LUMBRERAS-Ecuaciones Trigonometricas(1) (1)

Vista previa del material en texto

www.FreeLibros.org
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
A utor: Erick A lex Lira Salazar 
© T itu la r de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño de portada: Edgar Refulio Aliaga, Gastón Ruiz Qulroz 
Digitación y diagramación: Joel Valencia G utiérrez 
Graficación: Julián Pacheco Quincho 
Corrección de estilo: Luigi Aguilar Q uintana
© Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av. A lfonso Ugarte N.° 1426 - Breña. L im a-Perú. Telefax: 332-3786
Para su se llo ed ito ria l Lumbreras Editores
Página w eb : w w w .e lum bre ras .com .pe
Prim era ed ic ión : agosto de 2012
Tiraje: 10 000 ejem plares
ISBN: 978-612-307-219-3
Registro de l p royecto e d ito r ia l N.® 31501051100862 
"Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú"
N,° 2012-08911
Prohibida su reproducción to ta l o parcial 
Derechos reservados D. LEG. N.° 822
Esta obra se term inó de im p rim ir en los talleres gráficos de la 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de agosto de 2012 
Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889
http://www.elumbreras.com.pe
índice
" ■ PRESENTACIÓN......................................................................................................... 7
! ■ INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 9
"S ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Nociones previas........................................................................................................ 11
Ecuación trigonométrica elemental.......................................................................... 11
Primera form a...................................................................................................... 12
Segunda fo rm a ..................................................................................................... 13
Tercera fo rm a ................................................................................ •...................... 16
Ecuaciones trigonométricas no elementales............................................................ 17
Ecuaciones trigonométricas con restricciones............................................................ 19
Problemas resueltos................................................................................................... 20
Problemas propuestos............................................................................................... 94
" ■ INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Nociones previas........................................................................................................ 105
Clasificación................................................................................................................ 105
Método de la circunferencia trigonométrica....................................................... 105
Método analítico................................................................................................. 106
Método gráfico..................................................................................................... 107
Problemas resueltos.................................................................................................. 109
Problemas propuestos............................................................................................... 121
SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición.................................................................................................................... 125
Problemas resueltos.................................................................................................. 127
Problemas propuestos............................................................................................... 137
"H CLAVES........................................................................................................................ 140
l l BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................ 142
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
( Í Ü NOCIONES PREVIAS
Una ecuación trigonométrica es aquella que 
contiene razones trigonométricas de ángulos 
o funciones trigonométricas de números rea­
les, que se satisfacen solo para ciertos valo­
res de la variable o que, posiblemente, no se 
satisfacen para ningún valor de la variable.
Ejemplos
• sen2x+senx=0
• senx-cosx= l
• ta n x+ co tx= -4
• tan2x= tan3x-l
• tan3x=27
Se denomina solución de una ecuación al 
valor de la variable angular que verifica la 
igualdad.
Ejemplos
K
El valor x = — es una solución de la 
2
ecuación
3 3 7t K
sen x+senx=2, ya quesen — hsen—= 2 .
2 2
• El valor x = -4 5 ° es una solución de la
ecuación ta n x + c o tx = -2, ya que 
tan (~45°)+co t(-45°)= -2 .
III. Toda ecuación trigonométrica tiene infin i­
tas soluciones y al conjunto de ellas se le 
denomina conjunto solución (CS).
Ejemplo
• senx=0 —> x = { . . . , -2 n , - n ,0 ,n ,2 n , ...}
—» x={nn), f ie Z
IV. Las soluciones de una ecuación trigonomé­
trica que pertenecen al intervalo [0 ; 2n] se 
llaman soluciones particulares. El conjunto 
de todas las soluciones de una ecuación tr i­
gonométrica se llama solución general.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Son ecuaciones de la forma 
EJ.(Ax+B) = N, donde
• F.T. es una función trigonométrica (seno, 
coseno, tangente, cotangente, secante y 
cosecante).
• 4 * 0 , 8 , /V eR
Ejemplos
• senx= l
• tan2x=-v/3
eos
{ n 
2x + —
l 6 2
• cot(x+3)=3
• csc| x - — |=2
• sec(íH
11
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PRIMERA FORMA
ECUACIÓN Solución general
ELEMENTAL (n g Z)
sen(Ax+B)=-l
3%
A x+ B = 2 r¡n + — 
2
sen(Ax+B)=0
PW...........
Ax+B=nn
sen{/4x+fí|=l A x + B = 2 m tJr — 
2
cos(Ax+e}=-l . Ax+B={2n+Í}n
cos(Ax+8)=0
n r~ ..................
A x+B = {2 n + l)~
cos(Ax+ñ}=l Ax+B=2nn
Demostración
Ubicamos los ángulos cuadrantales en una cir­
cunferencia trigonométrica (C. T.), donde n eZ .
Sea 0 un arco dirigido que pertenece a la C.T. 
del gráfico.
Se observa que 
7C
s¡0 = 2/m + — sen0 = l 
2
3iz
s¡0 = 2/m + — -> sen0 = - l 
2
Si 0 = 2/771 —» COS0 = 1 
si 0= (2n+ l)rc —» cos0 = - l
Ejemplos
• cos(5x)=0 -> 5x = (2n + l ) j
—> x = (2n + í ) — , n e Z 
10
x = 6wr + — , n e Z 
2
í n l * rc• eos x — =1 —> x — = 2nn 
l 4 Í 4
u
—> x = 2nn+—, n e Z 
4
(n 71 i - ^ 71 - ít• sen 2x 3— =1 —> 2 x + —~ 2 n n + —
V 3 ) 3 2
—> x = m t+ — , n e Z 
12
t i O bservación
• s e n x = 2 —» C S =ó
• c o s x - - 3 —> CS=i()
4
• s e n 3 x = — —¥ CS=<b
3
• ta n 2x + l = 0 —» CS=<()
12
/
Gráficamente en la C.T.
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
SEGUNDA FORMA
Si F.T.(x)=n, n > 0
Normalmente habrá una solución para x e IC, 
aguda.
Si la solución aguda es x= 0 y si hubiera otra so­
lución en el
• 1IC —¥ sería x = 7t - 0
• NIC —» sería x= ;r+ 0
• IVC —> sería x = 2 j i- 0
Gráficamente en la C.T.
Ejemplos
1. senx = x e (0 ; 2tc)
Resolución
K
La solución aguda es x = —.
4
Como senx>0, la otra solución está en el 
IIC, es decir
Jt 3tc
x = ti— —» x = —
4 4
CS =
Jt 37C 
4 ' 4
V2
2
2. cosx = - , x e { 0 ; 2jc)
Resolución
jc
La solución aguda es x = ~-
Como cosx>0, la otra solución está en el 
IVC, es decir
Jt 5jt
x = 2i t — —» x = —
3 3
c s h - ; - 1 3
Gráficamente en la C.T.
1 3
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
V i , ,
3. tanx = — ; x e (0 ; 2n)
Resolución
La solución aguda es x = —.
6
Como tanx> 0 , la otra solución está en el 
IIIC, es decir
n 7k
X = TC H —» X = 
6 6
CS =
n 7n 
6 ' 6
Resolución
i V i KResolvemos senx = — -> x = —
2 3
Pero senxcO, entonces las dos primeras 
soluciones deberían ser del INC y IVC, luego
IIIC x = n + — x = —
3 3
IVC —» x = 2tu— —> x = — 
3 3
c s h - ; -3 3
Gráficamente en la C.T.
Gráficamente en la C.T.
V i , v
2. cosx = — — ; x e ( 0; 2n)
V i
2
Si F.T.(x)=n, n < 0
En este caso, resuelva la ecuación F.T.(x)=|n|y calcule la solución aguda de dicha ecuación. 
Con esa solución, se calculan las verdaderas con 
l.i misma idea anterior, solo que ahora la F.T.(x) 
os negativa.
/ jemplos
V i
Resolución
Resolvemos cosx = — -> x = —
2 4
Pero cosx<0, entonces las dos primeras 
soluciones deberían ser del IIC y IIIC, luego
IIC —> x = tt— -» x = —
4 4
rc 5 tüIIIC —» X = 7C + — —> x = —
4 4
[3 tc 57t]
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a *.
Gráficamente en la C.T.
A
2
V ta n x = - l ,x e <0; 2n) 
Resolución
Resolvemos tanx = l —> x = —
4
Pero tanx<0 , entonces las dos primeras 
soluciones deberían ser del IIC y IVC, luego
n 3tc
IIC x = n — x = — 
4 4
nIVC x = 2 j i— —» x = —
c s h - ; -4 4
cion
En la resolución de las ecuaciones trigono­
métricas elementales se encuentran gene­
ralmente las dos primeras soluciones en el 
(0; 2rc), y para obtener las demás soluciones:
• Se agrega 2nn, n e Z, si la función es 
seno, coseno, secante y cosecante.
• Se agrega nn, n e Z, si la función es 
tangente y cotangente.
Ejemplos
y¡2 k
1. senx = — —» x — —, —
2 4 4
y las demás soluciones son
x = — i-2nn a x = — + 2nn: n e Z 
4 4
A n U n
2 . c o s x -— —> x = —, -----
2 6 6
y las demás soluciones son
n „ 1 Itc „
x = — h2n7t a x = ------+ 2mt; n e,
6 6
3tc 771
3. tanx = - l -> x = — , —
4 4
y las demás soluciones son
Gráficamente en la C.T, 371x = — + mz; ne . 
4
1 k Sn
4. sen3x = - —» 3x = —, —
2 6 6
y las demás soluciones son
3x = —+ 2n7t a 3x = — + 2n;u; n e Z 
6 6
7t 2nn 57ü 2nn
x = — + ----- a x - — H------- ; ne .
18 3 18 3
1 5
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
\/2 7t 771
5. cos5x = — -+ 5x = —, — 
2 4 4
V las demás soluciones son
Sx~ — + 2nn a 5x = — +2m:; ne 
4 4
7ü 2nn 7n 2nn
x - — + a x = — + ;n i
20 5 20 5
6 . tan(2x) = -V 3 2x = ~ , ^
y las demás soluciones son
2x = — + mz; n e Z 
3
71 7771
x = — h— ; n< 
3 2
/4x + f i= (2n + l ) 7i - 0 v Ax+B=2nn+Q 
A x+ B = (2 n + l)7 i+ (-l)2n+10 v
Ax+B=(2n)Tt+(-l)2,70
Como {2 n + l} u {2n}={n}, entonces 
A x + B = m z + {- l)n0
Ejemplos
1. sen3x = ̂ —> 3x = n7ü + ( - l)n9; íié
Donde sen0 = - , 0e 
2
Reemplazamos
k n 
L 2 ' 2 J
3x = n n + ( - l )n—; ne'. 
6
-> x = — + - 1 — ; ne . 
3 18
TERCERA FORMA
SI sen(Ax+B)=Af —> A x+B ~nn+ (-l}nB; n e Z
[ 7C 7C ; — .
Demostración
sen(Ax+B)=sen0
sen(Ax+B)-sen0=O
( A x + B + Q \ (A x + B ~ \ 
2cos • isen - = 0
fA x + B + 9'1 (A x + B - 1 ,
cosí 1=0 v sen |---------------- |=0
A x+B +B K A x + B -B
-= 777C + — v -----------------------------= riK; n e .
2 2 2
Si eos(Ax+B)=/V —> A x+ B = 2/77t ± 0 ; n e 
donde cos0=A/, tal que 0 e [0; ti].
Demostración
cos(Ax+B) = cos0 
cos(Ax+B)-cos0=O
A x + B + B \ ( A x + B -
sen
V 2
Ax + B + 0 ÍA x + B - B ', n 
= 0 v sen l --------|=0
A x+B +B A x + B -B
-------------- = mt v ----------------= nn; n e Z
2 2
A x+ B = 2n7t - 9 v Ax+B=2mz+B
A x+ B = 2n7t ±0
16
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
2. cosí— 1 = - — - = 2n ru ± 0 ;n sZ
U / 2 4
donde cos0 = - — ; 0e[O; icl —» 0 = — 
2 1 J 4
Reemplazamos
x i -l. 37t ir— = 2nn± — ; n e £
4 4
—> x= 8nfl:±37t; n e Z
Si tan(Ax+B)=/V —» Ax+B=m t+0; n e Z 
. donde tan0 =/V, tal que 0 e ^ - j ;
Dem ostración
tan{4x+B)=tan0
tan(4x+B)-tan0=O
sen(Ax + B -0 ) 
cos(4x + B)cos0
sen{Ax+B-0)=O
A x + B -0 = n íi
Ax+B=nn+Q
3. tan x - — |=V 3 —> x - — = nic + 0; n e Z 
l 4 Í 4
donde tan0 = ->/3, 0 e / - —; —/ —> 0- K 
\ 2 2 / 3
Reemplazamos
K K _ 7 Tt _
x — =m c+—;n e Z -> x=nrc+— ; n<=Z 
4 3 12
O bservación
• c s c (A x + B )= A / - > s e n (A x + B ) = —
N
1
• s e c {A x + B )= /V - > cos(A x + B) = —
N
• c o t(4 x + B ) = A/ ta n (A x + B) = —
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS NO ELEMENTALES
Para resolver este tipo de ecuaciones no existe 
un método a seguir, dependiendo de la ecuación 
aplicaremos ciertos conceptos algebraicos (facto- 
rlzación, productos notables) o trigonométricos 
{identidades fundamentales, arcos compuestos, 
arcos múltiples, transformaciones trigonomé- 
Irlcas). Para resolverlos debemos reducirlos a la 
forma elemental.
ejemplos
1. 2cos2x + c o s x - l= 0, x e <0 ; 2it)
Resolución
Aplicamos aspa simple 
(2co s x - l)(c o s x + l)=0
cosx = - v cosx = - l 
2
n Sn x = —: — v x = 7t 
3 3
„ . n Sn 
CS = { —;n ; — 
3 3
17
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
2. 4sen x -4 s e n x + l= 0 , x e <0; 2n) 
Resolución
Aplicamos binomio al cuadrado 
(2s e n x - l)2=0
2s e n x - l=0
senx = - 
2
K 57C 
—> x = —; — 
6 6
c s h - ; - 
6 6
k 3n n 5%
x — —; — v x = —; — 
2 2 6 6
Q $ -J n K ^71 ^ 
~ .6 ' 2 ' 6 ' 2
5. s e n ^ x - - ^ j+ c o s |^ x - ^ j= l; xe(0;27i:) 
Resolución
Por identidades de ángulos compuestos
V2 sen^x-“ + -^ j - 1
senx =
3. tan x - l= 0 , x e <0; 27t)
Resolución
Aplicamos diferencia de cuadrados 
( ta n x - l) ( ta n x + l)=0
ta n x = l v ta n x = - l
7t 37t 
—» x = —; — 
4 4
4 4
_ TC 5tt _ 371 77T
“ 4 ' 4 * 4 ' 4
cs_ ,7 t_ 3TÍ 57t 7n
4 ' 4 ' 4 ' 4
4, sen2x-cosx=0; x e <0; 2n) 
Resolución
Por identidades del ángulo doble 
2senxcosx-cosx=0 
cosx(2s e n x - l )=0
cosx=0 v senx = — 
2
6 . sec x + 2tanx=0 ; x e <0; 2n) 
Resolución
Por identidades fundamentales 
l+ ta n 2x + 2tanx=0 
(ta n x+ l)2=0 
ta n x + l=0 
—» ta n x = - l 
3tc 7jt
x =
4 4
C S -(— ; — 
4 4
18
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS CON RESTRICCIONES
Si en la ecuación trigonométrica aparecen 
términos afectados de los operadores tan, 
sec, cot y esc, entonces aplicaremos las si­
guientes restricciones
• tan(Ax+B) —> A x + B * (2 n + l)—; n e Z
2
• sec(Ax+B) -> A x + B * (2 n + l) y ; n e Z
• cot(Ax+B) —> Ax + B * n n ;n e Z
• csc(Ax+B) —» A x + B * nn; n e Z
Ejemplo
Calcule la solución general de la ecuación 
csc6x=cscl2x; n G Z
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
071
• csc6x —» 6x * / m x * — ; n e Z
6
• cscl2x » 12x * / 77t —» x * — ;n e 2
12
Ahora resolvemos la ecuación 
1 1
—» sen l2x = sen6x
sen6x sen l2x 
-» 2sen6xcos6x -s e n 6x =0
sen6x(2cos6x - l )=0
_ mi
• sen6x =0 —» 6x= m t —» x = —
6
Pero no es solución por las restricciones
1 n 
• cos6x = - —» 6x = 2n7r±—
2 3
nn n 
—> x - — ± — ; ne . 
3 18
3 18
Si en la ecuación trigonométrica aparecen 
términos en forma de fracción, entonces 
hacemos que el denominador sea diferente 
de cero.
Ejemplo
, , . - cosx- 1 „Resuelva la ecuación = 0.
senx
Resolución
• Restringimos el denominador
se n x * 0
x * - 2 tt;-71; 0; ti; 2ti; ...
x * nn; n e Z
• Ahora resolvemos la ecuación
cosx- 1
senx
0
y como se n x * 0 
c o s x - l=0 
cosx= l 
x= 2n7t; n G Z 
Pero no es solución por la restricción
cs=<t>
19
P PROBLEMAS RESUELTOS
N iv e l b á s ic o
PROBLEMA N.° I
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
2cos2 x + ( 2 - V 3 ) c o s x - V 3 = 0 ; x e {0 ; 2n)7
A) 3 
D) 5
B) 2 C) 4 
E) 1
Resolución
Aplicamos aspa simple
2cos2 x+(2--n/5)cosx--\/3 =0 
2cosx ^ — V3
cosx 1
(2cosx--\/3)(cosx + l ) = 0 
I, cosx = —
y¡3_
2
re U n
—> x — —; -----
6 6
I. c o s x = - l 
—> X=7t
Por lo tanto, hay tres soluciones.
CLAVE ( A ,
PROBLEMA N.° 2
Calcule el número de soluciones de la ecuación
2sen2x-5 se n x+ 2 = 0 ; xe<0; 2n).
A) 5 B) 2 C) 3
D) 1 E) 4
Resolución
Aplicamos aspa simple 
2sen2x -5 se n x+ 2 = 0 
2se n x . . - 1
senx - 2
—» (2s e n x - l) (s e n x -2)=0
I. Como - l < s e n x < l , la ecuación senx=2 
no tiene soluciones reales.
20
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
senx = - 
2
I. Como -1 < co sx< 1, entonces la ecuación 
cosx=2 no tiene soluciones reales.
2c o s x - l = 0
Tí 5tc 
—> x = —; — 
6 6
Por lo tanto, hay dos soluciones.
C lave (B,
PROBLEMA N.° 3
Calcule la mayor solución negativa de la ecuación 
2cos2x-5cosx+ 2= 0 .
A) -
D)
5tc
6
2n
3
- i
E)
2
Resolución
2cos2x -5cosx+ 2= 0 
Aplicamos aspa simple 
2cos2x -5cosx+ 2= 0
2cosx ✓ - 1cosx - 2 
(2c o s x - l) (c o s x -2)=0
cosx — — 
2
Tí
X = ------
3
CLAVE
PROBLEMA N.° 4
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
cos3x+cosx+cos2x=0; x e (0; 27t)?
A) 7 
D) 6
B) 5 C) 8 
E) 4
Resolución
cos3x+cosx+cos2x=0 
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
2cos2xcosx+cos2x =0 
Factorizamos
cos2x(2c o s x + l)=0
2]
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
I. cos2x=0
Como cos(2n + l ) — = 0; r>€. 
2
2x = (2n + l ) ~ 
2
x = (2n + l ) - 
4
PROBLEMA N.° 5
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
V3sen2x + cos2 x = l ; x e { 0; 2n).
A)
D)
87t
3
137C
B)
5tc
12
C)
E)
IQ jt
3
17k
• n= 0 -4 x = —
4
371
• n =1 —> x = —
4
• n=2
5ti
4
771
n=3 -4 x =
I. 2cosx + l = 0 —> cosx = - ~
2
2n 4ti 
-4 x = — ; —
3 3
Por lo tanto, hay 6 soluciones.
Resolución
V 3 s e n 2 x + cos2x = 1 
y¡3 sen2x = 1 —cos2x 
V 3 (2 se n xco sx ) = 2sen2 x 
-> 2 s e f ix (V 3 c o s x - s e n x )= 0 
- 4 senx = 0 v V 3 c o s x = senx 
senx = 0 v ta n x = \/3 
I. ta n x = V3
7t 4 tt 
-4 x = —; — 
3 3
s e n x = 0
—> X = 7 t
7t 4 tc 8 tt
 1 h 7t —-----
3 3 3
C lave ( D j Clave
22
■ Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a -.
PROBLEMA N.° 6
Calcule la suma de la mayor solución negativa y 
la menor solución positiva de la ecuación 
-.unx+cosx= l+sen2x.
* -f
l>) - 
2
Resolución
senx+cosx= l+sen2x 
senx+cosx=(senx+cosx)2 
•> (senx+cosx)(senx+cosx-l)=0 
> senx+cosx=0 v l=senx+cosx
V2 sen^x + ̂ j =0 v -\/2 sen^x + — j = l
senl x + ~ 1=0 v sen
K _ TC 7t 3JC
X + — = 0 V x + - = — ; — 
4 4 4 4
n „ k
x — — v x = 0; — 
4 2
71 7t 7t
2 4 ~ 4
C lave ÍB.
PROBLEMA N .° 7
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
\en20sen0=cos0; 0 € <0; 7t).
Resolución
sen20sen0 =cos0
Por identidades de ángulos dobles 
(2sen9cos0)sen0=cos0 
2sen20cos0-cos0=O 
cos0(2sen20 - l}= O
Por identidades de ángulos dobles 
cos0 { l- c o s 20 - l)= O 
cos0cos20=O
I. cos0=O
-> e = - 
2
II. cos20=O; 20 e <0; 2tc>
-> 20 = —; —
2 2
0 = — ; ~
4 4
7t JT 371 _ 371
2 4 4 ” 2
_CLAVE ( 3 )
PROBLEMA N.° 8
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cos^30 + ̂ “ j = l ; 0 e(O; 2tc).
lUM BR ER AS EDITORES
Resolución Resolución
cos^30 + ̂ - 1=1
Como cos(2rt7t) = l ; n e Z
-> 30 h— = 2rm 
18
3 6 n n -n
54
0 = (3 6 n - l) — ; ne. 
54
• n = 2
35te
54
71tc
54
• n = 3 0 =
10771
54
sen ̂ 30+-^ j= s e n ^ —
Por solución general del seno
30 + — = n7t + ( - l ) n —; ne . 
4 4
3Q = n n + { - l )n —
4 4
3 12 12
n=0 0=0
n = 1 -+ 6 = ~
6
n = 2 - > 0 = ^
n=3 -+ 0 = ̂ 
6
3571 7l7t 107ti _ 7171 
54 54 54 “ 18
Clave ÍE
Por lo tanto, hay 4 soluciones.
C lave (A,
PROBLEMA N.° 9
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
sen 39+T)=7?:ee[°;,t)?
A) 4 
D) 3
B) 5 C) 2 
E) 6
PRO BLEM A N .° 10
Calcule la mayor solución negativa de la ecua-
A)
D)
A
2 '
5te
C)
71
12 12
E) l
10 
1 ^
 
1 ^
; / i
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
Resolución
sen29 + cos20 = —
2
1 1 1 
- 7=sen20-i— ?=cos20 = -
^ V2 2
7C 7C 1
eos—sen20+sen—cos20 = - 
4 4 2
*or identidades de ángulos compuestos
seni2e+íH
Resolución
í U sen 20H—
K K 
sen—; — g 
4 ) 6 6
7U_ K
2 ' 2
l'or solución general del seno
20 + — = n 7 t+ (- l)n—; n e i 
4 6
0 = — + { - l ) n — - - 
2 12 8
n=0 -+ 0 = ------
7t
24
'or lo tanto, la mayor solución negativa es
sen6x+cos6x = -
Por identidades auxiliares del ángulo doble
5 3 5 „ „
- + -c o s 4 x = — —» cos4x=0
4x = {2n + l ) —; n <
, n / 371x = (2n + 1)—; x e ( 7t; —
37t
• n = l -+ x = —
n=2 -+■ x =
5tu
77t
97Cn= 4 -» x = —
x = -
9tt
Clave ©
Clave (E
PROBLEMA N.° 11
< .tlcule la menor solución positiva de la ecuación
PROBLEMA N.° 12
Resuelva la ecuación 
l+2senx=2sen2x+2cosx; x e (0; 27i).
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
l + 2senx=2sen2x + 2cosx 
l+2senx=4senxcosx+2cosx 
l + 2senx=2c o s x (l+ 2senx) 
2co sx (l+ 2s e n x ) - ( l+ 2senx)=0 
—> ( l + 2senx)(2c o s x - l )=0
1 771 l l T t
senx = — —> x = — ; -----
2 6 6
1 n 5n
cosx - - —» x = —: —
2 3 3
, 7 ^ 7 7 1 571 l l 7 t
3' 6 ' 1~' T ”
PROBLEMA N.° 13
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
2cos7x + V3cos5x+sen5x = 0 .
A) — 
36
D) * * 
72
B)
7JC
72
C)
12
E) ^ 
12
Resolución
2cos7x+V3cos5x + sen5x = 0
'^ 3 1
2cos7x+2| — cos5x + -sen5x 
2 2
2cos7x + 2Í eos—cos5x + sen—sen5x = 0
V 6
Aplicamos identidades de ángulos compuestos 
cos7x+cosf 5 x - — 1=0
l 6 )
Aplicamos transformaciones trigonométricas
2 eos ̂ 6 x - ~ jeos ̂ x + j = 0
eos 6 x - — |= 0 v eos x + — 1=0
l 1 2 ) K 12 J
71 Tí Tí Tí
6 x = — v x + — = —
12 2 12 2
7 ti 5tu
x = — v x = — 
72 12
x =
771
72
Cl a v e (É L Clave Í B .
26
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a 1.
PROBLEMA N.° 14
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
sen25 x -se n 2x=sen4x; x e
A) 2n
« T
B) y C) 37C
E) 4TC
Resolución
sen25x-sen 2x=sen4x 
Aplicamos identidades auxiliares de ángulos com­
puestos
sen(5x+x)sen(5x-x)=sen4x
sen6xsen4x-sen4x=0
sen4x(sen6x-l)= 0
n - 0 —> x = — 
12
5kn = 1 -+ x - — 
12
n = 2 x = -
3ju
k k 3k n 57t „
—+ —+ — + — + — =271 
4 2 4 12 12
_CLAVE (A)
PROBLEMA N.° 15
Calcule la suma de todas las soluciones que se 
encuentran en el intervalo [0; 2tt] de la ecuación 
2cos3x+cos2x - 2c o s x - l= 0 .
sen4x=0 
4 x = n 7i; n
x —
nn
A) 3ti B) 67t
D)
117C
C) 8TC
E) 571
• n= 1
• n= 2
71
X = — 
4
71
X — — 
2
• n=3 -+ x =
I. sen6x = l
371
6x = (4n + l ) —; ne'.
x = (4/1 + 1)
12
Resolución
2cos3x+cos2x - 2c o s x - l= 0 ,
Factorizamos
cos2x(2c o s x + l) - (2c o s x + l)=0
Factorizamos
(2cosx+l)(cos2x - l ) = 0 
(2c o s x + l)(c o s x -l) (c o s x + l)=0
I. c o s x - l=0 —> cosx= l
-+ x=0; 27t
II. c o s x + l=0 —> c o s x = - l
- ¥ X=7l
III. 2cosx+ l=0 —> eosx = ——
2
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Analizamos en la C.T.
x — ■
2k 4tc 
3 ' 3
„ _ 2tt 4 tc _
0+2K + K + + -----= 5H
3 3
C lave (E.
Factorizamos
(3cosx-2)(4senx+3) = 0
3cosx-2= 0 —» eosx — — 
3
Analizamos en la C.T.
4senx+3=0 —¡* s e n x - — 
4
PROBLEMA N.° 16
¿Cuántos valores de x e (0 ; 2rc) satisfacen la 
ecuación 6sen2x-8senx+9cosx-6=0?
Analizamos en la C.T.
A) 5 
D) 2
B) 3 C) 6 
E) 4
Resolución
6sen2x-8senx+9cosx-6=0 
Aplicamos seno del ángulo doble
6(2senxcosx)-8senx+9cosx-6=0 
12senxcosx-8senx+9cosx-6=0 
I actorizamos
4senx(3cosx-2) +3(3cosx-2)=0
Por lo tanto, hay 4 soluciones.
Cla v e ( E
¿8
rol'sl-
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a 1.
PROBLEMA N.° 17
Resuelva la ecuación
2sen2xsen6x = l ; x e ( 0 ; -
A)
l l 6 8
K 7t 
8 ' 12
D)
C)
E)
Resolución
2sen6xsen2x = l
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
cos4x-cos8x= l
Aplicamos coseno de! ángulo doble 
cos4x-Í2cos24 x - l ) = l 
-4 2cos24x-cos4x= 0
Factorizamos
cos4x{2cos4x-1) = 0
I. cos4x=0; 4 x e ( 0;
-> 4x = — 
2
7t
X = —
2 c o s 4 x - l= 0
*f]
PROBLEMA N.° 18
Calcule la Suma de la mayor solución negativa y 
la menor solución positiva de la ecuación
2cos(j)+ 3 = 4cos(j
« T
D) n
Resolución
E) 0
2cos(f |+3 = 4cos(i)
Aplicamos coseno del ángulo doble 
2 2cos2í — 1-1 + 3 = 4cosí —
U
-4 4 cos2Í — l-4cos
2cos = 0 2cos( i ) -
( x ) 1 
eos - = -
U J 2
í)=cos(f) f s[°: ”]eos
X . , n 
—> — = 2nn±—; ne . 
4 3
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N,° 19
Calcule la mayor solución negativa de la ecuación
5 5 1sen xcosx—senxcos x = —.
x = (4n + 3)—
n= - 1 —> x = —
A) ^ B) - * C)
2 4 8
n
x = —
D) E)
4
Resolución
5 5 1sen xcosx-senxcos x = — 
4
5 5 1senxcos x -cosxsen x - —
Factorizamos
senxcosx(cos4 x - sen4 x) =
Aplicamos diferencia de cuadrados
senxcosx(cos2x+sen2x)(cos2x -s e n 2x) = —
Por identidades fundamentales y del ángulo doble
sen2x 1
 1) cos2x) = —
2 4
sen2xcos2x = — 
2
2sen2xcos2x = - l
Por identidades del ángulo doble 
sen4x= -l
C lave (Di
PROBLEMA N.° 20
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
l-cos4 0 + 2 se n 2 0 = V3(sen0+cos0)2.
A» f
D>¡
C)
3 n
E' f
Resolución
l-co s4 0 + 2 se n 2 0 = \/3(sen0+cos0 )2
l-cos40+2sen20=V3(sen20+2sen0cos0+cos20)
Por identidades fundamentales y del ángulo doble 
2sen22 0 + 2sen20 = V3(l+sen20) 
2sen220+2sen20-> /3(l+sen20)= 0 
Factorizamos
2sen20{ l + sen20)-V3(l+sen20) = O 
Factorizamos
{l+sen20)(2sen20-V 3)= 0
I. l+sen20=O —» s e n 2 0 = - l
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
II, 2 se n 2 9 -V 3 = 0 sen26 =
V3 I. cos2x =0 —» 2x = (2n + l ) y
20 = — 
B
71
l’or lo tanto, la menor solución positiva es —.
6
C lave (B.
x = (2n + l ) —; ns'. 
4
n = o —> x = — 
4
371
n = 1 x = — 
4
571
PROBLEMA N.° 21
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
ios3x+cosx = sen2x - i ; x e (0 ; 2tc)?
A} 7 
l>) 3
Resolución
B) 4 C) 6 
E) 5
cos3x+cosx = sen2x —
cos3x+cosx =
2sen¿x - l
771
• n = 3 —» x = —
I. 4 co sx+ l= 0 —> cosx = —
4
Aplicamos transformaciones trigonométricas y 
ángulo doble
l - c o s 2x —1
2cos2xcosx = -
2
cos2x
2cos2xcosx = —
2
4cos2xcosx=-cos2x
4cos2xcosx+cos2x=0
Por lo tanto, hay 6 soluciones.
_CLAVE ©
PROBLEMA N.° 22
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
cos2x+sen2^ j = l ; x e [0 ; 2tc]?
I .ictorizamos
cos2x(4cosx+l)=0
A) 5 
D) 4
B) 2 C) 6
E) 3
3 1
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
cos2x+sen2 - Í=1
2cos2x + 2sen2[ — 1=2
Aplicamos identidad de degradación del ángulo 
doble
2cos2x + l- c o s x =2
PROBLEMA N .° 23
Calcule la suma de las tres primeras soluciones 
negativas de la ecuación
{sen5x+cos5x)(sen2x-¡-cos2x) = l+sen7x.
A)
D) —4 n
B) -37t C) -
57Í
E) - n
Por Identidad del ángulo doble 
2(2cos2x - l ) ~ c o s x = l 
4cos2x -c o s x -3 = 0
Aplicamos aspa simple 
(4cosx+3)(cosx-l)=0
I. c o s x - l=0 co sx= l
x = 0 ; 2?t
II. 4cosx+3=0
cosx = — 
4
Resolución
(sen5x+cos5x)(sen2x+cos2x) = l+ sen7x 
sen5xsen2x+sen5xcos2x+cos5xsen2x+ 
+cos5xcos2x= l+sen7x 
(cos5xcos2x+sen5xsen2x) +
4-(sen5xcos2x+cos5xsen2x)=l+sen7x
Aplicamos identidades de ángulos compuestos 
cos(5x-2x)+sen(5x+2x)= l+sen7x 
cos3x+sen7x=l+sen7x 
cos3x= l 
—> 3x = 2n7i ; n e Z
x - 2n7C
•, 2n n = - 1 —> x = ------
3
47C
Por lo tanto, hay 4 soluciones.
n = - 2 —> x = —
n = - 3 —» -271
2tc 4tc
 27C = —47C
3 3
Clave (D ¿ C lave ( D ;
32
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
PROBLEMA N.° 24
Hi*suelva fa ecuación
roszx= (2cosx-senx)(l+senx); x e { 0; 2ri).
l+ s e n x =0 s e n x = - l
„ 37c
,n 5n 3rc
A) I ; T ; T
<)
n n 5n 
3 ' 2 ' 3
B)
'.3 3 2
CLAVE (A)
.6 6 2
Resolución
.2
, 7C_ 571 _ 371 
. 6 ' 6 ' 2
eos x = {2cosx-senx)(l+senx)
l - s e n 2x= (2cosx-senx)(l+senx)
( l-se n x )( l+ se n x )= (2cosx-senx)(l+senx)
( l-s e n x ){ l+ s e n x )-(2cosx-senx)(l+senx )=0
I jetorizamos
( l+ s e n x ) ( l- s e n x -2cosx+senx)=0
( l+ s e n x ) ( l-2cosx)=0
I l - 2cosx=0 cosx = —
2
Tí 57t 
-» x = —; — 
3 3
PROBLEMA N.° 25
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
senO -V Icos0 = - 2; 0 e{O; 6rc).
A)
D)
1 7 n
2
23lí
B)
2571
C)
1571
Resolución
sen0--\/3cos0 = -2
1
-se n 0 cos0 = - l
2 2
J 3 1
— cos0 — sen0 = l 
2 2
Tí Tí
eos—cosO-sen—sen0 = l 
6 6
Por identidades de ángulos compuestos
cosí —+0 1=1
— + 0 = 2mt; n e ! 
6
0 = 2 m z -—
6
33
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
n =1 -» 0 =
n= 2 9 = -
n = 3
U n
6
23tc
6
3571
6
l i j e 2 3 ji 35tc _ 2 3 ti 
6 6 6 ” 2
C lave ÍD>
PROBLEMA N .° 26
Resuelva la ecuación
3x x 3x x
sen— + sen— = cos— +cos—; x e ( 0 ; 2n). 
2 2 2 2
A)
7n
B n; — 
.4 4
C)
.4 4
D,
Factorlzamos
cos0(sen29-cos20)=O
I. cos0=O; 0 e<0; t i )
-> e = - 
2
x _ n 
2 ~ 2
x—n
sen29-cos20=O
sen29=cos20
se n 2 6 _1 
eos 20
ta n 2 6 = l; 20 e (0 ; 2jc)
-> 20 = — ; —
4 4
„ n Sn
X __ TU 57U 
2 _ 8 ' 8
x = -
n 57c 
4 ' 4
57T
CS= - ; tc;
.4 4
Clave
Resolución
Hacemos cambio de variable x=20 
-> sen30+sen0=cos30+cos0; 0 e{0; ti)
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
2sen20cos0 = 2cos20cos0 
sen20cos0 -co s20cos0 =O
PROBLEMA N.° 27
Calcule la suma de soluciones de la ecuación,
.3cos3x = 8 cos x ; x e ( 0; 47u).
1131A) 771 
D) 8ti
B) C) ^ 
E) 6n
3 4
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
lld io luc ión
cos3x=8cos3x 
4cos3x-3cosx=8cos3x 
4cos3x + 3 cosx= 0 
cosxÍ4cos2x+ 3 )= 0 
' Como 0 < cos2x < 1, entonces la ecuación
eos x = — no tiene soluciones reales. 
4
cosx=0 -» x = (2n + l ) —; n<='.
n=0 —> x — — 
2
* n = í x = -
3tc
5tc
n = 2 -» x = — 
2
7 tc
n= 3 —> x = — 
2
Resolución
Reemplazamos x=2O0 en la ecuación 
—» sen50+sen40+senlOO-sen0=O
90 0 110 90
2sen— eos—+ 2cos----- sen— = 0
2 2 2 2
2sen
90 1 1 0 0 '
eos heos—
2 2 .
= 0
sen-
90
2cos30cos
50
= 0
96 50 „sen— cos30cos— = 0 
2 2
90 50
—> sen— = 0 v cos30 = O v eos— = 0 
2 2
90 „ 7C 50 K
— = 7C v 30 = — v — - —
2 2 2 2
r> A TI _ 7t - TI0 = ------ V 0 = — V 0 = — 0 = —
9 6 5 6
x _ TI 
20 ~ 6
71 371 571 771
- + ---- + ----- H-------= 871
2 2 2 2
Clave ( D j
x = -
1071
Clave ©
l'R O BLEM A N .° 28
i .ilcule la menor solución positiva de la ecuación
x X X X 
.i'n - + sen—+sen— sen— = 0 .
Al
4
871
3
1371
20
b) t q
E) ^ 12
PROBLEMA N.° 29
Resuelva la ecuación
sen4 x-hcos4x = —; x e { 0°; 180°).
A) {30°; 60°; 120°; 150°)
B) {45°; 60°; 120°; 135°}
C) {30°; 120°; 150°}
D) {30°; 45°; 150°; 135°}
E) {60°; 120°; 150°}
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución
4 4 5sen x +eos x = —
Por identidades auxiliares
2 2 5l - 2sen xcos x = -
sen2xcos2x = — 
16
y/3 y¡3
—» senxcosx = — v senxcosx = -------
4 4
V i , V i2senxcosx = — v 2senxcosx = -------
2 2
Por identidades del ángulo doble
V i V i / vsen2x = — v sen2x = — — ; 2 xe (0 ° ; 360°)
Analizamos en la C.T.
V i
2
V i
2
2x=60°; 120° v 2x=240°; 300° 
x=30°; 60° v x= 120°; 150° 
CS={30°; 60°; 120°; 150°}
Clave
PROBLEMA N .° 30
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
1 2 c o s x _ 2 i + c o s x _ 0 ; x e ^0 . 1 0 j c ^
A) 18jt
D ) H í
B)
15jc C) 2071 
E) 22n
Resolución
( 2 c o s x ) 2 _ 2 ( 2 c o s x ) = 0
Hacemos un cambio de variable o = 2cosx.
—> a2-2 o = 0 
a{a-2)=G
I. o=0 -» 2COSX= 0, pero por teoría
- < 2C0SX< 2, entonces la ecuación 2COSX=0 
2
no tiene soluciones reales.
II. o - 2=0 -» o =2 
2Cosx_2 l
—> cosx= l
x = 2n7t; n e Z
• n = l —> x = 2 ti
• n = 2 —» x = 4 ti
• n = 3 -» x=67t
• o = 4 —» x = 8 ti
27T+47t + 67r+87T=207t
Cla v e ( c )
3 6
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
PROBLEMA N.° 31
Calcule ia suma de soluciones de la ecuación 
5senx+cosx-cos3x+sen3x=0; x e {0 ; 4rr).
A) 8ti
»)
2
C) 771 
E) 6te
Resolución
5senx+cosx-cos3x+sen3x=0 
6senx+cosx-cos3x+sen3x-senx=0 
6s e n x -2sen2xsen (-x )+ 2cos2xsenx=0 
6senx+2sen2xsenx+2cos2xsenx=0 
2senx(3+sen2x+cos2x)=0 
> senx=0 v sen2x+cos2x+3=0
I. Como —\¡2 <sen0+cos0< V2, 0 e R la 
ecuación sen2x+cos2x=-3 no tiene solu­
ciones reales.
II, senx=0 —> x = h te ; n e Z
—> x = te; 2tc; 3te 
71 + 271 + 371 = 671
Clave ( ? )
PROBLEMA N.° 32
i .ilcule la menor solución positiva de la ecuación
\¡3 1
— cos2x — sen2x 
2 2
1 L « 1 5— eos 2xh— — = 0 . 
4 l 6 j 4
Resolución
TE TEeos—cos2x-sen—sen2x 
6 6
eos 2x +
! 1 ( 5
— eos 2x+ — 0
4 V 6 / 4
71 i 5
2xh— = 0
6 J 4
TÊ l 1 f
— — eos 
6 J 4 l
4cos2 ̂ 2x+-^ j-cos|^2x+-^ j - 5 = 0 
4cos^2x+-^ j - 5 cos^2x + - ^ j+ l = 0
Como - 1 < cos0 < 1, la ecuación
no tiene soluciones reales.eosK H
cos|^2x + -^ ]= —1
n2x+ — = 7t 
6
TE
2x = TE----
6
x = -
5te
12
_ C la v e (6)
PROBLEMA N .° 33
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
sen x + -v/3 eos x = 2cos 2x.
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
senx-i-V Ícosx = 2cos2x
1 , V i-senxH cosx = cos2x
2 2
n n
eos—senx+sen—cosx = cos2x 
3 3
Resolución
t a n ^ x + ^ j - ta n ^ x - - ^ V i
( n ) ( n
eos X H— eos X — 
l 6 J { 6
= V Í
Por identidades de ángulos compuestos
sen| X + Y l=cos2x
Por razones trigonométricas de ánguloscom­
plementarios
71 7C
x + —+2x = — 
3 2
K3x = — 
6
x = -
18
C lave (D,
PROBLEMA N.° 34
Resuelva la ecuación
tan^x + — j - t a n ^ x - - ^ j = V Í ; x g { 0 ; tu ).
]¡
.6 3
B} ^ 
.3 3
o
.12 12
E) ^ 
'.3 6
n
sen—
3 = V Í
2 2 71 eos x —sen —
V I
2 =V 3
2 1 
COS X -------
2 3
—» COS X = —
V i V i
COSX = V cosx = ----
2 2
Analizamos en la C.T.
V i
2
CS = i¡—; — 
6 6
V i
2
Clave ( A ,
38
Ec u a c io n e s t r ig o n o m é t r k a s
PROBLEMA N .° 35
Resuelva la ecuación 
Umx = -2 ; x e {0 ° ; 360°).
A) {232°; 244°}
1233° 593°
0
l>)
2 2 
127° 487°
2 2 
Resolución
B)
E)
235° 405°]
2 ' 2 J
487° 593°
Por razones trigonométricas de ángulos comple­
mentarlos
(127°
ta n ^ 9 0 ° - ^ - J = 2 tan |^ ^
Analizamos en la C.T.
= 2
233° 593°
> x ~ v x = -------
CS =
[ 233°_ 593°j
Clave (C .
PRO BLEM A N .° 36
Resuelva la ecuación 
secx-2cosx=senx; x e<0°; 90°).
55° 233c
A) — - B) — C)
235°
D)
135°
Resolución
Aplicamos restricción a secx: x t- (2n + l ) —; n >. /. 
se c x -2cosx=senx 
1
cosx
- - 2cosx = senx
l - 2cos x 
cosx
• = senx
l - 2cos x=senxcosx
Por identidades trigonométricas del ángulo doble
„ ^ » sen2x
1 - ( l+ c o s 2 x ) = — - —
- 2cos2x=sen2x
sen2x _ ^ 
cos2x
tan2x = - 2; 2xe<0°;180°>
Por el ejercicio anterior 
233°
2x = -
2
233°
j C l a v e ( B )
3 ‘ )
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N.° 37
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cos6x + 2sen22x = l ; x e (0; n].
A) 4ti B) 3 t t C) 571
senx=0 x —n
71 2n 3tc Ak
 i 1-------1-------h 71 — 37U
5 5 5 5
C lave IB.
D) 671
Resolución
cos6x + 2sen 2x = l
Aplicamos identidades de degradación del án­
gulo doble
c o s 6 x + l-c o s 4 x = l
cos6x-cos4x=0
Por transformaciones trigonométricas 
-2sen5xsenx=0 
sen5xsenx=0
I. sen5x-0
Comosen(n7t)= 0; h e Z 
—> 5x= n 7i
nn
-+ x = —
• n = 1 x — ■—
5
271
• n = 2 -+ x = —
5
371
• n=3 —> x = —
5
• n=4 -+ x = —
5
• n=5 —» 7t
PROBLEMA N .° 38
Resuelva la ecuación
cosx cosx , „ ,
•H-------------------= 4 ; x e ( 0 ; 2 t i) .
1+senx 1 -se n x
D)
7t_ Sjt 
3 ' 3
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
• l+ se n x^O —» se n x^-1
l-s e n x ^ O
x=é(4n + 3 )y ; h e Z 
s e n x ^ l
-> x * (4 n + l ) j ; ne'.
cosx cosx
• + ------------ = 4
1 + senx 1 -se n x 
cosx(l-senx) + cosx(l+senx)
= 4
( l + senx)(l-senx) 
cosx-senxcosx + cosx + senx cosx
l - s e n ¿x
- = 4
2cosx
cos2x
= 4
2 1
 = 4 —> cosx — —
c o s x 2
4 0
“ -< ÍT
CLAVE ( D
PROBLEMA N.° 39
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
sen3xco sx-co s3xsenx 2 . „ ,
'•s ----------------- r---------- = - ; x e {0 ; 2n).
sen xcosx + cos xsenx 3
A) 4ti
i» 7- f
C) 3 n
E) 5rt
Resolución
Aplicamos propiedad de proporciones 
a _ c a + b _ c + d
b d a - b c - d
»nn3xcosx-cos3xsenx+sen3xcosx+cos3xsenx_ 2+3 
'.i'ii3xcosx-cos3xsenx-sen3xcosx-cos3xsenx 2-3
2sen xcosx 
- 2cos3xsenx
tan3xcotx=5
tan2x=5
= -5
E c u a c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s 
—> tanx = -v/s v tanx = —\/5
0+71-0+ 7C + 0 + 27t-0=47t
Clave ( a )
PROBLEMA N .° 40
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
sen2x -3 s e n x c o s x + l= 0 ;x e {0 ; 2ti)?
A) 6 
D) 5
Resolución
B} 4 C) 2 
E) 3
sen x -3 se n xco sx+ l= 0
Multiplicamos por dos
2sen2x-3{2senxcosx)+2=0
Por identidades del ángulo doble
l-co s2 x -3 se n 2 x+ 2 = 0 
3-3sen2x-cos2x=0 
3(l-sen2x)~ (cos2x -s e n 2x)=0 
3(cosx-senx)2-(cosx-senx) • (cosx+senx) 0
41
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Factorizamos
(cosx-senx)[3{cosx-senx)-(cosx+senx)]=0 
(cosx-senx)(3cosx-3senx-cosx-senx)=0 
(cosx-senx)(2cosx-4senx)=0
I. cosx-senx=0 —» senx=cosx
senx
= 1
cosx
ta n x = l
II. 2cosx-4senx=0 2cosx=4senx 
senx _ 2 
~ A 
1 
2
cosx 
tanx = -
PROBLEMA N.° 41
Calcule la menorsoluclón positiva de la ecuación 
cos2x+cos6x+cosl8x=cos32x+cos36x+cos318x.
A) 2 - 
14
D) - * 
13
B) — 
28
O ^ 
26
E)
24
Resolución
Multiplicamos por 4 la ecuación
4cos2x+4cos6x+4cosl8x=4cos32x+
+ 4 c o s36 x + 4 c o s31 8 x
Aplicamos la identidad 
4cos30=cos30+3cos0 
4cos2x+4cos6x+4cosl8x=cos6x+3cos2x+ 
+cosl8x+3cos6x+cos54x+3cosl8x 
cos2x+cos6x + c o s l8x=cos6x + c o s l8x+
+cos54x
cos2x=cos54x
cos54x-cos2x=0
Aplicamos transformaciones trigonométricas
-2sen28xsen26x=0
—> sen28x=0 v sen26x=0
2 8 x = t i v 26x=7r
n n
x = — v x = —
28 26
Por lo tanto, la menor solución positiva es
Por lo tanto, hay 4 soluciones.
2 8
* E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
PROBLEMA N .° 42
i .ilcule la menor solución positiva de la ecuación 
■ /l-cos2x -V l+ c o s 2x = 1; x e ío ;
571
12
3tc
B)
7K
C)
E)
571
6
7t
12
Resolución
V l- c o s 2x - V l+ c o s 2x = l
Aplicamos identidades de degradación del án­
gulo doble
y jls e n x - %/2cos2 x =1 
>/21 senx j - V 21 cosx | = 1
C o m oxe (0 ; |senx| = senx 
Icosxl =cosx
Reemplazamos en la ecuación 
y¡2 senx - y¡2 cosx = 1
( Tí \ 71 71 7t
sen x — =sen— —» x — = — 
V 4 J 6 4 6
x = -
5%
12
CLAVE (A)
PROBLEMA N .° 43
Calcule una solución general de la ecuación 
sen5x+sen3x+2cosx=0; n € Z.
A) { ( 2 n + l ) í | B) |(4n + 3 ) í | C) {(2mc)}
OI i f E¡ (4/7+1)-
Resolución
sen5x+sen3x+2cosx=0 
2sen4xcosx+2cosx=0 
2cosx(sen4x+l)=0 
—»cosx=0 v s e n 4 x = - l 
I. cosx=0
Como cos(2n + l)-^ = 0; n e Z
senx-cosx^
4 1
i i
—j=senx— r=cosx 
4 l 42
-> x = (2n + l ) - 
2
II. s e n 4 x = - l
71
Como sen(4n + 3)—= 0; n e Z
n n i
eos—senx -s e n —cosx = - 
4 4 2
Aplicamos identidades de ángulos compuestos
n \ 1 
sen] x — = - 
4 ) 2
-» 4x = (4n + 3)— —» x = (4n + 3)— 
2 8
(2n + l ) y |u | ( 4 n + 3 ) ^
CLAVE ( B )
4 \
L u m b r e r a s E d it o r e s
PROBLEMA N.° 44
Calcule la solución general de la ecuación 
cos6x-cos2x=0; n e Z.
A) \{2n + l ) ^ B) i™ .
D) ((2/7 + 1 ) - E) {2 nn }
Resolución
senx-cosx = -s/2
1 1- ^ s e n x — p^cosx = l 
V2 y¡2
n n
eos—se n x-sen—cosx = 1 
4 4
( 71 ^ 1s e n ^x - — |=1
Resolución
cos6x -co s 2x =0 
-2sen4xsen2x=0 
—¥ sen4x=0 v sen2x=0
Comosen(4í7 + l ) Y = l ; ne !
T t . TC 71
x — = 4n + l ) — —> x = — h2nn + — 
4 2 4 2
Como sen(n7i ) = 0; n e Z 
—» 4 x = n n v 2 x = n n
rm n n
x = — v x = — 
4 2
_ 371
X = 2/17C + -----
4
x = (8n + 3)— 
4
C lave iA,
Se observa que | ~ m i
x =
nTi
CLAVE (C :
PROBLEMA N.° 46
Calcule la solución general de la ecuación 
V Ísen2x-cos2x = l ; n e Z .
PROBLEMA N.° 45
Calcule la solución general de la ecuación 
senx-cosx = y¡2; n e Z .
A) 2mr+ ( - ! ) " - + - 
4 8
B) m i + [ - l ) n — + — 
6 12
O « L + (_ 1)nJ L + JL 
2 12 12
A) (8 n + 3 )- B) (8/7 + 1)— C) (8 n + 5 )- 
4 4 4
D) nn + { - l ) n — + — 
6 6
D) (4/7 + 3 ) - 
4
E) (4/7 + 1)— 
4
E) — + ( - l ) nü + - 
2 12 6
4 4
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
y¡3 se n2x - eos 2x - 1
41 , 1 . 1
— s e n 2 x — c o s 2 x = - 
2 2 2
71 71 1
eos—sen2x - sen—cos2x =
6 6 2
sen f z x - í t 1 11-4 sen 2x — =sen—
6 y 2 1 6
-> 2 x - — = n7t + ( - l ) n —; n e Z 
6 6
2 x = m r + ( - l ) " - + - 
6 6
senx~cos3x=0
s e n x -se n ^Y ~ 3 x 1-0
2c o s ^ - x js e n ^ 2x - ^ |=0
- í ) s e n ( 2x ^ V oe o s X
I. cos| x - — != 0
71 .,71x — = (2n + l ) — 
4 2
n n , t i t i 
x = — + { - 1 — + — 
2 12 12
3tu
-» x = nK+ — 
4
CLAVE (C
s e n | 2 x ~ ~ 1 = 0
PROBLEMA N.° 47
< dlcule una solución general de la ecuación 
cos5x+senx=2cos4xcosx; n e 2.
711 | Í1K K
™ + - } C) \ — + ~
E, + f
7t2x = 7171
4
777t 71
x = — + - 
2 8
_ C l a v e ( j f )
PROBLEMA N.° 48
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
cos3x+sen2x=0.
Resolución
cos5x+senx=2cos4xcosx
cos5x+senx=cos5x+cos3x
senx=cos3x
A' l C)
E)
3ll
10
7 71 
10
4 ‘i
L u m b r e r a s E d it o r e s
■ m
Resolución
cos3x+sen2x=0
( ncos3x + cos|^—- 2 x J=0
f X TI ^ ( S x k \ „
2cos —+ — e o s = 0
U 4 ) W 4 )
( x « Í ^ X TU ^ „
— + — = 0 v e o s = 0
\ 2 4 ) K2 4 J
( I* ;)-"—> eos
eos
X K IC
—> — I — —
2 4 2
, 5x TU . „
e o s =0
2 4
3 tu5x K TU
- > ------------ — - > X =
2 4 2 10
X — -
3 ju
10
Clave ( C
PROBLEMA N.° 49
Calcule una solución general de la ecuacló- 
2 co s23 x + 2 c o s3 x c o s x = 1 ; n eZ .
Resolución
2 c o s23 x + 2 c o s3 x c o s x = 1
Por identidades del ángulo doble y transforma­
ciones trigonométricas
l+cos6x+cos4x+cos2x= l
cos6x+cos2x+cos4x=0
Aplicamos transformaciones
2cos4xcos2x+cos4x=0
Factorizamos cos4x(2cos2x+l) = 0
cos4x=0 —» 4x= (2 n + l ) — 
2
x = (2n + l)-—; ne !
2cos2 x + l =0 —» cos2x = —
2
f 2 7 i ^ 2 tc , >
cos2x = cosl — I; ~ e (°;
2x = 2n7t ± —
3
x = nTt+—; ne. 
3
C lave (D,
PRO BLEM A N.° 50
Calcule la suma de las tres primeras solucior 
negativas de la ecuación
1_sen|Í ! i
l + senf—^ 3 '
■
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
M'<*oluc¡ón
1 + s e n l - ^ U o s e n í ^ ] * - l
-> — * 2 n n + — —> x ^ ( l 2 n + 9)7c; n e Z 
6 2
i
1 + SenV 6
3-3sen(i)=
. x1 +sen! —
sen
V 6
, x ) f * 0 71sen - =sen — ; — e
\ 6 J U ) 6
- > — = r m + [ - l ) n — ) n e . 
6 6
x = 6m t+ { - l) " j i ; h e Z 
n = - 1 -=-> x = - 7 n 
n = - 2 —» x = - l l 7t 
n = -3 —> x = -1 9 n 
-771-1171-1971=-3771
Tí K 
2 ' 2 .
C l a v e ÍE
PROBLEMA N.° 51
i .ilcule la solución general de la ecuación 
K'.anxcosxcos2xcos4x=0; n € l .
Resolución
4(2senxcosx)cos2xcos4x=0 
4sen2xcos2xcos4x=0 
2(2sen2xcos2x)cos4x=0 
2sen4xcos4x=0 —» sen8x=0 
Como sen(n7i ) = 0 ; n € Z —» 8x= n 7t
M í
x = -
C l a v e ( 6 )
PROBLEMA N.° 52
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cos2x=cosx; x e [0 ; 2tt].
A) 2ti
Resolución
. S7C
B» T
C) 371 
E) 471
cos2x=cosx —» 2cos x - l= c o s x 
2cos2x -c o s x - l=0 —> (2cosx+ l)(cosx-l) 0
cosx = — 
2
Lu m b r e r a s E d it o r e s
co sx= l 
—> x = 0 ; 2 n
2n An „
— + — + 0 + 2 tc = 47c 
3 3
C la v e (E
PROBLEMA N.° 53
Calcule la solución general de la ecuación 
sen4x+sen2x-3cosx=0; n e Z.
A) i(2n + l) - B) {(4n + l ) - } C) {nn}
E) {(4 n + 3 )-D) {2nTt}
Resolución
sen4x+sen2x-3cosx=0
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
2sen3xcosx-3cosx=0
Factorizamos
cosx(2sen3x-3)=0
I. Por teoría - l< s e n 3 x < 1; entonces la ecua­
ción sen3x = - no tiene soluciones reales. 
2
II. cosx=0
Como cos(2n+ l)y = 0; n e i
PROBLEMA N .° 54
Calcule la solución general de la ecuación 
senx(l-cos2x)= -2 (sen 2x+senx); n e Z .
A) {rm} B) {(2 /7 + 1 )— j- C) {2/771}
D) n% E) { (4 /7 + 1 ) -
Resolución
se n x(l-co s2x ) = - 2(senzx+senx)
Aplicamos identidades de degradación del án­
gulo doble
senx(2sen2x ) = - 2(sen2x+senx)
sen3x = -s e n 2x -se n x
sen3x+sen2x+senx=0
Factorizamos
senxlsen x+senx+ l ) = 0
Como el discriminante de la ecuación 
sen2x + s e n x + l=0 es negativa, entonces 
dicha ecuación no tiene soluciones reales. 
senx=0 —> x -n n 
x=nn
C la v e (A )
PRO BLEM A N .° 55
Resuelva la ecuación
Vcos2x +2 - c o s x + 1; x e [ 0 ; 2 jt],
7t 57T 7t 57C K 5 7 tl
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
V c o s 2 x + 2 = c o s x + 1 
Elevamos al cuadrado
( V c o s 2 x” + 2 ) = ( c o s x + 1 )2 
| c o s 2x + 2 | = cos2x + 2 c o s x + 1 
• Por teoría 0 < cos2x < 1
—» 2 < c o s 2x + 2 < 3 
—¥ Ic o s 2x + 2 ¡ = c o s 2x + 2
Reemplazamos en (I)
cos2x+ 2 = c o s 2x + 2 c o s x + 1
cosx = - 
2
c s h - ; -
3 3
0 )
Clave (D,
PROBLEMA N.° 56
l tik.ule la solución general de la ecuación 
2
1 cosx= -sen x; n e Z .
2
Resolución
E) {2nTt}
1 -co sx = -sen2x
2
2 - 2cosx=sen2x
Por identidades pitagóricas
2 - 2c o s x = l-c o s 2x 
c o s 2x - 2 c o s x + 1 = 0 
( c o s x - l)2=0 
c o s x - l=0 
—> cosx= l 
x=2n7i
_ C l a v e ( ? )
PROBLEMA N.° 57
Calcule la solución general de la ecuación 
1
l+ s e n x = -co s2x; n e Z .3
A) {nn;}
B) i ( 2 n + l ) -
C) (4n + l)-
D) |(4n + 3}^J
E) { 2 /ra }
4')
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
1 2 l + senx = -co s x 
3
1+senx = - ( l - s e n 2x)
3
3 + 3 s e n x = l-s e n 2x 
sen2x+3senx+2=0 
Aplicamos aspa simple 
—» {senx+ l)(senx+2)=0
I. Por teoría - 1 < senx< 1, entonces la ecua­
ción senx= -2 no tiene soluciones reales.
II. s e n x + l=0 
s e n x = - l
Como sen(4n + 3 )y = -1 ; n e Z
x = (4n + 3 ) |
C l a v e (D¿
I. Por teoría - 1 < cosx < 1, entonces la ecua­
ción cosx=6 no tiene soluciones reales.
il. c o s x - l=0 
co sx= l 
—> x = 2n7t ; n e Z
• n ~ - 1 -+ x = - 2 n
x = - 2 ti
C la v e ÍC,
PROBLEMA N .° 59
Calcule Í£ solución general de la ecuación
2cos2^ - | l+ s e n x | = c o sx (V 3 + l); n e Z.
Al KA) n n — 
6
B) n n - — C) 2nK~ J
PROBLEMA N.° 58
Calcule la mayor solución negativa de ia ecuación 
Vcosx+3 = 3 - eosx.
A) B) - j t
- f
C) -271
Resolución
Vcosx + 3 = 3 -c o s x 
Elevamos al cuadrado
{'Je osx + 3) = (3 -c o s x )2 
cosx+3=9-6cosx+cos2x 
cos2x - 7 cosx+ 6 = 0 -+ (cosx-6 )(cosx-l)= 0
D) H71 + —
Resolución
n i í k 
E — + — 
2 12
2 eos2 j - [ 1 + senx | = cosx( V I + 1)
Aplicamos identidades del ángulo doble 
1 + eos x - 11+ senx | = -v/3 cosx+ eos x
l - | l + senx| = V Ico sx
Por teoría - 1 < senx < 1 
- 1 + 1 < senx+1 < 1+1 
0 < senx+1 < 2 
-+• | l+ s e n x |= l+ s e n x
r>0
r
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
•emplazamos en la ecuación 
1 - (1 + senx) = V i cosx
1 -1 -se n x = V i cosx
-senx = V icosx
senx = - V i cosx
senx
= - V i
cosx
tanx = - V Í
, K 1 K / 71 71
tanx = tan — ; — e( — ; — 
S j 3 \ 2 2
x = n n — ; n e Z 
3
C lave ÍB,
Factorizamos
sen23x(cos23 x -se n 23x)=0
I. sen23x=0 —» sen3x=0
3x=n7t; n e!
nn
x = — ; ne, 
3
• n -2
2 k
I. eos 3x-sen 3x=0
6 x = {2n + l) —; ne !
cos6x =0
PROBLEMA N.° 60
uántas soluciones tiene la ecuación 
'•n43x=cos23x-cos43x; x e<0; 7t)?
■\) 5 B) 6 C) 8
li) / E) 4
H m oluc ión
sen43x=cos23x-cos43x
I rt( lorizamos
sen43x=cos23 x ( l-c o s 23x)
'i'lu amos identidades fundamentales 
sen43x=cos23xsen23x 
cos23xsen23 x -se n 43x=0
x = {2n + l ) — ; ne ! 
12
• n=0 —» x = —
12
3 n
• n = l -> x = —
12
n=3 —> x = -
57C
12
7tt
12
9rc
n=4 —» x = — 
12
• n=5 x = -
1171
12
Por lo tanto, hay 8 soluciones.
Clave @
L u m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N .°6 I
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cscx-senx=cosx; xe (0 ;27 t).
A) 37t
D) 471
B , f
E)
9jt
D) \ n n - 7̂ E ) { ( 2 n + l ) 7i }
Resolución
Aplicamos restricciones a tanx y secx
Resolución
Aplicamos restricción a cscx: x ^n n , n e 
cscx-senx=cosx 
1
—senx=cosx
-=cosx
senx
l-s e n ¿x 
senx
cos2x
 =cosx
senx
—> cosx(cosx-senx) = l 
—> cosx=0 v cosx=senx 
cosx=0 v ta n x = l
_7t 3tu _ 7t 5tc 
X~ 2 ' 2 V X~ A ' 4
x ^ (2 n + l)—; n e Z 
tan3x -2 ta n 2x+3tanx=sec2x
tan3x -2 ta n 2x + 3 ta n x = l+ ta n 2x
tan3x -3 ta n 2x + 3 ta n x - l= 0
(tanx-1 ) =0
ta n x - l= 0
ta n x = l
 ̂ 7t tu i tí n
tanx= tan—; — e — : — 
4 4 \ 2 2
7t
x=nK +—
4
CLAVE (Bj
7t 3 k 71 Slí Ití— + H— +--=-
2 2 4 4 2
C lave ( C ‘
PROBLEMA N .° 63
Calcule la solución general de la ecuación 
tan2x+co t2x=2 ; n e Z.
PROBLEMA N.° 62
Calcule la solución general de la ecuación 
tan3x -2 ta n 2x+3tanx=sec2x; n e Z .
A) ■ jC n + l^ j B) | (2 n + l}^ } C)
E,D) (4/7+1)—
52
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
Aplicamos restricciones a tanx y cotx
fflt r-p
x * — ; n e Z 
2
tan2x+co t2x=2 
tan2x -2 + c o t2x=0 
tan2x -2 ta n xco tx+ co t2x=0 
(co tx -tanx )2=0 
» co tx -ta n x= 0
l'a r Identidades auxiliares del ángulo doble 
2cot2x=0
Cot2x=0
orno co t(2 n + l)y = 0 ; n
2 x = ( 2 n + l) j
x=(2n + l ) — 
4
C lave ( A y
1‘ ROBLEMA N.° 64
. i uántas soluciones tiene la ecuación 
h i*.4()+cos20=O; 0 e (0; 2?r)?
\) 2
m 4
C) 5 
E) 3
I. cos30=O
como c o s (2 n + l)y -0 ; n e Z
3 0 = (2 n + l)~
6 = (2 n + l)—
b
n=0
n = 1
• n = 2 0 = —
• n=3 0=
• n=4 —> 0=
• n = 5 —» 0=
II. cos0=O
—> 0=—, —
2 2
Por lo tanto, hay6 soluciones.
5j:
6
1%
6
3%
2
1171 
6
_ C lave ( b )
PROBLEMA N.° 65
Calcule la solución general de la ecuación 
2cos2x-3 'j3 co sx+ 3 = 0 ; n e Z.
ttsto lución
Cos40+cos20=O
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
2cos30cos0=O
A) i 2™ ± í } B) | nIt± 4 C) { f ± 5
D) í2m i±— E) ntt±- -
L u m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
2cos2x - 3V Ícosx+ 3=0
Aplicamos aspa simple 
2cos2x -3 \/Íc o s x + 3 = 0
2 c o s x ^ - V i
cosx - V i
-¥ (2cosx-V Í)(cosx—V Í)= 0
I. Como -1 < cosx < 1, entonces la ecuación 
cosx= V Í no tiene soluciones reales.
II. 2 co sx -V Í= 0
V i—> cosx- —
71 K r -1
cosx=cos—; — e [0; rcj 
6 6
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
csc3x —> S x^w i
n7t _ x * — , n e Z 
3
sen6xcsc3x=-V Í 
Por identidades del ángulo doble 
(2sen3xcos3x)csc3x=-VÍ 
2cos3x(sen3xcsc3x)=-VÍ 
2 c o s 3 x ( l)= -V Í
. V icos3x=-------
5k 5k r 
cos3x=cos— . — e 0; n\ 
6 6
Por solución general del coseno 
5tc
3x=2/m ±—
6
/. x=2 n n ± ~ 
6
CLAVE (Ai
_2nn + 5it 
3 “ 18
Clave (C
PROBLEMA N.° 66
Calcule la solución general de la ecuación 
sen6xcsc3x=-V Í; n e Z .
PROBLEMA N .° 67
Calcule la solución general de la ecuación 
( senx+cosx^
sen^- 1=0; n g Z.
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
n<'«olución
fsenx+cosx^ „
Se„ l 2 J = °
1 "musen(n7t)=0; n e Z 
senx+cosx
-=nK 
2
senx+cosx=2n7t 
senx+cosx=..., - 2 ji, 0, 2 j t , ...
'ni leoría -V 2<sert0+cos0<\/2
senx+cosx=0
senx=-cosx
senx
 = -1
cosx
ta n x = - l
7t
x = w t— 
4
tanx=tan| —
4
Clave (EJ
D) /íTC+arctan —
u
E) ta+arctan^n—
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
7t
tan(Titanx) —> 7 tta n x ^ (2 n + l) - ; m i.
ta n x * n + - ; n e Z 
2
ta n (7 ita n x )= V 3
7t Jl / 7T 7T
tanmtanx = tan—; - e ( — ; — 
1 ' 3 3 \ 2 2
Aplicamos solución general de la tangente
7ttanx=WTH— ; n e 
3
ta n x = n + -
3
Aplicamos solución general de la tangente
x = /c 7 i+ a rc ta n ^ n + - |; k E
_ C lave (C
PROBLEMA N.° 68
1 .ilcule la solución general de la ecuación 
i.in{ntanx)=>/3, n y k s Z.
A) /at+arctan^2fi+-
PROBLEMA N.° 69
Calcule la solución general de la ecuación 
sen5x
cos3xcos2x
-tan2x+cot3x=2; n € £.
li) /cTt-t-arctanj^ A) (2 n + l)? | B) | ( 4 n + l) í } C) p n + l ) ^
i ) fat+arctan| n + - D) j(4 n + l)—
L u m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
• tan2x —> 2x í¿ (2n+ l)y
PROBLEMA N.° 70
Resuelva la ecuación
4 c o s 4x - c o s 22 x = 2 ; x g / y ; jc ) .
—» x*(2 n + l ) —; n e Z 
4
rm
• cot3x —» 3 x * /m —> x ^ — ; n e
3
A)
D)
7 j i
271
B)
1171
12
E)
• cos3x^0 —> 3 x *(2 n + l ) y
-» x *(2 n + l ) —; n e Z 
6
sen5x
cos3xcos2x
--tan2x+ co t3x= 2
Aplicamos identidades auxiliares de ángulos 
compuestos
tan3x+ tan2x-tan2x+co t3x=2
tan3x+cot3x=2
Aplicamos Identidades auxiliares del ángulo doble 
2csc6x=2 
csc6x= l 
sen6x= l
c o m o se n {4 n + l)y= l; n e Z
Resolución
4cos4x-co s22x=2
( 2 c o s 2x ) 2 - c o s 22 x = 2
Aplicamos identidades de degradación del án­
gulo doble
(1 + c o s 2 x ) 2 - c o s 22 x = 2 
1 + 2 c o s 2 x + c o s 22 x - c o s 22 x = 2
c o s 2 x = - ; 2xG<7t;27t>
* E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
PROBLEMA N.° 7 1
Calcule la solución general de la ecuación 
cos3x+cosx+4cos2x=0; n e Z.
A)
rm
D) Í(2 n + 1 )-
(2n+l)^\ C) 1(4/7+!}^
Resolución
cos3x+cosx+4cos2x=0
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
2cos2xcosx+4cos2x=0
Factorizamos
2cos2x{cosx+2)=0
cos2x(cosx+2)=0
I, Como - l< c o s G < l, entonces la ecuación 
cosx= -2 no tiene soluciones reales.
II. cos2x=0
Como cos{2n+ l ) —=0; r>e
—> 2x=(2n + l ) —
x = (2 n + l) :
Clave ( B j
A)
77t
C> T
e> T
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
• cotx —» x ^n n ; n e 7L
Tí
• tanx —» x * ( 2 n + l)—; n e Z
cosxcotx+senx=senxtanx+cosx
fc o s x ^ fsenx A
cosx| +senx=senx |+cosx
Vsenxy Vcosxy
cos2x sen2x
 +senx= +cosx
senx cosx
cos2x+sen2x sen2x+cos2x
senx 
1 1
cosx
senx cosx 
senx
-=1
cosx
ta n x = l
PROBLEMA N.° 72
Calcule la mayor solución positiva de la ecuación 
cosxcotx+senx=senxtanx+cosx; x g (0; 2tc).
5 í t
C lave ( E ) 
h /
L u m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N.° 73
Calcule la solución general de la ecuación 
(sen5x+sen3x)secx=VÍ2; n e Z.
A] I ? * ! - » " ; ;
J nn . ,n t i
c) ' T + K ) I i
D)
E,
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
secx x^(2n + l )~ ; n e 
2
(sen5x+sen3x)secx=-s/2
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
(2sen4xcosx)secx=V2 
2sen4x(secxcosx)=V2 
2sen4x(l)=V2
sen4x=—
2
n n 
sen4x=sen—; — e 
4 4
7t 71 
2 ' 2
Por solución general del seno
4 x= n 7 t+ {- l)n—; n e Z 
4
nn / -*n nx = — + - 1 — 
4 16
PROBLEMA N .° 74
El conjunto solución de la ecuación
sen x —— = n / 2 - 2%/2 c o s 2 - es
. I niz n 
A) ' ¡ y + T
7t
rm-\— 
4
D) {27771-—
C) { 777t——
E) { r m - ^
Resolución
sen x
Aplicamo^identldades de ángulos compuestos 
y degradación del ángulo doble
senxcos—-se n —cosx=V 2-V 2(l+cosx)
4 4
s e n x | - y | - ^ - ^ jc o s x -V 2 -V 2 ( l+ c o s x ) 
senx-cosx
V I
- = y ¡ 2 - ' j2 ( l+ C O S X )
senx- cosx= 2 - 2(1+cosx)
s e n x -co sx= 2 -2 -2 co sx
senx-cosx= -2cosx
senx=-cosx
senx_
cosx
ta n x = - l
* r n j 7U i 71 Títanx=tan — L — e ( — . —
4 ) 4 \ 2 2
x=n7t— , n e 
4
Clave ( B , Clave lE
SB
■
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
PROBLEMA N.° 75
Calcule la solución general de la ecuación 
sen23x+sen2x=(sen3x+senx)2; n e Z.
A) {nn} B) {(2n +1) 71} C)
E) {(4 n + l)—
Resolución
sen23x+sen2x=(sen3x+senx)2 
sen23x+sen2x=sen23x+2sen3xsenx+sen2x 
sen3xsenx=0 
—> sen3x=0 v senx=0 
como sen{n7t)=0; n e Z 
-> 3 x= n :i v x=nn 
nn
X —— v x=nrc 
3
como {nn} c {™
nn
x=-
Resolución
Aplicamos restricciones a la solución
• cscx —» x ^ n n jn e Z
71
• tanx x * ( 2 n + l ) - ; n e Z
• cotx x ¿ n n ;n e Z 
sen2xcscx
— cotxsecx= l
tanx
Aplicamos identidades fundamentales y del «in 
guio doble.
2senxcosxcscx fcosx '}
--------------------------- |secx= l
senx U«senxy
cosx
2cos x 1
=1
Clave ( C
senx senx 
2cos2x - l= s e n x 
2 ( l-s e n 2x ) - l= s e n x 
2sen2x + s e n x - l= 0 
—> (2 se n x - l)(se n x+ l)= 0
PROBLEMA N.° 76
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
sen2xcscx
tanx
A) 2n
D) í t
-c o tx s e c x = l; x e (0; 2n).
C)
37t
senx= - v s e n x = - l 
2
3rc
I. s e n x = - l —> x = — , pero no se toma f*n 
cuenta por las restricciones.
1 n 5n
I. se n x= - —» x = —, —2 6 6
7t 5n 
—+— =n 
6 6
Cla v e ( D
v i
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N.° 77
Calcule !a suma de soluciones de la ecuación 
csc2x -c s c x -2 = 0 ; x e (0; 2n).
cscx+ l= 0
c s c x = - l —» s e n x = - l 
371
A' i ° > T
D)
571
C)
3tc
E) 371
7C 571 37l_57T 
6 6 2 ” 2
Clave ÍD ,
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
cscx —> x^n n ; n e Z 
csc2x -c s c x -2 = 0
Aplicamos aspa simple 
(cscx-2 )(cscx+ l)=0
cscx-2=0 cscx=2
—> se n x= - 
2
PRO BLEM A N.° 78
Caicule la mayor solución de la ecuación 
3tanx+3 tarl í - l +3 tanx+l= 1 3; X G / 0 ; iZ *
A)
D)
1371
4
77C
b > t
C)
llT t
Analizamos en la C. T.
7t 571
-> X——. ----
6 6
Resolución
• Aplicamos restricciones a tanx
x^(2n + l ) ^ ; n e Z
tanx . o ta n x - 1 , 0ta n x + l3 +3
Factorizamos
3tanx( l+ 3 _1+3)=13
H Y
13
3tanxpjS>| = 13
(>ü
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Operamos y simplificamos
3 t a n x = 3
—»ta n x = l
. K / 71 71
tanx=tan — ; — e ( — ; — 
U J 4 \ 2 2
Por solución genera! de la tangente
x=n7t+—; n e 
4
• r>=0 -» x = —
4
571
n = l —» x = — 
4
Resolución
• n = 2 x=-
• n=3 —» x = :
971
4
1371
_ 2cosx-s/cos^x=-3 
2 c o s x -|c o s x |= -3 
|cosx| =2cosx+3
cosx=2cosx+3 v cosx=-(2cosx+3) 
cosx=-3 v c o s x = - l
I, Como - l< c o s x < l, la ecuación cosx-- 
no tiene soluciones reales.
II. c o s x = - l -> x=(2n + l)7t 
.-. x=(2n + l)7t
C l a v e ( í )
PROBLEMAN.° 80
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
ta n p ^ —i-x^=3tanx; xe(0 ; 2tc)?
Por lo tanto, la mayor solución positiva es
137: A) 6 
D) 4
C) 2 
E) 3
CLAVE ( a ) Resolución
PROBLEMA N.° 79
Calcule la solución general de la ecuación
2 c o s x -\/l-s e n 2x = -3 ; n e Z .
( 53° . „
ta n ! -^ -+ x |=3tanx
53°
ta n --- +tanx
2________
53°
1 -ta n - -tanx 
2
=3tanx
A) {nn} B) {2n7t} C) {(4n + l)7r}
E) {(2n+ l)7 i}
1
-+ ta n x
2______
1
1— tanx 
2
=3tanx
l+ 2 ta n x= 6 ta n x -3 ta n x
(.1
Lu m b r e r a s E d it o r e s
3tan x -4 ta n x + l= 0 
(3 ta n x - l) ( ta n x - l)= 0 
1
—> ta n x = - v ta n x = l 
3
Por lo tanto, hay cuatro soluciones.
Clave ÍD i
PROBLEMA N.° 81
Calcule la mayor solución negativa de la ecuación 
4sen2xsen2x=\/3cos4x.
A)
12 ' I
E) -71
Resolución
2(2 sen2x)sen2x=V3cos4x 
2(l-cos2x)sen2x=V3cos4x
2sen2x-2sen2xcos2x=V3cos4x
2sen2x-sen4x=VIcos4x
2sen2x=VIcos4x+sen4x
V3 1
sen2x=— cos4x+-sen4x 
2 2
71 K
sen2x=sen—cos4x+cos~sen4x 
3 3
sen2x = s e n ^ - j+ 4 x j 2x=—+4x 
3
7t
6
Clave (Dj
PRO BLEM A N.° 82
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
cos llx+cos3x=0 .
A)
n
14
B) ^ 
12
C)
71
28
UNMSM 2002
Resolución
cos llx+ cos3x= 0
Aplicamos transformaciones trigonométricas de 
suma a producto
2cos7xcos4x=0
I. cos7x=0
7t n
7 x= — —» x = —
2 14
II. cos4x=0
K K
4 x = — —> x = —
2 8
Por lo tanto, la menor solución positiva es
n
1 4
Clave ÍA ,
>;
■ E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
PROBLEMA N.° 83
los valores de los ángulos comprendidos entre 
0° y 180°, que satisfacen la ecuación
2 _
cos2x
I 8n/2
H
.. n 5tc
a ) í v t
D) - y — 
6 3
Resolución
2 8^2 
cos2x
7
-=4
son
I V T
n 57C C — y —
3 3
2n 5n 
E — y — 
3 6
UNMSM 2004-1
-»
cos2x
W l6
cos2x 
2x=60° v 2x=300° 
x=30° v x=150°
% Snx = — v x ——
6 6
cos2x=—
2
Clave lÁ ¿
PROBLEMA N.° 84
Dada la ecuación trigonométrica 
2\/2cos2x= l+ (V 2 -2 )co sx , ¿cuál de los siguien­
tes ángulos no satisface a dicha ecuación?
A) 225c
D) 60°
B) 30° C) 135° 
E) 300°
Resolución
2V2cos2x = l+ (V 2 -2 ) cosx
2-72cos2-(V 2 -2 )c o s x - l= 0
Aplicamos aspa simple
(V 2cosx+ l)(2cosx-l)= 0
I. V 2cosx+ l=0
1
cosx=— ?=
V2
x=135° v x=225°
II. 2 co sx -l= 0
cosx=-
2
x=60° v x=300°
Por lo tanto, no satisface la ecuación 30°.
_ C lave ( b )
PROBLEMA N.° 85
La suma de los valores de x e [0; 2ji] que verlfl 
can la ecuación
2 ta n xco sx -2 co sx+ ta n x -l= 0 es
A)
D)
7n
6
An
B)
2?t
c' t
U N M S M 2004-1 U N M S M 2004 I
6 3
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
2 ta nxcosx-2cosx+ tanx-1=0
Factorizamos
2 c o s x {ta n x - l)+ ( ta n x - l)= 0
Factorizamos
(ta n x - l)(2 c o s x + l)= 0
I. ta n x - l= 0 ; x e [0; 2n]
ta n x = l
K 57C
x = — v x = —
4 4
II. 2cosx+ l= 0 ; x e [0; 2jt]
cosx=—
2
2n An
x = — v x = — 
3 3
Por lo tanto, la suma de valores de x es 
k 5tc 2 tz A k _ 7 tí 
4 4 3 3 ~ 2
Resolución
tanx
tanx+1 
tan2x + ta n x + l
tanx+
tanx
tan3x+tan2x + ta n x + ta n x + l 5 
tan2x + ta n x + l
tan3x+tan2x+ tanx _ 3
tan3x+tan2x + 2 ta n x + l 5
Ordenamos y factorizamos
(ta n x - l) Í2 ta n 2x+4 tanx+3)=0
I. 2tan2x+ 4 tanx+3= 0 no tiene soluciones 
reales, porque su discriminante es negativo.
II. ta n x - l= 0
C lave ÍE
ta n x = l; x e (0 : — 
2
PROBLEMA N.° 86
tanx
Sea
tanx+
; d o n d e xe (0 ; —). 
5 \ 2*
tanx+-
tanx+1
Determine qué valor debe tomar x.
A)
D)
B>¡ -f
n
x = —
4
Clave CA,
PROBLEMA N .° 87
Halle la menor solución positiva de la ecuación 
seca+csca+V2secacsca=0.
A) 45°
D) 315‘
B) 135° C) 225°
E) 215°
U N M S M 2004-1 U N M S M 2004-1
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
• seca —» a^(2n + l)-^; neZ
• csca —> a ^ n n ; n e Z
seca+csca+V2secacsca=0 
secan-csca=-V2 secacsca
seca csca
 + -----------
secacsca secacsca 
= -V 2
csca seca 
sena+cosa= -V 2
7r)ena+f e ) osâ 1
cos45°sena+sen45°cosa=-l
Aplicamos seno de la suma de dos ángulos 
se n (a + 4 5 °)= - l
l'ara la menor solución positiva 
a+45° = 270°
\ a=225°
Resolución
senx+2cosx= l
2co sx= l-se n x
Elevamos al cuadrado 
(2cosx)2= ( l-s e n x )2 
4cos2x = l-2 s e n x + s e n 2x 
4 ( l-s e n 2x) = l-2 se n x+ se n 2x
Operamos
5sen2x -2 s e n x -3 = 0
Aplicamos aspa simple 
(senx-l)(5senx+3)=0
De donde
se n x= l v s e n x = - - 
5
Por lo tanto, la menor solución se obtiene de la 
ecuación
Kse n x= l —> x = —
2
Clave (C.; _ C lave ( § )
PROBLEMA N.° 88
1.1 menor solución positiva de la ecuación trigo­
nométrica 
M?nx+2cosx=l es
PROBLEMA N.° 89
Halle la suma de los valores de x e [0; 2n] que 
satisfacen la ecuación
sen(2x)cscx-l=0.
DI
271
c' f
E> f
A) 371 
D) 271
B) 571 C) An
e> t
U N M S M 2004-11 U N M S M 2004 II
()')
L u m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
cscx —> x *m t; n e Z 
sen (2x)cscx-l= 0 
1
Resolución
senx
(2senxcosx)
Operamos
2 c o s x - l= 0
cosx= -; x e [0; 2tc]
Analizamos en la C. T.
1=0
1/2
n 5 n 
-> x = —; — 
3 3
sen6x+cos6x = —
16
2 2 7l-3 s e n xcos x=-
16
2 2 ^ 
sen xcos x = — 
16
senxcosx=±— 
4
Por Identidad del ángulo doble
 ̂ V3 V3sen2x=— v sen2x=-------
2 2
Analizamos en la C. T.
2
2
K 5tc _
— I-— =2%
3 3
C lave (D ;
-> 2x=60°, 120°, 240°, 300° 
x=30°, 60°, 120°, 150°
Clave ÍB,
PROBLEMA N .° 90
Las soluciones de la ecuación sen6x+cos6x = — ,
16
0°<x<180° son
A) 30°, 60° B) 30°, 60°, 120°, 150°
C) 120°, 60°, 30°
ID) 150°, 60°, 30° E) 60°, 140°, 120°, 30°
U N M S M 2005-11
PRO BLEM A N.° 9 1
Si tana=tan450+tan500cot850+cot85°, halle 
la medida del ángulo agudo a.
A) 38° B) 48° C) 15°
D) 35° E) 50°
U N M S M 2009-1
(>G
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
tana=tan45°+tan50°cot850+cot85°
Aplicamos razones trigonométricas de ángulos 
complementarios 
cot85°=tan5°
» tana=tan45o+tan50°tan5°+tan5o 
tana= l+ tan50°tan5°+ tan5° (I)
Se sabe que tan(450+5°)=tan50°
Aplicamos identidades trigonométricas de án­
gulos compuestos
tan45°+tan5°
-» -----------------------=tan50°
l-ta n 4 5 °ta n 5 °
Operamos
l+ tan5°+ tan5°tan50o=tan50o
Reemplazamos (II) en (I)
tancx=tan50°; a e <0°; 90°) 
a=50°
Resolución
sen0+cos9= -l
Multiplicamos ambos miembros P°r ^
1 1 1
—> —¡=sen0+-7=cos0= — ^
V2 V2 V2 .
eos —IsenG+sení—lc o s 0 - “ —
4 ) V4 )
Aplicamos identidades de ángulos compuestos
l a 71') ^2sen 0H— = -------
4 ) 2
donde | 0+— |e lllc o IVc
n Su n iz 7n -> e+—= — v 9+—= — 
4 4 4 4
( = 7 1 V t ) = -
3tc
3ji
Clave (E.
cs= jc j
PROBLEMA N.° 92
Determine la suma de todos los valores de 
0 € [0; 2ti] que satisfacen la ecuación 
sen0+cos0=-l.
B)
9JC
5ji
e' t
Por lo tanto, la suma de soluciones es
371 571
7lH = -----
2 2
Clave ( d )
PROBLEMA N.° 93
Halle el número de raíces de la ecuación 
sen2x+senx=0; x e [0; 2tt].
A) 4
D) 6
B) 5 C) 3
E) 2
U N M S M 2009-1 U N M S M 2009 II
6 /
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
sen2x+senx=0; x e [0 ;2n]
Aplicamos seno del ángulo doble 
2senxcosx+senx=0
Factorizamos
senx(2cosx+ l)=0
> senx=0 v 2cosx+ l= 0
» senx=0 v c o s x = - - ; x g [ 0 ; 2 ti ]
Sisenx=0 —» X j=0 
x2=n 
x3=2k
1 271 L Si cosx=— —> xd= —
2 4 3
Resolución
cos3a+sen2a=cos2a
cos3a=cos2a -s e n 2a
Aplicamos coseno del ángulo doble 
cos3a=cos2a 
cos3a-cos2a=0
Transformamos a producto
~ 2 s e n ^ - ^ js e n ^ j= °; Oce(0; 2jc)
( a ) n ( 5 a ) „ 
s e n l - = 0 v sen l— 1=0
i oc i „ a sen — NO -» —=nn -» a=2n7t; n e £
V2 J 2
Se observa que la ecuación no presenta so­
luciones en el Intervalo <0; 27i)
X c = -
4n senl— 1=0 —■» — =nn
V 2 ; 2
Por lo tanto, el número de soluciones es 5.
Clave C b.
PROBLEMA N.° 94
¿ Cuántas raíces tiene la ecuación 
ios3u-t-sen2ct=cos2a en el intervalo <0; 2n)?
A) 6 
D) 5
B) 3 C) 7 
E) 4
• n~ 1 —> oc=
a = 2 n ~ ; ne 
5
271
• n= 2
• n= 3
• n=4
a=-
a=-
a=-
5
471
5
6tc
5
StcPor lo tanto, existen 4 raíces.
U N M S M 2009-11 Clave
f>8
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
PROBLEMA N.° 95
11 ángulo 0 en grados sexagesimales, que satis­
fice la ecuación 3^2 e o s ^ j+ V l+ c o s 0 = -V 6
pertenecen al intervalo
A) 0 € (180°; 240°)
H) 0 g (120°; 135°)
L) 0 G <135°; 180°) 
f») 0 G (90°; 360°) 
e) 0G <240°; 270°)
• Para k=0 0=-3OO°; 300°
• Para k = l - * 0=420°; 1020°
0=300° G (90°; 360°)
_ C lave ( D
PROBLEMA N.° 96
Resuelva la siguiente ecuación trigonom étrkii
cot| - |=senx+cotx.
UNI 2001-11
Resolución
3 V 2 c o s ^ j+ V l+ c o s 0 = -V 6
3 V 2 c o s ^ j+ ^2 co s2^ J = —v/6
3V 2cos jj^ j+ V 2 cos^ ^ = -V 6
l’ara que el primer miembro de la ecuación sea 
negativo, necesariamente
cos| — |<0
3V 2 eos ̂ j —s/2 eos j= -V e
fe ') V3
eos - = -------
U J 2
cosí — |=cos(150c
—=360°/c±150°; k z . 
2
0=720° ír±300°
(2 / f+ l) | ; /ceZ
(2 /c + l) j; k e Z
P * + U f ; íre Z
(4 i t+ l) | ; k g I
(4/c+3)-^; k e l
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
‘(í )cotí - I —> —*m t
—» x*2 n n ; n e
• cotx —> x * /ra ;/ iG
cotí — |=senx+cotx
60
l
L u m b r e r a s Ed it o r e s
Aplicamos identidad del ángulo doble 
cscx+cotx=senx+cotx 
cscx=senx 
1
-=senx
senx 
. 2 .sen x = l
l - s e n 2x=0
cos2x=0
cosx=0
n
x = {2 k + l)—; k e Z
Clave ( Á j
PROBLEMA N.° 97
El número de elementos del conjunto 
F=|x e [0; 27c]/cos2xsecx+secx+l=0} es
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
UNI 2003-1
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
secx x ^ (2 n + l) -^ ; n e Z 
cos2xsecx+secx+ l=0
factorizamos
secx(l+cos2x) + l= 0
Por Identidad del ángulo doble 
secx(2cos2x) + l= 0 
2cosx+ l=0
c o s x = - - ; x e [0; 2n]
=“ ( f )cosx=
. , 2n—» x = 2 n n ± — ; n e , 
3
n = 0 x=-
2%
4 n
• n = 1 —> x = — 
3
Por lo tanto, para x e [0; 2n] existe 2 soluciones.
Clave { § )
N i v e l i n t e r m e d i o
PROBLEMA N.° 98
Calcule una solución general de la ecuación 
tan4x+tan2x=tan6x; n e 1.
A) {nn} B)
D) {{2n + l )n }
nn
C)
E)
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
• tan4x —» 4 x * (2 n + l)— —» x *{2 n + l ) —
2 8
• tan2x —> 2 x ^ {2 n + l} ^ —> x # (2 n + l)—
TU TU
• tan6x —> 6x*(2n + l ) — —> x * (2 n + l ) —
tan4x+tan2x=tan6x (I)
70
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Por identidades de ángulos compuestos 
tan4x+tan2x+tan6xtan4xtan2x=tan6x 
-4 tan4x+ tan2x= tan6x-tan6xtan4xtan2x
Reemplazamos en (I)
tan6x-tan6xtan4xtan2x=tan6x 
—> tan4xtan2xtan6x=0 
-4 tan4x=0 v tan2x=0 v tan6x=0
Como tan(n7i)=0; n e Z 
-4 4x=n7t v 2x=nn v 6x=n7r
nn nn nn
x = — v x = — v x = — 
4 2 6
nn nn
-4 x —— v x = — 
4 6
Por la segunda restricción 
nn
x= 2n ) - v x = —
4 6
nn: DTi
x = — v x —— 
2 6
Clave (E
PROBLEMA N.° 99
Calcule una solución general de la ecuación 
sen(x-3)=senx-sen3; n e Z,
A) {rm}
D) {2w t+2}
wz
B) {2071 + 3} C) i y
Resolución
sen(x-3)=senx-sen3
Aplicamos Identidad del ángulo doble y trans 
formaciones
sen
( x - 3 \
-sen ------ eos
\ 2 ) -
i OJ
1. sen —
l 2 )
( x+3^
II. eos ------ - c
l 2 J
x - 3 í f x + 3 i ( X
--- =2cos --- sen •
2 ) l 2 J l
( x+3^ ( x -3
— -eos --- s e n ---
2 ) \ 2 ) V 2
( x + 3 ^ ( x - s V
= 0--- h cos --------V 2 J l 2 l
x -3
=otc -4 x=2nn i i
1=0
Aplicamos transformaciones trigonométricas 
- 2 s e n g ) e n g ) = 0
sen| - |=0
x
—=nn
2
x=2 nn
x e {2 rm + 3 }u {2nn}
_ C lave ( B )
PROBLEMA N.° 100
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
V l- ta n x + V l+ ta n x = V 3 ; x e (0 j 2n}7
E) {2n7i+ l}
A) 4
D) 5
B) 3 C) 2
E) 1
7\
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Aplicamos conjunto de valores admisibles (CVA) 
l - ta n x > 0 a l+ ta n x > 0 
l> ta n x a ta n x > - l 
> - l< t a n x < l
Elevamos al cuadrado
(V l- ta n x + V í+ ta ñ x )2= (V I
l- ta n x + 2 V ( l- ta n x )( l+ ta n x )+ l+ ta n x = 3
2 \ / l- ta n ¿x = l
PROBLEMA N.° 101
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
8sen3x -4 s e n x - l= 0 ; x g (0; 2 rc)?
B) 3A) 7
D) 4
Resolución
C) 5 
E) 6
8sen x - 4 s e n x - l= 0
Factorizamos
(2senx+l)(8sen2x -4 s e n x -2 )= 0
Elevamos ai cuadrado 
(2V1—ta n2 x )2 =(1)2
4 ( l—tan xJ = l
2 3tan x = —
VI t VI
-> tanx=— v tanx=-------
2 2
Analizamos en la C. T.
’or lo tanto, hay 4 soluciones.
1
2 se n x+ l = 0 —> s e n x -— 
2
Analizamos en la C. T.
8sen x -4 s e n x -2 = 0 
4sen2x - 2 s e n x - l= 0
Aplicamos la fórmula general de una ecua­
ción de segundo grado
senx=-
2¿V (-2 ) —4(4)(—1) 
2(4)
Clave
1+ V 5 1- V 5
senx— v senx=--------
n
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Analizamos en la C, T. Aplicamos binomio al cuadrado
Por lo tanto, hay 6 soluciones.
1+V5
4
1-V5
Clave ( E
(2cot2* _ i ) =0
-» 2cot * -1 = 0 
2Cot2x= ̂
—» cot2x=0 
cotx=0
Recordamos que co t(2 n + l)—=0; n e Z
x=(2n + l ) ~
_ C lave ®
PROBLEMA N.° 102
Resuelva la ecuación 4C01 X+ 1 = 2 CSC x, Vn e
A) { (2 n + l)^ } B) { ( 2 n + l) | j C) j ( 4 n + l ) |
D) ^ (4n+ 3)- E)
nn
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
• cotx -» x * w 1, n e Z
• cscx —> x *n n , n e Z
,co t2x
22cot x^_^__2:1-+cot¿x
{2c°t2x)2 + i = 2(2cot2x}
(2c°t2x)2-2 (2 cot2x) + i = o
PROBLEMA N.° 103
Resuelva la ecuación
^I~sen2x+V 2cosx=0 ; x e / y ; JtV
A)
D)
5rc
6
7rc
B)
57t
C)
E)
3K 
4
271
Resolución
V l-s e n 2x + V2 eos x = 0
yj( senx-cosx)2 +V2cosx=0 
|senx-cosxl+%/2cosx=0
73
I U M B R E R A S EDITORES
71
X G { — ; K j - + senx>cosx
—> senx-cosx>0 
—> ¡senx-cosx|=senx-cosx 
-> senx-cosx+V2cosx=0 
senx=(l-V2)cosx
^ = 1 - ^ 2
cosx
ta n x = l—v/2
x=-
Clave ( D i
PROBLEMA N.° 104
Indique las tres primeras soluciones positivas 
de la ecuación
liin7x+cotx= tanx+cot7x.
A)
C)
II)
M
n l l n 5tc 
1 2 ' 12 ' 6
71 71 7t
12' 4 ' 3
n ti n 
12' 6 ' 3
, í f . f . 5 ,
E) í , I 
I12 6 4
Resolución
Aplicamos restricciones a ia ecuación 
mi _
• tanx a cotx — > x * — ; n e L 
2
mt HTi
tan7x a cot7x —» 7x^--------> x * — ; n e .
2 14
tan7x+cotx=tanx+cot7x
co tx -tanx= co t7x-tan7x
Por identidades auxiliares del ángulo doble 
—> 2cot2x=2cotl4x 
cotl4x=cot2x 
—> 14x=/77i+2x; n e Z 
mi
x = — : n e Z 
12
n = l —» x=-
12
n = 2 -+ x = — 
6
n=3
CS=
7C
X — —
4
7t 7T 7t
12 ' 6 ' 4
C lave ÍE
PROBLEMA N.° 105
Calcule la solución general de la ecuación 
2(cotx-tanx)=sen4x; n e Z.
A)
D) (2 0 + 1 )-
(4 n + 3 )^ | B) | (4 n + l)^ J C) |(2 o + l)^
E) | (4 n + l)~
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
Aplicamos restricciones a tanx y cotx
mi „
x * — ; n e £
2
2(cotx-tanx)=sen4x
Por identidades de ángulos dobles 
2(2cot2x)=2sen2xcos2x
2cos2x
sen2x
2cos2x
sen2x
-=sen2xcos2x
-sen2xcos2x=0
=0
2 c o s 2 x -s e n 2 xco s2 x 
sen2x
Factorizamos
c o s 2 x (2 -s e n 22 x ) = 0
Por teoría 0<sen 0<1, entonces la ecua­
ción sen22x=2 no tiene soluciones reales.
cos2x=0
2 x = (2 n + l ) —
x = ( 2 n + l ) — 
•4
Clave
PROBLEMA N.° 106
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
tan20+2sen0=O.
B) n C) 2ti
E) ?
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
ta n 2 0 2 0 * ( 2 /? + l) - ^
—> 0 * ( 2 n + l ) —; n e 
4
tan20+2sen0=O 
sen20
-+2sen0=O
cos20 
sen20+2sen0cos20
=0
cos20
2sen0cos0+2sen0cos20=O
2sen0(cos0+cos20)=O
cos0+cos20=O
cos0+2cos20 - l= O
2cos20 + co s0 -l= O
Aplicamos aspa simple 
(2cos0-l)(cos0+ l)=O
c o s 0 = - v c o s 0 = - l 
2
0 = — V 0=7t 
3
II. sen0=O -» 0=7t
Por lo tanto, la menor solución positiva es ^
3
CLAVE ( A )
PROBLEMA N.° 107
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
(24cosx+32senx)2= 1600.
A) 16°
D) 53°
B) 127° C) 37°
E) 143c
7')
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
I. 24cosx+32senx=40
3cosx+4senx=5
3 4—c o s x + -s e n x = l 
5 5
sen37°cosx+cos37°senx=l 
Aplicamos identidades de ángulos com­
puestos
sen(37°+x) = l 
-» 37o+ x -9 0 ° 
x=53°
II. 24cosx+32senx=-40
3cosx+4senx=-5
-CO SX+—se n x = - l 
5 5
sen37°cosx+cos37°senx=-l
Aplicamos identidades de ángulos com­
puestos
s e n (3 7 °+ x )= - l
37°+x=270°
x=233°
Por lo tanto, la menor solución positiva es 53°.
CLAVE CD,
Resolución
Aplicamos restricciones 
cotx —» x& n ii; n e Z 
( l-c o tx ){ l+ s e n 2 x ) = l + cotx
„ cosx V „ , „ cosx 
1-----------|(l-t-sen2x)=H--
senx
( senx-cosx 
V senx
senx
„ l2 senx+cosx
|(senx+cosx) =-
senx
—> (senx-cosx)(senx+cosx) =senx+cosx 
(senx-cosx)(senx+cosx)2-(senx+cosx}=0
Factorizamos
{senx+cosx)[(senx-cosx)(senx+cosx)-l]=0
(senx+cosx)(sen2x -co s2x - l ) = 0
I. senx+cosx=0 —» senx=-cosx
—> ta n x = - l 
371
-» x = ----
4
II. sen2x -c o s 2x - l = 0 
—» cos2x -s e n 2x = - l
c o s 2 x = - l
7T
—> 2 x =7T —> x = —
Por lo tanto, la menor solución positiva es —.
PROBLEMA N.° 108
Calcule la menor solución positiva de la ecua­
ción ( l-c o tx )( l+ s e n 2 x ) = l+ c o tx .
A)
13)
3
371
C)
3 tt
E'f
C lave ÍE
PROBLEMA N .° 109
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
tan0=2sen0; 0 € [0; 2ti]?
A) 5
D) 4
B) 3 C) 6
E) 2
/G
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
tan0 —» 9^(2n + l ) —; r e Z 
tan9=2sen0
=2sen0
sen8 
COS0
—> sen9=2sen0cos0 
2sen0cos0-sen0=O
Factorizamos
sen0(2cos0-l)=O
I. sen0=O
—¥ 0=0, n, 2n
II. 2cos0 -l= O
cos0= -; 0 £ [0; 2n]
Analizamos en la C. T.
-4 0 ^ ; ^
3 3
Por lo tanto, hay 5 soluciones.
PROBLEMA N .° I 10
Calcule las soluciones de la ecuación
tan 0=-sec0; 0 £ (0; 2n).
x ' k I I tc I , [n llT t
A) Í T - B) l 6 ; ~~6~~
D)
K 5rc 
3 ' 3
E) { —; - K 
.4 4
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
* tan0 —> 0 ^ (2 n + l ) ~ ; n e Z
• sec0 0^{2n + l ) —; n e
Clave
tan20=-sec0
2
Aplicamos identidades pitagóricas
sec20 - l= - s e c 0
2
2sec20-3sec0 -2= O
Aplicamos aspa simple 
(2sec0+l)(sec0-2)=O
I. Por teoría s e c 0 < - l y sec0> l, entonces
la ecuación s e c 0 = - - no tiene solucionas 
2
reales.
II. sec0-2=O sec0=2
cos0=—; 0 e (0; 2%)
71
lU M B R E R A S EDITORES
Analizamos en la C. T.
CS=
1Z t 57t
3 ' T
Aplicamos transformaciones trigonométricas
2cosxcos30° _ 2 a/ 3 
-2senxsen30° 2
-cotxcot30°=-\/3
~cotx(V3)=V3
- c o tx = l
~ ^ = 1
tanx
—> ta n x = - l
K / 7t_ 7C 
4 5 \ _ 2 ' 2
tanx=tan| — 
4
C lave ( t í ) Por solución general de la tangente
PROBLEMA N .° 111
Calcule la suma de las dos primeras soluciones 
positivas de la ecuación
c o s ( x + 3 0 ° ) = í ^ i i
IV 3 -1
cos(x-30°).
A) — B) 3n
4
D) ^
2
Resolución
cos(x+30°) V3+1 
cos{x-30°) V 3 -1
c ) ?
E) 4TC
Aplicamos la propiedad de proporciones 
cos(x+30°)+cos(x-30°) - J í + l+ y / í - l
x=n 7t— ; n e 
4
n= 1
n = 2
x=-
x=-
37t
4
7Jt
3tt 7Tt_57t 
4 4 2
CLAVE ( D j
PRO BLEM A N.° 112
Calcule la solución general de la ecuación 
1 -co tx
1+cotx
= l+ co sx ; n e Z.
A) \™ \ 8) |(4 /? + l)^ | C)
cos(x+300)+cos(x~300) _ \ '3 + l+ V 3 - l f jcl
cos{x+30°)-cos(x-30°) V 3+ 1 -V 3 + 1 2 J E) {(2n+ l)—
/8
■
E c u a c i o n e s t r i g o n o m é i h k a s
Resolución
Aplicamos restricciones 
• cotx —> x ^ rm ; n €
3rc
l+ co tx^O —> c o tx ^ - l —» x * rm + — ; ne
4
Pasamos a senos y cosenos la ecuación 
cosx
1—
1+
* m * = l+ c o s x
cosx
senx
senx—cosx 
senx+cosx
= l+ co sx
senx-cosx=(senx+cosx){l+cosx)
senx-cosx=senx+senxcosx+cosx+cos2x
cos2x+2cosx+senxcosx=0
Resolución
cos2x + (s e n x - l)2=0 
cos2x+sen2x -2 s e n x + l = 0 
l -2 s e n x + l= 0 
senx= l
-» x = (4 n + l)^ ; n e Z
Como x e [0; 20ti]
—» 0 < x < 2 0 tt
0<(4n + l) j< 2 0 T l
0<4/i + l< 4 0 ; n G Z 
-> n = 0,1, 2,..., 9 
Por lo tanto, hay 10 soluciones.
_ C lave ( ? )
Factorizamos
cosx(cosx+2+senx)=0
I. Por teoría se tiene que —V2<senx+cosx< V2, 
entonces la ecuación senx+cosx= -2 no 
tiene soluciones reales.
II. cosx=0
x=(2n + l ) —; n g
Clave
PROBLEMA N .° I 13
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 
cos2x + (s e n x - l)2=0; x g [0; 20tc]?
A) 12
D) 6
C) 10
E) 7
PROBLEMA N.° I 14
Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cot2x-12cos2x=80sen2x; x g ( 0 ;2 tc).
A) 2ti
D) 4:t
B) 371
E)
7 K
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
cotx —> x ¿ rm ;n e Z 
cot2x-12cos2x=80sen2x 
12 80
cot2x -
sec2x csc2x
cot2x —
12 80
1+tan x 1+cot x
7‘)
Lu m b r e r a s E d it o r e s
2 1 2 c o tx 80 
cot x -
cot2x + l l+ c o t2x
cot4 x+cot2 x -1 2 co t2 x 80
1+cot‘ x
—> cot4x - l l c o t 2x=80 
cot4x - 1 lc o t2x - 80=0
(cot2 x+5)(cot2 x -1 6 )= 0
1+cot x
no tiene 
soluciones reales
-» cot x=16 —» co tx=±4 ta n x= ± —
4
0+71— 0+71 + 0 + 271 — 0 = 471
C lave ( D i
Resolución
Aplicamos restricciones de la ecuación
• cotx x ^ n 7 t ;n e Z
• tanx —» x^ (2 n + l)^ ;/ ie Z
• sen2x?*0 -+ Ix ^ n n
nn
—> x * — ;n G 
2
2(senx+cosx)
sen2x
+ c o tx -ta n x = 0
Por identidades del ángulo doble
2(senx+cosx)
 ---------------- -+2cot2x=0
sen2x
senx+cosx cos2x
sen2x sen2x 
senx+cosx+cos2x
-=0
sen2x
=0
cosx+senx+cos x -se n x=0 
cosx+senx+(cosx+senx)(cosx-senx)=0
PROBLEMA N.° I 15
Calcule la menor solución positiva de la ecuación 
2(senx+cosx)
A)
0)
sen2x
n
4
7C
-+ co tx -ta n x= 0 ,
B)
571 77T
4
3tt
Factorizamos
(cosx+senx)(l+cosx-senx)=0 
I. cosx+senx=0 —» senx=-cosx
senx
= -1
cosx
ta n x = - l
3tc 
x = —
R0
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
I. l+ c o s x -s e n x = 0 —» se n x -co sx= l tan40+cot20=8cos220
>/2sen^x—“ j = l
sen40 cos20 _
 + =8cos 20
cos40 sen20
n n 
x — - 
4 4
_ n /"no es solución por^ 
2 (jas restricciones J
x=-
3tc
C lave (E
sen40sen20+cos40cos20
--------------------------------------=8cos 20
cos40sen20
-» cos(40-20)=8sen20cos220cos4O 
cos20=4(2sen20cos20)cos20cos4O 
cos20=4sen40cos20cos40 
cos20=2(2sen40cos40)cos20 
cos20=2sen80cos20 
2sen80cos20-cos20=O 
cos20(2sen80-l)=O
cos26=0 —> 2Q = {2n+ l)—; n e Z
PROBLEMA N.° I 16
Calcule la mayor solución negativa de la ecuación 
tan40+cot20=8cos220.
0=(2n + i P ; n e Z 
4
n = - 1 -> 0 = — 
4
5rc
A» - « “ 4
D) -
37t
Resolución
Aplicamos restricciones
• cot20 —» 2 0 ^n jt
C) -
7tu
24
E) - Z í 
48
„ nn 
0 * — ; n e 
2
• tan40 —» 4 0 * (2 n + l)—
0 * ( 2 n + l) —; n e Z
I!, 2sen80-l=O -» sen80=-
2
sen80=sen—
8 0 = n 7 i+ (-l)n—; n e Z 
6
)=— + - 1 — ; n e 
8 48
n = - l -> e = - — 
48
Por lo tanto, la mayor solución negativa es 7n
48
_ C lave ( j ¡ ) 
H1
I U M B R E R A S EDITORES
PROBLEMA N .° 117
Calcule la mayor solución positiva de la ecuación
cos3x 3 _ .— = - ; x G (0; 2jt). 
sen2x 2
í 1A) 7T-arcsen — 
V8
(i)R) Tt-arcsen
C) 7 t-a rcsen í-
v3
D) rc -a rcsen f-
u
(!)E) rc-arcsen
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación
nn
sen2x?*0 —> 2x*n7t —» x * — ; n e Z
2
cos3x_3 
sen2x 2
Aplicamos identidades del ángulo doble y triple
cosx(2cos2x-l)_3 
2senxcosx 2
Operamos y simplificamos 
2cos2x-l=3senx
Aplicamos coseno del ángulo doble 
2Í1 -2sen2x )- l= 3 s e n x 
> 4sen2x + 3 s e n x - l= 0
Aplicamos aspa simple
(4 se n x - l)(se n x+ l)= 0
I. s e n x = - l -> x = ~ pero no es solución 
por la restricción.
I. s e n x = - ;x € <0; 2n)
Analizamos en la C. T.
donde 0=arcsen —fi)
Por lo tanto, la mayor solución positiva es 
7t-arcsen — .
Clave e s )
PROBLEMA N .° I 18
Calcule la solución general de la ecuación 
tan3xsen6x= l+cos6x; n e Z.
c) i ( 2 n + l) -
D) i(4n+3)— E)
H?
Ec u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Resolución
Aplicamos restricciones a la ecuación 
%
tan3x —> 3x*{2 n + l ) —
x *(2 n + l ) —; n e 
6
tan3xsen6x= l+cos6x
Aplicamos identidades del ángulo doble
sen3x, „ . „ 2-
 (2sen3xcos3x)=2cos 3x
cos3x
Operamos
sen23x=cos23x
cos23 x -se n 23x=0
Aplicamos coseno del ángulo doble 
cos6x=0
Como cos(2n+ l)—=0; n e
6x=(2n + l)-
x=(2n + l)
12
C lave (C
PROBLEMA N.° 119
Resuelva la ecuación 
6cotx+12tanx=5V3cscx; x€ < 0 ; 2te).
0)
471 _ 57C 
3 ' 3
Resolución
Aplicamos restricciones a ta ecuación
• cotx —> x*nn-, n e Z
• cscx —>