11 Trigonometria

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Resolver un triángulo implica calcular las longitudes 
de sus lados y la medida de sus ángulos. Para esto 
necesitamos conocer, por lo menos, la longitud de 
un lado junto con otras dos cantidades, ya sean dos 
ángulos o los otros dos lados, o bien un ángulo y un 
lado.
En este capítulo se presentarán leyes fundamentales 
para resolver cualquier triángulo. Se recomienda al 
estudiante que antes de aplicar dichas leyes, se debe 
dibujar el triángulo con los datos y la incógnita, para 
analizar qué ley se debe utilizar.
LEY DE SENOS
“En todo triángulo se veri ca que las medidas de los 
lados son proporcionales a los senos de sus ángulos 
opuestos”.
A Cb
B
c
a/2
a/2
R
R
A
AO
D
En el triángulo rectángulo COD, se tiene:
SenA = 
a
2
R
, entonces, 2R = 
a
SenA
Por medio de procedimientos similares, obtendremos:
2R = b
SenB
 y 2R = c
SenC 
Por lo tanto:
a
SenA
 = b
SenB
 = c
SenC
 = 2R
LEY DE COSENOS
“En todo triángulo, el cuadrado de la medida de 
cualquiera de sus lados es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del 
producto de dichos lados por el coseno del ángulo 
que estos lados forman”.
Dado un triángulo ABC, se cumple:
c
b
a
A
B
C
a2 = b2 + c2 – 2bcCosA
b2 = a2 + c2 – 2acCosB
c2 = a2 + b2 – 2abCosC
A
c
B
a
C
c.SenA
c.CosA H b – c.CosA
b
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo 
BHC:
a2 = (cSenA)2 + (b – cCosA)2
a2 = c2Sen2A + b2 + c2Cos2A – 2bcCosA
a2 = c2(Sen2A + Cos2A) + b2 – 2bcCosA
a2 = c2 + b2 – 2bcCosA
Se sugiere el mismo procedimiento para los otros dos 
lados.
En un triángulo ABC y con respecto a la 
ley de senos, tener en cuenta que:
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
1
NIVEL BÁSICO
1. En un ABC, reduce: 
E = b.SenA – a.SenB + c
a) a b) b c) c
d) 0 e) 1
2. En un ABC, simpli ca:
E = 
a + b
SenA + SenB
 – 
c
SenC
 (R: circunradio)
a) R b) 2R c) R/2
d) 0 e) 4R
3. Halla θ.
3 
A C
B
2

7
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 37° e) 75°
4. En un ABC, reduce:
E = 
(a2 + b2 – c2)SecC
ab
a) SenA b) CosB c) TanC
d) 1 e) 2
NIVEL INTERMEDIO
5. Una plancha metálica presente una gura y, para 
repararla, se necesita soldale una pequeña mina 
triangular metálica cuyas medidas de dos de sus 
lados son son 4 3 cm y 6 3 cm. Si el ángulo «B» 
comprendido entre estos lados es tal que Cos=1/2 
¿Cuánto mide el tercer lado de está lamina triangular?
a) 9 cm b) 12 cm c) 6 3 cm 
d) 11 cm e) 8 3 cm 
6. En un ABC se cumple que: a2 + b2 + c2 = 10
 Halla: E = bcCosA + acCosB + abCosC
a) 10 b) 20 c) 7,5
d) 15 e) 5
7. Calcula Cosθ.
2 3
2 
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4
d) 1/3 e) 2/3
8. En un ABC, se cumple:
SenA
a
 + 
SenB
b
 + 
SenC
c
 = 
1
6
 Calcula: E = a
SenA
 + b
SenB
 + c
SenC
a) 54 b) 44 c) 34
d) 24 e) 14
9. En un triángulo ABC, se sabe que:
 A = 60º  B = 45º 
 
 Calcula: E = a
b
a) 3 b) 6 c) 3
2
d) 6
2
 e) 6
4
10. En un ABC, calcula SenC si se cumple que:
 a2 = b2 + c2 – bc
 b2 = a2 + c2 – 3ac 
a) 0 b) 1/2 c) 3/2 
d) 2/2 e) 1
11. En un ABC, se cumple que:
 
a
CosA
 + 
b
CosB
 + 
c
CosC
 = R
 Calcula: E = TanA .TanB.TanC
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1/4 e) 1/2 
12. En un ABC, se cumple que:
 SenA
4
 = SenB
5
 = SenC
6
 Obtén: (c2 – b2) / (c2 – a2)
a) 1/20 b) 3/20 c) 7/20
d) 11/20 e) 13/20
1
NIVEL AVANZADO
13. En un ABC, se cumple que: 
a + b
a + c
 = c – a
b
Calcula CosC.
a) 0 b) 1 c) 1/2 
d) –1/2 e) 3/2 
14. Desde un punto de observación «R», se alcanza a 
ver los extremos P y Q de la base de un puente. Si 
RP = 50 m, RQ = 70m y el ángulo PRQ mide 45°. 
¿Cuál es la longitud del puente?
Puente
P Q
R
a) 10 74 – 35 2 m
b) 10 74 + 35 2 m
c) 9 74 – 35 2 m
d) 9 74 + 35 2 m
e) 11 74 – 35 2 m
15. Calcula θ si AB = CD. 
B

A
80º 20º
D C
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 20° e) 25° 
2
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene 
funciones trigonométricas de ángulos o números 
reales. A diferencia de una identidad trigonométrica, 
la ecuación trigonométrica no se satisface para todos 
los valores del ángulo o del número real.
Dada una ecuación trigonométrica, se denomina 
solución o raíz de una ecuación, a los valores de la 
variable angular que veri can la igualdad. Toda 
ecuación trigonométrica tiene in nitas soluciones y 
al conjunto de ellas se denomina conjunto solución.
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en 
hallar su conjunto solución en algún intervalo dado 
y si no se menciona este, se sobreentiende que es para 
todos los valores permitidos de la variable angular.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Son ecuaciones de la forma: 
 
F.T.(ax + b) = K
Donde:
F.T. es una función trigonométrica (seno, coseno, 
tangente, cotangente, secante y cosecante)
a  0, b y K 
Aplicación:
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica: 
Sen3x – Cos = Sen(/2)
Sen3x – (–1) = 1
Sen3x = 0
Luego: 3x = 0; ; 2; 3; …………………
 x = 0; /3; 2/3; ; ………………..
VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN 
TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (V.P.)
Sea la ecuación trigonométrica elemental, entonces: 
V.P. = arc F.T.(K)
Donde 
F.T. V.P.
Sen 
–
2
; 

2
Cos [ 0;  ]
Tan
–
2
; 

2
Ejemplos:
Si: Senx = 1
2
, entonces: V.P. = 
6
Si: Cos4x = 1 , entonces: V.P. = 0
Si: Tan(2x + π) = 1 , entonces: V.P. = 
4
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN 
TRIGONOMÉTRICA
Sea la ecuación trigonométrica elemental F.T(X
G
) = M, 
entonces:
1. Para el seno XG = kπ + (–1)
k V.P
2. Para el coseno XG = 2kπ ± V.P
3. Para la tangente XG = kπ + V.P
Si una ecuación es válida para cualquier 
valor admisible de la variable “x”, 
entonces, la ecuación será una identidad.
2
NIVEL BÁSICO
1. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: Senx = 1/2 
a) 60° b) 90° c) 120°
d) 150° e) 180°
2. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: Cosx = –1/2 
a) 225° b) 180° c) 135°
d) 270° e) 360°
3. Resuelve y suma la primera y la tercera solución 
positiva de: Tan2x = 1
a) 120° b) 180° c) 240°
d) 270° e) 360°
4. Suma las dos primeras soluciones positivas de:
5Cosx – 4 = 0 
a) 180° b) 270° c) 360°
d) 90° e) 200° 
NIVEL INTERMEDIO
5. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: Cos6x = 1/2 
a) 60° b) 90° c) 120°
d) 150° e) 180°
6. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: Tan5x = –1 
a) 225° b) 180° c) 135°
d) 90° e) 45°
7. Resuelve y suma la primera y la tercera solución 
positiva de: 4Sen2x = Sen90°
a) 90° b) 180° c) 240°
d) 300° e) 360°
8. Suma las dos primeras soluciones positivas de:
5Sen(x + 10°) – 3 = 0 
a) 100° b) 120° c) 140°
d) 160° e) 180°
9. Halla la diferencia entre la segunda y primera so-
lución positiva de:
3Tanx – 7 = 0
a) 60° b) 120° c) 180°
d) 240° e) 300°
10. Indica la suma de la primera y la segunda solu-
ción positiva de: 29Senx + 21 = 0
a) 180° b) 270° c) 360°
d) 450° e) 540° 
11. Resuelve: 2Senx – 3 = 0
a) kπ + (–1)k 
3
 
b) kπ + (–1)k

4
 
c) kπ + (–1)k 
6
d) 2kπ ± 
2
 
e) 2kπ ± 

3
12. Resuelve: 2Cosx – 1 = 0
a) kπ + (–1)k 
6
 
b) kπ + (–1)k

2
 
c) 2kπ ± 
4
d) 2kπ ± 
2
 
e) 2kπ ± 

3
NIVEL AVANZADO
13. Resuelve: 3Tanx – 4 = 0
a) kπ + (–1)k 37
180 
b) 2kπ ± 
53
180
c) kπ + 
4
 
d) kπ + 37
180
e) kπ + 
53
180
2
14. Halla la menor solución positiva:
(Cscx – 1/2)(Cosx – 2)(Tan2x – 1) = 0
a) /6 b) π/3 c) π/8
d) /16 e) π/12 
15. Dada la ecuación: Tanx + Cotx = 2
 Halla “x” sabiendo que es negativo y está ubicado 
en el tercer cuadrante.
a) –5π/6 b) –3π/8 c) –3π/4
d) –2π/3 e)–13π /18 
3
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA NO 
ELEMENTAL
Si una ecuación trigonométrica no es de la 
forma elemental, aplicaremos las identidades 
trigonométricas para obtener un mismo tipo de 
arco y operador trigonométrico; luego se realizarán 
operaciones algebraicas para reducirla y, nalmente, 
los procedimientos para resolver una ecuación 
trigonométrica elemental.
No existen reglas generales para transformar una 
ecuación trigonométrica dada a la forma de una 
ecuación trigonométrica elemental. Cuando se haya 
logrado una solución por medio de una elevación a 
alguna potencia de los dos lados de la ecuación o por 
medio de multiplicaciones o divisiones de expresiones 
que comprenden a la variable, debemos comprobar 
cada solución potencial por medio de sustituciones 
dentro de la ecuación. Las soluciones potenciales que 
no satisfagan la ecuación son rechazadas, estas se 
denominan soluciones incompatibles.
Aplicación:
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: 
Sen2x – Cosx = 0
Resolución
Sen2x – Cosx = 0
Aplicando ángulo doble:
2SenxCosx – Cosx = 0
Cosx(2Senx – 1) = 0
Cosx = 0  2Senx – 1 = 0
Cosx = 0
x = 90°; 270°; 450°; 630°; ……………………
2Senx – 1 = 0
Senx = 1/2
x = 30°; 150°; 390°; 510°; …………….
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: 
Sen5x + Sen3x + Cosx = 0
Resolución
Sen5x + Sen3x + Cosx = 0
Aplicando transformaciones trigonométricas:
2Sen4x.Cosx + Cosx = 0
Cosx(2Sen4x + 1) = 0
Cosx = 0
x = 90°; 270°; 450°; 630°; ……………………
2Sen4x + 1 = 0
Sen4x = -1/2
4x = 210°; 330°; 570°; ……………………….
x = 52°30’; 82°30’; 142°30’; ……………….
Toda ecuación trigonométrica tienen 
in nitas soluciones.
3
NIVEL BÁSICO
1. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: CosxTanx = 1/2 
a) 60° b) 90° c) 120°
d) 150° e) 180°
2. Resuelve y suma la primera y la segunda solución 
positiva de: Senx + Cosx = 0 
a) 225° b) 180° c) 135°
d) 900° e) 450°
3. Resuelve y suma la primera y la tercera solución 
positiva de: Sen2x = Cos2x
a) 90° b) 180° c) 270°
d) 360° e) 450°
4. Indica una solución de: 
Sen5x +Senx = Cos5x + Cosx 
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 20° e) 25°
NIVEL INTERMEDIO
5. Señala la suma de la primera y la segunda solu-
ción positiva de: 2Senx.Cotx - Cosx = 
1
2
a) 360° b) 270° c) 180°
d) 90° e) 45°
6. Señala la suma de la primera y la segunda solu-
ción de: (Senx + Cosx)2 = 1 + Cosx
a) 60° b) 90° c) 120°
d) 150° e) 180°
7. Señala el menor valor positivo de “x” que veri ca 
la siguiente igualdad :
 Sen4xCosx + Cos4x.Senx = 1
a) 16° b) 18° c) 24°
d) 36° e) 48°
8. Señala el menor valor positivo de “x” que veri ca 
la siguiente igualdad:
SenxCosxCos2x = 1
8
a) 
6
 b) 
12
c) 
24
d) 
48
 e) 
96
9. Halla el menor valor positivo de “x” que veri ca 
la siguiente igualdad:
Sen3x + Senx = 3 Sen2x
a) 15° b) 30° c) 45°
d) 60° e) 75°
10. Resuelve y suma las dos primeras soluciones po-
sitivas de: Secx.Cscx – Cotx = 3
a) 240° b) 300° c) 310°
d) 180° e) 250° 
11. Resuelve: Senx + 3Cosx = 2
a) 90° b) 75° c) 60° 
d) 30° e) 15°
12. Resuelve:
x + y = 90°
Senx + Cosy = 1
a) 30°; 60° b) 20°; 70° c) 37°; 53° 
d) 10°; 80° e) 45°; 45°
NIVEL AVANZADO
13. Resuelve: Sec2x + Tan2x = 3 (Cosx < 0)
a) 135º b) 225º c) 240º
d) a y b e) a y c
14. Resuelve la ecuación mostrada e indica la menor 
solución positiva:
CosxCos2xCos3x = 1/4
a) π/16 b) π/8 c) π/4
d) π/2 e) π 
15. Resuelve la ecuación:
 2(Cosx – Senx) + 10SenxCosx – 5 = 0
a) π/32 b) π/16 c) π/8
d) π/4 e) π /2 
4-5
Las funciones trigonométricas son muy utilizadas 
en las ciencias naturales para analizar fenómenos 
periódicos, tales como: movimiento ondulatorio, 
corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, 
oscilación de péndulos, ciclos comerciales, 
movimiento periódico de los planetas, ciclos 
biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones 
trigonométricas relacionadas con fenómenos que se 
repiten periódicamente, se requiere que sus dominios 
sean conjuntos de números reales. Para la obtención 
de valores de las funciones trigonométricas de 
números reales con una calculadora, por ejemplo, se 
debe usar el modo radián.
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN 
Y = SENX
0
–1
x
1
y
2
2
3
2
senoide
Características del senoide
 El dominio de la función es el conjunto de todos 
los números reales.
 El rango de la función consiste en todos los nú-
meros reales entre –1 y 1.
 El máximo valor de la función es 1.
 El mínimo valor de la función es –1.
 Es una función impar, pues Sen(–x) = –Senx.
 La función seno es periódica, con periodo 2π.
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN 
Y = COSX
0
–1
 2
1
y

2
3
2
x
cosenoide
Características del cosenoide
 El dominio de la función es el conjunto de todos 
los números reales.
 El rango de la función consiste en todos los nú-
meros reales entre –1 y 1.
 El máximo valor de la función es 1.
 El mínimo valor de la función es –1.
 Es una función par, pues Cos(–x) = Cosx.
 La función coseno es periódica, con periodo 2π.
El senoide es también llamado sinusoide, 
y el cosenoide es también llamado 
cosinusoide.
4-5
NIVEL BÁSICO
1. Indica el valor de b, si el punto P
J
K
L
7
6
;b
N
O
P
 pertene-
ce a la grá ca de la función seno. 
a) 1 b) –1 c) 1/2
d) –1/2 e) 3/2
2. Señala un valor de β si el punto Q
J
K
L
; 1
2
N
O
P
 perte-
nece a la grá ca de la función seno.
a) π/36 b) π/12 c) 5π/36 
d) 7π/36 e) 3π/4
3. Indica el valor de k si el punto P
J
K
L
5
3
; k
N
O
P
 pertenece 
a la grá ca de la función coseno. 
a) 1 b) –1 c) 1/2
d) –1/2 e) 0
4. Si el dominio de la función y = Senx es [0; /3]; 
halla su rango.
a) [0; 1] b) [0; 1/2] c) [0; 3/2]
d) [1/2; 3/2] e) [ 3/2; 1] 
NIVEL INTERMEDIO
5. Determina el rango de la función y = Cosx, sa-
biendo que “x” pertenece al intervalo [/6; /4].
a) [0; 2/2] b) [0; 3/2] 
c) [ 2/2; 3/2] d) [ 3/2; 1] 
e) [ 2/2; 1] 
6. Determina el rango de la función y = Senx si se 
sabe que “x” pertenece al intervalo 0; 5π/6.
a) [0; 2/2] b) [0; 1] c) [0; 1/2]
d) 0; 1] e) 0; 1
7. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. El rango de la función y = Senx es .
II. El dominio de la función y = Senx es [–1; 1].
III. La función y = Senx es par.
a) VVV b) FFF c) FFV
d) FVV e) FVF
8. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. La función y = Senx tiene un máximo en [0; π].
II. La función y = Senx es creciente en [π; 2π].
III. La función y = Senx es inyectiva en [0; π/2].
a) VFF b) FFF c) VFV
d) VVV e) FVF
9. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. La función y = Senx tiene un mínimo en π/2; π.
II. La función y = Senx es decreciente en [0; π].
III. La función y = Senx no es inyectiva en π; 2π.
a) FFV b) FVV c) FFF
d) VVV e) FVF
10. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. El rango de la función y = Cosx es –1; 1.
II. El dominio de la función y = Cosx es +.
III. La función y = Cosx es impar.
a) VVF b) FFF c) FFV
d) FVV e) FVF
11. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. La función y = Cosx tiene un mínimo en 0; π.
II. La función y = Cosx es decreciente en 

; 
3
2

.
III. La función y = Cosx no es inyectiva en 



2
; 
3
2

.
a) VFF b) FFF c) FFV
d) FVV e) FVF
12. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. La función y = Cosx tiene un máximo en 
π; 2π.
II. La función y = Cosx es creciente en 

2
 ; π .
III. La función y = Cosx es inyectiva en [0; π].
a) VFF b) FFF c) FFV
d) FVV e) FVF
NIVEL AVANZADO
13. Halla el dominio de la función:
f
(x)
 = 
Senx + 3
Senx – 4
 ; (k  Ζ) 
4-5
a) kπ b) 
k
2
 c) 2kπ
d) – {kπ} e) 
14. Halla el dominio de la función:
f
(x)
 =3Senx + 4
Cosx
a) b) + c) –
d) – {kπ} e) – (2k + 1) 
2
15. Halla el rango de la función:
f
(x)
 = (1 + Senx)(3 + Senx)
a) [1; 3] b) [1; 4] c) [0; 2]
d) [0; 8] e) [1; 8]
6
FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función y = f(x) es periódica si existe un número 
real T diferente de cero, tal que:
f (x + T) = f (x)
 
El número T se llamará “período de la función”. 
Al menor valor positivo de T se le llama “período 
mínimo” o “período principal” o, simplemente, 
“período de la función”.
Por ejemplo:
Sen(x + T) = Sen(x)
Aplicando ángulos compuestos:
Senx.CosT + Cosx.SenT = Sen(x)
Esto se veri ca si CosT = 1 y SenT = 0
Entonces: T = 2π; 4π; 6π; 8π; ……………………
Donde el período mínimo, principal o período es: T = 2π
REGLAS PARA DETERMINAR PERÍODOS 
DE FUNCIONES
 Las consideraciones a tener en cuenta para el cálculo 
del periodo será:
Dada la función:
f(x) = A + B F.T.n (kx + )
Donde k  R – {0}; n  Z+
 Para Seno, Coseno, Secante y Cosecante
n: impar n: par
T = 2
k
T = 
k
 Para Tangente y Cotangente
T = 
k
 
MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN
POR UNA CONSTANTE
Si y = Senx , entonces: y  [–1; 1]
 y = ASenx , entonces: y  [–A; A]
El valor absoluto de A se llama AMPLITUD del 
senoide, y esta propiedad también se veri ca para la 
grá ca de la función y = ACosx.
MULTIPLICACIÓN DEL ARGUMENTO 
POR UNA CONSTANTE
Si con respecto a la función y = Senx multiplicamos 
su argumento x por una constante B; la función se 
convierte en y = SenBx. Esto tiene el efecto de alterar 
el período para convertirlo en 2π/B.
SUMA DE UNA CONSTANTE AL ARGUMENTO
La suma de una constante al argumento de y = Senx 
se denota así: y = Sen(x – C). La constante C tiene 
el efecto de correr la grá ca de la función seno (o 
cualquier otra función trigonométrica) hacia la 
derecha o hacia la izquierda.
Si C > 0 , entonces la grá ca corre hacia la derecha
Si C < 0 , entonces la grá ca corre hacia la izquierda
SUMA DE UNA CONSTANTE A LA FUNCIÓN
La grá ca de la función y = D + Senx se obtiene 
sumando D a cada valor de Senx. Por lo tanto, la 
grá ca de y = D + Senx es simplemente la grá ca de 
y = Senx desplazada D unidades hacia arriba o hacia 
abajo, según el signo de D. Al número D se le llama 
“valor promedio de la función” y se cumple que:
Si D > 0 , entonces la grá ca se traslada hacia arriba
Si D < 0 , entonces la grá ca se traslada hacia abajo
FUNCIÓN AFECTADA POR EL VALOR 
ABSOLUTO
Si la función seno está afectada por el operador 
“valor absoluto”, es decir, y = Senx la grá ca de esta 
función se obtiene re ejando simétricamente hacia el 
semiplano superior, la parte de la grá ca y = Senx que 
está debajo del eje x.
Recuerda que se denomina periodo 
principal a aquel periodo positivo y 
mínimo entre todos los periodos.
6
NIVEL BÁSICO
1. Halla el periodo de la siguiente función:
y = 4Sen6(3x + π) + 5
a) π/2 b) π/3 c) π/4
d) π/5 e) π/6 
2. Halla el periodo de la siguiente función:
y = 3Cos
J
K
L
x
2
 – 
N
O
P
 – 4
a) π/2 b) π c) 2π
d) 2π/5 e) 4π 
3. Halla el periodo de la siguiente función:
 y = Tan3(5x) + 2
a) π/2 b) 2π/5 c) 3π/4
d) π/5 e) π/3 
4. Halla el periodo de las siguientes funciones:
I. y = 3Sen(4x)
II. y = 0,5Sen(x/3)
III. y = 2Cos(6x)
IV. y = –1,5Cos(2x/3)
NIVEL INTERMEDIO
5. En el intervalo [0; 2π], gra ca las siguientes fun-
ciones:
I. y = 3Senx
II. y = 4Cosx
6. En el intervalo [0; 2π], gra ca las siguientes fun-
ciones:
I. y = 2Senx + 3
II. y = 3Cosx – 1
7. Gra ca las siguientes funciones:
I. y = Sen4x 
II. y = Cos(x/2)
8. Gra ca las siguientes funciones:
I. y = 2Sen(x/3) – 1
II. y = 3Cos3x + 2
9. Gra ca las siguientes funciones:
I. y = Sen
J
K
L
x – 

2
N
O
P
II. y = Cos
J
K
L
x + 

4
N
O
P
10. Gra ca las siguientes funciones:
I. y = 2Sen
J
K
L
x + 

3
N
O
P
 + 5
II. y = 4Cos
J
K
L
x – 

2
N
O
P
 – 3
11. En el intervalo [0; 2π], gra ca las siguientes fun-
ciones:
I. y = –Senx
II. y = –Cosx
12. En el intervalo [0; 2π], gra ca las siguientes fun-
ciones:
I. y = Senx
II. y = Cosx
NIVEL AVANZADO
13. En el intervalo [0; 2π], gra ca las siguientes fun-
ciones:
I. y = Senx + Senx
II. y = 2Cosx + Cosx
14. Halla el periodo mínimo de la siguiente función:
y = Sen
J
K
L
x
3
N
O
P
 + Cos
J
K
L
x
4
N
O
P
a) 6π b) 12π c) 18π
d) 24π e) 32π 
15. En el intervalo [0; 2π], gra ca la siguiente fun-
ción:
f(x) = 
Sen2x
1 – Cosx
a) Y
0 X
 b) Y
20 X
c) Y
20 X
 d) Y
20 X
e) Y
20 X
7-8
Las funciones trigonométricas no tienen funciones 
inversas, ya que no son inyectivas. Sin embargo, si 
restringimos los dominios, es factible que parte de las 
funciones trigonométricas tengan funciones inversas, 
las cuales veremos a continuación.
FUNCIÓN ARCO SENO O SENO INVERSO
La función inversa del seno, denotada por arcSen, 
está de nida por y = arcSenx, si y solo si, x = Seny. 
Como ya se ha mencionado, la función seno no es 
inyectiva, pero si restringimos el dominio al intervalo 
[-π/2; π/2], se obtiene una función inyectiva como se 
muestra a continuación:
y = arc Senx
–2 –1 0 1 2
/2
y
x
–/2
Características
 Dominio de la función: [-1; 1]
 Rango de la función: [- π/2; π/2]
 Es una función creciente.
FUNCIÓN ARCO COSENO O COSENO 
INVERSO
La función inversa del coseno, denotada por arcCos, 
está de nida por y = arcCosx, si y solo si, x = Cosy. Su 
grá ca es la siguiente:
–2 –1 0 1 2
/2

y = arc Cosx
x
y
Características
 Dominio de la función: [-1; 1]
 Rango de la función: [0; π]
 Es una función decreciente.
FUNCIÓN ARCO TANGENTE O TANGENTE 
INVERSA
La función inversa de la tangente, denotada por 
arcTan, está de nida por y = arcTanx, si y solo si, x = 
Tany. Su grá ca es la siguiente:
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
arc Tanx

2

2
–
x
y
Características
 Dominio de la función: 
 Rango de la función: –

2
 ; 

2
 Es una función creciente.
 No es una función periódica.
Si Tanθ = b y –

2
 < θ < 

2
 θ = arcTan(b)
7-8
NIVEL BÁSICO
1. Despeja θ si:
Senθ = 1/9
a) arcSen1/9 b) arcCos1/3 c) arcTan3
d) arcSen9 e) arcCos1/9
2. Despeja  si:
Tan
J
K
L

3
 + 
N
O
P
 = b
a) arcTan(b) + π 
b) arcTan(b) – 3π 
c) 3arcTan(b) + π
d) 3arcTan(b) – 3π 
e) 2arcTan(b) + π 
3. Calcula: arcTan 3 + arcSen(1/2)
a) 

2
 b) 

3
 c) 

4
d) 

5
 e) π
4. Calcula: arc Sen1
arc Tan1
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2
d) 4 e) 2
NIVEL INTERMEDIO
5. Calcula: arcSen( 3/2) + arcCos1 + arcTan 3
a) 

3
 b) 

5
 c) 
2
3
d)  e) 

2
 
6. Calcula: Cos[arcSen(0,5)]
a) 0 b) 1 c) –1 
d) 1/2 e) 3/2 
7. Calcula: Tan[arcSen(3/ 13)]
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 
d) 2 e) 2,5
8. Si:  = arcCos(12/13)
Halla: P = SenSec
a) 5/12 b) 12/5 c) 5/13
d) 13/5 e) 1
 
9. Si: θ = arcTan(4/5)
Halla: Sen2θ
a) 10/41 b) 20/41 c) 30/41
d) 40/41 e) 50/41
10. Calcula: N = Tan[arcCot(1/5) + arcCot(1/4)]
a) –1/19 b) –3/19 c) –5/19
d) –7/19 e) –9/19
11. Halla el dominio de: f(x) = 2arcSen(x – 5) + π
a) [4; 6] b) [–1; 1] c) [–3; 5]
d) [–4; 2] e) [0; 5] 
 
12. Halla el rango de: f(x) = 4arcCosx – π
a) [0; π] b) [–π; 3π] c) [–π; 2π] 
d) [π; 4π] e) [0; 3π] 
 NIVEL AVANZADO
13. Encuentra el dominio de:
f(x) = arcSenx + arcSen2x
a) –1/2; 1/2] b) [–1/2; 1/2] c) [–1; 1] 
d) [–2; 2] e) –1; 1
14. Indica el rango de:
f(x) = 3arcSen(x + 2) + 
3
2
a) [π; 5π] b) [0; 3π] c) [–π; 2π] 
d) [–π; 3π] e) [–π; 5π] 
15. Gra ca e indica el dominio y rango de: 
f(x) = 4arcSen
J
K
L
x– 1
3
N
O
P
 + 

4