04 FADU ITE - CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA SECCION TRANSVERSAL - ITE (1)

Vista previa del material en texto

I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRÍA 
DE LA SECCION 
TRANSVERSAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
GEOMETRÍA DE LA SECCION TRANSVERSAL 
 
Cuando diseñamos la estructura, del mismo modo que al diseñar la obra completa, debemos 
tener en cuenta el aspecto morfológico del todo y de cada una de las partes. 
La forma estructural está en relación directa a la función del elemento y a la solicitación o 
estado tensional a que está sometido. 
 
Al dimensionar los elementos estructurales, su capacidad resistente la consideramos 
en relación directa a una característica geométrica determinante, de acuerdo a la 
solicitación. 
 
 
 
 Eje longitudinal 
 
 
 
 
Es por eso que nos referimos siempre a la sección transversal, que en todos los casos 
es una figura plana y de estas características nos interesan: 
 
• ÁREA o SUPERFICIE 
 
• Momento de 1° Orden - MOMENTO ESTÁTICO BARICENTRO 
 
 
• Momentos de 2° Orden - MOMENTO DE INERCIA MÓDULO 
RESISTENTE 
 (Teorema de Steiner) 
 RADIO DE GIRO 
 
 
 - MOMENTO CENTRÍFUGO EJES CONJUGADOS 
 DE INERCIA 
 
 
 - MOMENTO POLAR 
 
 
ÁREA o SUPERFICIE “A” 
 
La sección puede corresponder a una figura plana regular, en cuyo caso la determinación de 
“A” es mediante las formulas conocidas: 
 
 
Cuadrado 
 a 
Superficie A = a2 
 a/2 
Baricentro y = 1 a 
 2 
 a/2 
 
 
 
 
 G 
 
 
 Sección transversal 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
 
 Rectángulo 
 
 Superficie A = b . h 
 h 
 Baricentro y = 1 . h ; 1 . b 
 2 2 h/2 
 
 
 
 
 
 
Triángulo 
 
Superficie A = 1 b . h 
 2 
 h 
 y 
Baricentro y = h / 3 
 
 b/2 
 
 
 
 y 
 
 b/3 
 
 
 
Trapecio b 
 b/2 
Superficie A = (B + b ) . h B C 
 2 E F 
 h/2 
Baricentro y = h . ( B + 2b ) A D 
 3 B + b H I 
 B/3 
 B 
 
 AE = EB 
 CF = FD 
 AH = HI = ID 
 
 
 
 
Círculo 
 A = . r 2 
 
 y = r d 
 
 
 
 
 r = d/2 
 G 
 
 
 
 
 G 
 
 
 
 G 
b/2 
b 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
Anillo circular 
 A =  . ( R2 – r2 ) 
 
 r 
 
 
 
 
 
 R 
 
Polígonos regulares 
 
 A = n . l . a . 
 2 n : número de lados 
 y = d . 
 2 l 
 
 
Si las secciones fueran compuestas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A” se obtiene sumando las secciones simples en que se pueden dividir estas figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
 
r 
Cuando trabajamos con secciones 
normalizadas como es el casode perfiles, 
caños huecos circulares, cuadrados o 
rectangulares todos los datos 
correspondientes a las mismas figuran en 
tablas, que incluimos al final de este 
capítulo, de modo tal que de acuerdo a su 
altura (dato que define el elemento), todos 
los demás valores son iguales, sea cual 
fuere la fabrica que los produzca 
 
 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 El Reglamento CIRSOC hace una clara diferenciación entre el Área bruta, denominada Ag 
y el Área neta An, que es descontando los agujeros que pueda tener la misma 
Cuando no existen agujeros An = Ag 
 
 
 
MOMENTO DE I° ORDEN - MOMENTO ESTÁTICO Q 
 x 
Podemos definir el Momento estático de una superficie 
respecto a un eje como el producto de dicha superficie y 
por su distancia al mismo eje 
El Momento Estático se indica con la letra “Q” mayúscula x Ai 
 
 
 Momento estático respecto al eje x y 
 
 
 Momento estático respecto al eje y 
 
 
La unidad resulta del producto de ambas unidades, es decir cm2 . cm = cm3 , y el 
signo será el que le corresponda según el eje de coordenadas. 
Qx = Ai . y 
 
Qy = Ai . x 
 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 En el caso de figuras planas correspondientes a secciones normalizadas estos datos están 
tabulados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La aplicación de las expresiones que corresponden a los momentos de 1° orden permiten la 
ubicación del Baricentro. 
 
 
BARICENTRO 
 
 
 
 
 
 
Todo eje que contenga al baricentro de una sección plana se denomina EJE 
BARICÉNTRICO 
 
 
 
 
 
 Cuado el eje respecto del cual se está tomando 
 momento contiene al Baricentro de la sección 
 considerada, éste se denomina Eje baricéntrico, 
 x y como las distancias a un lado y a otro tienen signos 
 opuestos el Momento estático resulta Nulo. 
 
 Qx = 0 
 Qy = 0 
 
 Y 
 
 
En figuras planas regulares, el Baricentro corresponde al centro geométrico, en otro tipo de 
secciones, para determinarlo se toma momento estático respecto a ejes coordenados y se 
despeja la distancia 
 
 
 Qx = ∑ Ai . yi = At . yG => yG = Qx (se aplica el Teorema de Varignon) 
 At 
 
 Qy = ∑ Ai . xi = At . xG => xG = Qx 
 At 
 
 
De esta manera podemos ubicar el Baricentro de figuras compuestas o irregulares. 
 
 
 
 
 
 G 
Momento Estático 
es el producto de una superficie por su distancia al eje considerado 
 Genéricamente parea cualquier superficie Ai = ∫ dA 
 Qx = ∫ dA . y 
 Qy = ∫ dA - x 
Lo definimos como el punto teórico tal, que en él puede 
considerarse concentrada toda la superficie 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
 
Podemos también determinar el baricentro mediante la aplicación de métodos analítico y/o 
método gráfico, para lo cual se halla la Resultante del mismo sistema de fuerzas paralelas, 
considerada anteriormente, mediante la utilización del esquema polar y polígono funicular. 
 
 y Eje Baricentrico F1x F2x 
 
 5cm 
 
 
 
 
 20cm F1x F1y 
 
 
 Eje Baricentrico 
 
 yG 5cm 
x F2x F2y 
 
 10cm 
 
 
 xG 
 
 
 
CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 
 
La estabilidad de un cuerpo respecto a su plano de apoyo queda determinada por la 
posición o ubicación del centro de gravedad del mismo. 
 
 
 
 
 
MOMENTOS DE 2°ORDEN 
 
• MOMENTO DE INERCIA 
• MOMENTO CENTRÍFUGO 
• MOMENTO POLAR 
 
MOMENTO DE INERCIA ( I ) 
 
Definimos como Momentos de Inercia de una superficie x 
respecto a un eje como el producto de dicha superficie y 
por el cuadrado de su distancia al mismo eje 
El Momento de Inercia se indica con la letra “I” mayúscula x Ai 
 
 
 Momento de Inercia respecto al eje x y 
 
 
 Momento de Inercia respecto al eje y 
 
 
Es el punto material en el cual se puede considerar 
concentrado todo el peso de un cuerpo 
Ix = Ai . y2 
 
Iy = Ai . x2 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
F1y 
F2y 
III 
II 
I I 
II 
III 
III 
II 
I 
II 
I 
III 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
 
La unidad resulta del producto de ambas unidades, es decir cm2 . cm2 = cm4 , y el 
signo siempre es positivo, ya que está elevado al cuadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
Si analizamos una sección rectangular, para calcular su Momento de Inercia tomamos un 
sector diferencial 
 
 
 
 
 -h/2 
 
 
 
 h/2 
 dy 
 
 b 
 
 
 
 
 
 
 
El cálculo o deducción de los momentos de Inercia no serán tratados en este trabajo por lo 
que incluimos las expresiones más utilizadas o sea los “Jx” de las figuras o secciones más 
comunes. 
 
 
Cuadrado Rectángulo 
 
 Ix = Iy Ix = b . h3 
 a 12 h 
 Ix = a4Iy = h . b3 
 12 12 
 
 a 
 b 
 
Triángulo Círculo 
 
 Ix = b . h3 Ix = Iy 
 36 
 h Ix = ¶ . d4 
 Iy = h . b3 64 
 36 Ix = ¶ . r4 d 
 b 4 
 
 
Al igual que el momento estático, en el caso de figuras planas correspondientes a secciones 
normalizadas estos datos están tabulados. 
 
Genéricamente parea cualquier superficie Ai = ∫ dA 
 Ix = ∫ dA . y2 
 Iy = ∫ dA - x2 
dA1 = b . dy 
 h/2 
IxG = ∫-h/2 y2 . dA1 
 h/2 
IxG = ∫-h/2 y2 . ( b . dy) 
 h/2 
 = b . ∫-h/2 y2 . dy 
 h/2 
 = b . y3 
 3 -h/2 
 
 = b.( h/2)3 - b . (-h/2)3 
3 3 
 = b. h3 + b . h3 = 2. b.h3 
 24 24 24 
 
 IxG = b . h3 
 12 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 Cuando la sección es compuesta o irregular y el eje baricentrico no coincide con el eje de 
las figuras componentes, debe aplicarse el Teorema de Steiner que permite calcular el 
Momento de Inercia de una figura plana respecto a cualquier eje, que sea paralelo a otro 
baricentrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas del Momento de Inercia utilizamos también el Módulo Resistente y el 
Radio de Giro. 
 
 
 
MÓDULO RESISTENTE ELÁSTICO (S) 
 
También llamado Modulo de sección elástico, es la relación entre el Momento de Inercia 
respecto del eje baricentrico y la distancia máxima, medida desde dicho eje al punto más 
alejado de la seccón. 
 
 
Esta relación se aplica fundamentalmente en el dimensionamiento 
de piezas sometidas a flexión 
La unidad será cm4 / cm = cm3 
 
 
En el caso de secciones simples será: 
 
Sección rectangular 
 
 S = Ix . = b . h3 . 2 => Sx = b . h2 
 h/2 12 h 6 
 
 Sy = h . b2 
 6 
 Sección cuadrada 
 
 S = Ix . = a4 . 2 => Sx = Sy = a3 
 a/2 12 a 6 
 
 
 Sección circular 
 
 S = Ix . = ¶ . d4 . 2 => Sx = Sy = ¶ . d4 
 d/2 64 d 32 
 
 
 
TEOREMA DE STEINER 
 
El momento de Inercia de una superficie respecto a cualquier eje paralelo a los ejes 
baricéntricos es igual al momento de Inercia propio de la sección (respecto al eje 
baricéntrico) más el producto de la superficie por el cuadrado de la distancia entre 
ambos ejes (desde el baricentro, al eje considerado). 
Ix = IxG + A . d
2 
 S = Ix . 
 y máx 
b 
h 
d 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 MÓDULO PLÁSTICO (Z) 
 
El módulo plástico se calcula dividiendo la sección en dos porciones de área exactamente 
igual, si la geometría no es regular, debe determinarse el baricentro que es el punto 
donde la sección se divide en dos áreas iguales, y se saca el centro de cada porción: La 
distancia entre estos centros multiplicada por el área de una porción es igual al módulo 
plástico. 
 
En el caso de una sección rectangular: 
 
 Z = h . b .h = => Z = b . h2 , es decir Zx = 1,5 Sx 
 2 2 4 
 
La unidad es cm3 
 
La relación de módulos elástico y plástico se conoce como factor de forma. 
 
 
 
 RADIO DE GIRO ( r ) 
 
Es la raíz cuadrada de la relación entre el Momento de Inercia 
baricéntrico y la superficie de la sección 
 
La unidad será √ cm4 / cm2 = cm 
 
 
El radio de giro se utiliza para determinar la esbeltez al verificar las piezas al pandeo 
(se tratará 
en elementos sometidos a compresión) 
 
En el caso de secciones simples será: 
 
Sección rectangular 
 
 
 
 
 
 
Sección cuadrada 
 
 
 
 
Sección circular 
 
 
 
 
 
En secciones normalizadas, estos valores de S ; r (módulo resistente y radio de giro), del 
mismo modo que la Inercia y el Momento estático están tabulados. 
 
 r = Ix . 
 √ A 
rx= Ix . = b.h3. = h . ≈ 0,3 . h 
 √ A √12.b.h 3,46 
 
ry= Iy . = h.b3. = b . ≈ 0,3 . b 
 √ A √ 12.b.h 3,46 
 
rx = ry = Ix . = a4. = a . ≈ 0,3 . a 
 √ A √ 12. a2 3,46 
 
 
rx = ry = Ix . = ¶. d. 4 = a . ≈ 0,25 . d 
 √ A √ 64. ¶ .d2 4 
 
 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo de Tabla de perfiles IPN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b a = 10 
a 
1 2 3 
e = 
0,15a 
 b = 
0,7a 
e 
Ejemplo 
comparativo 
 Area A1 = 100 cm2 A2 = 50cm2 A3 = 50cm2 
 
Inercia Ix1 = 833 cm4 Ix2 = 633 cm4 Ix3 = 200 cm4 
 
Radio de r1 = 2,9 cm r2 = 3,5 cm r3 = 2 cm 
 giro 
 
 
 I.T.E. Catedra Arq. Gloria Diez 
 
 
MOMENTO CENTRÍFUGO 
 x 
Definimos como Momento Centrífugo de una superficie 
respecto a un eje como el producto de dicha superficie por y 
sus distancias a ambos ejes. 
Se indica con la letra “Ixy” y su unidad, igual que el x Ai 
Momento de Inercia es cm4y 
 
 Ixy = ∫ y . x .dA 
 
 
Toda figura plana que tenga al menos un eje de simetría tendrá Momento centrífugo Nulo 
respecto a dichos ejes coordenados, ya que por la condición de simetría, siempre las 
distancias serán iguales y de signos opuestos. 
 
EJES CONJUGADOS DE INERCIA 
 
 Son aquellos para los cuales el momento centrífugo es nulo, si además ambos son 
 ortogonales serán EJES PRINCIPALES DE INERCIA 
 
Si una figura plana tiene al menos un eje de simetría, éste será también eje principal de 
inercia, lo mismo que se eje perpendicular, por los que los Momentos de inercia respecto a 
ambos resultarán máximo y mínimo 
 
 
MOMENTO POLAR 0 
 x 
Momento polar de una superficie respecto a un punto ζ 
se determina como el producto de dicha superficie y y 
por su distancia a dicho punto al cuadrado. 
Se indica con la letra “I0p” y su unidad, igual que el x Ai 
Momento de Inercia es cm4 y el signo es siempre 
positivo 
 
 
 Si expresamos la distancia ζ en función de las coordenadas x,y 
 
 
 
 ζ 2 = x2 + y2 Puede obtenerse entonces el Momento Polar como la suma 
 de los Momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales 
 que se corten en el mismo punto 0 
Ixy = Ai . x . y 
 
I0p = Ai . ζ2 
 
I0P = Ix + Iy