Álgebra

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ÍndiceÍndice
Leyes de exponentes I.....................................................................................................5
Leyes de esponentes II..................................................................................................14
Ecuación exponencial....................................................................................................23
Notación polinómica (Valor numérico)..........................................................................31
Grado de un polinomio..................................................................................................40
Polinomios especiales...................................................................................................48
Productos notables I.....................................................................................................58
Productos notables II....................................................................................................66
División polinómica I......................................................................................................75
División polinómica II.....................................................................................................86
Cocientes notables........................................................................................................95
Factorización I..............................................................................................................106
Factorización II.............................................................................................................116
Radicación ...................................................................................................................126
Factorial......................................................................................................................137
Número combinatario...................................................................................................147
Binomio de Newton......................................................................................................157
Ecuaciones de primer grado........................................................................................168
Ecuaciones de segundo grado....................................................................................178
Sistema de ecuaciones................................................................................................188
Desigualdades e inecuaciones de primer grado.........................................................198
Inecuaciones de segundo grado.................................................................................208
Relaciones y funciones......,.........................................................................................218
Colegio Particular 537
Pupiálgebra
E H T W M O N O M I O S K N Q C L F O A S G U
C E R P R N U M B R D R A D S P G A L T E K A
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A Ñ O E U H N R N Y S E I R L T R N X T A E O
P A P E N D A N S E T N A J E M E S E O N R I
 ¾ Monomios
 ¾ Grado
 ¾ Semejantes
 ¾ Suma
 ¾ Igualdad
 ¾ Producto
 ¾ División
 ¾ Resta
 ¾ Potencias
 ¾ Trinomio
 ¾ Solución
 ¾ Valoración
 ¾ Polinomios
 ¾ Factorización
 ¾ Divisibilidad
 ¾ Notables
 ¾ Binomios
 ¾ Halla
 ¾ Multiplica
 ¾ Simplifica
 ¾ Calcula
 ¾ Ecuaciones
 ¾ Denominadores
 ¾ Exponenciales
 ¾ Numerador
 ¾ Paréntesis
 ¾ Exponentes
 ¾ Resolución
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y diferencia los tipos de exponentes que existen.
 ¾ Aplica las diferentes propiedades en la resolución de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I
M
A
TE
M
Á
TI
CA 1
37
Pupiálgebra
E H T W M O N O M I O S K N Q C L F O A S G U
C E R P R N U M B R D R A D S P G A L T E K A
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 ¾ Monomios
 ¾ Grado
 ¾ Semejantes
 ¾ Suma
 ¾ Igualdad
 ¾ Producto
 ¾ División
 ¾ Resta
 ¾ Potencias
 ¾ Trinomio
 ¾ Solución
 ¾ Valoración
 ¾ Polinomios
 ¾ Factorización
 ¾ Divisibilidad
 ¾ Notables
 ¾ Binomios
 ¾ Halla
 ¾ Multiplica
 ¾ Simplifica
 ¾ Calcula
 ¾ Ecuaciones
 ¾ Denominadores
 ¾ Exponenciales
 ¾ Numerador
 ¾ Paréntesis
 ¾ Exponentes
 ¾ Resolución
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y diferencia los tipos de exponentes que existen.
 ¾ Aplica las diferentes propiedades en la resolución de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I
M
A
TE
M
Á
TI
CA
37
Pupiálgebra
E H T W M O N O M I O S K N Q C L F O A S G U
C E R P R N U M B R D R A D S P G A L T E K A
U M I N D A D I L I B I S I V I D C E U R T Z
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 ¾ Monomios
 ¾ Grado
 ¾ Semejantes
 ¾ Suma
 ¾ Igualdad
 ¾ Producto
 ¾ División
 ¾ Resta
 ¾ Potencias
 ¾ Trinomio
 ¾ Solución
 ¾ Valoración
 ¾ Polinomios
 ¾ Factorización
 ¾ Divisibilidad
 ¾ Notables
 ¾ Binomios
 ¾ Halla
 ¾ Multiplica
 ¾ Simplifica
 ¾ Calcula
 ¾ Ecuaciones
 ¾ Denominadores
 ¾ Exponenciales
 ¾ Numerador
 ¾ Paréntesis
 ¾ Exponentes
 ¾ Resolución
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y diferencia los tipos de exponentes que existen.
 ¾ Aplica las diferentes propiedades en la resolución de ejercicios.
LEYES DE EXPONENTES I
M
A
TE
M
Á
TI
CA
3er Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
38
En ocasiones las cifras de números enteros muy grandes, 
o los decimales extremadamente pequeños, se representan
enforma más simplificada.
Ejemplo: La velocidad de la luz es trescientos millones 
de metros por segundo, es decir, de 300 000 000 m/s o 
abreviadamente 3 × 108 m/s.
Leyes de exponentes
1. Potenciación. Es una operación matemática que
consiste en hallar una expresión llamada potencia,
partiendo de otras dos llamadas base y exponente.
(Base)Exponente = Potencia
2. Ley de signos
 ¾ (+)par = (+)
 ¾ (+)impar = (+)
 ¾ (–)par = (+)
 ¾ (–)impar = (–)
Ejemplos Ejercicios
¾ (+2)30 = +230 ¾ (–5)10 =
¾ (–5)15 = –515 ¾ (–2)15 =
¾ (–7)40 = +740 ¾ (–11)13 =
¾ (+3)20 = +320 ¾ (–8)60 =
3. Tipos de exponentes
a. Exponente natural. Es el exponente entero y posi-
tivo que nos indica el número de veces que se repite
como factor una expresión llamada base.
veces
; si 1
... ; si 2
m
m
a m
a a a a a a m m
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈ ∧ ≥



Ejemplos
 ¾ = =

3
3 veces
2 (2)(2)(2) 8
 ¾ − = − = −

4
4 veces
3 (3)(3)(3)(3) 81
 ¾ = =
52 (2)(2)(2)(2)(2) 32
3 3 3
 ¾
     = =     
     
35 5 5 5 125
2 2 2 2 8
 ¾ (–5)4 = (–5)(–5)(–5)(–5) = 625
b. Exponente cero. Todo número diferente de cero
elevado al exponente cero es la unidad.
a0 = 1; ∀ a ∈  ∧ a ≠ 0
Ejemplos
¾ (–3)0 = 1 ¾ –50 = –1
¾
02
1
3
 − = 
 
¾
03 1
4 4
=
¾
03
1
7
  = 
 
c. Exponente negativo. Todo número real diferente de
cero elevado a un exponente negativo se invierte,
después de lo cual, el exponente queda positivo.
1
; 0m
m
a a m
a
− = ∀ ≠ ∧ ∈
¡Veamos!
Si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces 
−
   =   
   
m ma b
b a
Nota
Ejemplos
 ¾
− = =3
3
1 1
2
82
 ¾
−− = =
−
2
2
1 1
( 3)
9( 3)
 ¾
−− = =
−
4
4
1 1
( 5)
625( 5)
 ¾ −− = − = −4 4
1 1
3
813
 ¾
−
      = = =      
      
2 22 3 3 3 9
3 2 2 2 4
 ¾
−
       = = =       
       
3 35 3 3 3 3 27
3 5 5 5 5 125
 ¾
−
= = =
3 3
1 1
2 182
55 5 40
1
LEYES DE EXPONENTES I
Helicoteoría
Álgebra
7Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
39
m
at
em
Át
iC
a
Ejemplos
 ¾ (x3)4 ⋅ (x3)5 = x3 ⋅ 4 ⋅ x3 ⋅ 5 = x12 ⋅ x15 = x27
 ¾ {(x2)2}3 = x2 ⋅ 2 ⋅ 3 = x12
 ¾ {(x3)2 ⋅ x5}3 = {x6 ⋅ x5}3 = (x11)3 = x33
4. Potencia de una multiplicación
(ab)m = ambm; a, b ∈  ∧ m ∈ 
Ejemplos
 ¾ (xy)5 = x5 y5
 ¾ =7 8 16 16 7 16 8 16( ) ( ) ( ) ( )xy z x y z
 ¾     =        
4 4
4( )m m
a a
c c
b b
5. Potencia de una división
  = ∈ ∧ ∈ − 
 
 ; {0}
m m
m
a a
m b
b b
Ejemplos
 ¾ ( )
( )
m m m
m m
a a a
b b b
α α α
β β β
 
= = 
 
 ¾
230 30 2 60
100
20 20 2 40
2 (2 ) 2
2
2 (2 ) 2− − −
 
= = = 
 
 ¾
− − −
− −
 
= = = 
 
22 2 2 4 6
3 3 2 6 4
( ) ( )
( ) ( )
x x x y
y y y x
a a a b
b b b a
Propiedades
1. Multiplicación de bases iguales
am · an = am+n; a ∈ 
Ejemplos
 ¾ 25 ⋅ 23 ⋅ 28 = 25 + 3 + 8 = 216
 ¾ xa + 2 ⋅ x5 – a ⋅ x8 = xa + 2 + 5 – a + 8 = x15
 ¾
3x x x x x x x
a a a a a
+ +
⋅ ⋅ = =
2. División de bases iguales
m
m n
n
a
a
a
−= = 1; m, n ∈  ∧ m ≥ n, a ∈  – {0}
Ejemplos
 ¾
50
50 40 50 40 10
40
2
2 2 2 2
2
−= ÷ = =
 ¾
20
20 16 20 16 4
16
5
5 5 5 5 625
5
−= ÷ = = =
 ¾
3 5
3 5 2 2 3 5 (2 2 )
2 2
3 5 2 2 7 1
x
x x x x
x
x x x
a
a a a
a
a a
+
+ − + − −
−
+ − + +
= ÷ =
= =
3. Potencia de potencia
(am)n = amn; a ∈  ∧ m, n ∈ 
3er Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
40
 
= ≠ ≠ 
 
; 0, 0
km mk
n nk
a a
a b
b b
Leyes de exponentes
Propiedades
(Base)Exponente = Potencia
Exponente natural
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥

veces
; 2n
n
a a a a a n
Exponente cero
a0 = 1; ∀ a ∈ , a ≠ 0
−= ≠; 0
m
m n
n
a
a a
a
am ⋅ an = am+n
(am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk((am)n)p = amnp
Exponente negativo
 ¾
− = ≠1 ; 0n
n
a a
a
 ¾
−
   = ≠ ≠   
   
; 0, 0
n na b
a b
b a
Potenciación
Helicosíntesis
Álgebra
9Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
41
m
at
em
Át
iC
a
1. Reduzca
2
15 12
T
4 5
m m
m m
 +=  
+ 
Resolución
 Descomponiendo
 ⋅ + ⋅=  
+ 
2
3 5 3 4
T
4 5
m m m m
m m
Factorizamos 3m
3 (5 4 )
T
m m m+
=
(4 5 )m m+
2
 
 
  
T = [3m]2 = (32)m = 9m
Rpta.: 9m
2. Reduzca
1 2 3
2 3
2 2 2
E
2 2
x x x
x x
+ + +
+ +
+ +=
+
Resolución
 Aplicando
am + n = am · an
2 3
2 3
2 2 2 2 2 2
E
2 2 2 2
x x x
x x
⋅ + ⋅ + ⋅=
⋅ + ⋅
 Factorizando
2E
x
=
2 3(2 2 2 )
2x
+ +
2 3(2 2 )+
2 4 8 14 7
E
4 8 12 6
+ += = =
+
Rpta.: 7
6
3. Halle el valor de
2 3 5
E
6 15 10
x x x
x
x x x− − −
+ +=
+ +
 Resolución
Se aplica el exponente negativo y se saca MCM.
E = 
+ +
+ +
2 3 5
1 1 1
6 15 10
x x x
x
x x x
 E = 
+ +
+ +
2 3 5
1
5 2 3
30
x x x
x x x x
x
 E = x 30x → E = 30
Rpta.: 30
4. Si xx = 2, reduzca
( )
+
=
1
E
xxxxx
Resolución
De E se tiene
( )
⋅ ⋅
= =E ( )
x xx x x xxx x xx x
= ( )E ( )
xx xx xx
Reemplazando la condición
= → =
22E 2 E 16
Rpta.: 16
5. Reduzca R = 8 × 15
2 × 9
102 × 81
.
Resolución
R =  2
3 × (5×3)2 × 32
(2 × 5)2 × 34
R =  2
3 × 52 × 34
22 × 52 × 34
R = 2
Rpta.: 2
Problemas resueltos
3er Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
42
1. Efectúe
3 2 1
1
1 1 1
2 5 3S
1
6
− − −
−
     + +     
     =
 
 
 
2. A qué es igual
( )
− −
−
⋅ ⋅=
⋅
2 22 2 2( 3) 3 3
223 3
2 2 2
E
2 2
3. Sinplifique
+ +
+
⋅=
2 3 2
1
4 8
T
128
m m
m
4. Reduzca
+ + +
+ +
− +=
+
5 4 2
3 1
2 2 2
Q
2 2
n n n
n n
5. Efectúe
⋅=
⋅
2 4
4
81 45
E
27 625
6. Simplifique
 − − −= ⋅ ≠6 3 4 2 7 2 10E {[ ( ) ] } , ; 0m m m m m
7. Siendo − = 12
3
x , evalúe
T = 8x + 4x + 2x
8. Sabiendo que xx = 3, halle el valor de la expresión
R = x2x
x+1
Nivel I
1. Halle el valor de
3 4 2
2
1 1 1
5 2 3R
1 1
7
− − −
−
     + +     
     =
  + 
 
Resolución
2. Efectúe
( )
− −⋅ ⋅=
4 44 2 22 ( 2) 2
232
3 3 3
P
3
Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
11Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
43
m
at
em
Át
iC
a
Nivel II
3. Reduzca
+ +
+
⋅ ⋅=
3 2 5
3
3 9 27
Q
243
x x
x
Resolución
4. Simplifique
+ +
+
+=
−
2 2 2 1
2 1 2
3 3
E
3 3
n n
n n
Resolución
5. En el aula del 3.o C del colegio Saco Oliveros, re-
duzco el valor de S dado por
⋅=
⋅
4 3
3
27 15
S
81 225
El resultado me indica la edad de mi hermano. ¿Cuál 
es dicha edad?
Resolución
Nivel III
6. Luego de simplificar
( )− − −   = ⋅ ⋅ ⋅ ≠ 
2344 2 8 7E , 0a a a a a
indique el exponente final de a.
Resolución
3er Año
12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
44
7. Si − = 13
2
x , dé el valor de
Q = 27x + 9x + 1
Resolución
8. Sabiendo que xx = 2, halle el valor de la expresión
E = x3x
x+1
Resolución
1. Si 5 7ba = , reduzca
3 3
1 1
5 7
A
7 5
b a
a b
+ +
+ +
−=
−
A) –109 B) –101 C) –110
D) –108 E) –111
2. A qué es igual
⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
3 4 5 6
10
9 5 3 2
33 44 55 66
T
121 5 27 4
A) 11 B) 7 C) 9
D) 5 E) 2
1. Reduzca
Q = 

– 1
2



–3
 + 

1
7



–2
+ (–3)2
A) 30 B) 40 C) 45
D) 50 E) 44
2. Efectúe
E = 
4–1 + 3–1
12–1
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
3. Efectúe
( ) ( ) ( )
( )
−− −
=
2 4 32 3 4
47
E
a a a
a
A) 2 B) 1 C) a3
D) a4 E) a6
4. Reduzca
E = 
2x+1 + 2x+2
2x
A) 6 B) 8 C) 4
D) 7 E) 10
5. Simplifique
T = 
1254 · 27 · 363
94 · 256
A) 4 B) 2 C) 192
D) 8 E) 16
Helicodesafío
Helicorreto
Álgebra
13Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
45
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Señale el exponente final de x luego de reducir
( ){ }−−− −  = ⋅ ⋅ ⋅ ≠
2334 8 8 5T , 0x x x x x
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
2. Halle el valor de
E = (7–1 + 3–1 + 11 · 21–1)60
700
A) 2 B) 1 C) 4
D) 6 E) 7
3. Simplifique
( )−− −= ⋅ ⋅ ⋅ ≠
2 2 33 3 23 2( 2) 2 (( 2) ) 2P , 0m m m m m
A) 4m B) m4 C) m2
D) m6 E) 20
4. Mi papá me dice: “Si tu simplificas la expresión te
daré igual cantidad de propina”. Cuál es la simplifi-
cación de
2 3 1 51 1 1 1
F
3 5 7 2
− − − −
       = + + +       
       
A) 140 B) 161 C) 171
D) 173 E) 175
Nivel II
5. Reduzca
12 120 125
E
36 20 375
⋅ ⋅=
⋅ ⋅
A) 
5
1 B) 
4
3 C)
3
4
D) 
2
3 E) 
3
2
6. Efectúe
− −− −
   + +  
  
1 14 3
01 1P = 4
625 27
A) 28 B) 9 C) 7
D) 7 E) 8
15
7. Si a20 b60 c90 = 1040
a80 b40 c10 = 1060
 calcule a b c.
A) 9 B) 10 C) 8
D) 7 E) 6
8. Si ab = bb = 2, reduzca
=T
ababab
A) 16 B) 4a C) 8a
D) 1 E) 2
Nivel III
9. Reduzca 3 1
3 1
3 27
F
3
x x
x
+
+
+=
A) 4 B) 3 C) 2
D) 
3
4 E) 16
10. La edad de un alumno del colegio Saco Oliveros es
el resultado de reducir
3 1 2
3 1
2 8
E
2
x x
x
+ +
+
+=
Señale dicha edad.
A) 16 B) 8 C) 43
D) 23 E) 33
Helicotarea
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre14
Pupinúmeros
1 2 4 8 0 8 2 5 4 0 5 5 0 5 4 2 4 7 1 2 6 5
0 3 5 3 4 9 7 8 2 8 1 8 7 1 6 5 3 1 8 7 4 1
8 6 9 8 2 0 2 5 0 7 0 4 9 5 7 4 7 4 5 9 0 9
3 5 0 3 4 8 4 7 6 4 8 1 0 4 0 2 6 5 3 2 8 2
6 4 9 2 7 3 1 9 2 7 9 5 7 3 7 9 4 8 9 0 3 5
5 2 3 1 9 2 8 7 5 8 4 1 2 8 4 3 1 5 7 1 9 8
7 0 8 4 8 5 3 0 6 9 0 6 3 5 0 9 4 9 4 8 6 5
9 6 2 3 9 1 9 5 8 4 3 8 4 1 2 1 0 2 8 5 4 7
4 7 4 1 0 4 8 0 2 9 1 9 5 9 5 6 3 7 4 3 6 2
8 0 5 7 8 5 2 6 1 8 7 0 4 6 1 2 1 6 0 1 4 8
3 1 4 1 0 4 1 9 2 4 2 8 5 9 8 9 8 3 2 9 0 5
5 0 2 3 5 7 3 7 0 5 3 1 4 3 4 0 6 9 7 9 6 4
9 7 9 8 9 8 2 4 1 6 8 5 7 9 2 7 8 5 2 3 0 9
4 2 3 4 5 6 3 6 7 9 7 4 2 4 1 5 0 7 4 6 2 8
7 6 7 3 7 9 8 0 3 8 2 5 0 8 7 6 2 8 9 7 0 9
3 1 0 1 5 1 2 7 6 1 3 8 2 5 0 5 1 6 1 7 3 5
9 8 7 3 6 5 9 1 9 6 0 6 9 1 6 2 3 4 9 5 6 9
2 4 5 2 1 2 5 2 3 8 7 4 2 5 4 8 1 6 5 2 1 3
4+4 = 8
 6
2 12
 ¾ 45759
 ¾ 59887
 ¾ 56217
 ¾ 97989
 ¾ 76603
 ¾ 58415
 ¾ 23134
 ¾ 23654
 ¾ 24975
 ¾ 80578
 ¾ 80926
 ¾ 55533
 ¾ 41257
 ¾ 49575
 ¾ 41523
 ¾ 46817
 ¾ 51543
 ¾ 54161
 ¾ 25776
 ¾ 58071
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Define y aplica el exponente fraccionario para obtener los resultados
de distintas operaciones.
 ¾ Obtiene y reduce expresiones que contenga raíces.
LEYES DE EXPONENTES II
M
A
TE
M
Á
TI
CA 2
Pupinúmeros
1 2 4 8 0 8 2 5 4 0 5 5 0 5 4 2 4 7 1 2 6 5
0 3 5 3 4 9 7 8 2 8 1 8 7 1 6 5 3 1 8 7 4 1
8 6 9 8 2 0 2 5 0 7 0 4 9 5 7 4 7 4 5 9 0 9
3 5 0 3 4 8 4 7 6 4 8 1 0 4 0 2 6 5 3 2 8 2
6 4 9 2 7 3 1 9 2 7 9 5 7 3 7 9 4 8 9 0 3 5
5 2 3 1 9 2 8 7 5 8 4 1 2 8 4 3 1 5 7 1 9 8
7 0 8 4 8 5 3 0 6 9 0 6 3 5 0 9 4 9 4 8 6 5
9 6 2 3 9 1 9 5 8 4 3 8 4 1 2 1 0 2 8 5 4 7
4 7 4 1 0 4 8 0 2 9 1 9 5 9 5 6 3 7 4 3 6 2
8 0 5 7 8 5 2 6 1 8 7 0 4 6 1 2 1 6 0 1 4 8
3 1 4 1 0 4 1 9 2 4 2 8 5 9 8 9 8 3 2 9 0 5
5 0 2 3 5 7 3 7 0 5 3 1 4 3 4 0 6 9 7 9 6 4
9 7 9 8 9 8 2 4 1 6 8 5 7 9 2 7 8 5 2 3 0 9
4 2 3 4 5 6 3 6 7 9 7 4 2 4 1 5 0 7 4 6 2 8
7 6 7 3 7 9 8 0 3 8 2 5 0 8 7 6 2 8 9 7 0 9
3 1 0 1 5 1 2 7 6 1 3 8 2 5 0 5 1 6 1 7 3 5
9 8 7 3 6 5 9 1 9 6 0 6 9 1 6 2 3 4 9 5 6 9
2 4 5 2 1 2 5 2 3 8 7 4 2 5 4 8 1 6 5 2 1 3
4+4 = 8
 6
2 12
 ¾ 45759
 ¾ 59887
 ¾ 56217
 ¾ 97989
 ¾ 76603
 ¾ 58415
 ¾ 23134
 ¾ 23654
 ¾ 24975
 ¾ 80578
 ¾ 80926
 ¾ 55533
 ¾ 41257
 ¾ 49575
 ¾ 41523
 ¾ 46817
 ¾ 51543
 ¾ 54161
 ¾ 25776
 ¾ 58071
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Define y aplica el exponente fraccionario para obtener los resultados
de distintas operaciones.
 ¾ Obtiene y reduce expresiones que contenga raíces.
LEYES DE EXPONENTES II
M
A
TE
M
Á
TI
CA
Pupinúmeros
1 2 4 8 0 8 2 5 4 0 5 5 0 5 4 2 4 7 1 2 6 5
0 3 5 3 4 9 7 8 2 8 1 8 7 1 6 5 3 1 8 7 4 1
8 6 9 8 2 0 2 5 0 7 0 4 9 5 7 4 7 4 5 9 0 9
3 5 0 3 4 8 4 7 6 4 8 1 0 4 0 2 6 5 3 2 8 2
6 4 9 2 7 3 1 9 2 7 9 5 7 3 7 9 4 8 9 0 3 5
5 2 3 1 9 2 8 7 5 8 4 1 2 8 4 3 1 5 7 1 9 8
7 0 8 4 8 5 3 0 6 9 0 6 3 5 0 9 4 9 4 8 6 5
9 6 2 3 9 1 9 5 8 4 3 8 4 1 2 1 0 2 8 5 4 7
4 7 4 1 0 4 8 0 2 9 1 9 5 9 5 6 3 7 4 3 6 2
8 0 5 7 8 5 2 6 1 8 7 0 4 6 1 2 1 6 0 1 4 8
3 1 4 1 0 4 1 9 2 4 2 8 5 9 8 9 8 3 2 9 0 5
5 0 2 3 5 7 3 7 0 5 3 1 4 3 4 0 6 9 7 9 6 4
9 7 9 8 9 8 2 4 1 6 8 5 7 9 2 7 8 5 2 3 0 9
4 2 3 4 5 6 3 6 7 9 7 4 2 4 1 5 0 7 4 6 2 8
7 6 7 3 7 9 8 0 3 8 2 5 0 8 7 6 2 8 9 7 0 9
3 1 0 1 5 1 2 7 6 1 3 8 2 5 0 5 1 6 1 7 3 5
9 8 7 3 6 5 9 1 9 6 0 6 9 1 6 2 3 4 9 5 6 9
2 4 5 2 1 2 5 2 3 8 7 4 2 5 4 8 1 6 5 2 1 3
4+4 = 8
 6
2 12
 ¾ 45759
 ¾ 59887
 ¾ 56217
 ¾ 97989
 ¾ 76603
 ¾ 58415
 ¾ 23134
 ¾ 23654
 ¾ 24975
 ¾ 80578
 ¾ 80926
 ¾ 55533
 ¾ 41257
 ¾ 49575
 ¾ 41523
 ¾ 46817
 ¾ 51543
 ¾ 54161
 ¾ 25776
 ¾ 58071
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Define y aplica el exponente fraccionario para obtener los resultados
de distintas operaciones.
 ¾ Obtiene y reduce expresiones que contenga raíces.
LEYES DE EXPONENTES II
M
A
TE
M
Á
TI
CA
Álgebra
15Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
47
m
at
em
Át
iC
a
Exponente fraccionario
Es aquel exponente que se expresa como los radicales
m
mn m nna a a= = ; ∀ m ∈  ∧ n ≥ 2
Ejemplos
 ¾
2
23327 27= = 32 = 9
 ¾
3
344625 625= = 53 = 125
 ¾
2 2
23 331 8 8
8
−
  = = 
  =2
2 = 4
 ¾
2 2
23 331 ( 343) 343
343
−
 − = − = − 
 
=(–7)2 = 49
Exponente de exponente
ab
cd
 = d b
m
 = an = p
Ejemplos
 ¾
−−−  = = = = 
 
11
1 22 2 1 1 14 4
4 4 2
 ¾
( )2 11 1 41 1 1162 4
1 1 1 116 16 2
9 9 9 9
1 1
39 3
27 27 27 27
27 27 27 3
                       
       = = =
= = = =
 ¾
1
1 1 1216
416 441 1 1 81 81 3
81 81 81
−
− − −
     = = = = =     
     
Propiedades
1. Raíz de raíz
m n mna a=
Si mn = par → a > 0
Ejemplos
 ¾ 5 3 5 3 15x x x⋅= =
 ¾
1
1 1 1 1 1
1/2 1/3 301/5 2 3 5 30 302 2 2 2 2
⋅ ⋅
= = = =
 ¾
22 2 2 2 2 25 5 5 5
x x x x x x x+⋅= = =
2. Raíz de un producto
m m mab a b= ⋅
Si m es par
→ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
¡Veamos!
=1
1
a
a
 =



 =

1* 20
1
20
1* 5
1
5
Nota
Ejemplos
 ¾ 32 16 2 16 2 4 2= ⋅ = ⋅ =
 ¾ 3 3 35 7 5 7a b a b= ⋅
 ¾ 5 55 5 564 32 2 32 2 2 2= ⋅ = ⋅ =
3. Raíz de un cociente
n
n
n
a a
b b
= ; b ≠ 0
Si n es par
→ a ≥ 0 ∧ b > 0
Ejemplos
 ¾ = =
4
4
4
81 81 3
16 216
 ¾
3
33
3
16 16
8 2
22
= = =
 ¾
52 2
5
3 35
x x
y y
=
LEYES DE EXPONENTES II
Helicoteoría
3er Año
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
48
Radicales sucesivos
( )p nmpn m q m p qx x x xα β α +β +=
× ×+ +
Ejemplos
 ¾
× ×+ +
5 53 32 3 2 2 3 24 4x x x x x x=
3 4 5 (2 4 3)5 2x⋅ ⋅ ⋅ + +=
 
60 57x=
 ¾
× ×+ +
223 5 5 3 5 52x x x x x x=
 
8 27x=
 ¾
× ×+ +
5 5 23 32 5 1 2 5x x x x x x=
 
30 15x=
¡Veamos!
− = −
−
1a b
b a
− =
−
1a b
a b
; ∀ a ≠ b
Nota
Álgebra
17Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
49
m
at
em
Át
iC
a
Leyes de exponentes II
Propiedades
− +÷ ÷ = ( )
p mnpn na b c an b p cx x x x
Exponente de exponente
ab
cd
 = d b
m
 = an = p
Exponente fraccionario
m
mn m nna a a= = ; m ∈  ∧ n ≥ 2
( )p mnpm na b c an b p cx x x x + +⋅ ⋅ =
n
n
n
a a
b b
= ; b ≠ 0
n n na b a b⋅ = ⋅
p mnpm n a a=
Helicosíntesis
3er Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
50
1. Efectúe
= + +5 3 34 4T (4) (625) (81)
2. Efectúe
R = 168
–9–4
–2–1
3. Efectúe
⋅
⋅
=
3 3
3 33E 3
4. Halle el valor de
1 10,5 0,25E 0,25 0,5 32
− −− −= + +
5. Simplifique
⋅=
⋅
15
4 4 4
5 5... 5 (40 factores)
E
5 5... 5 (20 factores)
1. Reduzca
5 5 15 5 5E ... 5
n−
=
(n–2) radicales
 Resolución
( 2) índices
15 5 5 ... 5 5E 5
n
n
−
−× × × ×
=

2 15 5E 5
n n− −
= → 
15
12 5 55E 5 5 5
n
n
−
−= = =
Rpta.: 55
2. Calcule aproximadamente
E 56 56 56 ...= + + +
Resolución
E
E 56 56 56 56 ...= + + + +
E 56 E= + → E = 8
Rpta.: 8
3. Simplifique 3 52 3 4E x x x x= .
Resolución
Aplicando lapropiedad: 
× × ×+ + +
3 42 52 3 1 1E x x x x=
[ ]3 2 5 4 4 1(2 2 3)5 1
120 24145 29
E
E
x
x x
× × × +× + +=
∴ = =
[ ]3 2 5 4 4 1(2 2 3)5 1
120 24145 29
E
E
x
x x
× × × +× + +=
∴ = =
Rpta.: 
24 29x
4. Simplifique
− += ⋅ ⋅4 2I 2 2 4n nn n
Resolución
A exponente fraccionario
− +4 2( 2)n n
n n
I = 2 ·2·2 − ++ +4 2 41 n n
n n
I = 2 + − + +4 2 4n n n
n
I = 2
Simplificando
= =
4
4I 2 2
n
n
I = 16
Rpta.: 16
5. Calcule 6427
–9–2
–1
.
Resolución
1 1 129 327 27 364 64 64 4
− −−
= = =
Rpta.: 4
Problemas resueltos
Helicopráctica
Álgebra
19Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
51
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Efectúe
+ +4 4 35 3Q = (32) (27) (49)
Resolución
2. Efectúe
E = 1259
–4–2
–1
Resolución
Nivel II
3. Mi nota en el examen de Álgebra en el colegio Saco
Oliveros es el valor de
⋅
⋅ ⋅
2 2
2 2 2P = 2
¿Cuál es dicha nota?
Resolución
4. Efectúe
1 10,2 0,25 5E 0,25 0,2 0,5
− −− − −= + +
Resolución
6. Reduzca
5 6 12 3 132 2 27
m m m m+ + + +
7. A qué es igual
= ⋅
4 3 53 2 3 30E x x x x
8. Calcule
3 459 81 27
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
3er Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
52
5. Reduzca
⋅ ⋅=
⋅
4 4 4
20
6 6
3 3 3...(80 factores)
T
3 3...(60 factores)
Resolución
Nivel III
6. Reduzca
2 3 4 3 102 2 2 25
m m m m+ + + +
Resolución
7. Simplifique
= ⋅5 4534 2 23Q a a a a
Resolución
8. Reduzca
5 3 416 4 2 8
Resolución
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
52
5. Reduzca
⋅ ⋅=
⋅
4 4 4
20
6 6
3 3 3...(80 factores)
T
3 3...(60 factores)
Resolución
Nivel III
6. Reduzca
2 3 4 3 102 2 2 25
m m m m+ + + +
Resolución
7. Simplifique
= ⋅5 4534 2 23Q a a a a
Resolución
8. Reduzca
5 3 416 4 2 8
Resolución
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
52
5. Reduzca
⋅ ⋅=
⋅
4 4 4
20
6 6
3 3 3...(80 factores)
T
3 3...(60 factores)
Resolución
Nivel III
6. Reduzca
2 3 4 3 102 2 2 25
m m m m+ + + +
Resolución
7. Simplifique
= ⋅5 4534 2 23Q a a a a
Resolución
8. Reduzca
5 3 416 4 2 8
Resolución
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
52
5. Reduzca
⋅ ⋅=
⋅
4 4 4
20
6 6
3 3 3...(80 factores)
T
3 3...(60 factores)
Resolución
Nivel III
6. Reduzca
2 3 4 3 102 2 2 25
m m m m+ + + +
Resolución
7. Simplifique
= ⋅5 4534 2 23Q a a a a
Resolución
8. Reduzca
5 3 416 4 2 8
Resolución
Álgebra
21Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
53
m
at
em
Át
iC
a
1. Reduzca
5 9 6 9
R
3
m n m nm n
m n m n
− −
− +
⋅ + ⋅=
A) 17 B) 16 C) 18
D) 19 E) 23
2. Reduzca
 ⋅ ⋅
 
 ⋅
4
12 3 48
27 75
27 3 3
P =
9 3
A) 3 B) 9 C) 27
D) 81 E) 30
1. Calcule
G = 8–2/3 + 27–1/3 – 4–1 – 3–1
A) 7 B) 5 C) 0
D) 2 E) 11
2. Reduzca
A = 
7x+3 · 49x+3
343x+3
A) 7 B) 49 C) 7x
D) 
1
7
E) 70
3. Indique el exponente de x, luego de reducir
3 32 3 4E = x x x x
A) 36 11x B) 
36 43x C) 36 13x
D) 36 47x E) 36 45x
4. Reduzca
T = 
32 2 2 23
x x x x
A) 81 B) 27 C) 3
D) 2 E) 9
5. Calcule
− − −
     = + +     
     
1 1 1
2 3 31 1 1E
25 8 27
A) 12 B) 8 C) 6
D) 10 E) 11
Helicodesafío
Helicorreto
3er Año
22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
54
Nivel I
1. Halle el valor de
= + +2 7 33 6E (125) (64) 4
A) 161 B) 160 C) 159
D) 156 E) 163
2. Halle el valor de
1 1 1
2 4 31 1 1E
25 81 8
     = + +     
     
A) 
31
30
B)
30
31
C) 
5
27
D) 
11
31 E) 
13
23
3. Juan le dice a su amigo: “Simplifica la expresión
− −
+=
+
5 6
T
5 6
n n
n
n n
el resultado es tu edad”. Indique dicha edad.
A) 11 B) 30 C) 6
D) 5 E) 
30
1
4. Si = 3 3,ab reduzca
= ⋅E a b b a
A) 3 B) 9 C) 27
D) 81 E) 3
Nivel II
5. Simplifique
3 45 3E x x x=
A)
24 49x B) 
24 47x C) 24 13x
D) 24 25x E) 24 50x
6. A qué es igual
= ⋅6 45 3 3 36T x x x x
A) x B) x2 C) x3
D) x5 E) x6
7. En el colegio Saco Oliveros proponen como pregun-
ta de concurso lo siguiente:
Simplifique
1 25 3 45 5 5F 3
m m m m+ + +
=
El resultado es
A) 9. B) 80. C) 235.
D) 243. E) 107.
8. Efectúe
+ −
+
⋅ ⋅3 32 1
1
5 5 25
Q =
5
n n
n
A) 125 B) 25 C) 5
D) 5 E) 1
Nivel III
9. Calcule
3 40,25 0,5 0,125
A) 1/2 B) 2 C) 24 232
D) 1 E) 24 232−
10. Efectúe
11 10,25
31E (0,25) 24
3
−−  − − 
  = + + 
 
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
Helicotarea
Colegio Particular 2355
¡Juguemos!
Complete las cuatro equivalencias, es-
cribiendo la relación
B = Blanco, N = Negro
B + B = B B + N = N
N + N = N N + B = N
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Conceptualiza y diferencia la ecuación exponencial de la transcendental.
 ¾ Utiliza y calcula el valor de la incógnita a través de los criterios de
solución.
ECUACIÓN EXPONENCIAL
M
A
TE
M
Á
TI
CA 3
55
¡Juguemos!
Complete las cuatro equivalencias, es-
cribiendo la relación
B = Blanco, N = Negro
B + B = B B + N = N
N + N = N N + B = N
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Conceptualiza y diferencia la ecuación exponencial de la transcendental.
 ¾ Utiliza y calcula el valor de la incógnita a través de los criterios de
solución.
ECUACIÓN EXPONENCIAL
M
A
TE
M
Á
TI
CA
55
¡Juguemos!
Complete las cuatro equivalencias, es-
cribiendo la relación
B = Blanco, N = Negro
B + B = B B + N = N
N + N = N N + B = N
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Conceptualiza y diferencia la ecuación exponencial de la transcendental.
 ¾ Utiliza y calcula el valor de la incógnita a través de los criterios de
solución.
ECUACIÓN EXPONENCIAL
M
A
TE
M
Á
TI
CA
3er Año
24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
56
Ecuación exponencial
Son aquellas ecuaciones del tipo no algebraicas que se 
caracterizan por tener la incógnita en el exponente.
Ejemplos
 ¾ 27x = 3
 ¾ 6x = 216
 ¾ 5x + 3 = 255
 ¾ 2x + 2 + 2x + 3 = 64
Criterio de solución
I. Criterio de bases iguales
am = an → m = n ; ∀ a ∈  – {–1; 0; 1}
Ejemplos
 ¾ 5x + 3 = 57 → x + 3 = 7 → x = 4
 ¾ 25x = 
3
425 → x = 
4
3
 ¾ a2x + 1 = a3x – 2 → 2x + 1 = 3x – 2 → 3 = x
II. Criterio de bases diferentes
Si A ≠ B ∧ Am = Bn →
m = 0
n = 0
Ejemplos
 ¾ 5x + 3 = 7x + 3, como 5 y 7 son diferentes
→ x + 3 = 0 → x = –3
 ¾ 113x – 6 = 133x – 6, como 11 y 13 son diferentes
→ 3x – 6 = 0 → x = 2
 ¾ 35x – 2 = 55x – 2, como 3 y 5 son diferentes
→ 5x – 2 = 0 → x =
5
2
III. Ecuaciones trascendentes
Son aquellas ecuaciones que se caracterizan por tener
la incógnita en la base y el exponente. La incógnita
puede estar afectada con operadores no algebraicos.
Ejemplos
 ¾ xx = 2 → x = 
2
p
 (aproximadamente)
 ¾ xx + 1 = 55 + 1 → x = 5
 ¾ xx
x
 = 22
2
 → x = 2
IV. Criterio de divisibilidad
Am = Bn → A = B
Observación
   
   
      =   
   
1 1
2 41 1
2 4
Ejemplos
 ¾ Si xx = 4 → xx = 22 → x = 2
 ¾ xx + 3 = 32 = 25 = 22 + 3 → x = 2
 ¾ xx =
41
4
−
  
 
→ xx = 44 → x = 4
V. Criterio explícito por simetría
AA
A+m
 = BB
B+n
 →
A = B
m = n
Ejemplos
 ¾ (x+2)(x+2)
x
 = 55
3 
→ x + 2 = 5 → x = 3
 ¾ AA
A+3
 = BB
B+3
 → A = B
 ¾ (3x–1)(3x–1)
(3x–1)
=(5x–3)(5x–3)
(5x–3)
 → 3x–1 = 5x–3
 → 2 = 2x
 → 1 = x
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Helicoteoría
Álgebra
25Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
57
m
at
em
Át
iC
a
Ecuación exponencial
Criterio de bases diferentes
Am = Bn → A ≠ B
m = 0 ∧ n = 0
Criterio explícito por simetría
AA
A+m
 = BB
B+n
 →
A = B
m = n
Criterio de bases iguales
am = an → m = n
∀ a ∈ – {–1; 0; 1}
Criterio de divisibilidad
AA = BB → A = B
1. Halle el valor de x en:
+ +
=
3 364 163 81
x x
Resolución
A bases iguales
( )
++
=
33 1664 43 3
xx
+ +
=
3 364 4.163 3
x x
Por propiedad
+ +=3 364 4.16x x
( ) + +=
33 2 34 4(4 )
x x
A bases iguales, exponentes iguales
 3x + 9 = 2x + 7 →x = –2
Rpta.: –2
2. Halle el valor de x.
494
x
 = 7
Luego dé el valor de y en
1
2
x
yy
−
 =  
 
Resolución
49 = 72 y 4 = 22
→ (72)(2
2)x = 7 → 72·2
2x
 = 71
→ 22x+1 = 1 = 20 → 2x + 1 = 0
x = – 
2
1
 Piden
   − −           = = =     
     
1 1 1
2 2 41 1 1
2 2 4
yy
∴ y = 
2
1
o y =
4
1
Rpta.: 
2
1
 o 
4
1
Helicosíntesis
Problemas resueltos
3er Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
58
1. Dé el valor de x.
+ +
=
2 525 59 9
x x
2. Resuelva
2x+3 · 8x+1 · 16x–1 = 32x+1
3. Halle el valor de x en
3x + 2 + 3x + 1 + 3x = 117
4. Si
1
91
3
xx  =  
 
halle el valor de x. 
5. Halle el valor de x si
22
x
 = 44
x+1
6. Halle el valor de x.
xx
16
 = 2
7. Halle el valor de x en
279
x–5
 = 327
2–x
8. Resuelva
=
3 9
3
xx
3. De
xx
x x
3–x
= xx
x3
halle el valor de x.
Resolución
 xx
x · x3–x = xx
x3
xx
3
 = xx
x3
 x3 = xx
3
 3 = x3
 ∴ x = 3 3
Rpta.: 3 3
4. Resuelva
− − − −+ + + =
2 2 2 26 7 8 97 7 7 7 400x x x x
Resolución
Factor común:
− + + + =
2 9 3 2
400
7 (7 7 7 1) 400x

− = =
2 9 07 1 7x
Luego: x2 – 9 = 0
x2 = 9 → x = ± 3
Rpta.: ±3
5. Halle el valor de x si
xx
48
 =  2
Resolución
xx
48 48
 =  2 
48
x48
x48
 = 224
x48
x48
 = 23×8
x48
x48
 =  23
23
→ x48 = 23
32x =
48
16 2x =
Rpta.: 16 2x =
Helicopráctica
www.freeprintablepdf.eu
Álgebra
27Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
59
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Encuentre el valor de x en
− +
=
1 132 87 7
x x
Resolución
2. Halle el valor de x si
5x + 2 ⋅ 25x + 1 ⋅ 125x = 625x+2
Resolución
Nivel II
3. Un padre de familia del colegio Saco Oliveros dice:
“Si resuelvo la siguiente ecuación:
2x + 3 + 2x + 2 + 2x+1 = 112
el valor de x me indica el número de hijos que tengo. 
¿Cuántos hijos tengo?”.
Resolución
4. Si
1
41
2
xx  =  
 
halle el valor de x.
Resolución
Helicotaller
3er Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
60
5. Halle el valor de x.
33
x
 = 279
x–5
Resolución
Nivel III
6. Halle el valor de x.
xx
48
 = 2
Resolución
7. Halle el valor de x en
2564
2x–3
 = 1632
1–x
Resolución
8. Resuelva
= ≠2 , 1/2
2
xx x
Resolución
1. Si x–x = 4 y y1 – y = 81, calcule x + y.
A) –5 B) –3 C) –2
D) –4 E) –1
2. Si se sabe que
5x
xx

 · 2y
yy

 = 200
calcule (xy)6.
A) 70 B) 72 C) 60
D) 40 E) 68
Helicodesafío
Álgebra
29Colegio Particular
Á
l
g
e
b
r
a
3.er grado Compendio de CienCias i
61
m
at
em
Át
iC
a
Nivel I
1. Halle el valor de x si
+ −
=
1 116 329 9
x x
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
2. Halle el valor de x.
2x + 1 ⋅ 4x + 2 ⋅ 8x + 3 = 1
A) –
7
3
B) –
3
7
C) –
3
1
D) –
7
1
E) –
9
4
3. El profesor Moisés en un aula del colegio Saco Oli-
vereos piensa y dice: “Si resuelvo la ecuación:
3x+3 + 3x+2 + 3x+1 = 351
el valor de x indica el número de desaprobados. 
¿Cuántos son?”. 
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
4. Si 
1
81
4
xx
  
  =  
 
, halle el valor de x. 
A) 8 B) 32 C) 
36
1
D) 
16
1
E) 4
Nivel II 
5. Halle el valor de x.
736
x+1
 = 7216
x–1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
6. Halle el valor de x si
163
5x
 = 84
5x
A) 1 B) 0 C) 3
D) 2 E) 1/5
1. Halle el valor de x en
8x+3 · 4x–2 = 16x+2
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
2. Halle el valor de x.
3 2 12 2 2 28+ + ++ + =x x x
A) 2 B) 4 C) 1
D) 5 E) 3
3. Indique el valor de x en
2 1 14 85 5
− +
=
x x
A) 5 B) 4 C) 6
D) 7 E) 9
4. Obtenga el valor de x en
3
3xx =
A) 99 B) 77 C) 55
D) 33 E) 2
5. Halle el valor de x.
13 273 27
−
=
x x
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
Helicorreto
Helicotarea
3er Año
30 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
Á
l
G
e
b
r
a
Compendio de CienCias i
7. Halle el valor de x en
6252
x+2
 = 52
3x
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
8. Halle el valor de x si
= 2
2
xx
A) 1
2
B) 1
8
C) 1
16
D) 1
4
E) 2
Nivel III 
9. Halle el valor de x.
xx
8
 = 4 2
A) 2 B) 4 2 C) 8 2
D) 16 2 E) 32 2
10. Si
⋅⋅ = 2 2x xx x
 calcule x4. 
A) 4 B) 16 C) 2
D) 2 2 E) 8