S16 s2 - Material

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Nivelación de Matemáticas 
para Ingeniería
Origen de la trigonometría
Se basa en los babilonios y en los egipcios que hace más de
3000 años utilizaron los ángulos de un triángulo rectángulo y las
razones trigonométricas para calcular medidas y emplearlas en la
construcción.
Construcción de 
edificios y túneles.
Lado opuesto del edificio
(altura H del edificio)
Ángulo
Sirve para determinar distancias, coordenadas y medidas 
angulares. 
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante
conoce y aplica las razones trigonométricas y las aplica
a la resolución de problemas de contexto real.
ESQUEMA DE LA UNIDAD
TRIGONOMETRÍA
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS
- Razones trigonométricas
- Circunferencia 
trigonométrica
- RT de ángulos 
cuadrantales
- Reducción al primer 
cuadrante
- RT de ángulos notables
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS
- I. Pitagóricas
- I. por cociente
- I. recíprocas
RT DE ÁNGULOS 
COMPUESTOS
- Seno ángulos compuestos
- Coseno ángulos 
compuestos
- Tangente ángulos 
compuestos
- Identidades 
trigonométricas auxiliares
Razones trigonométricas 
C
at
et
o
 
O
p
u
es
to
 a
 
Cateto 
Adyacente a

Sea  un ángulo agudo del triángulo rectángulo ABC, 
recto en B, entonces:
seno
coseno
tangente cotangente
secante
cosecante
H
OC ..
)(sen 
H
AC ..
)(cos 
..
..
)(tan
AC
OC

..
..
)(cot
OC
AC

..
)(sec
AC
H

..
)(csc
OC
H
A
B C

Circunferencia trigonométrica 
La circunferencia trigonométrica es la circunferencia de
radio 1 unidad con centro en el origen de coordenadas
del plano X-Y.
122  yx
x, y = (cos ∝, 𝑠𝑒𝑛 ∝)
RT de ángulos cuadrantales
𝑥, 𝑦 = (𝑐𝑜𝑠 ∝, 𝑠𝑒𝑛 ∝)
Signos de las razones trigonométricas
Todas las 
razones 
son 
positivas
sen α
csc α
(+)
cos α
sec α
(+)
tan α
cot α (+)
𝑥, 𝑦 = (𝑐𝑜𝑠 ∝, 𝑠𝑒𝑛 ∝)
III
III IV X
Y
Reducción al primer cuadrante
Si “α” es un ángulo en posición normal (α>90), su ángulo de referencia
(θ<90) es el menor ángulo que forma el lado final de α con el semieje X.
α ∈ II α ∈ III α ∈ IV
α α
α
θ
θ θ
II C
α = 180º -
θ
III C
α = 180º + 
θ
IV C
α = 360º - θ
• El ángulo de referencia θ es agudo positivo.
Reducción al primer cuadrante
• El signo de la Razón Trigonométrica lo determina el signo (+/-) de
la RT pedida en el cuadrante al cual pertenece el ángulo α
. (90< α <360)
𝑆𝑒𝑛225° = −𝑆𝑒𝑛45°
Cos225° = −𝐶𝑜𝑠45°
𝑇𝑎𝑛225° = 𝑇𝑎𝑛45°
α ∈ III
RT de ángulos notables
http://4.bp.blogspot.com/-LeNilNk5o1M/ToYvpwYcSFI/AAAAAAAAAHI/Kh6BSoW7xec/s1600/26.+Tri%C3%A1ngulo+Rect%C3%A1ngulo+de+45.jpg
http://3.bp.blogspot.com/--fJf_aasA2o/ToYv9afKfjI/AAAAAAAAAHM/4KS-wJiS7UQ/s1600/27.+Tri%C3%A1ngulo+Rect%C3%A1ngulo+de+30+y+60.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-PEHt0JFL4Qc/ToYxxznpZtI/AAAAAAAAAHQ/G3sY640--jk/s1600/34.+Tri%C3%A1ngulo+Rect%C3%A1ngulo+de+37+y+53.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-XLtGLHpNrEY/ToYzXIj-b8I/AAAAAAAAAHk/RKapdpa1tS4/s1600/32.+Triangulo+Rect%C3%A1ngulo+de+16+y+74.jpg
Datos/Observaciones
Ejercicio explicativo
SOLUCION
1. Calcula las relaciones trigonométricas directas de 𝛼 𝑦 𝛽
Ejercicio explicativo
2. Calcular la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se 
ve bajo un ángulo de 30°.
SOLUCION
𝑇𝑎𝑛(30) = 𝑦/10𝑚
y = tan30 · 10 𝑚
y = √3/3 · 10 𝑚
y = 10√3/3 𝑚
y= 𝟓. 𝟕𝟕𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
..
..
)(tan
AC
OC

Ejercicio explicativo
SOLUCION
3. Si (𝑠𝑒𝑛 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥) (𝑇𝑎𝑛 𝑥) (𝑐𝑜𝑡 𝑥) (𝑆𝑒𝑐 𝑥) =
3
7
Calcular
E=(cosx) (Tan x) (cotx) (Sec x)(Csc x)
cos 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 1
tan 𝑥 cot x = 1
sec 𝑥 csc 𝑥 = 1
Así
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
3
7
→ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
3
7
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
3
7
𝐸 = csc 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
7
3
𝐸 =
7
3
Ejercicio explicativo
SOLUCION
Calcular
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛(150𝑜)cos(225𝑜)
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛(150𝑜)cos(225𝑜)=
1
2
−
2
2
=−
2
4
Ejercicio
Evaluar: E = 
𝑠𝑒𝑛245°+𝑐𝑜𝑠60°
𝑐𝑠𝑐30°
Ejercicio
Cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 78° la
torre Eiffel proyecta una sombra de 69,5 m. Calcula su
altura aproximada.