S09 s2 - Material

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Nivelación de Matemáticas 
para Ingeniería
PRODUCTOS NOTABLES II
PRODUCTOS NOTABLES. 
DIVISIÓN ALGEBRAICA
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el
estudiante reconoce y aplica conceptos de
binomio al cuadrado y diferencia de cuadrados
en la resolución de ejercicios y problemas.
• el estudiante reconoce y aplica conceptos de productos
notables en la resolución de ejercicios y problemas.
Esquema de la unidad
PRODUCTOS 
NOTABLES, 
DIVISIÓN 
ALGEBRAICA
PRODUCTOS 
NOTABLES:
-Definición
-Tabla de identidades
-Casos especiales
DIVISIÓN 
ALGEBRAICA:
-Elementos 
-Casos
-Métodos de división
-Teorema del resto
Los productos notables tienen 
sus aplicaciones en el cálculo 
de áreas de una determinada 
figura.
a
b
c
P
R
O
D
U
C
T
O
S
 
N
O
T
A
B
L
E
S
SUMA Y DIFERENCIA 
DE UN BINOMIO AL 
CUBO
IDENTIDADES DE 
LEGENDRE, STEVEN 
Y ARGAND
IDENTIDADES 
CONDICIONALES
IDENTIDADES 
ADICIONALES 
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Por ejemplo:
• (x+4)3 =
• (x-1)3 =
= x3 + 3xy(x + y) + y3
= x3 - 3xy(x - y) - y3
x3 + 3(x)2(4) +3(x)(4)2 + 43 = x3 + 12x2+48x + 64 
x3 - 3(x)2(1) +3(x)(1)2 - 13 = x3 - 3x2+3x - 1 
(x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)
(x + y)² – (x – y)² = 4xy
Identidad de Legendre
EJEMPLOS:
1) (x + 7)2 + (x - 7)2 = 2(x2 + 72) = 2(x2 + 49) = 2x2 + 98
2) (x + 5)2 - (x - 5)2 = 4(x)(5) = 20x
Identidad de Steven
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ac)x + abc
EJEMPLOS:
1) (x + 2)(x - 9) =x2 + (2 - 9)x + (2)(-9)
2) (x + 1)(x + 3)(x + 5) = x3 + (1+3+5)x2 + [(1)(3)+(3)(5)+(1)(5)]x + (1)(3)(5) 
= x3 + 9x2 + 23x + 15
= x2 - 7x - 18
Identidad de Argand
(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) = x4 + x²y² + y4
(x² + x + 1)(x² – x + 1) = x4 + x² + 1
EJEMPLO:
(x2 + 11x + 112) (x2 - 11x + 112) = x4 + (112) (x2) + 114
= x4 + 121x2 + 14641
Si: a + b + c = 0 
 
Se cumple: 
a
2
 + b
2
 + c
2
  -2(ab + ac + bc) 
a
3
 + b
3
 + c
3
  3abc 
abcbcacabcbacbacba
bcacabcbacba
3))((3)(
)(2)(
3333
2222


0 Si  cba
 Si: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc 
Donde: a, b, c  R 
Se demuestra que: 
cba 
Identidades adicionales
 Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
Datos/Observaciones
1.Efectuar:
𝑥 + 2 𝑥 − 2 + ( 𝑥 + 2)(2 − 𝑥)(𝑥 + 4)
Aplicamos la identidad de: “Suma por su diferencia”:
𝑥 + 2 𝑥 − 2 + 2 + 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 + 4
𝑥2 − 22 + (22 − 𝑥
2
) 𝑥 + 4
Resolvemos las potencias
𝑥2 − 4 + (4 − 𝑥) 4 + 𝑥
Aplicamos nuevamente la identidad:
𝑥2 − 4 + 42 − 𝑥2
Finalmente resolvemos:
𝑥2 − 𝑥2 − 4 + 16 = 12
1) Reducir:
M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1) + 1
2) Si: 𝒙 +
𝟏
𝒙
= 𝟓
Calcular: 𝑬 = 𝒙𝟐 +
𝟏
𝒙𝟐
Rpta: x6
Rpta: 23