parte, 
las emplearon con solo el 1 como numerador. Por ejemplo, si 
querían representar 5/8 escribían 1/2 y 1/8, considerando que 
1/2 equivale a 4/8.
En tanto, los griegos marcaban con un acento el numerador, y 
con dos el denominador.
¿Por qué fueron creadas?
En la historia, es posible distinguir dos motivos principales por los que fueron inventadas las 
fracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Estas son aquellas 
en que el cociente no es factor del dividendo, y tienen residuo. Por ejemplo representa 5 ÷ 3. 
Como no hay ningún número cardinal que multiplicado por 3 dé como producto 5, lo más 
exacto es escribir 5/3. Lo mismo sucede con 4/7.
Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones resultó de la aplicación de unidades 
de medida de longitud.
En geometría, por ejemplo, vimos que los trazos se pueden medir. Para realizar las medi-
ciones de trazos, se toma otro trazo como unidad de medida, y se ve las veces que contiene 
en el otro. Como no siempre cabe de manera exacta, se divide el trazo que sirve de unidad 
en partes iguales y más pequeñas, para que el resultado sea exacto. Este resultado de la me-
dición se expresa en fracción.
A	 continuación	 queremos	 que	 estudies	 esto	 gráficamente,	
con el ejemplo de 5/3.
5/3 representa que el trazo que se utilizó como unidad de 
medida, debió dividirse en 3 pedazos iguales para que el 
trazo a medir lo contenga 5 veces exactas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identificaal	conjunto	de	los	números	racionales	y	sus	ele-
mentos.
 ¾ Realiza operaciones básicas entre números racionales.
OPERACIONES EN 
2
5
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57
Origen de las fracciones
La palabra fracción viene del latín fractio, utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando 
Juan de Luna tradujo a ese idioma la aritmética árabe de Al-Juarizmi.
El origen de las fracciones se remonta a la Antigüedad. Es po-
sible encontrar muestras de su uso en diversas culturas de ese 
periodo histórico. Los babilonios las utilizaron teniendo como 
único denominador al número 60. Los egipcios, por su parte, 
las emplearon con solo el 1 como numerador. Por ejemplo, si 
querían representar 5/8 escribían 1/2 y 1/8, considerando que 
1/2 equivale a 4/8.
En tanto, los griegos marcaban con un acento el numerador, y 
con dos el denominador.
¿Por qué fueron creadas?
En la historia, es posible distinguir dos motivos principales por los que fueron inventadas las 
fracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones inexactas. Estas son aquellas 
en que el cociente no es factor del dividendo, y tienen residuo. Por ejemplo representa 5 ÷ 3. 
Como no hay ningún número cardinal que multiplicado por 3 dé como producto 5, lo más 
exacto es escribir 5/3. Lo mismo sucede con 4/7.
Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones resultó de la aplicación de unidades 
de medida de longitud.
En geometría, por ejemplo, vimos que los trazos se pueden medir. Para realizar las medi-
ciones de trazos, se toma otro trazo como unidad de medida, y se ve las veces que contiene 
en el otro. Como no siempre cabe de manera exacta, se divide el trazo que sirve de unidad 
en partes iguales y más pequeñas, para que el resultado sea exacto. Este resultado de la me-
dición se expresa en fracción.
A	 continuación	 queremos	 que	 estudies	 esto	 gráficamente,	
con el ejemplo de 5/3.
5/3 representa que el trazo que se utilizó como unidad de 
medida, debió dividirse en 3 pedazos iguales para que el 
trazo a medir lo contenga 5 veces exactas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identifica	al	conjunto	de	los	números	racionales	y	sus	ele-
mentos.
 ¾ Realiza operaciones básicas entre números racionales.
OPERACIONES EN 
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Álgebra
13Colegio Particular
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
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ÁtiCa
Observamos el caso de la división, por ejemplo, para los 
números 8 y 4 ∈	.
8
4
 = 2 ∈ , pero 
4
8
 = 0,5 ∉ 
Ya que el cociente de dos enteros no es necesariamente 
entero, se tuvo que extender el conjunto de los enteros al 
conjunto de los racionales.
Luego	se	define	 como
, 0
a
a b b
b
 
= ∧ ∈ ≠ 
 
 
donde a : numerador
 b : denominador
Números fraccionarios
Son aquellos números racionales que no son enteros.
Ejemplos
No sonNúmeros
númerosfraccionarios
fraccionarios
1 3 2 14 8
; ; ; 
3 4 3 2 4
−
−

Interpretación gráfica de las fracciones
¿Qué	significa	la	fracción	
3
8
?
Gráficamente
3
8
 
Se observa
1.º El denominador indica en cuántas partes se divide el 
todo.
2.º El numerador representa las partes del todo que se 
toman o que se consideran.
Lectura y escritura de fracciones
Recordando
1
2
 se lee: ______________________________________
2
3
 se lee: ______________________________________
6
7
 se lee: ______________________________________
1
10
 se lee: ______________________________________
2
41
 se lee: ______________________________________
______ se lee “dos veinteavos”. 
______ se lee “cinco doceavos”.
Ley de signos de multiplicación y división
( ) ( ) ( ) ( )
 
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + + ÷ + 
+ + − ⋅ − − ÷ − 
( ) ( ) ( ) ( )
 
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ − + ÷ − 
− − − ⋅ + − ÷ + 
Fracciones equivalentes
Son aquellas que tienen el mismo valor.
Se	obtienen	fracciones	equivalentes	por	simplificación	o	
por	amplificación.
Ejemplos
1. Sea la fracción 2
3
.
 
2 ×	5
3 ×	5
 = 
10
15
 es equivalente a 
2
3
.
 Multiplicando por un mismo número entero al nu-
merador	y	denominador	(amplificación).
2. Si tenemos la fracción
30 30
24
=
15
5
24
12
4
	 tenemos	 fracciones	 equivalentes	 (por	 simplifica-
ción): 
15
12
 y 
5
4
.
3. Si los dos términos de una fracción tienen un divisor 
común y se divide por dicho divisor, la fracción re-
sultante es equivalente a la primera.
 
a ÷	n
b ÷	n
 = 
p
q
 → a
b
 = 
p
q
 Sea la fracción 
20
36
 
20 ÷	4
36 ÷	4
 = 
5
9
 → 20
36
 = 
5
9
LOS NÚMEROS RACIONALES ()
Helicoteoría
1er Año
14 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
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g
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b
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a
1.er grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
I. Adición y sustracción
 Se pueden dar los siguientes casos:
A) Para fracciones homogéneas.
 Ejemplo 
5
7
 + 
3
7
 – 
2
7
 = 
5 + 3 – 2
7
 = 
6
7
B) Para fracciones con denominadores primos 
entre sí. Se puede efectuar con el método del 
aspa.
 Ejemplo
 
3
5
7
11
3 ⋅ 11 + 5 ⋅ 7
5 ⋅ 11
33 + 35
55
68
55
+ = = =
C) Para fracciones cuyos denominadores que no 
sean primos entre sí.
 Primero se halla el MCM.
 Ejemplo
 
3
4
5
12
7
6
9 + 5
12
14
12
+×
÷
== =
7
6
 MCM(4, 12) = 12
Procedimientos importantes
1. Simplificación 
	 Simplificar	 una	 fracción	 es	 hallar	 otra	 equivalente	
que sea irreductible.
	 Simplifique
a. 24/36 b. 70/80 c. 52/36
2. Reducción a común denominador 
 Ejemplo 
 Reduzca a común denominador
 
5
6
; 
7
12
; 
3
10
 ⇒ MCM(6, 12, 10) = 60
 ¾ 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 10 × 5 =50 ∴	5
6
 = 
50
60
 ¾ 60 ÷ 12 = 5 ⇒ 5 × 7 =35 ∴	 7
12
 = 
35
60
 ¾ 60 ÷ 10 = 6 ⇒ 6 × 3 =18 ∴	 3
10
 = 
18
60
 Las nuevas fracciones son: 
50
60
; 
35
60
 y 
18
60
.
II. Multiplicación
 Para multiplicar números racionales se multiplican 
los numeradores y los denominadores separadamente.
 Ejemplo
4 11 5 3
20 8 22 2
    − −    
    
	 Simplificando
– 4
20
11
8
5
22
– 3
2
 = – 1
5
1
8
5
2
– 3
2
1
5
1
2 1
1
= 
(–1) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ (–3)
1 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 2
 = 
3
32
 Si hay números racionales negativos debes multipli-
carlos teniendo en cuenta la ley de signos.
III. División
 Para dividir dos números racionales, se multiplica el 
primero por el inverso del segundo.
 Ejemplo
 6 3 6
4 5
− − ÷ = 
 
2
5
4 3
×
1
10 5
4 2
= − = −
 Otra forma (extremos y medios)
 
ad
bc
a
b
c
d
=
Producto de extremos
Producto de medios
Ejercicios 
¾ 
2
5
3
4
 ¾ 
5
9
8
27
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Sabía que...
Cuando una fracción es irreductible esta se forma como 
representante canónico del número racional.
25
10
 → 
25 ÷ 5
10 ÷ 5
 = 
5
2
 ⇒ Fracción irreductible
Es decir, el par (5; 2) es el representante.
Observación
1
5
16
15
= 3 Número mixto 16 5
 1 3
Álgebra
15Colegio Particular
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
60
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ÁtiCa
1. Efectúe
 
3 3 1 3
5 2 3 2
 − + − 
 
 Resolución
 Operando el paréntesis
6 15 1 3
10 3 2
−  + − 
 
Luego
– 
9
10
 + 
1
3
 – 
3
2
 = 
–27 + 10 – 45
30
 
= – 
31
15
 Rpta.: – 31
15
2. Determine el valor de
 
2 1
43 5
1 31
15
 − 
× 
 −
  
 Resolución
Efectuando numerador y denominador del corchete
10 3
415
14 3
15
− 
 
× 
 
  
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS 
RACIONALES
Fracciones o su 
representación 
decimal
Clases de equivalencia Operaciones
Sustracción Multiplicación
División
Potenciación
Adición

Recta numérica
Números 
enteros
se simboliza
se representa en
contiene a
establece
define
representan
Helicosíntesis
Problemas resueltos
1er Año
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
61
m
at
em
Át
iC
a
 Luego se tiene
7
4 715
14 3
15
 
 
× = 
 
  
1
15⋅
15 14⋅
2
4
3
×
Finalmente
1
2
1
4
×
2
2
3 3
=
 Rpta.: 2
3
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
 Si 
1
n+5
 = 4, entonces 
1
n+6
 es
 Resolución
 Como 
1
n + 5
 = 4, entonces n + 5 = 
1
4
; luego 
n+ 6 = 1 + 
1
4
 = 
5
4
, de donde	finalmente	deducimos	
que 
1
n + 6
 = 
4
5
.
 Rpta.: 4
5
.
4. Efectúe
 
4 6 10 2 5
3 10 3 6 4
 × + − ÷ 
 
 Resolución
 
4
3
× 6
10
 + 10
3
 – 2
6
 × 4
5
2
1
2
5 3
2
 
4 10 4 12 50 4 58
5 3 15 15 15
+ −+ − = =
 Rpta.: 58
15
5. Efectúe
 
4 2
113 5
2 4 4
3 5
 + 
+ 
× 
 
 Resolución
20 6
1115
8 4
15
+ 
 
+ = 
 
 
 
26
15
8
15
11
4
 
 
+ = 
 
  
 
26
13
8
4
11 13 11 24
4 4 4 4
+ = + = = 6
 Rpta.: 6
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
17Colegio Particular
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
62
m
atem
ÁtiCa
Sesión I
1. Complete con “>”, “<” o “=” según correspon-
da.
a. 
3
7
 ( ) 
33
10
 b. – 
3
4
 ( ) – 
5
7
c. – 
7
12
 ( ) 
4
5
 d. 
9
7
 ( ) 
27
21
2. Halle el valor de M.
 M = 
2
7
 + 
1
7
 + 
3
7
 – 
5
7
3. Efectúe
 E = 
1
2
 – 
3
4
 + 
2
5
 – 
1
3
4. Calcule C + D si
 C = 3
1
8
 + 7
5
8
 ∧ D = 5
1
2
 – 4
3
5
5. Halle el valor de M + R.
 M = 3 + 
1
5
 y R = 
3
2
 – 2
6. Efectúe
 L = 2
1
9
 + 
4
3
 – 3
7. Efectúe
+ + + − +
2 1 7 3 1 7
9 4 9 5 4 5
8. Efectúe
 N = – 
2
5
 + 
1
3
 + – 
1
2
 – 
1
3
 
Nivel I
1. Coloque “>”, “<” 0 “=” según corresponda.
a. 
7
11
 ( ) 
2
9
 b. 
3
8
 ( ) 
7
4
c. – 
4
5
 ( ) 
16
20
 d. – 
7
5
 ( ) – 
14
10
 Resolución
2. Halle el valor de R.
 
= + + −
5 3 8 4
R
12 12 12 12
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
62
m
atem
ÁtiCa
Sesión I
1. Complete con “>”, “<” o “=” según correspon-
da.
a. 
3
7
 ( ) 
33
10
 b. – 
3
4
 ( ) – 
5
7
c. – 
7
12
 ( ) 
4
5
 d. 
9
7
 ( ) 
27
21
2. Halle el valor de M.
 M = 
2
7
 + 
1
7
 + 
3
7
 – 
5
7
3. Efectúe
 E = 
1
2
 – 
3
4
 + 
2
5
 – 
1
3
4. Calcule C + D si
 C = 3
1
8
 + 7
5
8
 ∧ D = 5
1
2
 – 4
3
5
5. Halle el valor de M + R.
 M = 3 + 
1
5
 y R = 
3
2
 – 2
6. Efectúe
 L = 2
1
9
 + 
4
3
 – 3
7. Efectúe
+ + + − +
2 1 7 3 1 7
9 4 9 5 4 5
8. Efectúe
 N = – 
2
5
 + 
1
3
 + – 
1
2
 – 
1
3
 
Nivel I
1. Coloque “>”, “<” 0 “=” según corresponda.
a. 
7
11
 ( ) 
2
9
 b. 
3
8
 ( ) 
7
4
c. – 
4
5
 ( ) 
16
20
 d. – 
7
5
 ( ) – 
14
10
 Resolución
2. Halle el valor de R.
 
= + + −
5 3 8 4
R
12 12 12 12
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
62
m
atem
ÁtiCa
Sesión I
1. Complete con “>”, “<” o “=” según correspon-
da.
a. 
3
7
 ( ) 
33
10
 b. – 
3
4
 ( ) – 
5
7
c. – 
7
12
 ( ) 
4
5
 d. 
9
7
 ( ) 
27
21
2. Halle el valor de M.
 M = 
2
7
 + 
1
7
 + 
3
7
 – 
5
7
3. Efectúe
 E = 
1
2
 – 
3
4
 + 
2
5
 – 
1
3
4. Calcule C + D si
 C = 3
1
8
 + 7
5
8
 ∧ D = 5
1
2
 – 4
3
5
5. Halle el valor de M + R.
 M = 3 + 
1
5
 y R = 
3
2
 – 2
6. Efectúe
 L = 2
1
9
 + 
4
3
 – 3
7. Efectúe
+ + + − +
2 1 7 3 1 7
9 4 9 5 4 5
8. Efectúe
 N = – 
2
5
 + 
1
3
 + – 
1
2
 – 
1
3
 
Nivel I
1. Coloque “>”, “<” 0 “=” según corresponda.
a. 
7
11
 ( ) 
2
9
 b. 
3
8
 ( ) 
7
4
c. – 
4
5
 ( ) 
16
20
 d. – 
7
5
 ( ) – 
14
10
 Resolución
2. Halle el valor de R.
 
= + + −
5 3 8 4
R
12 12 12 12
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Desarrollando en clase
www.freeprintablepdf.eu
1er Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
63
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Efectúe
 E = 
5
6
 – 
1
3
 + 
2
5
 – 
3
4
 
 Resolución
4. Calcule I + L.
I = 2
1
7
 +3
2
7
 ∧ L = 4
1
3
 –2
2
3
 Resolución
5. Halle el valor de O + G.
O = 7 + 
4
3
 y G = 
5
4
 – 1
 Resolución
Nivel III
6. Efectúe
 A = 7
1
5
 + 
1
2
 – 1
 Resolución
7. Juan le dice a su compañero de aula “si yo resuelvo 
esta	simplificación	
 T = 
8
13
 + 
9
4
 + 
5
7
 + 
5
13
 + 
2
7
 – 
5
4
 
 el resultado me señala la propina que me dan para ir 
al Colegio Saco Oliveros”; esta es
 Resolución
8. Efectúe
 M = – 
3
5
 + 
1
2
 + – 
1
3
 – 
1
2
 Resolución
Álgebra
19Colegio Particular
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
64
m
atem
ÁtiCa
Helicodesafío
1. Si =
+
1
7
7n
, obtenga el valor de 
+
1
8n
.
 
A) 
8
17
 B) 
7
8
 C) 
8
7
D) 
7
10
 E) 
5
12
2. Efectúe
 
 + 
+ 
 −
  
2 1
35 3
2 1 7
3 5
A) 1 B) 2 C) –2
D) – 
1
2
 E) 5
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. + =
1 1
1
2 2
 ( )
b. + =
1 1 7
5 5 10
 ( )
c. + =
3 3 1
12 12 24
 ( )
2. Efectúe
 + + +
1 3 7 5
4 4 4 4A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
3. Efectúe
 
+
3 1
4 5
A) 19 B) 19
20
 C) 20
D) 2
9
 E) 4
9
4. Efectúe +
1 3
1 .
4 4
A) 2 B) 1 C) 3
D) 5 E) 6
5. Halle el valor de
 
= + +
1 1 5
A
4 3 3
A) 9
7
 B) 9
4
 C) 9
5
D) 4
5
 E) 1
2
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
64
m
atem
ÁtiCa
Helicodesafío
1. Si =
+
1
7
7n
, obtenga el valor de 
+
1
8n
.
 
A) 
8
17
 B) 
7
8
 C) 
8
7
D) 
7
10
 E) 
5
12
2. Efectúe
 
 + 
+ 
 −
  
2 1
35 3
2 1 7
3 5
A) 1 B) 2 C) –2
D) – 
1
2
 E) 5
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. + =
1 1
1
2 2
 ( )
b. + =
1 1 7
5 5 10
 ( )
c. + =
3 3 1
12 12 24
 ( )
2. Efectúe
 + + +
1 3 7 5
4 4 4 4
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
3. Efectúe
 
+
3 1
4 5
A) 19 B) 19
20
 C) 20
D) 2
9
 E) 4
9
4. Efectúe +
1 3
1 .
4 4
A) 2 B) 1 C) 3
D) 5 E) 6
5. Halle el valor de
 
= + +
1 1 5
A
4 3 3
A) 9
7
 B) 9
4
 C) 9
5
D) 4
5
 E) 1
2
2.
3.
4.
5.
6.
7
Sigo practicando
1er Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
65
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Efectúe
 
2
7
 + 
3
7
 – 
1
7
 + 
3
7
A) 
9
7
 B) 
6
7
 C) 1
D) 
4
7
 E) 
1
7
2. Halle el valor de N.
 N = 
3
8
 – 
5
4
A) 
7
8
 B) – 
7
8
 C) – 
2
4
D) – 
1
2
 E) 
1
2
3. Halle el valor de
 W = 
1
3
 + 
4
5
 – 
1
15
A) – 
14
15
 B) 
15
14
 C) – 
15
14
D) 
16
15
 E) 
1
14
4.	 Efectúo	la	simplificación
 R = 3
1
4
 + 2
3
4
 y el resultado es la edad de mi hermano en el Cole-
gio Saco Oliveros.
A) 
13
4
 B) 2 C) 6
D) 
11
4
 E) 7
Nivel II
5. Halle el valor de Y.
 Y = 9 
3
2
 – 
1
2
 – 
34
5
A) 
15
41
 B) 
41
15
 C) 
16
5
D) 
5
16
 E) 
5
31
6. Calcule M + N si
 M = 
1
6
 – 
1
2
 y N = 
2
9
 – 1
A) 
9
10
 B) 
1
4
 C) – 10
9
D) 
2
5
 E) 
7
4
7. Efectúe
 
= + − + +
2 1 1 1
S 2
5 3 2 10
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. Efectúe
 
2
3
 – 
1
2
 + 
8
6
 – 
2
3
A) 
9
6
 B) 
7
6
 C) 
5
6
D) 
6
5
 E) 
13
6
Nivel III
9. Calcule T + U si
 T = 3
1
5
 – 1
2
5
 y U = 2
2
3
 + 2
4
3
A) 
7
15
 B) 
2
15
 C) 
17
15
D) 
12
15
 E) 
14
15
10. Efectúe
 N = 
7
12
 + 
2
3
 + 
9
5
 + 
5
12
 – 
2
3
 + 
1
5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
HelicotareaExigimos más
Colegio Particular 21
La leyenda del ajedrez
Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferen-
tes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el 
ajedrez constituye una evolución del juego de mesa lla-
mado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, 
ideado en la India en el siglo VI.
Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de 
su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.
Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de Oriente vivía un rey que había 
perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su 
castillo	y	no	hablaba	con	nadie.	Uno	de	sus	ministros	llamó	a	todos	los	científicos	y	filósofos	
del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un joven 
llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no solo volvió a sonreír 
sino que se volvió un gran maestro de este juego.
Quedó tan encantando con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él 
pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la pri-
mera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, 
dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del 
tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el 
número	de	granos	de	trigo	que	debían	pagarse	al	muchacho;	al	cabo	de	un	rato,	los	científicos	
regresaron con una gran sorpresa:
¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!
De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una 
variación de la historia sugiere que el rey furioso por esta situación mandó a decapitar al 
joven	inventor,	pero	hay	quienes	evitan	contar	este	final	infeliz	y	se	contentan	con	explicar	
los elementos matemáticos que están presentes en el relato.
Solución
Veamos cómo se realiza la cuenta del pedido de Sissa.
1+2+4+8+16+32+64+...
El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2.
Al realizar esta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:
18 446 744 073 709 551 615
Sí; más de 18 billones de granos de trigo.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identifica	los	elementos	de	la	potenciación.
 ¾ Aplica	las	definiciones	y	propiedades	de	exponentes	en	la	resolución	
de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I 3
La leyenda del ajedrez
Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferen-
tes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el 
ajedrez constituye una evolución del juego de mesa lla-
mado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, 
ideado en la India en el siglo VI.
Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de 
su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.
Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de Oriente vivía un rey que había 
perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su 
castillo	y	no	hablaba	con	nadie.	Uno	de	sus	ministros	llamó	a	todos	los	científicos	y	filósofos	
del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un joven 
llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no solo volvió a sonreír 
sino que se volvió un gran maestro de este juego.
Quedó tan encantando con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él 
pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la pri-
mera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, 
dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del 
tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el 
número	de	granos	de	trigo	que	debían	pagarse	al	muchacho;	al	cabo	de	un	rato,	los	científicos	
regresaron con una gran sorpresa:
¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!
De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una 
variación de la historia sugiere que el rey furioso por esta situación mandó a decapitar al 
joven	inventor,	pero	hay	quienes	evitan	contar	este	final	infeliz	y	se	contentan	con	explicar	
los elementos matemáticos que están presentes en el relato.
Solución
Veamos cómo se realiza la cuenta del pedido de Sissa.
1+2+4+8+16+32+64+...
El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2.
Al realizar esta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:
18 446 744 073 709 551 615
Sí; más de 18 billones de granos de trigo.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identifica	los	elementos	de	la	potenciación.
 ¾ Aplica	las	definiciones	y	propiedades	de	exponentes	en	la	resolución	
de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I
La leyenda del ajedrez
Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferen-
tes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el 
ajedrez constituye una evolución del juego de mesa lla-
mado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, 
ideado en la India en el siglo VI.
Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de 
su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.
Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de Oriente vivía un rey que había 
perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su 
castillo	y	no	hablaba	con	nadie.	Uno	de	sus	ministros	llamó	a	todos	los	científicos	y	filósofosdel reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un joven 
llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no solo volvió a sonreír 
sino que se volvió un gran maestro de este juego.
Quedó tan encantando con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él 
pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la pri-
mera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, 
dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del 
tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el 
número	de	granos	de	trigo	que	debían	pagarse	al	muchacho;	al	cabo	de	un	rato,	los	científicos	
regresaron con una gran sorpresa:
¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!
De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una 
variación de la historia sugiere que el rey furioso por esta situación mandó a decapitar al 
joven	inventor,	pero	hay	quienes	evitan	contar	este	final	infeliz	y	se	contentan	con	explicar	
los elementos matemáticos que están presentes en el relato.
Solución
Veamos cómo se realiza la cuenta del pedido de Sissa.
1+2+4+8+16+32+64+...
El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2.
Al realizar esta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:
18 446 744 073 709 551 615
Sí; más de 18 billones de granos de trigo.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce	e	identifica	los	elementos	de	la	potenciación.
 ¾ Aplica	las	definiciones	y	propiedades	de	exponentes	en	la	resolución	
de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I
1er Año
22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
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b
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1.er grado Compendio de CienCias i
71
m
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em
Át
iC
a
Este capítulo comprende una operación importante: la 
potenciación.
1. Potenciación
 Operación que consiste en multiplicar un número 
llamado base tantas veces como factor, como lo in-
dica otro número llamado exponente, para obtener 
otro número llamado potencia, así tenemos
 b
n = P, b ∈	, n ∈ , P ∈ 
 Donde b: base
 n: exponente natural
 P : potencia
 Ejemplos
 
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 5 = 32
5 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
 
3 × 3 × 3 × 3 = 3 4 = 81
4 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
Ley de los signos en la potenciación
(*) (BASE POSITIVA)PAR = +
Ejemplo
 ¾ (+2)4 = +24
 ↓ 
 (+2)4 = 16
(*) (BASE POSITIVA)IMPAR = +
Ejemplo
 ¾ (+2)5 = +25
 ↓
 (+2)5 = 32
(*) (BASE NEGATIVA)PAR = +
Ejemplo
 ¾ (–2)6 = +26
 ↓ 
 (–2)6 = 64
(*) (BASE NEGATIVA)IMPAR = –
Ejemplo
 ¾ (–2)5 = –25
 ↓ 
 (–2)5 = –32
Debes tener presente lo siguiente:
1. 1n = 1 con n ∈ 
 Ejemplo
 ¾ 123 = 1
2. (–1)
PAR = 1
 Ejemplo
 ¾ (–1)16 = 1
3. (–1)
IMPAR = –1
 Ejemplo
 ¾ (–1)17 = –1
4. 0 n = 0 con n ∈ + – {0}
 Ejemplo 
 ¾ 017 = 0
 Para realizar diversas operaciones a través de la po-
tenciación es necesario recordar las potencias más 
usuales.
Potencias más usuales
En base 2 En base 3 En base 4 En base 5 En base 7
21 = 2 31 = 3 41 = 4 51 = 5 71 = 7
22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 72 = 49
23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 73 = 343
24 = 16 34 = 81 44 = 256 54 = 625 74 = 2401
25 = 32 35 = 243 45 = 1024 55 = 3125
26 = 64 36 = 729
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
LEYES DE EXPONENTES
Helicoteoría
Álgebra
23Colegio Particular
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
72
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ÁtiCa
2. Definiciones (principales exponentes)
 2.1. Exponente cero
 b0 = 1, ∀b ∈  ∧ b ≠ 0
 Ejemplos
 ¾ 70 = 1 
 ¾ (5x)0 = 1
 
00 =	Indefinido
"Como número real no existe".
Ejemplo
(9 – 9)0 = 00 → INDEFINIDO
 2.2. Exponente uno
 b1 = b, ∀b ∈ 
 ¾ Caso particular
 
 ; , 0
n na b
a b
b a
−
   = ≠   
   
•	 2–3 = 
1
23
 = 
1
8
•	 6–3 = 
1
63
 = 
1
216
 También
•	
2 22 3 9
3 2 4
−
   = =  
  
•	
3 35 6 216
6 5 125
−
   = =   
   
 Recíprocamente
•	
1
2
 = 2–1
•	
1
23
 = 2–3
 Ejemplos
 ¾ 81 = 8 
 ¾ 5 = 51
2.3. Exponente de exponente (cadena de expo-
nente)
 ab
cd
e
 Para desarrollar se toma los dos últimos térmi-
nos (base y exponente), luego se va transfor-
mando de arriba hacia abajo, tomando de dos 
en dos los términos.
 Ejemplos
 ¾ 43
2
 = 49 = 262 144
 ¾ 2
32
170
 = 2
32
1
 = 2
32
 = 29 = 512
 2.4. Exponente negativo 
 
b–n = , b ≠ 0
1
bn
 Ejemplos
 ¾ –24 = –2 × 2 × 2 × 2 = –16
 ¾ (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
 
El exponente sí afecta al signo, 
porque hay paréntesis.
 ¾ –3–2 = – 
1
32
 = – 
1
9
 ¾ – 
1
7
–2
 = (–7)2 = 49
 ¾ (– 2)0 = 1
 ¾ –70 = –1
Recuerda
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende. Observación
Si
n ∈ , 0–n no está definido.
Es decir
0–1; 0–5; 0–12;...
no está definido como números reales.
Sabía que...
Es conveniente indicar la diferencia entre
–34 y (–3)4
El exponente no 
afecta al signo.
⇒ –34 = –81
1er Año
24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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1.er grado Compendio de CienCias i
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Helicosíntesis
LEYES DE EXPONENTES
Potenciación en 
Exponente 
natural
Exponente 
cero
Exponente 
negativo
Radicación en 
se estudia a 
través de
a partir de las 
definiciones	de
1. Halle el valor de
 M = 5 
0
 – 4–2 + (–4)–2 + 5 ⋅ 6
0
 Resolución
 Hallamos por separado cada expresión
 5 
0
 = 1
 4–2 = 
1
42
 = 
1
16
 (–4)–2 = 
1
(–4)2
 = 
1
16
 6
0
 = 1
 Ahora reemplazamos los valores obtenidos
 M = 1 – 
1
16
 + 
1
16
 + 5(1)
 M = 1 + 5
 M = 6
Rpta.: 6
2. El valor de 
 
 
 
–1
1
1
1
2
 es 
 Resolución
 Por exponente negativo
 
–1
1 1
2
1 1
21
2
= =
 
 
 
= 2
Rpta.: 2.
3. Efectúe
 K = 23
70
2008
 + 2(–1)27 + 3(–1)34
 Resolución
 1.º Hallamos
 2
37
02008
 = 23
70
 = 23
1
 = 23 = 8
Problemas resueltos
Álgebra
25Colegio Particular
1.er Grado
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Compendio de CienCias i
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ÁtiCa
Sesión I
1. Halle el valor de
 M = 23 + 52 – 32 + 42 – 62
 
2. Efectúe
 R = (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4 – 1) + 17
 
3. Efectúe
 T = (–3)2 + (–4)2 – 52 – (–2)4
 
4. Efectúe
 –(–3)3 + (–2)3 + (–1)7
 
5. Efectúe
 (–2)0 + 50 –31 + (3,5)0
 
6. Reduzca
 (–7)0 + 3x0 – 50 + (7x)0; x ≠ 0
 
7. Halle el valor de
 S = (–5)3 + (–7)2 + (–3)1 + (–2)0
 
8. Halle el valor de
 B = –(–1)18 – (–1)23 – (–6)2
 
 2.º Hallamos
 ¾ 2(–1)27 = 2(–1) = –2
 (Todo número negativo elevado a un número 
impar resulta siempre negativo).
 ¾ 3(–1)34 = 3(+1) = 3
 (Todo número negativo elevado a un número 
par resulta siempre positivo).
 3.º Reemplazamos los valores obtenidos
 K = 8 + (–2) + 3
 K = 8 – 2 + 3
 K = 9
Rpta.: 9
4. Efectúe
 M = 34
06
7
 + 52
06
9
 – 74
07
9
 
 Resolución
M = 34
06
7 = 0
+ 52
06
9 = 0
 – 74
07
9 = 0
M = 34
0=1
+ 52
0 = 1
 – 74
0 = 1
M = 31 + 51 –71
M = 3 + 5 – 7
M = 8 – 7
M = 1
Rpta.: 1
5. Efectúe
 M = (– 70)0 + 8a0 – 
0
3 +32, a ≠ 0
 Resolución
M = 1 + 8(1) – 1 + 9
M = 1 + 8 – 1 + 9
M = 17
Rpta.: 17
Helicopráctica
www.freeprintablepdf.eu
1er Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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1.er grado Compendio de CienCias i
75
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a
Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
Helicotaller
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1.er grado Compendio de CienCias i
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a
Nivel I
1. Halle el valor deE = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
Helicotaller
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1.er grado Compendio de CienCias i
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a
Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
Helicotaller
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a
Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
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Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
Helicotaller
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at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
Helicotaller
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
75
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Halle el valor de
 E = 72 + 25 – 34 – 62
 Resolución
2. En el aula del colegio Saco Oliveros; el resultado 
luego de efectuar
 T = (4 – 1)(6 – 1) + (5 – 3)1(5) + 54; es:
 Resolución
Nivel II
3. Efectúe
 A = (–5)2 – 52 + (–1)8 + (–2)10
 Resolución
4. Efectúe
 (–2)5 – (–10)3 – (–9)3 – (–4)3
 Resolución
5. Efectúe
 (–13)0 + 120 – 30 – (2,75)0
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 –50 + 8y0 – (–9)0 + (3y)0; y ≠	0
 Resolución
HelicotallerDesarrollando en clase
Álgebra
27Colegio Particular
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
76
m
atem
ÁtiCa
7. Halle el valor de
 M = (–11)2 – (–5)3 + 70 –51
 Resolución
8. Halle el valor de
 R = (–1)100 – (–1)80 + (–6)2
 Resolución
Helicodesafío
1. Efectúe
= − + − −
201705 02 3R ( 7) 5( 2) 5 3
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
2. Efectúe
 
–1 –11 1
–
2 3 11 1M 8
3 2
   −   
      = + +   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. 050=1 ( )
b. 141=14 ( )
c. (– 6)2=12 ( )
2. Complete las siguientes oraciones:
 ¾ Todo número negativo elevado a un número 
impar resulta siempre ________.
 ¾ Todo número elevado al exponente uno resulta 
________.
3. Halle el valor de R=(–2)3+(– 3)2.
A) –15 B) – 6 C) 7
D) 0 E) 1
4.	 Relacione	con	una	flecha	según	corresponda.
¾ – (–12)2	 •	 •		–	3
¾ (–3)1	 •	 •		1
¾ –(–1)3	 •	 •		–144
5. Halle el valor de K=(– 4)2 – (– 2)3.
A) 16 B) –8 C) 9
D) –9 E) 24
1.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
76
m
atem
ÁtiCa
7. Halle el valor de
 M = (–11)2 – (–5)3 + 70 –51
 Resolución
8. Halle el valor de
 R = (–1)100 – (–1)80 + (–6)2
 Resolución
Helicodesafío
1. Efectúe
= − + − −
201705 02 3R ( 7) 5( 2) 5 3
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
2. Efectúe
 
–1 –11 1
–
2 3 11 1M 8
3 2
   −   
      = + +   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. 050=1 ( )
b. 141=14 ( )
c. (– 6)2=12 ( )
2. Complete las siguientes oraciones:
 ¾ Todo número negativo elevado a un número 
impar resulta siempre ________.
 ¾ Todo número elevado al exponente uno resulta 
________.
3. Halle el valor de R=(–2)3+(– 3)2.
A) –15 B) – 6 C) 7
D) 0 E) 1
4.	 Relacione	con	una	flecha	según	corresponda.
¾ – (–12)2	 •	 •		–	3
¾ (–3)1	 •	 •		1
¾ –(–1)3	 •	 •		–144
5. Halle el valor de K=(– 4)2 – (– 2)3.
A) 16 B) –8 C) 9
D) –9 E) 24
2.
3.
4.
5.
7.
7.
Sigo practicando
1er Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Á
l
g
e
b
r
a
1.er grado Compendio de CienCias i
77
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Halle el valor de
 A = 70 + 151 – 120 – 91
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10
2. Halle el valor de
 B = 5
0
 + 81 – 7
0
 – 31 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 4
3. Luego de efectuar, se tiene que el resultado es la edad 
de un padre de familia del colegio Saco Oliveros
 V = (33 – 25)
2
 + (52 – 33)
2
A) 25 B) 27 C) 29
D) 31 E) 33
4. Efectúe
 Q = (–15)0 + 7m0 – 120 + (7m)0, m	≠	0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúe
 E = 63 + (–5)3 + (–4)3 + (–3)3
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúe
 T = 53 – 62 – 33 + 70
A) 60 B) 61 C) 62 
D) 63 E) 64
7. Calcule
 
5 2 0 2 22 3 4 5 1+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduzca
 S = –(–4)3 – (–6)2 – 52
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halle el valor de
 Y = –70 + (–3)3 – 51 + (–2)4
A) –16 B) –18 C) –20 
D) –14 E) 14
10. Efectúe
 A = (–1)2010 – (+1)2009 + (–5)2
A) 25 B) 16 C) 27 
D) 26 E) 15
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