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CAPÍTULO 1: ANÁLISIS MATRICIAL 
1- Definiciones y nomenclatura. 
1.1- Definición: matriz. 
Una matriz es un conjunto de elementos pertenecientes a un cuerpo ( o 
, normalmente). Los elementos están ordenados en filas y columnas: 
 
Suelen denotarse con letras mayúsculas. 
1.2- Nomenclatura. 
Si el número de filas de una matriz es 1 entonces dicha matriz se denomina matriz fila. 
Si el número de columnas de una matriz es 1 entonces dicha matriz se denomina matriz 
columna. 
Si el número de filas de una matriz es igual a su número de columnas entonces se denomina 
matriz cuadrada. 
Si el número de filas de una matriz es distinto a su número de columnas entonces se denomina 
matriz rectángular. 
1.3- Notación. 
El conjunto de todas las matrices de orden sobre el cuerpo se denomina 
. 
El conjunto de todas las matrices cuadradas sobre el cuerpo se denomina . 
1.4- Matriz nula. 
Se denomina matriz nula a cualquier matriz que tiene todos sus elementos nulos. 
1.5- Definición: diagonal principal, traza. 
Dada una matriz cuadrada de orden n la diagonal principal de A contiene a los elementos de la 
forma 
La otra diagonal de la matriz se denomina secundaria. 
La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se denomina traza de la 
matriz y se denota por . Algunas propiedades de la traza de una matriz son: 
a) 
b) generalmente. 
Pedro_CC 1 
 
c) si existen ambos productos. 
d) Si )=0 y es una matriz de coeficientes reales entonces es la matriz nula. 
Ejercicio: demostrar c) y d) 
2- Operaciones con matrices. 
2.1- Igualdad 
Dos matrices son iguales si se verifica 
2.2 Suma. 
Dadas se denomina matriz suma de ambas y se denota por a la 
matriz que tiene por elemento a la suma de elementos . 
2.3 Producto por un escalar. 
Dada una matriz y un escalar se define la matriz como aquella que 
tiene por elemento al producto 
2.4 Producto de matrices. 
Dadas dos matrices y se define la matriz producto a la que tiene 
por elemento a la suma de productos . Nótese que . 
2.5 Transpuesta de una matriz. 
Dada una matriz su matriz transpuesta es aquella que se obtiene cambiando las filas de 
 por sus columnas. Dicha matriz se suele denotar por o . 
Se verifican las siguientes propiedades: 
 
 
Estas dos propiedades podrían aparecer en cuestiones de intercuatrimestrales, mezcladas con 
otras propiedades de determinantes y con las siguientes dos definiciones: 
Se denomina matriz simétrica a aquella que verifica 
Se denomina matriz antisimétrica a aquella que verifica 
2.6 Algunos tipos de matrices cuadradas. 
a) Diagonal: si 
b) Identidad: si y si 
Pedro_CC 2 
 
c) Triangular superior: si 
d) Triangular inferior. si 
e) Regular. Si 
f) Singular. Si no es regular, es decir, si 
g) Simétrica. Si 
h) Antisimétrica. Si 
i) Nilpotente. Se dice que una matriz es nilpotente de orden m si es la matriz nula. 
h) Idempotente. Si 
-Resumen capítulo 1 
La mayoría de este capítulo debería ser conocido antes de empezar el curso. Lo más 
importante es tener en mente las propiedades de la suma y el producto transposición de 
matrices. 
En el examen intercuatrimestral solían aparecer una o dos cuestiones de este capítulo, y que 
también requerían utilizar alguna propiedad de determinantes y sistemas de ecuaciones. Sin 
embargo, en los últimos años no han aparecido cuestiones de este tema en los exámenes 
intercuatrimestrales por lo que no dediquéis una cantidad excesiva de tiempo a este tema y 
pasar al siguiente (espacios vectoriales) lo antes posible. 
Las propiedades de los determinantes que hay que conocer, además del teorema de Rouche-
Frobenius, para hacer las cuestiones anteriores son: 
a) 
b) 
c) , siendo 
d) El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es siempre nulo. 
Veamos algún ejemplo: 
CUESTIÓN 1 (intercuatrimestral noviembre 2010, 1.5 puntos) 
Sea una matriz regular de orden 5. Se pide: 
a) Estudiar si la matriz es simétrica o antisimétrica. 
b) ¿Es cierto o falso que ? Razonar la respuesta. 
a) Sea . Tenemos que: 
Pedro_CC 3 
 
 
por lo que la matriz es antisimétrica. 
b) Como es una matriz antisimétrica de orden impar tenemos que pero 
como es regular se tiene que por lo que la proposición dada es falsa. 
CUESTIÓN 1 (intercuatrimestral noviembre 2008, 1.5 puntos) 
Sean dos matrices cuadradas de orden tales que: 
i) 
ii) 
iii) 
Calcular el valor de . 
De la condición i) se sigue que y de la condición ii) se sigue que 
(puesto que y ). Dividiendo las expresiones 
 y se obtiene , por lo que necesariamente tiene que ser 
. 
De la condición iii) se sigue que , que equivale a . Con un poco 
de vista se sigue que para que coincidan los exponentes de los treses, y se comprueba 
que también cuadra los exponentes del resto de números. 
 
También puede aparecer alguna cuestión que pida demostrar algo por inducción o un 
problema que requiera plantear y discutir un sistema de ecuaciones, aunque es más 
improbable. Veamos otro ejemplo: 
 CUESTIÓN 3 (intercuatrimestral noviembre 2009, 1.5 puntos) 
Calcular y demostrar su expresión por el método de inducción. 
Sea . Multiplicando matrices se obtiene , 
y . A la vista de estos resultados lo lógico es pensar que se va a cumplir 
que , vamos a demostrarlo por inducción. 
Pedro_CC 4 
 
Por hipótesis de inducción supongamos que . Multiplicando ambos lados por 
resulta , como queríamos. 
 
Aunque siempre puede aparecer alguna cuestión que requiera emplear otras propiedades. Por 
ejemplo: 
CUESTIÓN 2 (intercuatrimestral noviembre 2010, 1.5 puntos) 
Sea una matriz tal que y , siendo la matriz adjunta de , es 
decir, la matriz que sustituye cada elemento de por su adjunto. Calcular . 
Tenemos que , por lo que resulta de donde se 
tiene que . Tomando determinantes a ambos lados resulta (siendo el orden de ): 
 
por lo que y . 
 
Pedro_CC 5