11 Trigonometria

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1
1. DEMOSTRACIÓN: 
A
D F
C
E
G H B
90º–



En la C.T. trazamos el triángulo ABC (que tiene el ángulo 
“”) y el triángulo ADE (que tiene el ángulo “”).
 Si AD = 1, entonces DE = Sen y AE = Cos
 En el triángulo ADG, se veri ca que DG = FH = 
Sen( + )
 Por otra parte, tenemos que FH = FE + EH.
 En el triángulo AEH se veri ca que EH = CosSen.
 Los triángulos AEH y EFD son semejantes por tener 
sus ángulos iguales.
 En el triángulo EFD, se tiene que FE = SenCos
Finalmente, obtenemos:
Sen( + ) = DG = FE + EH = SenCos + CosSenα
2. SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE UN ÁNGULO COMPUESTO
Sen(x + y) = SenxCosy + SenyCosx
Sen(x – y) = SenxCosy – SenyCosx
 
3. COSENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE UN ÁNGULO COMPUESTO:
Cos (x + y) = CosxCosy – SenxSeny
Cos (x – y) = CosxCosy + SenxSeny
4. TANGENTE DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE UN ÁNGULO COMPUESTO:
Tan(x + y) = Tanx + Tany
1 – TanxTany
Tan(x – y) = Tanx – Tany
1 + TanxTany
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NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son co-
rrectas?
I. Sen8º = 1/7
II. Cos75º = 
6 – 2
4
III. Sen67° = 4 + 
3
10
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo II y III
2. Simpli ca: Sen(A + 60°) + Sen(A – 60°)
a) SenA b) CosA c) 2SenA 
d) 2CosA e) 1
3. Simpli ca:
Sen(x + y) + Sen(x – y)
2CosxCosy 
a) Cotx b) Tany c) Tanx 
d) CosA e) 1
4. Si: Tanx = 4/3 y Coty = 15/8
Calcula:
E = Sen(x + y)
SenxCosy 
a) 1 b) 2/5 c) 5/2 
d) 7/2 e) 7/5
NIVEL INTERMEDIO
5. Una baldosa de forma cuadrada ABCD es dividi-
da para que sus partes sean pintadas de diferentes 
colores, de acuerdo con un cierto diseño. Para di-
vidirla se consideran los trazos BD y AM, sien-
do M el punto medio de BC. Si AB = 40cm, halla 
Tanθ. 
UNMSM 2019-II
B
A D
M C

a) 2 b) 3 c) 1,5 
d) 4 e) 2,5
6. Si: a – b = 30°
Calcula: Q = (Cosa – Cosb)2 + (Sena – Senb)2
a) 4 b) 2 – 2 c) 2 + 2
d) 2 + 3 e) 2 – 3
7. Sabiendo que:
Sen(2x+y)Cos(x–y)+Sen(x–y)Cos(2x+y)=0,5
Calcula:
C = Cos(4x+y)Cos(2x–y)–Sen(4x+y)Sen(2x–y)
a) 2/3 b) 3/2 c) 1 
d) 1/2 e) 1/4
8. Reduce:
R=Cos2x–2CosxCosyCos(x+y)+Cos2(x+y)
a) Sen2x b) Cos2y c) Sen2y 
d) Sec2x e) Csc2x
9. Determina “a – b” a partir de la siguiente identidad:
Sen(x+60°) – Cos(x+30°) = aSenx + bCosx
PUCP 2019-I
a) 0 b) 1 
c) 2 d) –1 
10. Sea “” un ángulo en el II cuadrante con 
Tan = –7/24 y “” un ángulo en el III cuadrante 
con Cot = 3/4. Determina el valor de Sen(+ ). 
UNI 2019-I
a) –107/125 b) –3/5 c) 17/125 
d) 3/5 e) 107/125
11. En el grá co,CD = 4BD. Calcula Tan(– ).
A
45°
B
D
C


a) 7/17 b) 7/12 c) 5/12 
d) 3/17 e) 4/17
12. En la identidad trigonométrica:
2Senx + 3Cosx = kCos(x – )
Determina: Tan
a) 2 b) 13/2 c) 13/3 
d) 3/2 e) 2/3
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1
NIVEL AVANZADO
13. Sabiendo que Tan(26° + x) = 3/7; 
calcula Tan(19°–x).
a) 0,4 b) 0,1 c) 0,3 
d) 0,2 e) 0,5
14. Si nos situamos a una distancia de 500 metros de 
un edi cio de 100 metros de altura que tiene 25 
pisos idénticos; halla el valor de la tangente del 
ángulo “” mostrado.
10mo piso
α
9no piso
500m
a) 5/3143 
b) 3143/5000 
c) 1/274
d) 25/3143 
e) 36/3143
15. Si: Senx = 2Seny y Cosy = 3Cosx
Calcula: Cos(x – y)
a) –5/7 
b) –3/7 
c) 3/7 
d) 5/7 
e) 6/7
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1. SUMA Y DIFERENCIA PARA TRES ÁNGULOS:
Sen(x + y + z) = SenxCosyCosz + SenyCosxCosz + SenzCosxCosy – SenxSenySenz
Cos(x + y + z) = CosxCosyCosz – SenxSenyCosz – SenxCosySenz – CosxSenySenz
Tan(x + y + z) = Tanx + Tany + Tanz – Tanx Tany Tanz
1 – Tanx Tany – Tany Tanz – Tanx Tanz
 
2. IDENTIDADES AUXILIARES:
 
Tanx + Tany + Tan(x + y)TanxTany = Tan(x + y)
Tanx – Tany – Tan(x – y)Tanx.Tany = Tan(x – y)
Sen(x + y)Sen(x –y) = Sen2x – Sen2y = Cos2y – Cos2x
Cos(x + y)Cos(x – y) = Cos2x – Sen2y = Cos2y – Sen2x
 Si: A + B + C = π; 2π; 3π; 4π…; kπ (k  )
TanA + TanB + TanC = TanATanBTanC
CotACotB + CotACotC + CotBCotC = 1
 Si: A + B + C = 

2
 ; 
3
2
 ; 
5
2
 ; 
7
2
 …; (2k + 1)

2
 (k  )
CotA + CotB + CotC = CotACotBCotC
TanATanB + TanATanC + TanBTanC = 1
3. TEOREMAS:
Siendo “a” y “b” números reales y “x” una variable real, se cumple que:
 aSenx + bCosx = a2 + b2  Sen(x + ) 
Donde:
 Sen = b
a2 + b2
 y Cos = a
a2 + b2
– a2 + b2  aSenx + bCosx  a2 + b2
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2
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son co-
rrectas?
I. El máximo valor que toma 8Senx+15Cosx es 
17.
II. Siempre se cumple que: 
 Tanx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz
III. El mínimo valor que toma Senx + 3Cosy es 
–2.
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo II y III
2. En un triángulo ABC se cumple que: TanA = 1/3 
y TanB = 1/2. Calcula TanC.
a) 1/2 b) 1/3 c) 2 
d) –1 e) 1
3. Calcula el mínimo valor de 9Senx – 40Cosx + 7
a) 34 b) –34 c) 41 
d) –41 e) 43
4. Reduce:
Q = 19+6(Tan21º+Tan24º+Tan21ºTan24º)
a) 5 b) 3 c) 5
d) 7 e) 26
NIVEL INTERMEDIO
5. El siguiente grá co representa un túnel donde se 
ha instalado una cámara de seguridad y un re ec-
tor de luz. Si la visual de la cámara se intersecta 
perpendicularmente con el haz de luz emitido 
por el re ector, y este a su vez forma un ángulo 
“” con la horizontal sobre piso; calcula “Tan”.
a) 11/16 b) 4/19 c) 11/19 
d) 13/9 e) 13/11
6. Si x + y + z = 90º y Tanx = 2Tany = 3Tanz, cal-
cular:
E = 3Cotx + 4Coty + 5Cotz
a) 15 b) 19 c) 23 
d) 26 e) 30
7. En un triángulo ABC, se cumple que:
TanA = TanB
2
 = TanC
3
Calcular: E = Tan2A + Tan2B + Tan2C
a) 241 b) 12 c) 14 
d) 41 e) 7
8. Señala el intervalo de variación de:
L = 4Sen(30º + x) + Cosx
a) [– 37; 37] b) [– 26; 26]
c) [– 21; 21] d) [– 19; 19]
e) [– 2; 2]
9. Si: 2Senx + 3Cosx = kSen(x + ); donde “” es 
agudo.
Calcula: L = (k2 – 1)Tan.
a) 12 b) 16 c) 15 
d) 18 e) 21
10. En un triángulo ABC, se cumple que:
 3CotB – 7CotC = 2mTanA
 8CotA – 9CotB = nTanC
 10CotC – 2CotA = pTanB
Determina la relación que se cumple entre “m”, 
“n” y “p”.
a) 2m + 2n + p =1
b) 2m + n + p = 1
c) 2m + n + p = 2
d) m + n =2p
e) 2m – n = 2p
11. Sea el siguiente grá co un cuadrado, calcula 
Tan()
2
1

3
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
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 M
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l p
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 Pr
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2
a) 1 b) 7/4 c) 2/7 
d) 2 e) 3/8
12. Si: x + y + z = 90º, calcular: Tan(z)Tan(y).
Donde: Tan(x) + Tan(z) = 7Cot(y) y 
 Tan(y) + Tan(x) = 3Cot(z)
a) 21/2 b) 21/4 c) 7/3 
d) 4/7 e) 9
NIVEL AVANZADO
13. Sean “x”, “y”, “z” las medidas de los ángulos inte-
riores de un triángulo, tales que: 
Cot(x) + Cot(y) = 3Tan(z)Cot(x)Cot(y).
Determina la Tan(x) en función del ángulo “y”. 
UNI 2016-I
a) 2Tany b) 3Cosy c) 4Coty 
d) 3Tany e) 4Seny
14. Un motociclista viaja a una velocidad de 28 km/h. 
Si transcurrido 15 minutos el motociclista se en-
cuentra a 13km debajo del helicóptero; calcula la 
Tan(B), si el helicóptero ve al motociclista en la 
posición C con un ángulo de depresión de 53º.
a) 7/13 b) 67/31 c) 23/74 
d) 1/2 e) 34/41
15. Calcula el mayor valor de x<360°, correspondien-
te al máximo valor de: V=Sen(4x)+Cos(4x). 
UNI 2017-II
a) 324°45’ b) 258°45’ c) 326°15’
d) 368°45’ e) 285°15’
Ma
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3
1. SENO DE ÁNGULO DOBLE:
Sen2x = 2SenxCosx
 
2. COSENO DEL ÁNGULO DOBLE:
Cos2x = Cos2x – Sen2x
Cos2x = 1 – 2Sen2x
Cos2x = 2Cos2x – 1
3. TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE:
Tan2x = 2Tanx
1 – Tan2x
4. PROPIEDADES AUXILIARES:
Cos4x – Sen4x = Cos2x
Tanx + Cotx = 2Csc2x
Cotx – Tanx = 2Cot2x
(Senx ± Cosx)2 = 1 ± Sen2x
Para calcular el seno o coseno del ángulo doble en función de la tangente, se debe 
recordar lo siguiente:
 
Sen2 = 2Tan
1 + Tan2
Cos2 = 1 – Tan
2
1 + Tan2
1 – Tan2
2Tan
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3
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son co-
rrectas?
Sen40ºCos40º = Sen80º
Cos30º = 1 – 2Sen215º
Si Tan(x) = 2, entonces Tan(2x) es –4/3
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo II y III
2. Si Cotx = 4; calcula Sen2x.
a) 4/15 b) 4/17 c) 8/15 
d) 8/17 e) 15/17
3. Indica la expresión que se obtiene al simpli car:
UNMSM 2018-II
Sen3x + Cos3x
Senx + Cosx
 + 3Senx.Cosx
a) 1 + 2Sen2x b) 2 + Sen4x 
c) 1 + Sen2x d) 3 + Sen2x
e) 2 + 3Sen2x
4. Si: Senx + Cosx = 1/3
Calcula: Sen2x
a) 10/9 b) 8/9 c) –10/9 
d) –8/9 e) –4/9
NIVEL INTERMEDIO
5. Un conductor viaja a lo largo de una carretera 
recta a una velocidad de 72km/h en dirección a 
una montaña y observa que, desde las 4:00pm 
hasta las 4:20pm, el ángulo de elevación hacia la 
cima de dicha montaña cambia de 10º a 80º. Cal-
cula la altura de la montaña. 
UNMSM 2019-I
a) 12Cot20º km
b) 12Sen20º km
c) 12Tan20º km
d) 24Tan20º km
e) 24Sen20º km
6. Calcula el máximo valor de la siguiente expre-
sión:
UNMSM 2019-I
Cos4x – Sen4x + 3
2
 SenxCosx
a) 3/4 b) 2 c) 7/4 
d) 5/4 e) 3/5
7. De la expresión senx = 2Sen2x (Senx ≠ 0); calcula 
Tan2x.
PRIMERA OPCIÓN – PUCP 2018
a) 4 b) 12 
c) 16 d) 15
8. Si: Tanx + Cotx = 5. 
Calcula: Sen2x.
a) 2/23 b) 23/2 c) 2/21 
d) 21/2 e) 21/23
9. Calcula el valor de la expresión:
4Sen20º
Tan10º + Cot10º
 + Cos40º
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 
d) 1 e) 3/2
10. Si se cumple que: 
Cos2x – Cos4x + Sen4x = A + BCos2x.
Calcular: “A + B”.
a) 0 b) 1/2 c) û1/2 
d) 1 e) –1
11. Calcula el valor de la siguiente expresión:
Cot6º
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
12. Si: Sen
4x + Cos4x
1 – Sen6x – Cos6x
 = ACsc22x + B
Calcula: L = A – B
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4/3 e) 5/3
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3
NIVEL AVANZADO
13. En la gura, PQ = 10m. Halla AB. 
UNMSM 2019-II
A
B P
60°
Q 32°
24°
a) 10 3Cos28ºm
b) 10 3Cos24ºm
c) 10 3Sen32ºm
d) 10 3Cos26ºm
e) 10 3Sen56ºm
14. Dos torres separadas a una distancia de 24m en-
tre sí, están situadas en el mismo plano. Colocán-
dose sucesivamente al pie de cada una de ellas, 
se ve con ángulos de elevación doble del ángulo 
de elevación que se ve a la otra, pero en la mitad 
del campo de las torres se les ve bajo dos ángulos 
complementarios. Encuentra las alturas de las to-
rres (en m).
a) 7 y 17 b) 9 y 18 c) 8 y 20 
d) 5 y 15 e) 8 y 18
15. Desde un punto P situado a 120m del pie de un 
poste, se observa el punto más alto de este pos-
te con un ángulo de elevación “”, tal como se 
muestra en la gura. Si 0 <  < /4 y Cos – Sen
= 1/2, calcula la distancia entre el punto P y el 
punto más alto del poste. 
UNMSM 2019-II
 
a) 80( 7 + 1) m
b) 40( 7 – 1) m
c) 40( 5 – 1) m
d) 80( 7 – 1) m
e) 40(2 7 – 1) m
Ma
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 Pr
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res
 
Ma
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ial
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ra 
Pr
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4-5
Triángulo notable de 18º y 72º Triángulo notable de 36º y 54º
1. SENO DEL ÁNGULO MITAD:
Sen
J
K
L
x
2
N
O
P
 =  1 – Cosx 
2
 
2. COSENO DEL ÁNGULO DOBLE:
Cos
J
K
L
x
2
N
O
P
 =  1 + Cosx 
2
3. TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE:
Tan
J
K
L
x
2
N
O
P
 =  1 – Cosx 
1 + Cosx
4. PROPIEDADES AUXILIARES:
Tan
J
K
L
x
2
N
O
P
 = Cscx – Cotx
Cot
J
K
L
x
2
N
O
P
 = Cscx + Cotx
Sen
J
K
L
x
2
N
O
P
 + Cos
J
K
L
x
2
N
O
P
 =  1 + Senx
18º
72º4
5 –1
10+2 5
36º
54º4
5 +1
10–2 5
¡Importante!
El signo  depende del 
cuadrante donde se 
encuentre ubicado x
2
Ma
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ial
 pa
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Pr
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4-5
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?
I. La tangente de 18º30’ es 1/2.
II. La tangente de 26º30’ es 1/3.
III. La cotangente de 22º30’ es 1 + 2.
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo I y II
2. Si: 90º < x < 180º y Cosx = –1/4.
Calcula: Sen(x/2).
a) 3
7
 b) 3
8
 c) 5
8
d) 3
4
 e) 1
4
3. Si: Tanθ = 5/12; θ  180º; 270º.
Calcula: Cos(θ/2).
a) 13/16 b) – 26/26 c) – 13/16 
d) –3/16 e) 26/26 
4. Simpli ca si x = 60º:
E = Cot8x + Csc8x + Csc4x + Csc2x + Cscx
a) 3 b) 1 c) –1 
d) 3/3 e) –4/9
NIVEL INTERMEDIO
5. En el partido Perú vs Francia en el mundial de 
Rusia 2018, en el minuto 49, Cueva desde el extre-
mo derecho tenía dos opciones de pase que eran 
Carrillo y Aquino (véase la gura). Si Carrillo 
se encontraba con marcación de los defensas de 
Francia, calcula el tiempo en el que se demoró en 
dar el pase (en segundos) a Aquino si la distancia 
del pase está representada por D=20Tan(θ/2)+40, 
además, se sabe que la pelota iba a una velocidad 
de 10m/s.
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
6. Si: Csc2x – Cot2x=1/3.
Calcula: Q = Csc4x + Cot4x
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 
d) 4/3 e) 1/5
7. Si: Senx = 2ab
a2 + b2
; x  IC. Calcula Tan(x/2).
a) a b) b c) a/b 
d) ab e) b/a
8. Dada la siguiente identidad:
(1+Senx+Cosx)2 + (1–Senx+Cosx)2 = MCot(x/2)
Calcula el equivalente de “M”.
a) Senx b) 2Senx c) 4Senx 
d) Cosx e) 2Cosx
9. Si: Cotx=0,75  x  IIIC.
Calcula: W = Cos(2x) – Tan(x/2)
a) 3/5 b) 4/5 c) 7/25 
d) 43/25 e) –23/25
10. Calcula:
2Sen(x/2)[Cos(x/2)Tanx – Sen(x/2)]+1, para 
x = 30º
a) 3 b) 2 3 c) 3/2 
d) 3 3/4 e) 2 3/3
11. Simpli ca:
D = Cot(x/2) – 2Cos2(x/2)Cotx
a) Cosx b) Senx c) 1 
d) 0 e) Cotx
12. Simpli ca:
Q = Tan(x/2)Tan2x
J
K
L
Cosx
1–Cosx
 – 
1+Cosx
Cosx
N
O
P
a) 2 b) 0 c) 1,5 
d) 0,5 e) 1
NIVEL AVANZADO
13. Calcula el valor aproximado de Tan7º30’.
a) 6 + 3 + 2 + 2 b) 6 + 3 – 2 + 2
c) 6 – 3 + 2 – 2 d) 6 – 3 – 2 + 2
e) 6 + 3 + 2 – 2
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
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4-5
14. Usando un programa PACKET TRACER se pue-
den hacer conexiones de redes virtuales. En la si-
guiente gura tenemos un mapa de redes donde 
la distancia del PROVEEDOR DE INTERNET al 
MODEM es la mitad de distancia de la COMPU-
TADORA y el SERVIDOR. Calcula el valor de 
“θ”.
 
a) π/3 rad 
b) π/4 rad 
c) π/6 rad 
d) π/8 rad 
e) π//10 rad
15. Si kSen(x/2) = Cos(x/2), siendo Senx > 0; reduce 
la siguiente expresión:
Q = 2 –Cscx
1+Senx
Sen2x
a) (k2–k–2)
b) k + k–1
c) k – k–1
d) k + k–1
e) k – k–1
Ma
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6
1. TRANSFORMACIÓN DE SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS EN UN PRODUCTO: 
 (A>B)
Sea: x + y = A  x – y = B  x = A + B
2
 ; y = A – B
2
Sen(x+y) + Sen(x–y) = 2SenxCosy
SenA + SenB = 2Sen
J
K
L
A+B
2
N
O
P
 CosJK
L
A–B
2
N
O
P
Sen(x+y) – Sen(x-y) = 2CosxSeny
SenA – SenB = 2Cos
J
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A+B
2
N
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 SenJK
L
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2
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2. TRANSFORMACIÓN DE SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS EN UN PRODUCTO: 
 (A>B)
Sea: x + y = A  x – y = B  x = A + B
2
 ; y = A – B
2
Cos(x+y) + Cos(x–y) = 2CosxCosy
CosA + CosB = 2Cos
J
K
L
A+B
2
N
O
P
 CosJK
L
A–B
2
N
O
P
Cos(x+y) + Cos(x–y) = –2SenxSeny
CosA – CosB = –2Sen
J
K
L
A+B
2
N
O
P
 SenJK
L
A–B
2
N
O
P
3. PROPIEDADES AUXILIARES:
TanA + TanB = Sen(A + B)
CosACosB
TanA – TanB = Sen(A – B)
CosACosB
CotA + CotB = 
Sen(A + B)
SenASenB
CotB – CotA = 
Sen(A – B)
SenASenB
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6
 Sea: A + B + C =180º, se obtiene:
SenA + SenB + SenC = 4Cos(A/2)Cos(B/2)Cos(C/2)
CosA + CosB + CosC = 4Sen(A/2)Sen(B/2)Sen(C/2) +1
Sen2A + Sen2B + Sen2C = 4SenASenBSenC
Cos2A + Cos2B + Cos2C = –4CosACosBCosC – 1
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son co-
rrectas?
I. Cos11x + Cos5x = 2Sen8xCos3x
II. Cos12x – Cos8x = 2Sen10xSen2x 
III. Sen13x + Sen7x = 2Sen10xCos3x
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo I y II
2. Encuentra el valor de:
N = Sen40º + Sen20º
Cos40º + Cos20º
 + Sen50º + Sen10º
Cos50º + Cos10º
a) 2 3/3 b) 3 c) 3/3 
d) 2 3 e) 3/2
3. Reduce:
N = Cos15x + 10Cos10x + Cos5x
Sen15x + 10Sen10x + Sen5x
a) Cotx b) Cot2x c) Cot4x 
d) Cot5x e) Cot10x
4. La expresión: 
M = Sen7º + Sen21º + Sen35º + Sen49º
Es equivalente a:
 UNMSM 2019-I
a) 4Sen28ºCos14ºCos7º
b) Sen28ºCos14ºCos7º
c) 4Sen21ºCos15ºCos7º
d) Sen35ºCos14ºCos7º
e) 4Sen28ºCos28ºCos7º
NIVEL INTERMEDIO
5. Al copiar de la pizarra la expresión Sen40º – 
Sen20º, un estudiante cometió un error y escribió 
Cos40º – Cos20º. Calcula la razón entre lo que 
estaba escrito y lo que copió el alumno.
 UNMSM 2018-I
a) 3 b) – 3 c) –2 3
d) – 3/2 e) 2 3/3
6. Reduce:
P = Cos(45º+x)–Cos(45º–x)
Sen(120º+x)–Sen(120º–x)
a) 2 b) 1 c) 0 
d) 1/2 e) 2
7. Simpli ca: R = 2(Cos5x + Cos3x)(Sen3x – Senx)
a) Sen6x b) Sen7x c) Sen8x 
d) Sen9x e) Sen10x
8 Al simpli car la expresión:
Sen17º + Cos17º
Sen31º Cos31º
Se obtiene:
a) 4 2 b) 2/2 c) 2 
d) 2 2 e) 2/4
9. Si: Tanx = 1/3, reduce:
Q = Sen5x + Sen3x
Cos5x + Cos3x
a) 7/4 b) 3/4 c) 4/3 
d) 5/3 e) 24/7
10. Transforma a producto:
A = 3Sen3x + 2Senx + Sen5x
a) 8SenxCos3x b) 16SenxCos4x
c) 12CosxSen4x d) 16CosxSen3x
e) 32SenxCos5x
11. Señala el máximo valor de: 
K = Cos(30º – x) + Senx
Ma
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Pr
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6
a) 1 b) 3 c) 2 
d) – 3 e) 2 2
12. Simpli que la expresión:
R = 1 + Cosx + Cos2x
Senx + Sen2x + Sen3x
a) Cscx b) 0,5Cscx c) 2Senx 
d) 0,5Secx e) Cscx
NIVEL AVANZADO
13. Calcula el valor de: E = Sen224º – Sen26º
a) ( 5 + 1)/4 b) ( 5 – 1)/4
c) ( 5 + 1)/8 d) ( 5 – 1)/8
e) 1/4
14. Los puntos P, Q, R y S en un tablero electróni-
co están conectados por lamentos metálicos 
como muestra la gura. Se realizan mediciones 
que determinan las longitudes QS = Sec40º y 
QR = Sec20º. Si PS = 4Sen20º. Halla “” 
UNMSM 2018-I
P S
R
Q

a) 12º b) 15º c) 9º 
d) 20º e) 10º
15. Si: Cos47º – Cos13º
Cos47º + Cos13º
 = 
p
3
Calcula: Tan62º
a) (1 + p)/(1 – p) b) 2p/(1 – p2)
c) –2p/(1 – p2) d) (1 – p)/(1 + p)
e) (1 – p2)/(1 + p2)
Ma
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Pr
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7-8
1. TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTO A SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS: (x>y)
2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y)
2SenyCosx = Sen(x + y) – Sen(x – y)
2. TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTO A SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS: (x>y)
2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y)
2SenxSeny = Cos(x – y) – Cos(x + y)
 
3. PROPIEDADES AUXILIARES:
Sen2x – Sen2y = Sen(x + y)Sen(x – y)
Cos2x – Sen2y = Cos(x + y)Cos(x – y)
Debemos recordar las identidades de ángulo triple, ya que en el tema de 
transformaciones trigonométricas, mientras más identidades el estudiante sepa, 
mejor podrá afrontar un problema.
Sen3x = 3Senx – 4Sen3x; Sen3x = Senx(2Cos2x +1)
Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx; Cos3x = Cosx(2Cos2x -1)
Tan3x = 3Tanx – Tan
3x
1 – 3Tan2x
Sen3x = 4SenxSen(60º – x)Sen(60º + x)
Cos3x = 4CosxCos(60º – x)Cos(60º + x)
Tan3x = TanxTan(60º – x)Tan(60º + x)
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7-8
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son co-
rrectas?
I. 2Sen80ºCos50º = Sen130º + Sen30º
II. 2Sen20ºSen10º = Cos20º – Cos10º
III. 2Sen45ºCos8º = 7/5
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I, II y III
e) Solo I y III
2. Calcula:
M = 2Cos40ºCos10º – 2Sen55ºSen5º
a) ( 3 + 1)/4 b) 3 + 1 c) 3
d) 1/4 e) ( 3 + 1)/2
3. Simpli ca:
E = Sen6xSen4x – Sen15xSen13x + Sen19xSen9x
a) –1 b) 1 c) 1/2 
d) 0 e) 2
4. Calcula el valor de B/A, si:
Sen11xCos3x – Cos9xSen5x = CosAxSenBx
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 6 e) 4
NIVEL INTERMEDIO
5. Usaint Bolt es el atleta más rápido del mundo en 
la actualidad, se dice que recorre por cada enési-
mo (n) segundo una distancia de 2Cos[5(2n+1)]º 
Sen5º metros. Se desea calcular la distancia que 
recorre desde el primer segundo hasta el tercer 
segundo.
a) ( 6 – 2)Sen5º m
b) 3Sen5º m
c) (8 + 3)Cos5º m
d) 3Sen10º m
e) [( 6 – 2)/2]Cos25º m
6. Reduce la expresión:
D = Sen7xSen2x
Cosx
 + Cos6xSen4x
Sen2x
a) 2Sen2x
b) 2Sen2xSen5x
c) 2CosxCos5x
d) 2CosxSen5x
e) 2Cosx
7. Calcula el valor de:
M = Cos68ºCos52º + Cos172ºCos68º + Cos172ºCos52º
a) 93/4 b) –4/3 c) 4/3 
d) –1/3 e) –3/4
8. Halla el valor de: Q = 3Sen20ºSen40ºSen80º
a) 3/8 b) 3/4 c) 4/3 
d) 8/3 e) 2
9. Reduce:
M = 2Cos6x + 2Cos4x + 2Cos2x – Sen7xCscx
a) –1 b) 1 c) 0 
d) 1/2 e) –1/2
10. Si: Cos5xCos3x = 1/3 + 0,5Cos8x
Calcula:
T = Tanx JK
L
2Sen6xCos5x – Sen11x
Cos9x + 2Sen5xSen4x
N
O
P
a) 1/4 b) 2/3 c) 1/5 
d) 1/6 e) 3/7
11. Calcula: M = Cos5º – Sen25ºSen40º.Csc70º
a) 1/2 b) 1 c) 2/2 
d) 2/4 e) 3/2
12. Halla el valor numérico de:
R = Sen210º + Cos220º – Sen10ºCos20º
a) 3/8 b) 1/4 c) 1/2 
d) 1 e) 3/4
NIVEL AVANZADO
13. Del grá co, halla BD si AC = 2.
B
18º
D
A C
48º
a) 1 b) 2 c) 5/2 
d) 5 e) 5/2
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7-8
14. En el siguiente grá co se observa la parte de un 
parabrisas donde la región trapecial está llena de 
espuma después de visitar una estación un lavado 
de autos. Si la distancia del limpiaparabrisas es 2 
metros; calcula la región sombreada que está aún 
con espuma.
a) 12Sen33x b) 8Sen4x
c) 8Cos32x d) 4Sen32x
e) 8Sen22x
15. Señala el valor aproximado de: M = Cot23º – Tan7º.
a) 2,22 b) 2,36 c) 2,17 
d) 2,44 e) 2,67Ma
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