ejercicio 20

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Ejercicio 1: Calcula la integral de ∫ x ln(x) dx. 
 
Solución: 
Para resolver esta integral, aplicamos la técnica de integración por partes, que utiliza la fórmula: ∫ u dv = 
uv - ∫ v du. 
 
Tomamos u = ln(x) y dv = x dx. Luego, calculamos du y v: 
 
du = (1/x) dx 
v = (1/2) x^2 
 
Aplicamos la fórmula de integración por partes: 
 
∫ x ln(x) dx = uv - ∫ v du 
 = ln(x) * (1/2) x^2 - ∫ (1/2) x^2 (1/x) dx 
 = (1/2) x^2 ln(x) - (1/2) ∫ x dx 
 = (1/2) x^2 ln(x) - (1/4) x^2 + C 
 
Por lo tanto, la integral de ∫ x ln(x) dx es (1/2) x^2 ln(x) - (1/4) x^2 + C, donde C es la constante de 
integración. 
 
Ejercicio 2: Calcula la integral de ∫ e^x cos(x) dx. 
 
Solución: 
En este caso, tomamos u = e^x y dv = cos(x) dx. Calculamos du y v: 
 
du = e^x dx 
v = sin(x) 
 
Aplicamos la fórmula de integración por partes: 
 
∫ e^x cos(x) dx = uv - ∫ v du 
 = e^x sin(x) - ∫ sin(x) e^x dx 
 
La integral restante ∫ sin(x) e^x dx puede resolverse nuevamente utilizando integración por partes o 
empleando la identidad trigonométrica ∫ sin(x) e^x dx = (1/2) e^x (sin(x) - cos(x)) + C. 
 
Finalmente, obtenemos: 
 
∫ e^x cos(x) dx = e^x sin(x) - (1/2) e^x (sin(x) - cos(x)) + C 
 
Por lo tanto, la integral de ∫ e^x cos(x) dx es e^x sin(x) - (1/2) e^x (sin(x) - cos(x)) + C, donde C es la 
constante de integración.