27 FUNCIONES I - DOMINIO Y RANGO Teoria

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Funciones I 
Dominio y rango 
La
s m
ate
má
tic
as 
so
n 
fác
ile
s 
√ ⃗ 
 ̅ 
 
 
Álgebra 16 
 
Christiam Huertas 
Nivel UNI 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 1 
 
 
Conceptos previos 
 
Par ordenado 
Es un ente matemático que consta de dos 
elementos donde importa el orden en su 
representación. 
 
Notación: 
( ) 
 
donde: 
 y son números reales. 
 es la primera componente. 
 es la segunda componente. 
 
Ejemplo 1. 
Ejemplos de pares ordenados: 
 ( 
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ), ( ), ( ), … 
 
OBS. 
Los pares ordenados ( ) y ( ) son 
diferentes (pues, importa el orden). 
 
Igualdad de pares ordenados 
Sean , , y números reales. 
 
( ) ( ) 
 
 
Ejemplo 2. 
 Si ( ) ( ), entonces 
 y . 
 
 Si ( ) ( ), entonces 
 y 
es decir, y 
 
Ejemplo 3. 
Si los pares ordenados ( ) y 
( ) son iguales, calcule el valor 
de . 
 
Resolución. 
Por dato: 
( ) ( ) 
Entonces, se debe cumplir: 
 y 
Se forma el sistema: 
{
 ( )
 ( )
 
( ) por : 
 ( ) 
Sumamos ( ) y ( ): 
 
 
Reemplazando en ( ): 
 
Por lo tanto, . 
 
Producto cartesiano 
Dados dos conjuntos no vacíos y ; el 
producto cartesiano de con se denota 
y define de la siguiente manera: 
 
 {( ) } 
 
 
Es decir, es un nuevo conjunto 
cuyos elementos son pares ordenados 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
2 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
donde la primera componente es un 
elemento de y, la segunda componente 
es un elemento de . 
 
Ejemplo 4. 
Dados los conjuntos: 
 { } y { } 
halle y . 
 
Resolución. 
Hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Notamos que los elementos de son 
diferentes a los de . Es decir, 
 . 
 
 Propiedades 
1. 
2. Si 
3. ( ) ( ) ( ) 
 
Donde ( ) nos indica el número de 
elementos diferentes del conjunto . 
 
Notación. 
 
Es decir, es el producto cartesiano de 
con . 
 
Así, por ejemplo: 
 
 
 
Ejemplo 5. 
Dado el conjunto { }, halle ; 
es decir, . 
 
Resolución. 
Se tiene el conjunto { }, 
entonces: 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Plano cartesiano 
El conjunto denotado por 
 {( ) } 
se denomina plano cartesiano, cuya 
representación geométrica es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde 
 es el eje de las abscisas. 
 es el eje de las ordenadas. 
 Los ejes e se interceptan 
perpendicularmente en el punto 
 ( ), llamado origen de 
coordenadas. 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 3 
 
Ejemplo 6. 
Represente geométricamente el par 
ordenado ( ). 
 
Resolución. 
La representación geométrica de un par 
ordenado es un punto en el plano 
cartesiano. 
 
Realizamos lo siguiente: 
 (primera componente) lo ubicamos 
sobre el eje . 
 (segunda componente) lo ubicamos 
sobre el eje . 
 Luego prolongamos, y el punto de 
intersección es la representación 
geométrica. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 7. 
Dados los conjuntos { } y 
{ }. Represente geométricamente . 
 
Resolución. 
Se tienen los conjuntos: 
 { } y { } 
 
Primero hallemos : 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Para representar geométricamente , 
ubicamos cada par ordenado en el plano 
cartesiano: 
 
 
 
Ejemplo 8. 
Dado los conjuntos: 
 { } 
 { } 
Halle gráficamente el producto cartesiano 
 . 
 
Resolución. 
Tenga en cuenta que ambos conjuntos son 
intervalos: 
 { } [ ] 
 { } [ ] 
Por definición de producto cartesiano se 
tiene que: 
 {( ) [ ] [ ]} 
Este conjunto tiene infinitos pares 
ordenados que al ser representados en el 
planos cartesiano se forma la siguiente 
región: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
4 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
Relación binaria 
Dados dos conjuntos no vacíos y . 
Una relación binaria de en es un 
subconjunto de . Es decir, es una 
relación de en si: 
 
 
 
 
Ejemplo 9. 
Tomando el producto cartesiano visto en el 
ejemplo : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
se obtienen algunas relaciones de en : 
 
 {( )} 
 {( ) ( )} 
 {( ) ( ) ( )} 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
OBS. 
Si es un conjunto de elementos y un 
conjunto de elementos, el conjunto 
 tiene elementos. Existen, por 
lo tanto, subconjuntos de , o 
sea, posibles relaciones entre los 
elementos de ambos conjuntos. 
 
Notación. 
La relación de en se denota como: 
 
 
 
→ o 
 
→ 
 
Se lee: relación de en . 
 
Es usual designar al conjunto como 
conjunto de partida y a , como conjunto 
de llegada. 
 
Ejemplo 10. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
Halle la relación definida por 
 {( ) } 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( )} 
 
Por definición de la relación , un 
elemento ( ) de pertenece a si 
la primera componente es menor que la 
segunda componente. 
 
De los pares ordenados que pertenecen 
a , busquemos los que cumplen con 
tal condición. Luego, 
 
 {( ) ( )} 
 
Ejemplo 11. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
Halle la relación definida por 
 {( ) } 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 5 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Por definición de la relación , un 
elemento ( ) de pertenece a 
si la suma de sus componentes da como 
resultado un número par. 
 
De los pares ordenados que pertenecen 
a , busquemos los que cumplen con 
tal condición. Luego, 
 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
Dominio y rango de una 
relación 
Sea una relación de en tal que 
 {( ) } 
Luego, 
 
Dominio de . Es el conjunto formado 
por todas las primeras componentes de los 
pares ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Rango de . Es el conjunto formado por 
todas las segundas componentes de los 
pares ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Ejemplo 12. 
Tomando la relación del ejemplo 11: 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
se tiene, 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
Ejemplo 13. 
Dados los conjuntos 
 { } y { } 
calcule la suma de los elementos del rango 
de la relación definida por: 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
Resolución. 
Primero hallemos el producto cartesiano 
de y : 
 
 {( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )} 
 
Los pares ordenados ( ) de que 
cumplen las condiciones 
( ) ( ) 
son los siguientes: 
( ) ( ) ( ) 
Luego, 
 {( ) ( ) ( )} 
Además: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
Por lo tanto, la suma de los elementos del 
rango es: 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
6Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
Relaciones funcionales o 
aplicaciones 
Una relación entre elementos de un 
conjunto y elementos de un conjunto 
es una función o aplicación de en si y 
solo si, verifica las siguientes condiciones: 
 
1° Condición de existencia: 
Para todo elemento , le 
corresponde un único elemento , 
llamado imagen. 
 
2° Condición de unicidad: 
Si ( ) y ( ) , entonces 
 . 
 
Ejemplo 14. 
¿Cuál de las siguientes relaciones es una 
función? 
a) {( ) ( ) ( )} 
b) {( ) ( ) ( ) ( )} 
c) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
Resolución. 
Representamos cada relación mediante un 
diagrama sagital: 
 
a) {( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que cumple la definición, 
luego es una función. 
 
b) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que cumple la definición, 
luego es una función. 
 
c) {( ) ( ) ( ) ( )} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No es una función, pues tiene 
dos imágenes. 
 
Ejemplo 15. 
Si el conjunto 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
es una función, calcule el valor de . 
 
Resolución. 
Aplicamos la condición de unicidad. 
Como: 
( ) y ( ) 
entonces las segundas componentes deben 
ser iguales. Es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 7 
 
 
 
( )( ) 
 
Reemplazamos estos valores para verificar 
si es o no una función: 
 
Si : 
 {( ) ( ) ( )} 
es una función. 
 
Si : 
 {( ) ( ) ( )} 
no es función, pues el elemento tiene 
dos imágenes diferentes. 
Por lo tanto, el valor de es . 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notación: 
 
 
→ 
Se lee: “función de en ” 
 
 
Dominio y rango de una 
función 
Sea una función de en . Luego, 
 
Dominio de la función 
Es el conjunto formado por todas las 
primeras componentes de los pares 
ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
Rango de la función 
Es el conjunto formado por todas las 
segundas componentes de los pares 
ordenados ( ) de , se denota por 
 ( ). Es decir: 
 
 ( ) { ( ) } 
 
También se puede denotar así: 
 ( ) 
 ( ) 
 
Ejemplo 16. 
Tomamos la función del ejemplo 27: 
 {( ) ( ) ( )} 
Entonces: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
Ejemplo 17. 
Tomamos la función del ejemplo 27: 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Entonces: 
 ( ) { } 
 ( ) { } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
8 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
Regla de 
correspondencia 
Sea una función, entonces 
 
( ) ( ) 
 
La expresión ( ) indica que 
esta asociado con una . 
Se lee: 
“ es igual a de ” 
 
A ( ) se le conoce como la regla de 
correspondencia de la función , y nos 
permite calcular la imagen de cualquier 
elemento del dominio de . 
 
Ejemplo 18. 
Dada la función 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Se sabe que: 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Como ( ) , entonces ( ) 
Damos forma: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Es decir, 
 ( ) 
 
 
 
Es la regla de correspondencia de la 
función . 
 
OBS. 
Tomando la función del ejemplo anterior 
 {( ) ( ) ( ) ( )} 
Notamos que: 
 
 toma los siguientes valores: 
{ }, que es el dominio de la 
función . 
 
 toma los siguientes valores: 
{ }, que es el rango de la 
función . 
 
Es decir, cuando se tiene una función 
mediante su regla de correspondencia 
 ( ), para hallar su dominio y rango 
procedemos de la siguiente manera: 
 
 ( ) son los valores que toma la 
variable que hacen que la función 
exista. 
 
 ( ) son los valores que toma la 
variable a partir de los valores de . 
Es decir, el valor de la variable 
depende del valor de la variable . 
Esto quiere decir, que el rango se 
calcula a partir del dominio de la 
función. 
 
Ejemplo 19. 
Halle el dominio y rango de la función 
 ( ) √ 
 
Resolución. 
Recuerde que primero se debe hallar el 
dominio y luego el rango (a partir del 
dominio). 
 
i) Dominio de 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 9 
 
La función ( ) √ esta bien 
definida, siempre y cuando la raíz de 
índice par exista en los reales. Es decir: 
 
 
 [ ⟩ 
Luego, 
 ( ) [ ⟩ 
 
ii) Rango de 
Se tiene la función: 
 √ 
El rango lo hallamos a partir del 
dominio. 
Como 
 
(Con este dato, formamos la función) 
Restamos : 
 
Tomamos √ : 
√ 
Sumamos : 
√ ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Luego, 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
Tenga en cuenta que: 
Toda función queda bien definida si se 
conocen su dominio y su regla de 
correspondencia. 
 
OBS. 
No es lo mismo y ( ), pues es la 
función misma, mientras que ( ) es la 
regla de correspondencia de la función . 
Luego, 
 {( ( )) ( )} 
 
 
Función real de variable 
real 
Diremos que la función es una 
función real de variable real, si y son 
subconjuntos de los reales. Es decir: 
y . 
 
Ejemplo 20. 
Dada la función [ ⟩ tal que 
 ( ) √ , es una función real de 
variable real. En efecto: 
 ( ) [ ⟩ 
 
 
Técnicas para hallar el 
dominio y rango de una 
función 
 
1 Dominio 
 
 Para funciones que involucren 
fracciones 
Tenga en cuenta que: 
 
 
 
 
Ejemplo 21. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
10 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el número . 
Por lo tanto, ( ) { }. 
 
Ejemplo 22. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
La función está bien definido en si 
 
Factorizamos la expresión cuadrática: 
( )( ) 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el y el . 
Por lo tanto, ( ) { }. 
 
Ejemplo 23. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) 
 
| | 
 
 
Resolución. 
La función está bien definido en si 
| | 
 | | 
Es equivalente a colocar: 
 (| | ) 
Resolvemos la ecuación con valor 
absoluto: 
 ( ) 
 ( ) 
 
Es decir, puede tomar cualquier número 
real, menos el y el . 
Por lo tanto, ( ) { }. 
 
 Para funciones que involucren 
raíces 
Tenga en cuenta que: 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
Es decir, cuando el índice es par el 
radicando debe ser no negativo; cuando el 
índice es impar el radicando puede ser 
cualquier número real. 
 
Ejemplo 24. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) √ 
 
 
 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
 
Recuerde: 
 √ √ 
 
 √ √ 
 
 ⟨ ] [ ⟩ 
Por lo tanto, 
 ( ) ⟨ ] [ ⟩ 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 11 
 
Ejemplo 25. 
Halle el dominio de la función 
 ( ) √ √ 
 
 
 
Resolución. 
La función esta bien definido en si 
 
 
 
Lo representamos en la recta real:Es decir, [ ]. 
Por lo tanto, ( ) [ ]. 
 
 Para funciones paramétricas 
Tenga en cuenta que: 
En la función ( ) tal que 
 {( ( ) ( ) ) } 
 
 Los valores de la primera componente 
forman el dominio. 
 Los valores de la segunda componente 
forman el rango. 
 
Ejemplo 26. 
Sea una función tal qué 
 {( ) 〈 〉} 
Halle su dominio. 
 
Resolución. 
Por dato: ( ) 
entonces, los valores que toma la primera 
componente forman al dominio de . 
Además, 
 〈 〉 
Es decir, 
Restamos : 
 
Es decir, 
( ) 〈 〉 
Por lo tanto, ( ) 〈 〉. 
 
 
2 Rango 
 
 Para funciones con dominio explícito 
Tenga en cuenta que: 
En estos casos el dominio siempre aparece 
como dato, y a partir de este dato 
hallamos el rango. 
 
Ejemplo 27. 
Dada la función lineal ( ) tal 
que [ ⟩, halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función lineal, se forma la variable a partir 
del dominio. 
 
Se tiene la función: 
 
Por dato: 
 [ ⟩ 
Es decir, 
 
Multiplicamos por : 
 
Restamos : 
 ⏟ 
 
Es decir, 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
12 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, ( ) [ ⟩. 
 
Ejemplo 28. 
Dada la función cuadrática 
 ( ) 
 
tal que [ ⟩, halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función cuadrática, primero se completa el 
cuadrado y luego se forma la variable a partir del 
dominio. 
 
Se tiene la función: 
 
Completamos el cuadrado: 
 ( ) 
Por dato: 
 [ ⟩ 
Es decir, 
 
Sumamos : 
 
Elevamos al cuadrado: 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) ⏟ 
 
Es decir, 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, ( ) [ ⟩. 
 
Ejemplo 29. 
Dada la función racional 
 ( ) 
 
 
 
tal que 〈 〉, halle su rango. 
 
Resolución. 
En una función racional, si solo hay variable en el 
denominador, se forma la variable de forma 
directa. Si hay variable tanto en el numerador como 
en el denominador, entonces buscamos un 
equivalente de forma que solo haya variable en el 
denominador. 
 
Resolución. 
Se tiene la función: 
 
 
 
 
Primero buscamos un equivalente de 
manera que solo haya variable en el 
denominador: 
 
 
 
 
Por dato: 
 〈 〉 
Es decir, 
 
(A partir del dominio, se forma la variable y) 
Restamos : 
 
Invertimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos : 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 13 
 
 〈
 
 
 
 
 
〉 
Por lo tanto, 
 ( ) 〈
 
 
 
 
 
〉 
 
 Para funciones con dominio implícito 
Tenga en cuenta que: 
En estos casos el dominio no se 
especifica, por ende, lo tenemos que hallar 
previamente para luego hallar el rango. 
 
Ejemplo 30. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Como ya se ha indicado líneas arriba, en una función 
cuadrática, primero se completa el cuadrado y luego 
se forma la variable a partir del dominio. 
 
Se tiene la función 
 
 ( ) 
 
Recuerde: 
Si , entonces 
 
En nuestro caso: 
 
Luego, 
( ) 
Sumamos : 
( ) ⏟ 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, ( ) [ ⟩. 
 
Ejemplo 31. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
Resolución. 
Primero hallamos el dominio. 
Como no hay restricción para la variable , 
entonces 
 ( ) 
 
Se tiene la función: 
 
Completamos el cuadrado: 
 ( ) 
 ( ) 
 (( ) ) 
 ( ) 
Como 
 
Entonces 
( ) 
Multiplicamos por : 
 ( ) 
Sumamos : 
 ( ) ⏟ 
 
 ⟨ ] 
Por lo tanto, ( ) ⟨ ]. 
 
 
 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
14 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 Para funciones crecientes o 
decrecientes 
Tenga en cuenta que: 
 Si es una función creciente con 
dominio [ ], entonces su rango es: 
 ( ) [ ( ) ( )] 
 
 Si es una función decreciente con 
dominio [ ], entonces su rango es: 
 ( ) [ ( ) ( )] 
 
Ejemplo 32. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 ⟨ ] 
 
Resolución. 
La función es creciente, pues su derivada 
es positiva ⟨ ]. 
 
En efecto: 
Hallemos la derivada de 
 ( )
 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
 
 ( )
 
 ( ) ( )
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
Notamos que si toma valores en el 
intervalo ⟨ ], entonces ( )
 . 
 
Como la función ( ) es creciente en ⟨ ], 
entonces: 
 ( ) ⟨ ( ) ( )] 
 ( ) ⟨ ] 
 
Ejemplo 33. 
Dada la función ⟨ ] tal que 
 ( ) 
 
 
 
Calcule el rango de . 
 
Resolución. 
La función es decreciente, pues su 
derivada es negativa ⟨ ]. 
 
En efecto: 
Hallemos la derivada de 
 ( )
 
( ) ( ) ( )( ) 
( ) 
 
 ( )
 
( )( ) ( )( )
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
 ( )
 
 
( ) 
 
Notamos que si toma valores en el 
intervalo ⟨ ], entonces ( )
 . 
 
Como la función ( ) es decreciente en 
⟨ ], entonces: 
 ( ) [ ( ) ( )⟩ 
 ( ) [
 
 
 
 
 
⟩ 
 
 Para funciones racionales (usando el 
discriminante de una cuadrática) 
Tenga en cuenta que: 
El discriminante de la ecuación cuadrática 
 
Se denota y define como: 
 
 
 
Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO 
 
(+51) 993473766 Christiam Huertas 15 
 
Ejemplo 34. 
Halle el rango de la función 
 ( ) 
 
 
 
 
Resolución. 
Se tiene la función cuyo dominio es todo 
los reales: 
 
 
 
 
El proceso es el siguiente: 
 
 El denominador lo pasamos a 
multiplicar: 
( ) 
 
 
 Formamos la ecuación cuadrática 
( ) ( ) 
 
 Analizamos el valor del discriminante 
Como ; es decir, la ecuación 
cuadrática tiene raíces reales, entonces su 
discriminante debe ser mayor o igual a 
cero: 
 
( ) ( )( ) 
 ( )( ) 
Cancelamos : 
 ( )( ) 
 
 
 
 
 Resolvemos la inecuación 
 √ √ 
Por lo tanto, ( ) [ √ √ ]. 
 
 Para funciones varios (usando la 
desigualdad de las medias) 
Tenga en cuenta que: 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 
 
 Si , entonces 
 
 
 √ 
 
 
 
En general: 
 
 Si 
 , entonces: 
 
 
 √ 
 
 
Ejemplo 35. 
Sea 〈 〉 una función tal que 
 ( ) 
 
 
 
Halle su rango. 
 
Resolución. 
Por dato, 
 ( ) 〈 〉 
Es decir, 
 
Luego, 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 
 
16 Christiam Huertas (+51) 993473766 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⏟ 
 
 
Por lo tanto, 
 ( ) [ ⟩ 
 
Propiedad: 
 
 
 
 
 
En general: 
 
 
 
 √ 
 
Ejemplo 36. 
Sea 〈 〉 una función tal que 
 ( ) 
 
 
 
 
Halle su rango. 
 
Resolución. 
Por dato, 
 ( ) 〈 〉 
Es decir, 
 
 
Hallemos el rango. 
Se tiene la función 
 
 
 
 
Acomodamos convenientemente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , aplicamos la desigualdad de 
las medias de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √⏟ 
 
 
 [ ⟩ 
Por lo tanto, ( ) [ ⟩.