Álgebra

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ÍndiceÍndice
Exponentes usuales.......................................................................................................5
Leyes de exponentes para la potenciación.................................................................14
Leyes de exponentes para la radicación.....................................................................22
Ecuaciones exponenciales...........................................................................................30
Expresión algebraica....................................................................................................38
Polinomios.................................................................................................................46
Grado de un polinomio.................................................................................................55
Polinomios especiales..................................................................................................64
Multiplicación algebraica...............................................................................................73
Productos notables I.....................................................................................................82
Productos notables II....................................................................................................91
División polinómica...................-..................................................................................99
Teorema del resto.......................................................................................................109
Cocientes notables.....................................................................................................117
Factorización I............................................................................................................126
Factorización II...........................................................................................................135
Factorización III..........................................................................................................143
Radicación - radicales dobles....................................................................................153
Racionalización..........................................................................................................162
Ecuaciones de primer grado con una variable...........................................................172
Ecuaciones de segundo grado...................................................................................182
Desigualdades............................................................................................................195
Inecuaciones de primer grado.....................................................................................205
Colegio Particular 553
Busca las siguientes palabras:
 ¾ yo puedo ¾ natural ¾ impar
 ¾ potencia ¾ negativo ¾ gané
 ¾ exponente ¾ cero
 ¾ base ¾ par
En el siguiente pupiletras:
M O V I T A G E N
I P E R U A N O A
Y B A S E V E R E
O R I E N A G Z T
P O A L I M I N N
U D M A R I S A E
E A A I U Q R T N
D V R B V M T U O
O R A G U O L R P
M E F G U E S A X
O S U B R R S L E
P O T E N C I A O
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las definiciones de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Calcula y reduce operaciones matemáticas más complejas.
EXPONENTES USUALES 1
53
Busca las siguientes palabras:
 ¾ yo puedo ¾ natural ¾ impar
 ¾ potencia ¾ negativo ¾ gané
 ¾ exponente ¾ cero
 ¾ base ¾ par
En el siguiente pupiletras:
M O V I T A G E N
I P E R U A N O A
Y B A S E V E R E
O R I E N A G Z T
P O A L I M I N N
U D M A R I S A E
E A A I U Q R T N
D V R B V M T U O
O R A G U O L R P
M E F G U E S A X
O S U B R R S L E
P O T E N C I A O
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las definiciones de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Calcula y reduce operaciones matemáticas más complejas.
EXPONENTES USUALES
53
Busca las siguientes palabras:
 ¾ yo puedo ¾ natural ¾ impar
 ¾ potencia ¾ negativo ¾ gané
 ¾ exponente ¾ cero
 ¾ base ¾ par
En el siguiente pupiletras:
M O V I T A G E N
I P E R U A N O A
Y B A S E V E R E
O R I E N A G Z T
P O A L I M I N N
U D M A R I S A E
E A A I U Q R T N
D V R B V M T U O
O R A G U O L R P
M E F G U E S A X
O S U B R R S L E
P O T E N C I A O
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las definiciones de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Calcula y reduce operaciones matemáticas más complejas.
EXPONENTES USUALES
2do Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
54
m
atem
ÁtiCa
Es aquella operación matemática donde, dados dos ele-
mentos llamados base (b) y exponente (n) se calcula un 
tercer elemento llamado potencia (P). 
Notación:
: base 
P : exponente
P : potencia 
n
b
b n=
b ∈ , n ∈ , P ∈ 
Ejemplos
 ¾ 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 
 donde
 2 es la base.
 7 es el exponente.
 128 es la potencia.
 ¾ 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
 ¾ 73 = 7 × 7 × 7 = 343
 ¾ 95 = 9 × 9 × 9 × 9 × 9 =59 049
¡Ahora tú!
 54 = 
 es la base .
 es el exponente.
 es la potencia.
Sabía que...
Leyes de exponentes
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los 
exponentes.
Principales exponentes
1. Exponente natural
 Si n es cualquier entero positivo y b es un número 
real, definimos
=  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥
 veces
 , si =1
... , si 2

n
n
b n
b b b b b n
 Ejemplos 
 ¾ 71 = 7
 ¾ =
1
3 3
 ¾ 45 = 4×4 ×4×4 ×4 = 1024
5 veces
 ¾ (–2)5 = (–2)(–2)(–2)(–2)(–2) = –32
 ¾ (–3)4 = (–3)(–3)(–3)(–3) = 81
 ¾
31 1 1 1 1
2 2 2 2 8
  = × × = 
 
 ¾ 61 = 
 ¾ 72 = 
 ¾ (– 4)3 = 
 ¾ (– 5)2 = 
Concluimos
Para bases negativas impar
• (–)par = +
• (–)impar = –
 ¾ (– 2)6 = +64
 ¾ (– 3)3 = – 27
Observación
(– 2)6 ≠ – 26
 ¾ – 5 2 = – 25
 ¾ – 3 5 = – 243
Observación
Se comienza de arriba hacia abajo, realizando potencia-
ción.
3 2 
1 
5 
 = 3 2
1
 = 3 2 = 9
2. Exponente cero
 Si b es cualquier número real no nulo, definimos
 
0 1 , con 0b b= ≠
EXPONENTES USUALES
Helicoteoría
Álgebra
7Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
55
m
at
em
Át
iC
a
Ejemplos
 ¾
01
1
4
  = 
 
 ¾	 ( )03 1=
 ¾ (–5)0 = 1 ¾	
04
– 1
3
  = 
 
 ¾ –50 = –(5)0 = –1 ¾	
0
5 1=
 ¾ (0,8)0 = 1 ¾	
02 1
5 5
=
 ¾
02
1
5
  = 
 
 Nótese que no hemos definido 00; esta expresión no 
tiene un significado útil.
00 → No definido
Observación
(5 + 2 – 7)0 = 00 (No definido)
2. Exponente negativo
 Si b es un número real no nulo y si n es un entero 
positivo, definimos
– 1 , 0n
n
b b
b
= ≠
Ejemplos
 ¾ –3
3
1 1
2
82
= =
 ¾ –4
4
1 1
3
813
= =
 ¾ –2
2
1 1
(–5)
25(–5)
= =
 ¾
− − −
     = + +     
    
2 4 31 1 1
B
5 3 4
Si x e y son reales no nulos, n es un entero positivo, 
tenemos
 
   =      
–n nx y
y x
Nota
Ejemplos
 ¾
2–2 1643
934
   = =   
   
 ¾
–3 3 125–7 –5 –
3435 7
   = =  
  
 ¾
–3
31 8 512
8
  = = 
 
 ¾    = =  
  
–4 4 81–2 –3
163 2
 Nótese que no hemos definido 0–n, esta expresión no 
tiene sentido.
0–n → No existe
2do Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
56
m
atem
ÁtiCa
bn = P 
Principales exponentes
Exponente natural
Exponente de exponente
Exponente negativo
Exponente uno
Exponente cero
 veces
 1
...n
n
n
x x x x
≥
= ⋅ ⋅ ⋅

P
cb ka a nx x x= = =
x1 = x
x0 = 1, x ≠ 0
: base, 
: exponente, 
P: potencia, P
b b
n n
∈
∈
∈



73 = 343
82 = 64
1
1
1
(0,3) 0,3
1 1
2 2
5 5
=
  = 
 
=
–2
2
–1
1 1
9
819
1
6
6
= =
=
= = =
09 12 2 27 7 7 49
0
0
0
98 1
6 1
2 1
=
=
=
LEYES DE EXPONENTES I
Potenciación
donde
{ }
  = =      
≠ ≠
–
– 1 , 
 0 ; 0
n n
n
n
x y
x
y xx
x x y
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Helicosíntesis
Álgebra
9Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
57
m
at
em
Át
iC
a
1. Reduzca
 
1 1 11 1 1
4 3 5
− − −
     + +     
     
 Resolución
 Por definición de exponente negativo
 4+3+5 = 12
 Rpta.: 12
2. Efectúe
 A = (– 32)0+3a0+(5a)0 – 7a0
 donde a ≠ 0.
 Resolución
 Por definición de exponente cero
 A = 1+3(1)+(1)– 7(1)
 A = 1+3+1 – 7
 A = – 2
 Rpta.: – 2
3. Halle el valor de
 
−
     = + −          
0 04 7–2 –3 11 1 1
P
4 3 43
 Resolución
 Del exponente cero
 
− −
     = + −        
–2 3 11 11P
4 3 43
 Por el exponente negativo
 P = 42 + 33– 43
 P = 16 + 27 – 43
 P = 0
Rpta.: 0
 4. Reduzca
 
− − −
     = + +     
    
2 4 31 1 1
B
5 3 4
 Resolución
 Por definición de exponente negativo
 B = (5)2+(3)4+(4)3
 B = 25+81+64
 B = 170
Rpta.: 170
5. Efectúe
 (–5)35 + 220 + 535 – (–2)20 + 3
 Resolución
 Aplicando
 
(+)Par = + ; (–)Par = + ; (–)Impar = –
–535 + 220 + 535 – 220 + 3 =
 3
Rpta.: 3
Problemas resueltos
2do Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
58
m
atem
ÁtiCa
1. Simplifique
 T = 6–4
0
 + 3–5
0
 + 2–6
0
2. Efectúe
 E = – 33 + 42 + 53 – 24
3. Obtenga el valor de
–1 –1 –1 –15 5 5 5
E
11 4 3 2
       = + + +       
       
4. Reduzca
− −
− −
+=
+
1 1
1 1
4 9
E
6 7
Sesión I
5. Simplifique
 P = (– 3)4 + (– 4)2+(– 2)3
6. Efectúe
 E = (–5)30 – 530 + (–2)27 + 227 + 5 
7. Efectúe
1 1
1 1
2 3
R
2 3
− −
− −
−=
⋅
8. Reduzca
4 2 21 1 1
E
2 4 3
− − −
     = + −     
     
Nivel I
1. Efectúe
 Q = 2–4
0
+ 4–3
0
 – 8–6
0
 
 Resolución
2. Efectúe
 Q = 43 + 33 – 26 + 52
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
11Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Juan, alumno del colegio Saco Oliveros, se da cuen-
ta que al simplificar la expresión
1 1 1 17 7 7 7
F
24 10 5 3
− − − −
       = + + +       
       
 el resultado le indica el número de hermanos. 
¿Cuántos hermanos tiene?
 Resolución
4. Simplifique
− −
− −
+=
+
1 1
1 1
3 7
M
6 4
 Resolución
5. Reduzca
 E = (– 2)5 + (– 3)3+(– 5)2
 Resolución
Nivel III
6. Halle el valor de
 K = (–2)31 + 350 – (–231) – (–3)50
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Juan, alumno del colegio Saco Oliveros, se da cuen-
ta que al simplificar la expresión
1 1 1 17 7 7 7
F
24 10 5 3
− − − −
       = + + +       
       
 el resultado le indica el número de hermanos. 
¿Cuántos hermanos tiene?
 Resolución
4. Simplifique
− −
− −
+=
+
1 1
1 1
3 7
M
6 4
 Resolución
5. Reduzca
 E = (– 2)5 + (– 3)3+(– 5)2
 Resolución
Nivel III
6. Halle el valor de
 K = (–2)31 + 350 – (–231) – (–3)50
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Juan, alumno del colegio Saco Oliveros, se da cuen-
ta que al simplificar la expresión
1 1 1 17 7 7 7
F
24 10 5 3
− − − −
       = + + +       
       
 el resultado le indica el número de hermanos. 
¿Cuántos hermanos tiene?
 Resolución
4. Simplifique
− −
− −
+=
+
1 1
1 1
3 7
M
6 4
 Resolución
5. Reduzca
 E = (– 2)5 + (– 3)3+(– 5)2
 Resolución
Nivel III
6. Halle el valor de
 K = (–2)31 + 350 – (–231) – (–3)50
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Juan, alumno del colegio Saco Oliveros, se da cuen-
ta que al simplificar la expresión
1 1 1 17 7 7 7
F
24 10 5 3
− − − −
       = + + +       
       
 el resultado le indica el número de hermanos. 
¿Cuántos hermanos tiene?
 Resolución
4. Simplifique
− −
− −
+=
+
1 1
1 1
3 7
M
6 4
 Resolución
5. Reduzca
 E = (– 2)5 + (– 3)3+(– 5)2
 Resolución
Nivel III
6. Halle el valor de
 K = (–2)31 + 350 – (–231) – (–3)50
 Resolución
2do Año
12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
60
m
atem
ÁtiCa
7. Halle el valor de
11
1 1
3 5
K
3 5
−−
− −
−=
⋅
 Resolución
8. Luego de resolver, Martín indica que el resultado es 
la propina mensualmente que le da su padre.
 
3 3 31 1 1
F
2 4 3
− − −
     = + +     
     
 ¿Cuánto recibe de propina?
 Resolución
Helicodesafío
1. Reduzca
− − −
− −
 +=  
 +
1
1 1 1
1 1
3 5
P
3 5
n n n
n n
A) 5 B) 3 C) 15
D) 8 E) 30n
2. Si 5 73x y z= = , reduzca 
2 3
2
x y
z
.
A) x2 B) x C) y
D) 2 E) (x2y3)0
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. –50=1 ( )
b. 
0132 8= ( )
c. 
0 07 – (–5) 0= ( )
2. Reduzca 
− −
   +   
   
1 11 1
2 4
 
A) 8 B) 6 C) 2
D) 10 E) 4
3. Efectúe
− − − −
       + + +       
       
1 1 1 15 5 5 5
7 3 2 8
A) 4 B) 8 C) 16
D) 2 E) 12
4. Calcule 34
2
 – 32
4
.
A) 2 B) 1 C) 4
D) 3 E) 0
5. Halle el valor de
 M = (–5)2 – (–1)10 + (–1)5
A) 1 B) 0 C) 23
D) 16 E) –16
Álgebra
13Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
61
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da, luego marque la alternativa correcta.
 ¾ 72 – 51 – 32 = 38 ( )
 ¾ (–5)0 + 30 = 2 ( )
 ¾ (– 5)2 – 52 = 0 ( )
A) VVF B) FFV C) VFV
D) FVV E) VVV
2. Efectúe
 E = 5–2
0 
+ 7–3
0
 – 3–5
0
A) 1 B) 1/105 C) 1/35
D) 9–1 E) 15–1
3. Simplifique
 
     = + −     
     
0 0 0–3 –5 –71 1 1
E
4 7 11
A) 22 B) 14 C) 6
D) 1 E) 0
4. Halle el valor de 
 P = (– 2)6 + (– 3)3+(– 2)3 – 42
A) 15 B) 14 C) 13
D) 9 E) 5
Nivel II
5. Víctor, nieto del maestro Chumbi, profesor de Saco 
Oliveros tiene como edad lo simplificado de
 
1 1 12 2 2
R
5 8 17
− − −
     = + +     
    
 indique esa edad.
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
6. Efectúe
 
− − −
     = + +    
    
2 1 32 4 1
E
3 7 2
A) 6 B) 4 C) 8 
D) 12 E) 10
7. Halle el valor de
 
2 1 31 1 1
5 4 2
− − −
     + +    
    
A) 36 B) 37 C) 39
D) 43 E) 42
8. En el colegio Saco Oliveros Apeiron, el número ob-
tenido luego de reducir la expresión
7 5 101 7 72 0 1H 5 3 2= + −
 me indica la nota mínima en álgebra. ¿Cuál es la 
nota?
A) 42 B) 32 C) 22
D) 0 E) 11
Nivel III
9. Efectúe
 
1 1
1 1
5 6
L
5 6
− −
− −
−=
⋅
A) 1 B) 6 C) 5
D) 7 E) 4
10. Efectúe
 
− − −
−
+ +=
1 1 1
1
6 3 2
T
5
A) 5 B) 1 C) 6
D) 1/5 E) 1/10
Helicotarea
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre14
Escriba la respuesta de
1. 20+51 = 4. 32 · (3)– 2 = 
2. 
21
3
−
  = 
 
 5. 
21 1
5 5
−
   ⋅ =   
   
3. (– 2)2 = 6. ( )
223 =
Luego, busque lo anterior en palabras en el siguiente pupiletras:
M O E V E U N E N A O S
I P E R U A N O A N N E
Y B A S E V E R U V E I
C U A T R O G Y T A G S
P O A L I M A N N C I A
U D M A R T S A E I S M
E A A I N Q R T N N R O
D V R E V M T U O C T N
O R H G U O L R P O L U
I C E R U A N O A N N E
O B A S E V E R U V E I
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las leyes de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Obtiene y calcula el resultado en las distintas operaciones combinadas.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA POTENCIACIÓN 2
Escriba la respuesta de
1. 20+51 = 4. 32 · (3)– 2 = 
2. 
21
3
−
  = 
 
 5. 
21 1
5 5
−
   ⋅ =   
   
3. (– 2)2 = 6. ( )
223 =
Luego, busque lo anterior en palabras en el siguiente pupiletras:
M O E V E U N E N A O S
I P E R U A N O A N N E
Y B A S E V E R U V E I
C U A T R O G Y TA G S
P O A L I M A N N C I A
U D M A R T S A E I S M
E A A I N Q R T N N R O
D V R E V M T U O C T N
O R H G U O L R P O L U
I C E R U A N O A N N E
O B A S E V E R U V E I
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las leyes de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Obtiene y calcula el resultado en las distintas operaciones combinadas.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA POTENCIACIÓN
Escriba la respuesta de
1. 20+51 = 4. 32 · (3)– 2 = 
2. 
21
3
−
  = 
 
 5. 
21 1
5 5
−
   ⋅ =   
   
3. (– 2)2 = 6. ( )
223 =
Luego, busque lo anterior en palabras en el siguiente pupiletras:
M O E V E U N E N A O S
I P E R U A N O A N N E
Y B A S E V E R U V E I
C U A T R O G Y T A G S
P O A L I M A N N C I A
U D M A R T S A E I S M
E A A I N Q R T N N R O
D V R E V M T U O C T N
O R H G U O L R P O L U
I C E R U A N O A N N E
O B A S E V E R U V E I
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica las leyes de exponentes en la resolución de problemas.
 ¾ Obtiene y calcula el resultado en las distintas operaciones combinadas.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA POTENCIACIÓN
Álgebra
15Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
67
m
at
em
Át
iC
a
I. Multiplicación indicada de bases iguales
 
m n m nx x x +⋅ =
Ejemplos
 ¾ 32 · 3 · 33 = 32 + 1 + 3 = 36 = 729
 ¾ 43 · 4–4 · 42 = 43 – 4 + 2 = 41 = 4
 ¾ x · x3 · x4 = 
 ¾
3 72 2
3 3
    =   
   
II. División indicada de bases iguales
 
– para 0
m
m n
n
x
x x
x
= ≠
Ejemplos
 ¾
5
5–3 2
3
2
2 2 4
2
= = =
 ¾
2
2–(–1) 3
–1
x
x x
x
= =
 ¾
8
3
5
5
=
 ¾
7 3
2 –1
(–7)
(–7)
a
a
=
 ¾
4–
3–
m
m
x
x
=
III. Potencia de potencia
 
( )nm m nx x ⋅=
Ejemplos
 ¾ ( )43 3 4 12x x x⋅= =
 ¾ ( )
43a =
 ¾ ( )( )2422 =
 ¾ ( )( )
2135 =
Nótese que, por lo general
≠( )
nmm nx x
Ejemplo
 
32 3 2
6 8
( )
 
x x
x x
≠
≠
Nota
IV. Potencia de una multiplicación
 
( )n n nx y x y⋅ = ⋅
Ejemplos
 ¾ (2 · 3 · 5)m = 2m · 3m · 5m 
 ¾ (4m)3 = 43 · m3 = 64m 3
 ¾ (5 · 2)2 = 
 ¾ (x3yz4)2= 
 ¾ ( )25 2 103 3xy y y=
 ¾ ( )323 2a b = 
V. Potencia de una división
 para 0
n n
n
x x
y
y y
 
= ≠ 
 
Ejemplos
 ¾
2 2
2
4 4 16
3 93
  = = 
 
 ¾   = = 
 
3 3
3
–7 7 343
– –
5 1255
 ¾
32 4
3
x y
z
 
 
 
 = 
 ¾
53 4 5
4 2
m n p
q r
 
 
 
= 
TEOREMAS RELATIVOS A LA POTENCIACIÓN
Helicoteoría
2do Año
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
68
m
atem
ÁtiCa
Teoremas relativos a la potencia
Multiplicación de bases iguales
Potencia de potencia
Potencia de una división
División de bases iguales
Potencia de una multiplicación
xa · xb · xc = xa + b + c 
( )
cba abcx x  = 
 
, 0
na an
b bn
x x
y
y y
 
= ≠ 
 
– , 0
a
a b
b
x
x x
x
= ≠
( )a b n an bnx y x y⋅ = ⋅
 ¾ m5 · m · m2 = m8
 ¾ a · a · a · a = a4
 ¾
32 6( )x x=
 ¾
322 12(2 ) 2  = 
 
 ¾
25 25
7 49
  = 
 
 ¾
53 2 15 10
5
a b a b
c c
 
= 
 
 ¾
7
2
5
x
x
x
=
 ¾
–3
–5
2
b
b
b
=
 ¾
2 5 4 8 20( )x y x y⋅ = ⋅
 ¾ 3 3(5 ) 125m m=
LEYES DE EXPONENTES II
son
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Si x es real y m, n, p son enteros, entonces
p pn nm mx x=
Ejemplo
70 05 5 12 2 2 22 2 2 2 42 2 2 2 2 16= = = = =
Nota
Helicosíntesis
Álgebra
17Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
69
m
at
em
Át
iC
a
1. Reduzca
5
1
2 2
E
2
x x
x
+
+
+=
 Resolución
 Aplicamos am + n = am · an
( )
+
⋅ + ⋅ += = =
⋅
5 5
1
2 1 2 2 2 1 2 33
E
22 2 2
x x x
x x
Rpta.: 33
2
2. Efectúe
 
3 2
4
25 36
E
30
⋅=
 Resolución
 
2
2 2
25 5
Descomponiendo 36 2 3
30 5 2 3
 =
 = ⋅
 = ⋅ ⋅
( ) ( )⋅ ⋅ ⋅= = = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 22 2 2 6 4 4
6–4 2
4 4 4 4
5 2 3 5 2 3
E 5 5 25
(5 2 3) 5 2 3
Rpta.: 25
3. Simplifique
( ) ( ){ }−−− −  = ⋅ ⋅
3457 2 8 9P a a a a
 Señale el exponente final de a.
 Resolución
 Efectuando se tiene
 
[ ]{ }
[ ]{ }
{ }
{ }
−− −
−− −
−− −
−− − −
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ = ⋅
=
47 10 8 9
343 8 9
312 8 9
34 9 12 9
3
P
P
P 4
P
P
a a a a
a a a
a a
a a a a
a
 
Rpta.: 3
4. A qué es igual
+ + +
− − −
+ +
=
+ +
3 2 1
3 2 1
5 5 5
T
5 5 5
n n n
n n n
 Resolución
 
( )+ + +=
1 25 5 5 1
T
n
( )− + +3 25 1 5 5n
 Simplificando se tiene
 
+
−= =
1
4
3
5
T 5
5
T= 625
n
n
 
Rpta.: 625
5. Reduzca
( ) = ⋅ ⋅ 
20–2 23 (–3) –3Q a a a
 Resolución
 
[ ]
( )
( )
− + −
= ⋅ ⋅
=
=
=
=
20–6 9 –3
206 9 3
200
20
Q
Q 6
Q
Q 1
Q 1
a a a
a
Rpta.: 1
Problemas resueltos
2do Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
70
m
atem
ÁtiCa
Sesión I
1. Efectúe
+ +
+
⋅=
3 2
2
4 8
A
32
m m
m
2. Efectúe
–2 2
–3 –1
2 5
E
2 5
= +
3. Reduzca
6 –5 4 –3 2
5 –4 3 –2
x x x x x
x x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4. Reduzca
+ ++ +=
2 13 3 3
P
3
x x x
x
5. Efectúe
⋅=
3 4
3
12 6
A
9
6. Luego de reducir
 ( )
−
− −  = ⋅ ⋅ ⋅
322 4 3 4E x x x x
 señale el exponente final de x.
 
7. Reduzca
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
10 veces 6 veces
5
5 5...5 15 15 ... 15
F
125 81
 
8. Reduzca
 
( ) ( )− − − −= ⋅ ⋅ ⋅
2 22 2 2 23 3 3 2R a a a a
Nivel I
1. Simplifique
+ +
+
⋅=
2 1 3
1
3 9
T
81
n n
n
 Resolución
2. Halle el valor de
= +
–1 –3
–2 –4
2 2
R
2 2
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
19Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
71
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 
− −
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
8 5 2 3
4 2 1
x x x x
x x x x
 Resolución
4. A qué es igual 
 
+ + ++ +=
⋅
3 2 15 5 5
E
5 (31)
x x x
x
 Resolución
5. Luego de simplificado M, ese número indica los 
años de servicio en el colegio Saco Oliveros del pro-
fesor Arturo.
 
⋅=
2 3
7
15 81
M
9
 ¿Cuántos años enseña el profesor?
 Resolución
Nivel III
6. Simplifique
 ( )
−
− −  = ⋅ ⋅ ⋅
323 5 4 8T a a a a
 ¿Cuál es el exponente final de a?
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
71
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 
− −
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
8 5 2 3
4 2 1
x x x x
x x x x
 Resolución
4. A qué es igual 
 
+ + ++ +=
⋅
3 2 15 5 5
E
5 (31)
x x x
x
 Resolución
5. Luego de simplificado M, ese número indica los 
años de servicio en el colegio Saco Oliveros del pro-
fesor Arturo.
 
⋅=
2 3
7
15 81
M
9
 ¿Cuántos años enseña el profesor?
 Resolución
Nivel III
6. Simplifique
 ( )
−
− −  = ⋅ ⋅ ⋅
323 5 4 8T a a a a
 ¿Cuál es el exponente final de a?
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
71
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 
− −
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
8 5 2 3
4 2 1
x x x x
x x x x
 Resolución
4. A qué es igual 
 
+ + ++ +=
⋅
3 2 15 5 5
E
5 (31)
x x x
x
 Resolución
5. Luego de simplificado M, ese número indica los 
años de servicio en el colegio Saco Oliveros del pro-
fesor Arturo.
 
⋅=
2 3
7
15 81
M
9
 ¿Cuántos años enseña el profesor?
 Resolución
Nivel III
6. Simplifique
 ( )
−
− −  = ⋅ ⋅ ⋅
323 5 4 8T a a a a
 ¿Cuál es el exponente final de a?
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
71
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 
− −
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
8 5 2 3
4 2 1
x x x x
x x x x
 Resolución
4. A qué es igual 
 
+ + ++ +=
⋅
3 2 15 5 5
E
5 (31)
x x x
x
 Resolución
5. Luego de simplificado M, ese número indica los 
años de servicio en el colegio Saco Oliveros del pro-
fesor Arturo.
 
⋅=
2 3
7
15 81
M
9
 ¿Cuántos años enseña el profesor?
 Resolución
Nivel III
6. Simplifique
 ( )
−
− −  = ⋅ ⋅ ⋅
323 5 4 8T a a a a
 ¿Cuál es el exponente final de a?
 Resolución
2do Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
72
m
atem
ÁtiCa
7. Simplifique
 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
10 veces 8 veces
2 16
77 ... 7 21 21 ... 21
F
81 7
 
 Resolución
8. Simplifique
 
( ) ( ) ( )− − − −= ⋅ ⋅ ⋅
22 3 33 42 2 2 2E m m m m
 Resolución
Helicodesafío
1. Si bb = ab = 2, reduzca
1
E
abab
bb
ab
b
+=
A) a B) b C) ab
D) a
b
 E) 
b
a
2. Simplifique
( )( ) ( )( )
( )
⋅ ⋅
 ⋅  
4 53 42 3 3
42 315
7 7 7
7 7
A) 7 B) 49 C) 343
D) 70 E) 
1
7
Helicorreto
1. Relacione ambas columnas mediante flechas.
¾ x3. x . x–2 • x18
¾ 
2 3 3 4( ) ( )x x⋅ • x2
¾ 
2 21 1
5 3
− −
   +   
   
 • 34
2. Simplifique
 
+ +12 2
2
x x
x
A) 11 B) 12 C) 3
D) 14 E) 15
3. Simplifique
 
×=
×
3
6
15 81
R
3 25
A) 15 B) 16 C) 14
D) 12 E) 21
4. Efectúe
 
2 4
3 8
3 2
R
3 2
−
− −= +
A) 250 B) 253 C) 167
D) 259 E) 251
5. Reduzca
 
( ) ( ) ( )
−
−− 
  
223 2 24 3H= a a a
A) 3a B) 5a C) a4
D) a E) a5
Álgebra
21Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
73
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Halle el valor de 
 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅
39 factores
30 6
2 2 2 ... 2
E
2 2 2

A) 2 B) 1 C) 3
D) 4 E) 5
2. Halle el valor de
 
= +
–4 –1
–5 –3
5 3
E
5 3
A) 21 B) 27 C) 18
D) 9 E) 14
3. Simplifique
 
+ + +
+
⋅ ⋅=
3 1 2
2
16 8 4
Q
512
x x x
x
A) 1 B) 4 C) 8
D) 16 E) 2
4. Halle el valor de
 
1 25 5
E
5
x x
x
+ ++=
A) 35 B) 27 C) 32
D) 25 E) 30
Nivel II
5. Halle el exponente final luego de reducir E, indican-
do el número de hijos de mi abuelita.
 ( )
−
− −  = ⋅
353 6 2 7E m m m m
 ¿Cuántos hijos tuvo mi abuelita?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 0
6. Reduzca
 
⋅=
⋅
8 4
8 5
6 27
E
2 81
A) 6 B) 9 C) 10
D) 1 E) 4
7. Reduzca
 ( ) ( ) ( )
−
− − − −= ⋅ ⋅ ⋅
2 22 22 2 223 3 3 3P x x x x
A) x B) x1 C) x6
D) x9 E) 1
8. A qué es igual
 
+ + +
− − −
+ +=
+ +
2 1 3
2 3 1
3 3 3
T
3 3 3
n n n
n n n
A) 9 B) 27 C) 81
D) 3 E) 1
Nivel III
9. Reduzca
 
( ) ( ) –33 3–4 4 (–4) 8E a a a
1
  = ⋅ ⋅
A) a5 B) a C) a2
D) a8 E) a4
10. Víctor, le dice a su alumno Oliverito, simplifique
 
+ +
− −
+=
+
2 1
3
2 1
7 7
E
7 7
n n
n n
 el resultado es
A) 7. B) 49. C) 343.
D) 1. E) 
1
7
.
Helicotarea
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre22
Origen del símbolo radical
El símbolo de la raíz fue introducido en 1525 por el matemáti-
co Christoph Rudolff. El signo no es más que una forma estiliza-
da de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola 
con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto usual, el cual 
representa la palabra latina radix, que quiere decir raíz. 
Complete según corresponda.
3. Viene de la letra minúscula
2. Por el matemático
4. Y de la palabra latina
1. El símbolo radical fue introducido en
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica y calcula los resultados donde intervienen los exponentes frac-
cionarios.
 ¾ Utiliza y obtiene una expresión reducida cuando hay radicales conse-
cutivos.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA RADICACIÓN
Christoph Rudolff
3
Origen del símbolo radical
El símbolo de la raíz fue introducido en 1525 por el matemáti-
co Christoph Rudolff. El signo no es más que una forma estiliza-
da de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola 
con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto usual, el cual 
representa la palabra latina radix, que quiere decir raíz. 
Complete según corresponda.
3. Viene de la letra minúscula
2. Por el matemático
4. Y de la palabra latina
1. El símbolo radical fue introducido en
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica y calcula los resultados donde intervienen los exponentes frac-
cionarios.
 ¾ Utiliza y obtiene una expresión reducida cuando hay radicales conse-
cutivos.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA RADICACIÓN
Christoph Rudolff
Origen del símbolo radical
El símbolo de la raíz fue introducido en 1525 por el matemáti-
co Christoph Rudolff. El signo no es más que una forma estiliza-
da de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola 
con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto usual, el cual 
representa la palabra latina radix, que quiere decir raíz. 
Complete según corresponda.
3. Viene de la letra minúscula
2. Por el matemático
4. Y de la palabra latina
1. El símbolo radical fue introducido en
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Aplica y calcula los resultados donde intervienen los exponentes frac-
cionarios.
 ¾ Utiliza y obtiene una expresión reducida cuando hay radicales conse-
cutivos.
LEYES DE EXPONENTES PARA 
LA RADICACIÓN
Christoph Rudolff
Álgebra
23Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
79
m
at
em
Át
iC
a
LEYES PARA LA RADIACIÓN
Por definición
y si solo si nn a r r a= =
donde
 es el símbolo radical.
 n es el índice, 2n n∈ ∧ ≥ .
 a es el radicando (cantidad subradical).
 r es la raíz enésima.
Ejemplos
 ¾ 3 64 4=
índice: 3
radicando: 64
raíz (cúbica): 4
 ¾ = → =225 5 5 25
 ¾ = → =33 27 3 3 27
 ¾ ( )= → =33 –8 –2 –2 –8
 ¾ = → =44 625 5 5 625
Observación
• –4: No existe un resultado en .
• 4–16: No existe un resultado en .
 

par (–) :No existe en
Para que exista un resultado en , si el índice es par el 
radicando debe ser positivo.
Exponente fraccionario
Si las raíces existen en 
( ) ( )1 ; ,
mm
mnn na a a m n += = ∈
Ejemplos
 ¾
42
6 42 76x x x= =
 ¾
1
24 = 
 ¾
5 5x = 
 ¾
2
38 = 
1. Propiedades
 Si las raíces existen en 
A. Raíz de una multiplicación
 
nn nxy x y= ⋅
 Ejemplos
 ¾ 4 4 416 256 16 256 2 4 8⋅ = ⋅ = ⋅ =
 ¾ 6 64 5a b⋅ = 
 ¾ 3 27 125⋅ = 
 ¾ 5 53 7x x⋅ = 
B. Raíz de una división
 
, 0
n
n
n
x x
y
y y
= ≠
 Ejemplos
 ¾
36 6 6 / 3 2
3
5 3 3 35 5 5
a a a a
b b b b
= = =
 ¾
4
6
x
x
 = 
 ¾
4 7
4
25
25
 = 
C. Raíz de raíz
 
m p m n pn
x x
⋅ ⋅=
 Ejemplos
 ¾
4 3 5 4 3 5 6085 85 85⋅ ⋅= =
 ¾ 3 4 ab = 
 ¾
3 6x = 
 ¾
3 5 30x = 
Helicoteoría
2do Año
24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
80
m
atem
ÁtiCa
2. Propiedades auxiliares
a. ( )p mnpm na b c an b p cx x x x + +=
× ×+ +
b. ( – )p mnpm na b c an b p cx x x x +÷ ÷ =
× ×– +
 Ejemplos
 ¾ ⋅ ⋅ += =3 5 3 5 152 7 (2 5) 7 17x x x x
 ¾
⋅ ⋅ ⋅ +÷ ÷ =
= =
3 3 2 445 3 (1 2–5)4 3
824 –9 –3 
x x x x
x x
 
1
nnx x= (Radicación)
m
n mnx x=
Raíz de una multiplicación
Raíz de raíz
Raíz de una división
Propiedades
nn nxy x y= ⋅
n p nmpm
x x=
n
n
n
x x
y y
=
Propiedad auxiliar
( )
( – )
1. 
2. 
p mnpm na b c an b p c
p mnpm na b c an b p c
x x x x
x x x x
+ +
+
=
÷ ÷ =
 ¾ 7 7 7 72 5 2 5 7x x x x x x⋅ = ⋅ = =
 ¾ = =
3 5 60120 120 2x x x
 ¾
33 3
–13
6 23 6
x x x
x
x xx
= = =
EXPONENTE FRACCIONARIO
forma general
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Helicosíntesis
Álgebra
25Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
81
m
at
em
Át
iC
a
1. Halle el valor de A+B si
 
5 25 10A 32 y B 144x x= =
 Resolución
 Aplicando el teorema de raíz de una multiplicación
 
5 525 25 55
10 10 5
A 32 32 2
B 144 144 12
x x x
x x x
= = ⋅ =
= = ⋅ =
 ∴ A+B = 14x5
Rpta.: 14x5
2. Efectúe
 
1327125
−−
 Resolución
 Operando de arriba hacia abajo
 
− − −−
= = =
11 113 3327 27 27 3125 125 125 125
 3 125 5= =
Rpta.: 5
3. Reduzca
3 2 3 4E x x x x=
 Resolución
 Aplicando la propiedad
3 2 5 42 3 1 1E x x x x=
× × ×+ + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + += 3 2 5 4 ((2 2 3)5 1)4 1E x
145E x=
24 29120
24 29E x=
Rpta.: 24 29x
4. Simplifique
 
+ + += + −2 4E 729 729 729b a a ba b
 Resolución
 Si los radicales son semejantes, se cumple que
 b + 2 = a + 4 = a + b
 De donde a = 2; b = 4
 
= + −
= =
6 6 6
66 6
E 2 729 4 729 729
E 5 729 5 3
 E = 5(3) → E = 15
Rpta.: 15
5. Simplifique
 
=
⋅ ⋅
3 3 3 270
3 3 316 24 20
M
x
x x x
 Resolución
 Operando
 ¾ 27 270 10x x=
 ¾ 3 3 3 316 24 20 60 20x x x x x⋅ ⋅ = =
 Reemplazando
 
10
10
20
M
x
x
x
−= =
Rpta.: x– 10
Problemas resueltos2do Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
82
m
atem
ÁtiCa
Sesión I
1. Efectúe
 
11 1
34 2E 16 4 8= + +
2. Efectúe 
 
− − −
     = + +     
     
1 1 12 3 21 1 1
T
4 27 36
3. Reduzca 
−
⋅ ⋅=
3
24 13
E
x x x
x
4. Si = 3,
x
x reduzca
 = +
9 4
E
x x
x x
5. Halle el valor de
 =
10 20
5 5
32
R
x b
x b
6. Simplifique
 = ⋅
4 33 2 24Q a a a a
7. Halle el valor de A – B si
 
3 37 2
5 32
5 17
A
B
x x
x
x
= ⋅
=
8. Halle el valor de
 
3 4 23 12F x x= ⋅
Nivel I
1. Efectúe
 
11 1
32 4A 16 27 81= + +
 Resolución
2. Halle el valor de
 
− − −
     = + −     
    
1 1 14 2 21 1 1Q
625 49 4
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
27Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
83
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 −
⋅ ⋅=
43 63
3 2
R
m m m
m
 Resolución
4. El maestro Armando, profesor de Saco Oliveros in-
dica que el resultado del ejercicio:
 Sabiendo que = 2,
m
m evalúe 
= +
25 16
T
m m
m m
 Son los años de servicio del profesor Víctor. ¿Cuán-
tos años de servicio tiene?
 Resolución
5. Reduzca
 
20 12
4
16 4
81
E
x y
x y
=
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 = ⋅ ⋅
5 3 3 154 2 2 3E x x x x
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
83
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 −
⋅ ⋅=
43 63
3 2
R
m m m
m
 Resolución
4. El maestro Armando, profesor de Saco Oliveros in-
dica que el resultado del ejercicio:
 Sabiendo que = 2,
m
m evalúe 
= +
25 16
T
m m
m m
 Son los años de servicio del profesor Víctor. ¿Cuán-
tos años de servicio tiene?
 Resolución
5. Reduzca
 
20 12
4
16 4
81
E
x y
x y
=
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 = ⋅ ⋅
5 3 3 154 2 2 3E x x x x
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
83
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 −
⋅ ⋅=
43 63
3 2
R
m m m
m
 Resolución
4. El maestro Armando, profesor de Saco Oliveros in-
dica que el resultado del ejercicio:
 Sabiendo que = 2,
m
m evalúe 
= +
25 16
T
m m
m m
 Son los años de servicio del profesor Víctor. ¿Cuán-
tos años de servicio tiene?
 Resolución
5. Reduzca
 
20 12
4
16 4
81
E
x y
x y
=
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 = ⋅ ⋅
5 3 3 154 2 2 3E x x x x
 Resolución
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
83
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
 −
⋅ ⋅=
43 63
3 2
R
m m m
m
 Resolución
4. El maestro Armando, profesor de Saco Oliveros in-
dica que el resultado del ejercicio:
 Sabiendo que = 2,
m
m evalúe 
= +
25 16
T
m m
m m
 Son los años de servicio del profesor Víctor. ¿Cuán-
tos años de servicio tiene?
 Resolución
5. Reduzca
 
20 12
4
16 4
81
E
x y
x y
=
 Resolución
Nivel III
6. Reduzca
 = ⋅ ⋅
5 3 3 154 2 2 3E x x x x
 Resolución
2do Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
84
m
atem
ÁtiCa
7. Halle el valor de A – B si
 
5 513 2
4 11 4
A
B
x x
x x
= ⋅
= ⋅
 Resolución
8. Reduzca
 
3 33 37 2M x x= ⋅
 Resolución
Helicodesafío
1. Simplifique
 
3 2
3 2
3 2 2 3 2 3
225 225
E
5 5 4+5 5
n
n
n n
+
+
+ +
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
A) 40 B) 45 C) 15
D) 75 E) 9
2. Simplifique
–F
( )
n
nn
m n
mn
x y
xy
 
 =
  
A) (xy)m – n B) xy C) (xy)–1
D) (xy) –2 E) (xy)m
Helicorreto
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. 
2
7 7x x= ( )
b. =
1
29 3 ( )
c. 3 55 5= ( )
2. Reduzca 
3
13 4E 125 81 .
−
= +
A) 32 B) 30 C) 8
D) 27 E) 28
3. Halle el valor de A + B si 
 A = 3 1227x y B = 849x
A) 10x8 B) 10x C) 10x4
D) 16x8 E) 16x4
4. Efectúe    −   
   
3 1
2 21 1
9 4
.
A) 3 B) 11 C) 
25
60
D) 
11
16 E) – 
25
54
5. Efectúe = ⋅3 4 312 12H x x .
A) 1 B) x C) x6
D) x3 E) x4
Álgebra
29Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
2.o grado Compendio de CienCias i
85
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Simplifique
 
− − −− − −
     = + −     
    
1 1 12 3 21 11E
36 125 121
A) 22 B) 11 C) 5
D) 6 E) 0
2. Efectúe
 
–1 –1 –12 3 4R 4 8 81= + +
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 8
3. Simplifique
 −
⋅ ⋅=
3
6 4 11
Q
a a a
a
A) a4 B) a6 C) a8
D) a2 E) a
4. Halle el valor de 
 
12 24
6
6 12
64
F
x y
x y
=
A) x3y2 B) xy C) 2xy
D) 2xy2 E) 2x2y
Nivel II
5. Se tiene que =
3
3 3
x
x . Halle el valor de
 = +
3 38 64
3 3T
x x
x x
A) 90 B) 80 C) 72
D) 16 E) 6
6. Al reducir la expresión A, el resultado indica la pro-
pina del alumno Pepito.
 
1 1
3 3A 2 125 4 27= ⋅ + ⋅
 ¿Cuánto recibe de propina el alumno sacooliverino?
A) 12 B) 22 C) 32
D) 42 E) 52
7. Efectúe
 
4 1
5 21 1F
32 16
   = +   
   
A) 
5
16
 B) 18 C) 
5
12
D) 
12
5
 E) 
16
5
8. Efectúe
 7 72 11 7E x x x= ⋅ ⋅
A) x4 B) x C) x2
D) x5 E) x3
Nivel III
9. Efectúe
 
4 17
9 97 11
4 9
M
x
x x
x
= ⋅ −
A) x2 B) x C) 0
D) 1 E) 25
10. Simplifique
 = ⋅ ⋅
5 4 3 104 3 2 6Q x x x x
A) x5 B) x4 C) x3
D) x E) x2
Helicotarea