Circunferencia y figuras en triángulos

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Colección Temas Selectos 
 
 
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Teoría y práctica twitter.com/calapenshko 
Niveles básico - intermedio - avanzado AE E 
(= 460 ¡Metr A 
Luis Reyes Perez AS 
de
 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores MI 
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Circunferencia y 
cuadrilátero inscrito 
en una circunferencia 
 
 
| Luis Reyes Perez Lumbreras 
Editores 
 
twitter.com/calapenshko 
 
Circunferencia y cuadrilátero inscrito en una circunferencia 
Autor: Luis Reyes Perez 
O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
6 Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: marzo de 2014 
Primera reimpresión: noviembre de 2016 
Segunda reimpresión: junio de 2018 
Tiraje: 1000 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-391-6 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800223 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.* 2018-03225 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.* 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
E ventas € elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de junio de 2018, 
Calle Las Herramientas N.? 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5889 
 
A 
RUN AA A 9 
" CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
1. 
2. 
Cincunferendia nia a ad RO ri ra 
1.1, Definición previa ..........ovccennacmeeacesoncererreroisttererecrjyretess 
1.2. Concepto A 
1.3. Regiones determinadas por la circunferencia... 
1.4. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia coplanares occ... 
1.5. Posiciones relativas entre un punto y una circunferencia coplanares .........i<so. 
1.6. Elementos asociados a una circunferencia ,....cccacnnccioranc rene 
1.7. Ángulos asociados a la circunferencia ......... cnc 
18. Teoremas fundamentales .......c..uersirrncsrss rms crrereroescrcnmanceccenmnnn eee 
1.9. Posiciones relativas entre dos circunferencias COPlaMares .cooncccocanooooirmmnmnnnncciiócion 
1.10. Ángulos determinados entre rectas y Circunferencias eacccanmnnnrrnrnsosanserce nice 
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ...........ccccinccannnnomeneenrerertarrens errores 
Vi cta 
A A ie 
2.3. Cuadrilátero inscriptible en una circunferencia ........uiiniocccinnesecreceenereonss 
2.4. Cuadrilátero cireunscrito a una CIrcuUNTerenCia ........c.cconccccconccccnnannre cercare 
2.5. Cuadrilátero DICÉNtTICO ......rciciiinióninnceccaita cr 21 
11 
a dE 
Ed 
11 
12 
12 
. 12 
13 
14 
15 
. 17 
18 
18 
18 
18 
21 
 
L PROBLEMAS RESUELTOS 
A 
Nivel intermedio ........cooonanonionn edició 
Nivel avanzado eccocciicinicnn.. 
"E PROBLEMAS PROPUESTOS 
Nivel DÁsicO coco... 
Nivel intermedio coco 
Ai a 
"E BIBLIOGRAFÍA 
 
102 
.. 59 
.. 83 
¿> 120 
ssmns 130) 
134 
... 141 
.- 142 
 
a 
¿+ PRESENTACIÓN 
ARS. radica ss HARI o E 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Circunferen- 
cia y cuadrilátero inscrito en una circunferencia, perteneciente a una nueva 
serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la 
enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas especificos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque 
didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor 
profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, 
por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar 
una nutrida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza 
de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios 
aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que 
ha significado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de 
profesionales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a 
nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este 
proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Luis Reyes Perez, de la 
plana de Geometría de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en 
la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la 
enseñanza preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
 
F* INTRODUCCIÓN 
car AAA ¿38 
 
En algún momento de nuestra vida hemos tenido la oportunidad de expe- 
rimentar mediante la observación y del maniobrar de ciertos objetos como 
por ejemplo el ula ula, los chipi taps, las monedas, el aro de una bicicle- 
ta, la tapa de una olla, un CD, etc. los cuales relacionamos con circulos o 
circunferencias, pero conforme ibamos creciendo, vimos que algunos repre- 
sentaban circunferencias y otros circulos, por lo que es necesario tener clara 
la diferencia entre ellos. 
El presente trabajo tiene como objetivo fundamental mejorar las bases 
teóricas-prácticas del aprendizaje de una circunferencia y un cuadrilátero 
inscrito en una circunferencia, además encontrarás un plus al final del marco 
teórico que contiene tres formas de dibujar con regla y compás a un cua- 
drilátero bicéntrico, luego de esto se han considerado problemas resueltos 
(algunos han sido resueltos de dos o tres formas para que puedas hacer lo 
mismo con otros) y finalmente contiene problemas propuestos que han sido 
estructurados de tal manera que logres un mejor entendimiento de los te- 
mas tratados, es decir, partiendo de lo simple a lo complejo, de tal forma que 
un estudiante, sin mayor inconveniente, pueda abordar cualquier problema 
vinculado a estos temas, sobre todo en pruebas trascendentales como son 
los exámenes de admisión en las diferentes universidades. 
Esperamos que con este material y otros que ya se han publicado, se 
cambie la concepción de que la geometría es dificil; particularmente cree- 
mos que con este curso podemos desarrollar, por ejemplo, la observación, 
la imaginación, la creatividad, etc., además de repotenciar esas capacidades 
y habilidades fundamentales que harán posible una mejor comprensión de 
dichos temas. 
Finalmente, agradezco a la Asociación Fondo de Investigadores y Edito- 
res (Afined) por la confianza y las condiciones favorables para la elaboración 
del presente material, también a mis estimados colegas, a los estudiantes 
que han ido enriqueciendo mi experiencia como docente, y de manera muy 
especial a mi familia y padres, por su desmedido apoyo incondicional y com- 
prensión. 
 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO 
EN UNA CIRCUNFERENCIA 
.5
yo
 
ARRE RR IAEA 
CIRCUNFERENCIA 
 
1.1. DEFINICIÓN PREVIA 
1.1.1. Línea curva (curva) 
Es aquella figura geométrica generada por un 
punto que se dirige a otro punta cambiando con- 
tinuamente de dirección (dicha línea no debe 
estar compuesta por ningún segmento de recta). 
A continuación se muestran algunos ejemplos 
de curvas planas. 
Curva abierta simple Curva cerrada simple 
Curva cerrada no simple Curva abierta no simple 
 
 
 
simple sele conoce come curv cerrada 
1.2. CONCEPTO 
Es una línea curva plana cerrada donde todos sus 
puntos equidistan de otro punto fijo coplanar. 
€ 
Del gráfico se muestra la circunferencia(€). 
Donde 
- O: centro de la 
- roradio de la € 
Medidas de la circunferencia. 
- longitudinal: 2xtr 
- angular: 3609 (en el sistema sexagesimal) 
1.3. REGIONES DETERMINADAS POR LA CIR- 
CUNFERENCIA 
 
Donde 
- circunferencia. 
- Ral: región interior a la €. 
- R.E.: región exterior a la €. 
11 
 
LUMBRERAS EDITORES 
1.4, POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA 
Y UNA CIRCUNFERENCIA COPLANARES 
 
L: tangente a la Cen T (7: punto de tangencia) 
L.: secante a la Pen Ll y5 
2. exterior a la € 
hd
d 
1.5. POSICIONES RELATIVAS ENTRE UN PUNTO 
Y UNA CIRCUNFERENCIA COPLANARES 
e -N 
* Punto interior a la 7 [(OMer): si la distancia 
del centro al punto es menor al radio. 
Ejemplo: M es un punto interior a la E, 
* Punto de la o punto aferente a la F 
(OP=r): si la distancia del centro al punto es 
igual al radio. 
Ejemplo: Pes un punto de la €. 
* Punto exterior a la F[ON >): si la distancia 
del centro al punto es mayor al radio. 
Ejemplo: N es un punto exterior a la E. 
1.6. ELEMENTOS ASOCIADOS A UNA CIRCUN- 
FERENCIA 
 
+ Centro (0): punto en la región interior equi- 
distante de la €. 
* Radio (r): es el segmento que une el centro 
con un punto cualquiera de la *, también 
es la longitud del segmento. 
+ Diámetro (CD): es la cuerda donde un pun- 
to de él es el centro de la E. 
+ Cuerda (AB): es el segmento donde sus ex- 
tremos son dos puntos de la + 
. Arco (AB): es el segmento curvilíneo conte- 
nido en la *. 
* Recta tangente (Z, ): es aquella recta copla- 
nar ala “y que pasa por un punto de la %. 
» Recta secante (2, ): es aquella recta que 
pasa por dos puntos de la €; 
. Recta exterior (2, ): es aquella recta que 
no es tangente ni secante. 
+ Flecha o sagita (EL): es aquella parte de un 
radio perpendicular a una cuerda, cuyos ex- 
tremos se encuentran en el arco y en dicha 
cuerda. 
twitter.com/calapenshko 
12 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
1.7. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 
1.7.1. Ángulo central («« AOB) 
 
m=<: AOB=mAB 
1.7.2. Ángulo inscrito (< APB) 
 
maapa= LE 
1.7.3. Ángulo semiinscrito («< ATB) 
 
AT 
mare => 
1.7.4. Ángulo interior (< AKB o <= LKS) 
 «E 
 
mAB+mLS 
 
| mx AKB= 
 
1.7.5. Ángulo exterior («NAD, «PAN, <PAQ) 
Caso 1 
 
 
 
Caso 2 
 
 
 
13 
 
LUMBRERAS EDITORES > 
 
 
Caso 3 1.8. TEOREMAS FUNDAMENTALES 
p A 1. Radio hacia la recta tangente en el punto 
de tangencia. 
E 
 
 
>| OTE 
2. Triángulo inscrito en una circunferencia, 
cuando uno de sus lados es el diámetro. 
p 
yz e 
7B 
Si del gráfico AB es diámetro y Pea la €. 
>| m«xAPB=3909 
3. Segmentos tangentes, trazados desde un 
punto exterior a una circunferencia. 
K 
Ñ 
Si del gráfico K y $ son puntos de tangencia. 
=> | NK=NS 
 
 
máApe= mKP+mPB 
 
e 
a Ap 
A 
 
"W' CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
4. 
 
Cuerda perpendicular a un radio de una cir- 
cunferencia. 
y 
Si del gráfico AB es perpendicular a LO. 
>| AK=KB v| mAL=mí8 | 
Dos cuerdas de igual longitud en una cir- 
cunferencia. 
' 
Si del gráfico AB es igual a £5. 
>| mAB=mísS 
Dos cuerdas paralelas en una circunferencia. 
D O 
1 
N y 
Si del gráfico Dl es paralelo a AN. 
— mAD=mNI 
1.9. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIR- 
CUNFERENCIAS COPLANARES 
Las posiciones relativas entre dos circunferen- 
cias pueden ser: tangentes exteriores, exterio- 
res, tangentes interiores, interiores, secantes o 
concéntricas. 
1.9.1. Circunferencias tangentes exteriores 
(€, y a) 
€, 
Del gráfico si T es punto de tangencia, Oy, T y 
0, son colineales 
> [same 
1.9.2. Circunferencias exteriores (*, y €,) 
€, 
E, 
Del gráfico, €, €,=0 
- 
15 
 
LUMBRERAS EDITORES e 
1.9.3. Circunferencias tangentes interiores 
(8, y €,) e 
1 
Del gráfico, si Tes punto de tangencia, 
0,, 0, y Tson colineales 
> [aa 
1.9.4. Circunferencias interiores (€, y €,) ES 5 denomina ect debido a queda 
distancia pre sus centros *s mano ale 
a HA k £ 
po anT Ed ql 
 
 
1.10. ÁNGULOS DETERMINADOS ENTRE RECTAS 
Y CIRCUNFERENCIAS 
Del gráfico, €, M E¿=04 
1,10.1. Ángulo determinado entre dos rectas 
> Es aquel ángulo que se determina entre dos rec- 
tas secantes. 
1.9.5. Circunferencias secantes (%, y €) 
€, és 
L, 
Generalmente cuando se pide la medida del án- 
gulo entre la Z, y la E, se da el valor del ángulo 
Del gráfico, 6, A E=1(4; 8) agudo (a no ser que sean perpendiculares), de 
> | R=reO.O<R lo contrario se daría el valor del ángulo obt
uso. 
r<0,0,<R+r x: medida del ángulo entre la , y la L,. 
16 
 
aj CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
1.10.2, Ángulo determinado entre una recta y 
una circunferencia 
Es aquel ángulo que se determina entre una 
recta secante a una circunferencia y una recta 
tangente en uno de los puntos de intersección 
de dicha recta secante con dicha circunferencia. 
 
x: medida del ángulo entre la Z, yla 2, enN. 
— 
£,: recta secante ala Hen NyA. 
L: recta tangente ala Pen Ñ. 
1.10.3. Ángulo determinado entre dos circun- 
ferencias 
Es aquel ángulo que se determina entre dos cir- 
cunferencias secantes, es decir, entre dos rectas 
tangentes a dichas circunferencias en uno de los 
puntos comunes. 
 
x: medida del ángulo entre la *, y la 4, enA. 
€, y €: circunferencias secantes en N y A. 
L; recta tangente a la €, en A. 
£,: recta tangente a la 4, en A. 
a. —Circunferencias ortogonales 
Se denomina así cuando la medida del 
ángulo entre dichas circunferencias es 90%, 
 
0,40): (0,0, '=R*+r 
17 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
É CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
 
2.1. DEFINICIÓN 
Es aquel cuadrilátero donde sus cuatro vértices 
pertenecen a una circunferencia. 
B E 
e 
 
Sea el CABCD inscrito en la E. 
7 
Sea el C14ABCD inscrito en la €. 
! circunferencia circunscrita al CLABCD. 
 
2.3. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIR- 
CUNFERENCIA 
2.3.1, Definición Es aquel cuadrilátero convexo en el cual por sus 
sea el ¿2 ABCOD inscrito en la € cuatro vértices se puede trazar una única cir- 
cunferencia, pero para esto debería cumplirse 
>| 0+B=1800 e = tesis de los teoremas del cuadrilátero 
' . 
18 
 
M CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO O EN UNA CIRCUNFERENCIA 
bh 
A D 
 
CGMABCD: cuadrilátero convexo ABCD. 
Si B=1800 En el gráfico, €
 es una circunferencia imagina- 
se cumple que += , 
ria que pasaría por los cuatro vértices del cua- 
entonces el CAABCD es inscriptible. drilátero ABCD. 
A D 
 
AABCOD: cuadrilátero convexo 4BCD. 
Si se cumple que p="Y, 
entonces el (A ABCD es inscriptible. 
En el gráfico, Ces una circunferencia imaginaria 
que pasaría por los cuatro vértices del cuadrilá- 
 
tero ABCD. 
B A 
0 
Ec 
A D e 
=P e . 
AABCD: cuadrilátero convexo ABCD. En el gráfico, Fes una circunferencia imaginaria 
Si se cumple que (t=(0, que pasaria por los cuatro vértices del cuadrilá- 
entonces el CLABCO es inscriptible. tero ABCD. 
twitter.com/calapenshko ' 
19 
 
LUMBRERAS EDITORES 
2.3.2, Propiedades 
1. Del gráfico, AB//CD. 
 
A 
2. Del gráfico, AB//CE. 
 
3. Del gráfico, BN=BS; CN=CR; DR=DI; Al=AS; 
entonces el CANRIS es inscriptible, 
E 
N 
B 
R 
5 
A / D 
4. Del gráfico, x=390%+'P. 
 
20 
¡in e ld bi da Mb 0 dl id 
 
 
El rectángulo ABCD es un cuadrilátero ins- 
criptible. 
B e 
LJ] 
mi O 
Á D 
El cuadrado ABCD es un cuadrilátero ins- 
criptible, 
 
 
A D 
El trapecio isósceles ABCDes un cuadrilátero 
inscriptible. 
B ct 
Á D 
En el cuadrilátero ABCD, si la m<ABC= 
m«<ADC=90*, entonces dicho cuadrilátero 
es inscriptible, 
BE 
D 
En el cuadrilátero ABCD, si la muxA8D= 
mxACD=90*, entonces dicho cuadrilátero 
es inscriptible. 
B Cc 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
2.4. CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA %s Nota 
CIRCUNFERENCIA nz 
Es aquel cuadrilátero donde sus cuatro ladospg gráfico, si el 
son tangentes a una circunferencia. EAABCO es cir- 
 
2.5. CUADRILÁTERO BICÉNTRICO 
 
Es aquel cuadrilátero inscrito y circunscrito a 
dos circunferencias que no son concéntricas. 
Del gráfico, U; G; R y M son puntos de tangencia. 
Teorema de Henri Pitot. 
AB+CD=BC+AD 
2.4.1, Cuadrilátero circunscriptible 
 
El SAABKR es bicéntrico. 
Es aquel cuadrilátero en que se puede trazar la 
circunferencia inscrita, pero para esto debería 2.5.1. Cómo dibujar con regla y compás un cua- 
cumplir la relación del teorema de Pitot. drilátero bicéntrico 
a. Dada la circunferencia inscrita en el cua- 
drilátero 
* Sedibuja una circunferencia H'de centro 0, (la 
cual será la circunferencia inscrita del cuadrilá- 
tero bicéntrico). 
Del gráfico, si 4B+CD=BC+AD, 
entonces el CJABCO es circunscriptible. 
21 
 
LUMBRERAS EDITORES pa 
* Trazamos las mediatrices (2, de AB A La 
de BK) para ubicar al centro O de la circun- 
ferencia que pasaría por A; B; K; R 
 
 
+ Con centro en el punto medio M de AB y 
diámetro AB se traza la semicircunferencia 
que interseca a AC y BC en los puntos L Y 
S (se sabe que AS y BL son las alturas del 
triángulo ABC). * Finalmente se traza la circunferencia €,, 
que es la circunscrita al cuadrilátero ABKR. 
 
 
 * Porun punto N [Ne 4) se traza una recta E 
tangente ala Fde modo que sea paralelo a 
pe pS El CJ ABKR es bicéntrico. 
£S. La $ interseca a BC y ACen KyR. 
b. Dada la circunferencia circunscrita al cua- 
drilátero 
= Se dibuja una circunferencia €, de centro O 
[la cual será la circunferencia circunscrita al 
cuadrilátero bicéntrico). 
El CA ABKR es inscriptible. 
 
22 
 
 
= CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
* Luego se traza el par angular ABK inscrito en * Con centro O, se traza la circunferencia %, 
€, que pasa por A; K y $ que interseca al BL en el 
punto 0,. 
= Seconstruye la bisectriz BL del par angular 
ABK. 
 
+ El punto O, viene a ser el incentro del cua- 
drilátero inscrito ABKR, entonces dicho 
punto será el centro de la circunferencia € 
inscrita en dicho cuadrilátero y el radio se- 
UL ría la distancia entre el punto O, a BA. 
 
»* Desdeel punto A se traza la $ perpendicular a 
AB, que interseca a la prolongación de BK en 5. 
 
twitter.com/calapenshko 23 
 
Lu M BRE RAS EDITORES a 
* Finalmente estaremos seguros que el cua- + Desde los puntos D, L, W y $ se trazan las 
drilátero ABKR es el bicéntrico. rectas tangentes t; m; ly n, respectivamente. 
 
El CAABKR es bicéntrico. Ahora trazamos las mediatrices A de AB 
A L, de KR) para ubicar el centro O de la 
c. Dada la circunferencia inscrita en el cua- circunferencia que pasaría por A; B; K; R. 
drilátero 
+ Se dibuja una circunferencia Y de centro 
O, (la cual será la circunferencia inscrita del 
cuadrilátero bicéntrico). 
 
Finalmente, se traza la circunferencia €,, 
que es la circunscrita al cuadrilátero ABKR, 
+ Se traza las cuerdas LS y DW, tal que LS es 
perpendicular a DW. 
 
. El AABKR es bicéntrico, 
24 
 
¿+ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? 1 
En una circunferencia de centro O se ubican 
los puntos consecutivos 4; B y N tal que la 
— mBC mCA 
mAB==—— 2 —, calcule la medida del arco 
3 11 
intermedio. 
A) 22? B) 239 C) 242 
D) 25% E) 26? 
Resolución 
Nos piden la medida del arco intermedio: 3x. 
11x 
 
Sed mAB=x 
> mBC=3x y mÚA =11x ; esto se consiguió 
del dato. 
Se sabe de la $ que su medida angular es 3609 
=> x+3x+11x=360% 
15x=360* 
x=24% 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.” 2 
En una circunferencia se ubica el punto L y el 
punto K exterior a la F. Si el radio de dicha cir- 
cunferencia es 4, calcule el mayor valor entero 
de LK(KOr 1% =1M), MK<1). 
AJ 3 B) 7 Cc 8 
D) 9 E) 6 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de LK: x mayor Z. 
Dato: a<1 
AOLK: Teorema de la existencia 
d+o0-d4ex<d+4+0 
asx<B+o 
De lo anterior x<8+a 
d 
ydeldato a<1 | suman o 
x+0o<B+1+0 
x<B 
x mayor Z=8 
_Cuave (E) 
25 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 3 PROBLEMA N.” 4 
Del gráfico mostrado, el <AOD es obtuso y la Según el gráfico, la mAD>mbR y la mDR es el 
suma de las medidas de los ángulos centrales mayor valor entero. Calcule x. 
AOC y BOD es 1008, 
Calcule el mayor valor entero de la mx BOC. 
 A) 79 B) 80 Cc) 9 D) 109 E) 119 
A) 20% B) 210 O 220 
D] 23" E) 249 
Resolución 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de la m<B0OC; Nos piden x. 
x mayor Z SeamDR=a —> mAD=90%-« 
Datos: <A0OD: obtuso 
m«AOC+m=xBOD=100* 
Dato: d£ (mayor valor entero) y mAD > mDR 
90-0.>0a 
Sea maAOC=0t 90%>20 
m«x=BOD=P —= a1+fP=100% 450> a 
Del primer dato Qt mayor F=d49 
90% < mx 40D < 1809 
900<[P-x+0.< 1800 
90% < 100%—x< 180% 
=> x<10% 
Por ángulo inscrito («<DIR) 
y A mayor Z _ 449 
2 2 
x=220 
x mayor Z=99 
26 
 
A e A A a 
PROBLEMA N.”? 5 PROBLEMA N.? 6 
Según el gráfico, el ángulo central AO! es agudo Según el gráfico, mxALN _mLS 
—= mDR_mAl 5 2” 
y la MAD Calcule el mayor valor CASES 
 
entero de la míR. 
 
o B o A 
A) 419 B) 420 C) 430 A) 13 
) 14 C) 15 
D) 449 E] 455 D) 16% 
E) 17% 
Resolución Resolución 
 Nos piden el mayor valor entero de la miR: 
x mayor Z. 
— MDR mí 
Datos: ds 3 0 Dato: m<cALN _miS 
2 
Nos piden x. 
 
> mDR=28 A mRI=38 y mxAOI<90" a 
Por ángulo inscrito («LAS): mLS=2x 
0+20+30<900 
0030” a mia e 
> 6<159 2 
Ahora multiplicamos por 3 Es. ANL: por teorema fundamental 5x+x=3D9 
30 <45*% Bx=390* 
x<459 x=150 
x mayor Z=44* a 
_CLavE _Cuave (E) 
27 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 7 
Del gráfico, el triángulo OBD es isósceles de 
base DO, y la mBC =2x. Calcule la mu OBD. 
E 
A) 70% B) 54% C) 36* 
D) 342 E) 18 
Resolución 
dy 
Nos piden la m«OBD. 
Por ángulo central (« BOC): mx BOC=mBC =2x. 
A0BD, por dato es isósceles 
= m«uBéDO=2x 
En D: 2x4 3x=180* 
5x=1800 
x=36 
Pero la mx<0BD=x (por teorema del <exterior) 
m«XOBD=36* 
_ CLAVE (O 
28 
PROBLEMA N.* 8 
Según el gráfico, el triángulo ALC es isósceles, 
donde la base es LC y la mu ACL=4(m« LAC). 
 Calcule mete , 
mac 
B 
AS 
A) 2 B) 3/2 C) 54 
D) 5/2 Ej 4/3 
Resolución 
B 
Nos piden MESRiE. 
mBCe 
 
Dato: mx ACL=4[m=x LAC) 
Sea mxilAC=a — mxACi=40u 
Como LC es la base del ALAC, entonces AL=AC. 
AALC: por teorema fundamental 
a+ da +40=1800 
9x=1809 
a1=20* 
Ahora calcularemos, la m-< BLC (por ángulo exterior): 
max BLO=20%480% —= mx BLC=100% 
 
 
 
Por ángulo inscrito (« BAC): mBC =2(0) Nos piden el mayor valor entero de 
la m<DAR: 
pp 8 mayor 
2. 
=> mBC =40% 
Por ángulo semiinscrito 
m«BLC _ 1009 E 
mBcC 409 máñf =2x 
m«BLC_5 En la c
ircunferencia 
mBc 2 Ax+
2x< 3609 
_ CLAVE (1) 6x<360% 
x<609 (1) 
¡ Í AR): PROBLEMA N.?* 9 Por ángulo inscrito (
« DAR) 
Del gráfico, R es punto de tangencia y la mDR=4x. 
D=2x 
Calcule el mayor valor entero de la m< DAR. Entonces en (1) multiplicamos por 2 
2x<120% 
D 
0<120* 
0 mayor Z=1199 
_Cuave (D) 
 
PROBLEMA N.” 10 
A) 1169 B) 117" Cc) 1180 Según el gráfico, AN=15 cm, y la mAS=2(m<sSID). 
D) 1199 E) 120% Halle el mayor valor entero de SA. 
Resolución 
 
A) 13 cm B) 14 cm C) 15 cm 
D) 16 cm E) 17 cm 
 
29 
 
 
A) 159 B) 16? C) 182 
D) 20* E) 220 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de AS: x mayor Z. 
Dato: mAS = 2(m<5S/D) 
Por ángulo inscrito (< SNA) 
 
 
 
más 20 
dedos ei = 0 Nos piden la mx sNR=x, 
Del segundo dato SR 
Del dato MEADA al 
20:=2(m=< $/D) 3 2 
> m«SID=a Por ángulo inscrito (« SNR) 
Del AANI podemos notar que: /A=NA=15 cm. mSR =2x 
Además del A AN/ se sabe que (1 < 90%, 
—= mxsiA>909 En el dato como A ze 
3 2 
 
Ahora podemos decir del A 5A/ que x> 15 cm. 
—+ m«ADS=3x 
x mayor Z¿=16 cm 
CLAVE (D) Por ángulo inscrito (« ASN) 
mÁN =2(50*) 
S Por ángulo central (< AIN) 
PROBLEMA N.” 11 malo o6s 
Del gráfico, e > q ¿Calcule lam=xsSNR. — ADÍN por teorema fundamental 
3x+x+100%=1800 
4x+100%=180* 
4x=80* 
 
x=209Crave (D) 
30 
 
 
PROBLEMA N.? 12 AADN: por ángulo exterior en D: má RDN=20.. 
Del gráfico, DR=RB; AD=DN y la ADRB: por teorema fundamental 
mi =2(m=<ORB). Calcule la mNl. 00+20:+20:=1800 
50.=180 
01=369 
Zo mNI=729 
AN CLAVE (D) 
N 
PROBLEMA N.”? 13 
Del gráfico, calcule el menor valor entero de 
8+0. 
A) 449 
A) 60% B) 680 Cc) 709 B) 499 
D) 72? E) 759 C) 46" 
D) 479 
E) 480 
 
 
 
 
 Resolución 
Resolución 
 
 
Nos piden el menor valor entero de (0 +0) 
menor £ 
— Por ángulo inscrito («<< SKL) 
Nos piden la mN?, 
 
mis =28. 
Sea m« DARB=a Como m5N =909 ¿entonces la mLN =90%-28. 
entonces en el dato mN/=24. Por ángulo inscrito (« LKN) 
Por ángulo inscrito («< ¡AN): mx /AN= S m«<LKN= == Se 
31 
 
LUMBRERAS EDITORES 
A KMN por teorema Por ángulo inscrita (< /4D) 
a1>450-f ma /AD=x/2. 
a+B>450 AJAR por teorema 
(0468) menor Z=46% 
9902 +90 + 1809 
_Cuave (€) 2 
nt: Xx 
e 9 —+ y => 
PROBLEMA N* 14 y 
_ a 
Del gráfico, ¡A=AR. Calcule "2, y 
mol _Cuave (A) 
 
A) 2 
B) 1/2 
PROBLEMA N.” 15 
Cc) 1 E 
D) 3/2 Según el gráfico, UNC _ MAR ., y=1R. Calcule 
E) 2/3 A 
8/0 (R es punto de tangencia). 
Resolución 
A) 5/2 B) 7/3 O 7/4 
D) 3 E) 4 
Resolución 
Nos piden ma = e 
msi y 
Por ángulo inscrito (<:SNI) 
=Y meSsNi=2. 
 
DIKN: ma KIN=90%-2 
2 twitter.com/calapenshko 
 
a o CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resoluci 
Nos piden = esolución 
 
Dato: me - - mAR ne mc 2x 
7 mAR =7x 
Por ángulo interior (< A5R) 
2x+7x 
 30%= x=200 
 
Por ángulo semiinscrito 
 
 
 
 
 
da mAR 1409 2 Nos piden x. 
2 2 Dato: 1-B=16* 
A CIR: mM CR=m<IRC== Por ángulo inscrito (4 LAS a <«LBS) 
2 
£ E mx LAS=m-x LB5=0/2 
Por ángulo inscrito (<< NRC) 
a mNC 409 A a1=8/24+8/2+x ==—=— => 0=409 
2 2 2 o0=0+x 
9_70 x=0-0 
a 40% Eut60 
Bal cuave (D) e 4 AS 
_ Crave (€) 
PROBLEMA N.? 17 
PROBLEMA N.” 16 Según el gráfico la 
Del gráfico, la m£5 =6 y u1-60=16*, Calcule x. mor mB8c - mDF _ mAD y SK=16. Calcule LS 
2 3 4 
A) 8 A 
— 8 
B) 12 ó 
C) 14 le K 
yl D) 15 D E 
E) 16 a 
A) 149 B) 15% C) 18" 
D) 16* E) 179 F 
33 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
Nos piden L5=x. 
Del dato 
ES mBre E mbDF a mAD 
2 3 4 
5ea 
mCE =8 => mBC =20; mDF = 30 
y mAD =40 
Por ángulo exterior (« DLF A x<AKD) 
meu ae 
40-20 _ 
mx AKD= 0 
ALSK: se puede notar que L5=5K 
x=16 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.”? 18 
<LD AG meLDU _ mAS 
Del gráfico, el gráfi a 
Calcule x (D es punto de tangencia). 
34 
Resolución 
 
Nos piden x. 
Por ángulo semiinscrito mÓGL = 2(20x) 
mÓGL= 40 
> mDG+30:+mAL =mDGL 
mDG+30.+mAl = 4 
MDG +mAL=0 
Por ángulo interior («4 DTG) 
y MOG+MAL _ 0% 
2 2 
> 1 
u
a
 
_Cuave (D) 
 
 
PROBLEMA N.? 19 
Según el gráfico, NI=TI; na Z ma y 
m<SNI=mLU +m8]. Calcule la mS]. 
$ 
A, 
[ 
A) 38% B) 40% C) 420 
D) 44% E) 459 
Resolución 
 
Nos piden la mó. 
Dato: 
míU _ mSl 
5 3 
Sea mS/= 30 entonces miU = 50 
y del tercer dato m< 5N/=30+50 
mx S$NI=Ba 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Por ángulo interior (<< LTU) 
301 +50 
 mx LTU= 
mx LTU=40 
ANIT: 40.+80:=180% 
1201801 
a=159 
mS)= 459 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 20 
Del gráfico, lamAN =D == 2 ="2. y 
CD=16. Calcule el menor valor entero de BD. 
 
A) 14 Bj) 13 Cc) 15 
D) 16 E) 17 
Resolución 
A 
50 
35 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden el menor valor entero de BD: BD 
menar Z- Ml Ñ 
Dato: MAN=mND= "2-12 
Sea mAN = 0: >mND = o; mDI! = 30: y mS!= 50t 
Por ángulo interior (« NCD y < 18D] 
5040 
mx NCD= = 30 
de 
mui ¡BD=> > = 20 
Del ABDC podemos observar que 
3a.> 20 
— BD>16 
BD menor ¿=17 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 21 
Según el gráfico, N es punto de tangencia, la 
MAR =x y mAR = 50%, Calcule y=x. 
A) 50% 
B) 45% 
C) 25% 
D) 20% 
E) 150 
 
Resolución 
Nos piden y—x. 
Por ángulo semiinscrito (<< ANC) 
50% +x 
2 
Por ángulo inscrito (<< NAC) 
 mi ANC= 
muNÑaAc= : 
ANAC: por teorema del ángulo exterior 
 ==+ 
7 2 2 
_2x 4500 
2 
y-x=250 
 => 2y=2x+50* 
_Cuave (€) 
y 
PROBLEMA N.” 22 
Del gráfico, la m£5 = 3lm<"LUR) y 
mÚN=m=<URS=509, 
Calcule la mL5, 
A) 102 LÍO, k 
B) 250 AR R 
C) 159 y 7 
D) 30* 5 
E) 322 7) 
Ñ 
Resolución 
36 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Nos piden la miS=x. A) 459 B) 60% C) 649 
Datos: D) 58* E) 62? 
mis = 3[m<LUR) 
> mLUR== A MÚN—=m=<c URS=50% Resolución 
5ea mÚN =a A m«URS=0 
a—-B=509 
Por ángulo inscrito («<< KUIL) 50 A 
pl N 
mál= (+) 
3 
Por ángulo exterior (<= URN) Ss 
5x Nos piden la mÑD. 
Dato: 
= 50% más _ DO mis 
6 
x=30* 
CLAVE Sea mx /SN=0 
> mAs =b00 A mND= d
o 
PROBLEMA N.” 23 
Del gráfico, mAs - = mVD 
Por ángulo interior [<.AES) 
=mAJsN., 
da +60 
 mx AES5= =50 
Calcule la mND . 
Es. SIE: por teorema fundamental 0 +5a1=900 
60, =909 
Q=159 
mNOD = 601 
_ CLAVE 
37 
 
LUMBRERAS EDITORES pS 
PROBLEMA N.” 24 En la circunferencia, por su medida angular 
Según el gráfico, N es punto de tangencia, 2x+28+20=3600 
mAD =mbDR y la mA/ =miN, Calcule x, 2x+2(8+0)=3600 
2x+2(100%)=360* 
2x=160* 
x=80? 
_Cuve (D) 
 
PROBLEMA N.* 25 
A) 659 B) 709 C) 759 
Del gráfico, mAS = 2[mAN) = 2(mDi SS D) 809 E) 820 el gráfico, mAS 2[mAN) 2(mDI) y Lk=8. 
Calcule el mayor valor entero del perímetro de 
Resolución la región triangular LDK, 
A) 30 N 
B) 31 
Cc) 32 
D) 33 
E) 34 p 
5 
 
Nos piden x. 
Datos: mAD =mDR= ñ 
mAI =m/N =a 
Por ángulo interior (« ASD) 
5p0= 942 > 0+a =100% 
Por ángulo semiinscrito 
 
mÁN =2x 
38 
 
Nos piden 2p mayor Z 4LDK. 
Dato: mAS = 2(mAN) =2(mbr) 
Sea mAS=20 
> mAN=mDI=0 
Por ángulo inscrito («< ADS) 
m« ADS= > =0 
Por ángulo interior (< DL/) 
m« DL/= 0 
AKLD: DK=LK=8 
AKLD: aplicamos teorema de la existencia 
0O<(<8+8 
D<(<16 
Sumando 16 a lo anterior 
(+16<16+16 
2p7 añoc 32 
2Pmayorz aLox=31 
_ciave (B) 
PROBLEMA N.* 26 
Del gráfico el triángulo DSN es isósceles de 
base DN; mDK =80> y la 3[mDS)=4(m<WSK). 
Calcule la mxDWS5. 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
A) 14* B) 20* C) 262 
D) 282 E) 30% 
Resolución 
 
Nos piden la m< DWS, 
Dato: 3(mbs ) =4(m-< WSK) 
Sea mDS =40 > m=<WSK = 38 
Por ángulo inscrito (4 DWS). 
m«DWS5 = - =28 
Por ángulo inscrito (« XS$D) 
o 
m«KSD = — => m=xK5D=40* 
Como del dato DS=N)S, entonces 
m< NDS=m=<DNS=0 
Ahora por teorema fundamental en el ANDS 
0+0+40%=180* 
201=140* 
=> a=709 
AW6SN: por teorema del ángulo exterior 
20+30=70% 
58=702 
—> B=14" 
m«<DWS5=28* 
_Ciave (D) 
39 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 27 PROBLEMA N.”? 28 
Del gráfico, la mAB =mCb. Calcule x, Del gráfico, mAB=míS= 160 y la mÉN = 500. 
Calcule la mCb. 
s TS 
_GE 
 
A 
A) 459 Bj] 46% C) 47% 
D) 480 E) 490 A) 649 B) 669 C) 349 
D) 419 E) 580 
Resolución 
Resolución 
 
 
 
Nos piden x. 
Dato: : == 
qn en ó Nos piden la mCD = x. 
mAB = mCD = 6, sea mi5 = 
mM] Dato: mAB—mLS = 16% 
Por ángulo interior 
Pi o +0 6-a=16 
2 En la €, por ángulo exterior (« 874) 
+ 
49%= 9+0 B—x 
2 mx 2 (1) 
igualando 
En la €, por ángulo exterior («<< LTS) 
x=490 
 
a. — 509 
_Clave (E) ii (1 
 
mn CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Como (1)=(11) 
B-x Ñ at 50% 
2 ¿ 
=> O-x=0-=50% 
 
B-01+50%=x 
162 
x=66* 
_Cuave 
PROBLEMA N.” 29 
Del gráfico, la mAB = 3(mADB) y la miK = 500, 
Calcule la mADB. 
 
A] 22* B) 259 C) 289 
D) 31* El :35* 
Resolución 
 
Nos piden la mÁADB=x. 
Dato: máB= 3(mAD8) 
—> mAB=3x 
En la €, por ángulo inscrito (<A58B) 
maAso== (1) 
En la €) por ángulo interior («<< LSK) 
measao 30 
 (11) 
Ahora igualando (1) y (11) 
3x=x+50% 
2x=50% 
x=.250 
_cuave (B) 
PROBLEMA N.”* 30 
Del gráfico, L es punto de tangencia, la 
mAS=3(m<LNB)=6y y la mAB=120", 
Calcule y. 
 
A) 140 
D) 209 
B) 169 C) 189 
E) 22 
41 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
Nos piden y. 
Dato: mAS = 3(m<LNB) =6y 
=> m«XLNB=2y 
Por ángulo semiinscrito 
mSL =2(2y) =4y 
Por ángulo exterior |< ANS) 
a 6y-mLB 2 eS 
=> mLB=2y 
En la circunferencia 
6y+4y+2Yy+120%=3609 
12y=2400 
y=200 
_ CLAVE (D) 
42 
PROBLEMA N.? 31 
En una semicircunferencia de diámetro AB, se 
trazan las secantes PLC y PSB y la 
m<aLPS=m51 = 2 (mac). Calcule la mis. 
A) 60* B) 642 C) 68% 
D) 725 E) 789 
Resolución 
 
 
Nos piden la més. 
Dato: m«LPS=mSL=2[mAC) 
SeamAC=a > m«lPS=20 
Por ángulo exterior (« CPB) 
_ 180%+0-20 
2 
20 
40=180%-0 
5a=1800 
=> (=360 
mLs=72* 
_Cuave (D) 
 
W CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
PROBLEMA N.? 32 
Del gráfico, la mCD=mDE =mEF y la 
m=< BSA=m=< DLE=25". Calcule la mDE. 
 
A) 10%30' B) 1130 Cc) 12%30' 
D) 14930' E) 25% 
Resolución 
 
Nos piden la mDE = X, 
Dato: mCD =mDE =méÉF = x 
Por ángulo interior («< 854) 
m«BSA = mE (0) 
Por ángulo exterior [« BLA) 
AB- 
mxDLE = E x 
 
(11) 
Restando (1) y (11) 
m<B54-=m=x pipa, 2 =2x 
2 2 
25%=2x 
2 1=12%30' 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.* 33 
Del gráfico, = = + =1 y LA toma el mayor 
valor entero impar. Calcule la mKM. 
K 
LAR" 
A 
A) 729 B) 539 C) 609 
D) 749 E) 769 
Resolución 
43 
 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden la mkM=x. Resolución 
Del ALAM, aplicamos el teorema de la existencia. 
4-3 <(<44+3 
1<(<7 
Como LA toma el mayor valor entero impar: 
=> [mayor Z impar=5 
El Es. LMA es notable aproximado 
mxLAM=37* 
Por ángulo inscrito (<< KAM) 
Xx Le 
ERAS > Nos piden la mKR=m£C. 
379=1 Y 
2 
Dato: 
ALas mÓK —mí5 = 489 
_ CLAVE (D) 0-a=480 
En la €, por ángulo interior (« DTK) 
PROBLEMA N.* 34 
mc e y+0 
Del gráfico, la mDK —mLS= 480. m« DTK= 7 (1) 
Calcule la mKR=mlC. 
En la €, por ángulo interior («<< RTK) 
x+0 
diia (11) 
igualando (1) y (11) 
x+a_y+0 
2 2 
x-y=0-a 
x—-y=480 
A) 42% B) 46* C) 480 
D) 520 E) 562 _ CLAVE O 
44
7 CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
PROBLEMA N.?” 35 
Del gráfico, K es punto de tangencia y la 
mKS = 140%, Calcule x. 
A) 110% 
B) 1159 
Cc) 1209 
D) 125* 
E) 130% 
 
Resolución 
 
Nos piden x. 
Por ángulo exterior (< KP5) 
1409400 
2 
180% -—x=50* 
x=130" 
180%-x = 
Otra forma 
Nos piden x. 
Se traza OK, por teorema OKLKL. 
Por ángulo central (< KOS) 
m-<x LOK=1400 
—+ m«aLOK=40% 
Por ángulo exterior en el ALKO 
x=90%+ 409 
x=130% 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.” 36 
Del gráfico, L y M son puntos de tangencia y la 
mLP =70*. Calcule la mi PM. 
 
A) 110* B) 120% c) 1222 
D) 125? Ej) 128* 
Resolución 
 
45 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden la miPM. 
Por ángulo semiinscrito 
a 
m-«< NLR= e =35* 
Sea la mPM = qx, entonces en la circunferencia: 
mÚM = 290% 
Por ángulo exterior («< LAM) 
900= 290% =(t — (í 
180=290%-2u 
-— 2¿a=110% + 
0=55* 
mLPM = 1250 
Otra forma 
 
Nos piden la miPM. 
Por ángulo semiinscrito 
o 
mi NR= => =350 
Es LAN: mx LNR=55% 
46 
Por teorema en una circunferencia 
mPM +70%+55%=1800 
mPM+1259= 1800 
mPM= 550 
“4 mLPM=1250 
_CLave 
PROBLEMA N.* 37 
Del gráfico, O no pertenece al AB y AL=3(LB)=6. 
Calcule el menor valor entero de LO. 
A e 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
E 
Resolución 
 
Nos piden el menor valor entero de LO: x menor Z. 
Dato: 
AL=3(18B)=6 
=> lB=2 
 
e CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Se traza OH LAB, entonces por teorema en la € 
AH=HB= .— =4 
Es OHL: x>2 
x menor Z=3 
_ CLAVE E) 
PROBLEMA N.* 38 
Del gráfico, mAB+mSR = 100%; 
mCQ+mPD = 80%; AB//CD; PQ//5R y la 
mAD = 3(maR), Calcule la mAD. 
0 A) 57930' 
B) 58930" 
Cc) 60%30' 
DJ) 62930" p 
E) 67%30' Pp 
 
Nos piden la mÁD=x. 
Dato: mAD =3[mQR) 
x=3 (mar) > MOR == 
Como AB//CD (Dato) 
> mBC=mAD =x 
PQ/[SR (Dato) 
— mPS =mQR = 
uu
 
| 
En la 
mAB+mSR+mCQ+mPD+ x+x+ 343 =3600 
2 
100%+80%2x + 5 = 3600 
E 180" 
3 
x=67%30' 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 39 
En una % se trazan las cuerdas AB; CD; FE con- 
gruentes, las cuales no se intersecan (los puntos 
A; B; C;¡ D y E se encuentran en ese orden) la 
mAB=800, las medidas de los arcos BC; DE y 
EA se hallan en progresión aritmética creciente. 
Calcule la mDE. 
A) 322 
D) 409 
B) 36% C) 382 
E) 429 
47 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
e 
Bo" D 
O+F 
A 
E 
0+2r HA 
F 801 
Nos piden la MDE. 
Como AB=7D=FE —> mAB=mCD=mPE=80" 
Del dato mBC; mDE y mFA se encuentran en 
progresión aritmética. 
— mBC=0; MDE=a+r A MFA=0+2r 
En la E 
80%4+0.+80%+0+r+80%+0+2r=3600 
240%+30+3r=360* 
3(0+r)=120* 
00+r=400 
mDE = 409 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.? 40 
Se tienen dos circunferencias coplanares cuyos 
radios son 4 y 3 cm y la distancia entre los cen- 
tros es 9 cm. Indique la posición relativa entre 
dichas circunferencias. 
48 
A) exteriores 
B) interiores 
C) secantes 
D) tangentes exteriores 
-E) tangentes interiores 
Resolución 
Datos de los radios: 
r,=4 cm; r,=3 cm 
y la distancia entre los centros 0,0,=9. 
Como 0,0) >r,+F, 
Entonces las circunferencias son exteriores. 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.? 41 
Dei gráfico, 5 y Kson puntos de tangencia, KL>r. 
Calcule el mayor valor entero de la m< KLS. 
K 
 
A) 60% 
D] 90* 
B) 612 Cc) 89* 
EJ 590 
 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución A) 320 B) 340 C) 309 
D) 360 E) 380 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de la m<KL5: 
x mayor £. 
 
Se traza OL (OL: es bisectriz del « KLS), 
luego se traza OK (por teorema OK L KL). Nos piden la m<KLS, 
Es OKL: como r<KL Del dato: 
XxX Xx a, 
A A 2(mkT5)=3(m<NLS) 
5ea miNis5=2x 
£ +2 ¿900 
2 2 
— mKTS =3x 
x<580* 
En la circunferencia 
Clave mKS = 3600-3x 
x mayor Z=89" 
Por teorema 
PROBLEMA N.” 42 360%-3x=2x 
Del gráfico, K y 5 son puntos de tangencia y 
A 360%=5x 
2ÁmKTS) = 3(m<NLS). Calcule la m<KES. 
3 x=72* 
3 mw KL5=180%-2x 
mí KLS=360 
_Ciave (D) 
49 
 
LUMBRERAS EDITORES A 
PROBLEMA N.? 43 Reemplazamos (1) en (11). 
Del gráfico, €, y €, son ortogonales. Calcule x si x+x=3900 
Á y Ñ son puntos de tangencia, Z. -m859 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 44 
Del gráfico, €, y €, determinan un ángulo cuya 
medida es 60* y la mAPR = 2(mABR). Calcule x. 
 A) 30% B) 419 C) 539 D) 452 E) 46% 
Resolución 
A) 182 B) 20% Cc) 229 
D) 24? E) 26% 
Resolución 
 
Nos piden x. 
Del dato (€, y €,: ortogonales): la mx 0,PO,=90% 
 
Teorema €: 0,N_LNA 
Nos piden x. 
SE OALAN Se traza la Z, tangente a la %, en A y 
Por teorema de las paralelas: x=0:+0 (1) E, tangente a la F, en A. 
En P: 1+x+8=900 (11) Se sabe que mAPR+mABR =120% (I) 
50 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Del dato: mAPR = 2(mABR). 
Por ángulo inscrito («< ASR) 
MmÁBR =2x 
luego del dato: mAPR = 2[2x) 
En (1) 
2x+4x= 1200 
x=20% 
_Cuave (8) 
PROBLEMA N.”? 45 
Un cuadrilátero cíclico ABCD tiene sus 
diagonales perpendiculares, ACN¡BD=(L), luego 
se ubica $ en AB tal que 15.1 AB y se prolonga 5L 
 
hasta que interseca a CD en K. Calcule K 
KD 
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 
D) 2 E) 2,5 
Resolución 
Nos piden E 
KD 
Por teorema del cuadrilátero inscrito en ABCD 
=> mx B4AC=mBDC=0o 
EXSBLA: mx BL5=mx< BAL=0. 
Por ángulos opuestos por el vértice 
=3 m«ADLK=mx BL5=( 
En el Ez CLD se sabe que KL es mediana relativa 
a CD. 
== EK=KD 
CcKk 
KD 
_Clave 
PROBLEMA N.? 46 
En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circun- 
ferencia €, 3[mBCD)=2(m<BCD). Calcule la 
m«uBAD, 
A) 45% B) 530% C) 37? 
D) 30% E) 609 
Resolución 
 
Nos piden la m< BAD, 
Dato: 3Ím8CD) = 2(m<«8CD) 
5ea mx BCD=30 
— 2 
=> meco= 00) =20 
51 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Por ángulo inscrito (4 840) 
masAD= => =0 
El JABCO es inscrito en la E. 
a+30=180" 
4a=180* 
(1=450 
ma BAD=450 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 47 
Del gráfico, calcule x, 
 
A) 259 B) 309 Cy 40% 
D) 50* E) 609 
Resolución 
 
52 
Nos piden x. 
Por ángulo interior («< FKE): 
a o0+0 
O KÉÁ me 2 (*) 
Por angulo inscrito (< BAF) 
a+MmCDE +8 =2002 (0Por ángulo inscrito (« CDE) 
a+mBAF+0=2409 (11) 
Sumamos (1) y (11) 
2a:+20+mCDE +mBAF = 440% — (111) 
En la € 010+8+mCDE +mBAF = 3609 
3 MÓDE+mBAF=360%-(a:+0) — (IV) 
Reemplazando (IV) en (111) 
20:+20+360%-(01+0)=4400 
a+6=809 
Finalmente en (*) 
x=409 
Otra forma 
 
Nos piden x. 
Se traza AF. 
El ABCF es inscrito en la %. 
—= m«XCFA=809 
El (AJADEF es inscrito en la €. 
3 m«DAF=60* 
En el AASF: aplicamos teorema fundamental 
x+650%+80* =180% 
x=40* 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 48 
Del gráfico, calcule x. 
A) 28% 
B) 309 
Cc) 322 
D) 342 
E) 360 
 
Resolución 
 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Nos piden x. 
El ABCOD es inscrito en la €. 
3 m+*ADC=180%-=3x 
En el ARDNI aplicamos el teorema básico: 
-180%-3x+90%+5x+x=3609 
3x=30* 
x=30% 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 49 
En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circun- 
ferencia £, la mu BAD>m«< BCD. Calcule el ma- 
yor valor entero de la mx BCD. 
A) 87? B) 88" Cc) 890 
D) 30" Ej 91* 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de la mxBCD: 
p mayor £. 
El GABCD es inscrito en la 4 
(sea m< BAD=x) 
=> x+p=180% => x=180%-p (1) 
Por condición 
mx B4D>m-<BCD 
x>p (11) 
53 
 
LUMBRERAS EDITORES pa 
De (1) en (11) En el ACAD: por teorema fundamental 
180%-p>p 20.+20+0=1809 
180%>2p o 
p<909 50 =180 
p mayor Z=899 a=36* 
_Clave(C) “+ *-=36" 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 50 
En un cuadrilátero ABCD, la mx ABD =2(m=< CBD); PROBLEMA N.” 51 
BC=CD y AC=DB=AD, Calcule la mx CAD. 
Del gráfico, E; N; L y P son puntos de tangencia y 
A) 729 B) 540 C) 489 AM=4. Calcule AB-BC. 
D) 36* E) 422 
Resolución 
 
 
 
 
A) 8 B) 1 c) 2 
Nos piden la m < CAD=x. D) 3 E) 4 
Dato: m< ABD=2(m-x CBD) 
Resolución 
5ea mí CBD=a 
3 mxABD=20a 
Como BC=CD (del dato) 
23 mxCDB=a 
y BD=AD=AC=1 (del dato entonces m< BAD=20:) 
Se nota que m< B4D=mx« LCD=20, 
de lo cual el 1BCDA es inscriptible 
 
 
=3 mx«CAD=x=a y mi ACD=20 
34 
 
M' CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFE
RENCIA 
Nos piden AB=BC. Por teorema en una %. 
Como DM y DC son tangentes a la Y de centro D miPS +2=1800 
> CD=MD=r “ 7+2x+2y=1800 
(ABCD: por teorema de Henri Pitot CLAVE (E) 
AB+r=BC+4+r 
AB=-BC=4 
_cuave (E) PROBLEMA N.* 53 
Del gráfico, T y L son puntos de tangencia. 
Calcule x. 
PROBLEMA N.* 52 
Del gráfico, L y 5 son puntos de tangencia, 
calcule 2+2x+2y. 
 
 
A) 1750 B) 1852 c) 90* A) 29-41 
B) 8-a a (0x0? 
D) 1009 E) 
180* 
NN 
D) 0-20 Ey — 
Resolución 
2 
Nos piden z+2x+ 2y. 
Resolución 
Por ángulo inscrito («< LRP a < PKS). 
 "miP=2x a mPS=2y 
55 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden x. 
Por ángulo inscrito (< TRK) en la €, 
m?7K =2(8) 
En las *, y €, por teorema 
mTLA=m1K =20 
En la €, por ángulo semiinscrito 
m?L =20 
Por ángulo inscrito («<£7A4) en €, mÍA=2x. 
Ahora, 2x+20=20 => x+0=0 
x=0-a 
_Ciave (B) 
PROBLEMA N.” 54 
En una circunferencia de centro O, se ubican los 
puntos W;/; L tal que mW! =3(m-x<0W!). 
m-< OIL 
Calcule ———, 
m-OWL 
A) 1 B) 2 C) 5/2 
D) 3 E) 3/2 
Resolución 
Primero se dibuja, tal como se indica en el 
enunciado. 
 
56 
m<OlL 
mxOWL' 
Nos piden 
Sea la mx 0/l=8 A mx OWL=0. 
Del dato, la mW!=3[m<o0W!). 
3 mW/=30 
Por ángulo central («< WO!) 
mí WO!=30 
Ahora al trazar OL 
—> mx0LW=0 
Por ángulo interior («< WLI) 
mawu == 
Del A/OL sabemos que OL=01/ 
> aro 
Ln
 5% 4 
2 
2 
a 
Otra forma 
 
OIL 
Mm<OWL' 
Nos piden m 
y 
 
Ú CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFE RENCIA 
Sealamx0lL=B a mXxOwWl=0. 
Del dato: mW! =3[m=<OW!L) 
> mi! = 30 
Por ángulo central (« WO!) 
m< WOIl=30 
Por ángulo inscrito (< WL/ 
3 
maWLi -+ 
D<JOWLI a +30 = + 
3a 
4a =0+— 
2 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 55 
Del gráfico, 0+4-—(wm+0)=23%, Calcule x. 
 
A) 190 
D) 22* 
B) 209 Cc) 21% 
E) 239 
Resolución 
 
Nas piden x. 
Por ángulo inscrito 
(BAD a A¿DHF A <ADH) 
mBD= 20 : MDEF = 20 y 
mAH =20 
SealamHG=0 a mFE=b. 
Por ángulo interior (<FIE) 
2 => a+b=26 
Se observa que la mDE =2w-=b. 
Por ángulo exterior («<ACG) 
,-20+0-Qa+20-b) 
i 2 
y 20+0-20 -2m+b _20+20—20-20 
o 2 o 2 
 
x=0+0-(m+0) 
x=230 
57 
 
 
 
LUMBRERAS EDITORES A] 
Otra forma Resolución 
lr 
r 
¿| he 
A 
F————— 
Nos piden x. 
Nos piden x. 
P Del dato ABCO es un paralelogramo: AB=CO=r 
Se prolonga LD hasta J. (Je $6) se traza BO y luego el AABO es equilátero y 
ALSJ: teorema del ángulo exterior como 8M es mediana, entonces BM también es 
altura. 
m<xLi=x+a 
Se sabe que la m«B40=y=60% 
< DJGH:; teorema adicional > x=309 
x+0+0=0+4 “o y=x=30P 
x=9+0-(0:+0) 
CLAVE (E) 
x=230 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 57 
Del gráfico, L y K son puntos de tangencia, la 
PROBLEMA N.* 56 m << LSK=3 (mRP) y la m < LAR>120". Calcule el 
. menor val del RP. 
Del gráfico, ABCO es un paralelogramo y OOO 
AM=MO. Calcule y—x, 
 
 Xx A 
A) 60% B)] 45% E) 37% A) 449 B) 30 C) 310 
D) 28* E) 302 D) 32* E) 46? 
58 
 
" CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
 
 
Nos piden el menor valor entero de la 
mRP: x menor Z, 
Dato: m <LSK=3(mAP) 
23 mxLsK=3x 
Como la mx LAR > 120” 
=> 8<609 (1) 
Por teorema en una circunferencia, 
mbK =180%—3x 
Por ángulo interior (« LAK) 
e 180—3x 
2 
0 
20=180%-=2x 
—> B=90%-x (11) 
De (11) en (1) 
90%=x < 609 
30% <x 
x menor Z¿=310 
_ CLAVE (C) 
NIVEL INTERMEDIO 
PROBLEMA N.” 58 
Del gráfico, mARC =6(m< NAO) y B>16%. 
Calcule el mayor valor entero de la mx NAO. 
Á 
A) 15% B) 16% €] 179 
Dj 18% E) 199 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de la m< NAO: 
m-<= NAO mayor Z, 
Dato: mARC =6(m<NAO) 
Sila maNAO=ú. => mARC=60 
Por ángulo inscrito («<< ANC) 
MAANC = > =30 
A 3oa+0a+D=90" 
do0+68=90% => B=90*-4o 
59 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Del dato 9>169 
3 90%-4a>160 
74%>40 
18,5*>0 
m-< NAO mayor Z=18% 
_cuave (D) 
PROBLEMA N.* 59 
En una circunferencia se trazan las cuerdas AB 
y CD, las cuales se prolongan y se intersecan. Si 
mAB+mCD= 180", calcule el menor valor ente- 
ro de la mAC. 
A) 899 B) 909 C) 919 
D) 929 E) 93* 
Resolución 
 
Nos piden el menor valor entero de la maAC: x 
menor Z. 
Como 
mAB + mcD =1809 
> x+ mBD =1809 
mBD =180%-x 
60 
Sa 
De la condición, las prolongaciones de AB y CD 
se intersecan. 
=3 x>180*-x 
2x>1800 
x>90* 
Xx menor Z=91* 
_ CLAVE (0 
PROBLEMA N.* 60 
En una circunferencia de centro O se traza la 
cuerda AT. Si la mAT <4(m<0AT), calcule el 
mayor valor entero de la mAT. 
A) 59% B) 61* Cc) 1190 
D) 1349 E) 121% 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de la mAT: 
x mayor £, 
Se traza la OT, entonces en el AOAT 
x+0+0=1809 
_ 180%-x 
2 
 
(1 
Del dato mAT < álm<0OAT) 
x<áot (11) 
 
De (1) en (11) 
(180%—x) 
2 
x<2(180%—x) 
x<360%-2x 
3x< 360% 
x<120* 
x mayor ¿=119% 
<d4 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 61 
En una circunferencia se trazan las cuerdas Al y SB 
que se intersecan en K. Si la mSL +mAB>m=<SKA, 
calcule el mayor valor entero de la m< 5KA. 
A) 117* B) 118* cy 149% 
D) 120* Ej 121% 
Resolución 
B 
 
Nos piden el mayor valor entero de la 
m-« SKA=0 mayor E. 
Dato: mSL +mAB > mAsKA 
B+0>ó (1) 
Por ángulo interior (« LK5) 
180% —( = 7 
=> 04+0=2(180%-() (11) 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
De (1!) en (1) 
2(180%-0)>0 
360%-20>0 
360% > 34 
-.120%>0 
Q mayor Z=119% 
_ CLAVE (a) 
PROBLEMA N.* 62 
Del gráfico, mND=2(miE) y miE > 60%, Calcule 
el menor valor entero de x. 
 
A) 50% B) 46% C) 47" 
D) 48% E) 51? 
Resolución 
 
61 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden el menor valor entero de x: x menor Z. Resolución 
Dato: mí£ > 60% 
Por ángulo inscrito (« DRI) 
20+40%-0 
ES 
0 
x==+20% , 0) 
 
Del dato: 6 > 609 
Nos piden x. 
Ahora le damos la forma de (1) 2 
Dato: la mAL toma el menor valor entero. 
z > 300 (Sea mAL = 6) 
2 = 
Del gráfico, las prolongaciones de AB y L5 se in- 
Sumamos 209 tersecan, 
8 De lo cual 6 >49%— + 20% > 509 
2 => 6 menor Z=50* 
x> 500 Por ángulo interior (< ATL) 
52%45(09 
xmenor Z=51]0 A 
_Cuve (E) + sn 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 64 
Del gráfico, la mMR=4 (min) y 5L=3. Calcule el 
valor entero de LP, 
PROBLEMA N.” 63 
Según el gráfico, la mBS =492 y la mBK =520. 
Sila mAÁL toma el menor valor entero, calcule x, 
 
A) 489 B) 499 Cc) 509 A) 1 B) 2 Cc) 3 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
 
 
Nos piden LP=x (valor entero). 
Dato: mMR=4 (mMN) 
5ea mMN = a 
— mMR= 40 
Por ángulo inscrito (« MPR) 
ma MPR== =20 
Por ángulo central (« NSiM) 
max NSM=« 
Por sugerencia en el ALSP se traza 
LT tal que LT=5T 
ATLP: LT=LP=x y ASTL: ST=TL=x 
ASTL: teorema de la existencia 
3<x+x 
1,5<x (1) 
ASLP: como a.< 20t 
> x<3 (11) 
De (1) y (11) 
— 15<x<3 
x=2 
_ CLAVE (B) 
PROBLEMA N.? 65 
Del gráfico, la mLS =80%, Sio.toma su mayor va- 
lor entero, calcule x, 
 
A] 36930' B) 37%30' C) 38%30' 
D) 39930' E) 402 
Resolución 
 
Nos piden x. 
Datos: dt torna su mayor valor entero: (£ mayor £ 
mLS =809 
63 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Por ángulo inscrito (« LTS) Nos piden x. 
maLTs==-=40%= mxLQas Dato: 
ATRS: se sabe que 01<409, mED = mDR =mR5 = 6) 
=> QGimayor ¿=399 En la semicircunferencia 
Teorema adicional: 4 ] 0+0+0+mAE +mN5 = 1809 
———— 
¿004390 >= 
2 
Ó-— o AG 30+90"=180 
_Cuve(D) > 0-30 
Por ángulo exterior (<< AIN) 
PROBLEMA N.? 66 Igg0—3pa 
Del gráfico, mED=mDR =mRS y 1 A 
mAE+mNS = 90%. Calcule x. 
 
 
x=75* 
_ CLAVE (E) 
PROBLEMA N.”? 67 
Del gráfico, máN E 3(mA1). Calcule mán. 
mRZ 
Aj 60% B) 71" Cc) 729 
D) 742 E) 759 
Resolución 
 
A) 2 B) 3/2 Cc) 3 
D) 1 E) 4/3 
 
64 
 
o CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
AÑ 
mRZ y 
Nos piden 
Dato: mAN =3(mAI) 
x=3(mhl) + mál== 
En la €, por ángulo inscrito (« RACZ) 
m«rcz=2 
2 
En la €, por ángulo exterior (xACN) 
_Ciave (B) 
PROBLEMA N.” 68 
En una circunferencia se trazan las cuerdas AD; 
BE y CF que se intersecan en K, tal que 
mx AKF=m=<DKE; mAF =3[mDE) y la 
mAB-múD = 500, 
Calcule la mDE. 
A) 502 B) 459 Cc) 409 
D) 259 E) 209 
Resolución 
 
Nos piden la mDE =0. 
Datos: mAF = 3(mDE£) —= mAF =30 
m«< AKF=m=< DKE=8 y mAB=múD = 50% 
Por ángulo interior (« AKF) 
_ mCD+30: 
2 
9 (0) 
Por ángulo interior («AKB) 
a mÁAB+0. (11) 
2 
 ll 
igualando (1) y (11) 
MED +30: =mAB +0 
20,=mAB-mCD 
¿a1=50" 
a=25* 
_ CLAVE (D) 
65 
 
LUMBRERAS EDITORES qa 
 
PROBLEMA N.” 69 Por ángulo exterior («< APB) 
En una circunferencia de diámetro AB se trazan 180%-(180 2) 
las secantes PKA; PSB y 2lmAK) =3[m8S). La 2 
m<KPS 2 
Calcule Sil 5 
més 2x=180*-180%+ = 
A) 3/2 B) 2 C) 5/4 eS 
o 4 
D) 5/3 E) 4/3 CLAVE 
Resolución 
PROBLEMA N.” 70 
Del gráfico, la mBAD+mÉSC > 200%. Calcule el 
menor valor entero de x. 
 Nos piden msckPS ; 
mes 
== A) 199 B) 20% C) 219 Sea ma KPS=x a MBS=0L ) ) ) 
D) 22 E) 230 
Dato: 2[mAK)=3(mB5) 
Resolución 
2(mák)=3(0) 
> mAK=“a 
2 
En la semicircunferencia 
— 301 Sal 
mks =180%-01 ==? =180%-=> 
 
66 
 
o cccicmcncricna IRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Nos piden el menor valor entero de x: x menor Z. 
Dato: mBAD+mL5C > 2009 
Sea mBAD=0: y misC=0 
=> 01+B>200 (1) 
Por ángulo inscrito (4 B5D A <LAC) 
m«uBSsD=a/2 
ma LAC=0/2 
o 8 
ÚS: —+==2x+3x 
2 2 
a+08=10x 
Reemplazando en (1) 
10x > 200% 
x>20" 
xmenor ¿=210% 
_Clave 
PROBLEMA N.* 71 
Del gráfico, la mDS = 402 yla mCA =600. 
A, 
mOR 
Calcule —=.. 
mKaA 
A) 5/3 B) 6/7 
D) 5/6 
C) 6/4 
E) 3/5 
Resolución 
 
Nos piden HS, 
mX4 
En la €, por ángulo interior: 
x+609 
909= —=x=1209 
En la €, por ángulo interior 
_40%+y 
gp. => y=1402 
<= 
lx
 
—
3
|
m
 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 72 
En una circunferencia se trazan las cuerdas AB 
y CD congruentes, tal que AB//TD y mAB > 1009 
(A; B y Cse ubican en ese orden). Calcule el ma- 
yor valor entero de la mAD. 
A) 77? 
D) 800 
B) 789 C) 799 
E) 81? 
67 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
A aL 
*x AB 
NOS, a E 
Nos piden el mayor valor entero de 
la mAD: x mayor £. 
Como AB=CD, entonces mAB=mCD=u 
y del dato AB//TD, entonces mBC =mAD=x. 
En la circunferencia 
xX+O0+x+0=360% 
201=360%-— 2x 
=> qa=180*=x (1) 
Del último dato 
mAB > 1009 
> 1009 (11) 
Luego de (l) en (11) 
=> 180*-x>100% 
80% >x 
x mayor Z=79% 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.? 73 
Se tienen dos circunferencias F, y F, exterio- 
res, cuyos centros son 0, y O, respectivamen- 
te. Se ubica P € E), el «PO,0, es agudo, los 
68 
€ 
radios de €, y %, son 4 y 3, respectivamente, 
y 0,0, toma el menor valor entero. Calcule el 
mayor valor entero de PO,. 
A) 10 B) 9 Cc) 8 
D)7 E) 6 
Resolución 
 
Nos piden el mayor valor entero de PO,: 
x mayor 2. 
Del dato de dos circunferencias exteriores 
0,0,>7 y como 0,0, 
toma el menor valor entero 
=> 0,0,=8 
Pero del gráfico 7+(=8 
=> (=1 
AP0O¡0): teorema de la existencia 
8-4<x< 448 
4<x<12 (1) 
y como del dato 
m«P0,0,<90 
> x< 448? 
x< 445 (11) 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
De las relaciones (1) y (11) 
4<x< 4/5 
4<x<38,92 
x mayor Z¿=8 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 74 
En una circunferencia se trazan las cuerdas AS 
y LB que no se intersecan (4; 5 y L se encuen- 
tran en ese orden). Si AS=1B; mAS=4(mS5L) y 
la mAB> 100, calcule el mayor valor entero de 
la mSL. 
A] 29" B) 28* cr 279 
Dj 26* Ej 259 
Resolución 
58 t 
46 
36 
A 
rd B 
Nos piden el mayor valor entero de la mSL: 
8 mayor £. 
Dato: mAs = 4(m5L) si ms == más= 40 
Como AS=1B -> mAB=mLB=48 
En € 40+0+40+ mAB= 3609 
mAB = 360%-90 
Pero como el último dato mAB > 1009 
= 360%-90>100* 
260%>90 
B<28,8% 
O mayor Z=280 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 75 
Del gráfico, L y 5 son puntos de tangencia, la 
miN =7(m<MAS),lam< LAM=2(m=x MAS) =2x 
y la mMMS > 40%. Calcule el máximo valor entero 
 
de x. 
A) 212 B) 222 cr 23% 
D) 24% E) 25% 
Resolución 
 
69 
 
LUMBRERAS EDITORES 
e A e A A O e 
Nos piden el máximo valor entero de x: x máx Z.. 
Par ángulo exterior («LAN) 
miN=miM 
mxLAN = 
2 
7 = TAN ——, 
2x = — EM ami =3% 
Por teorema en una circunferencia. 
3x+3x+ mMS = 1809 
mMS = 180%-6x (1) 
Del último dato 
mMS > 409 (11) 
De (1) en (11) 
180%—6x>409 
140% > Ex 
=> 1<23,3% 
xmáx =230 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.” 76 
Del gráfico, LB=5C; mAB=mCD y la mAL= 490, 
Calcule la m5D. 
A) 51% 
D) 489 
B) 509 C) 47* 
Ej 499 
70 
Resolución 
 
Nos piden la mSD=x. 
Datos: LB=5C=1 A mAB=mCD=0 
=> mLAB=mSDC [por teorema) 
0+49%=x+8 
x=490 
_Ctave (E) 
PROBLEMA N.? 77 
Del gráfico, AM=NB y la mML= 490, Calcule la 
miN. 
 
 
A) 499 
D) 509 
B) 489 C) 470 
E) 510 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
 
 
 
Nos piden la miN=x. 
Dato: AM=NB=ua 
Luego AN=MB y como las circunferencias son 
congruentes, entonces las distancias de O, y O, 
a BA son iguales. 
Por teorema LP 1 0,0, y mMS =mNR 
además x+mNR =mMS+ 490 
x=49* 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 78 
Del gráfico, se muestran dos circunferencias or- 
togonales, calcule la mx ARN si A y N son puntos 
de tangencia. 
 
A) 1322 B) 1359 
D) 1442 E) 150% 
C) 139" 
Resolución 
 
Nos piden la mx ARN=x. 
Se sabe que la mx ABN=45" (é, y €) son orto- 
gonales). 
AARN: aplicamos el teorema fundamental 
x+0+0=1800 (1) 
Por ángulo semiinscrito (<= BAN) 
maña PERTLO 
Por ángulo semiinscrito (m-= BMNA) 
BLR+20 
a ERA 
2 
Sumando 
maga Nm ena DEA t me A+ 2(010 
BSR +mBLR+ 1350 MASA +m Z 2(0+0) yy 
Pero se sabe que la mBLR +mBSR = 1809 
en (11): 270%=180%+2(0 +6) 
0+8=45% 
en (1); x+45"=180* 
x=1359 
71 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Otra forma Resolución 
 
Nos piden la m< ARN=x. 
Por teorema 
DAL AN a ON LNA 
Por teorema de paralelas: 
x=0+0 
Como €, A €) son ortogonales 
=> m<0,RO,=90% 
En R: x+40+90%+(9=360% 
x+x+90%=3600 
2x=2700 
x=1350 
_ CLAVEPROBLEMA N.” 79 
Del gráfico se muestran dos circunferencias ortogo- 
nales y O,D=8(U0,)=8. Calcule uno de los radios. 
A) 6 
B) 8 
Cc) 10 a 
D) 12 
E) 13 W 
72 
Nos piden uno de los radios (r o R). 
Como las €, y *, son ortogonales 
=> m=x0,T0,=90% 
Es. 0, TO): teorema de Pitágoras 
((+1)2+(0+8)%=(0+9)? 
(42041404160 +64=0%+18Ú+81 
(*=16 
=> [=4 
De lo cualr=5 A R=12 
R=12 
_Cuave (D) 
PROBLEMA N.” 80 
En un rombo A8CD se encuentra inscrita una cir- 
cunferencia de centro O (N; R; H; | son puntos 
de tangencia en los lados AB; BC; CD; DA, res- 
pectivamente). Luego se trazan BO y CO las cua- 
les intersecan a la Pen L y 5, respectivamente, 
NS y LH=1K). Calcule la m-< NKL. 
A) 319 
D) 450 
B) 539 C):379 
E) 60* 
 
ú CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
Primero dibujamos, tal como nos indica en el 
enunciado. 
 
 
Nos piden la m < NKL=x. 
Como ABCD es un rombo, se sabe que BO y CO 
son bisectrices y la m< BOC=90%, también po- 
demos decir que mL =mLA =dt; mR5=mSH=0B). 
Del LAS 
a+0=90". 
En la Faplicamos el ángulo interior (< NKL). 
_a+B 
2 
 
x=45" 
_Cuave 
PROBLEMA N.” 81 
Del gráfico, L; U; | son puntos de tangencia y 
r=16. Calcule el perímetro de la región triangu- 
lar 0,0,03. 
A] 8 B) 12 C) 16 
D) 32 E) 36 
Resolución 
 
Nos piden 2P4010303' 
De la 4, 4 €, se sabe que Oy, O, y U son coli- 
neales. 
De la €) a €, se sabe que Oy, O, y L son colineales. 
De la €, A €, se sabe que O,, ! y O, son colineales. 
73 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Ahora en el A0,0,0y 
2pa0,0,03 9+b+16-b+16-a 
2P40105 03732 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.”? 82 
Del gráfico $, A, N, D, l, R son puntos de tangen- 
cía. Calcule x. 
 
 
A) 30%—a B) a C) 45%-a 
D) 20 E) 45%-2a 
Resolución 
 
 
 
5 M N OR 
74 
Nos piden x, 
Por ángulo inscrito (<= ATS) 
más =20 
Por teorema en la *,. 
MXAAMN= 20 
En el Es MPN 
m « MNP=90%-20 
Por teorema en la %). 
mAl =90%-20 
Por ángulo inscrito (« /QR) 
E 30-20 
2 
x=45%-c 
 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.? 83 
Del gráfico, L; 5 y K son puntos de tangencia y la 
mÉs lo mSk _m<LTK 
2 3 4 
Calcule la msK. 
 
L 
A) 882 
D) 1209 
B) 909 C) 100% 
E) 1509 
 
a CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
 
Nos piden la mSK. 
Dato: _ ” 
m£S _—mS5K_mxLTK _ 
2 3 4 
> mLS=20; m5K=30 y m<LTK=40 
 6 
Se sabe que 0,, $ y 0, son colineales. 
Por teorema en €, y €) 
OL LIT an OK LTK. 
AALTKO,0;: teorema de las medidas angulares 
90%+40+90%+30+20=5409 
98=540*-180* 
909=360% —= (=400 
mSK =120% 
Otra forma 
 
Nos piden la mSK, 
Dato: 
mis _ mSK _MaLTK 
2 3 4 
0 
Se traza la P tangente a la %, A F), en el punto 
de tangencia 5. 
Por teorema en la %, y *. 
m=<TMS=miS=28 
m<RPT =mSK =30 
¡APMT: teorema fundamental 
20+40+30=360* 
98=360* 
8=400 
mSK=1200 
_ CLAVE (D) 
PROBLEMA N.” 84 
Del gráfico, 2(m£L)=mDU y la mVR=mAG <490. 
Calcule el mayor valor entero de la mDU. 
A) 94" 
D) 97 
B) 95* Cc) 36? 
E) 980 
75 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
A) 1350 B) 1360 C) 1370 
Nos piden el mayor valor entero de la mDU: D) 138% E) 1399 
mDU mayor £. 
Resolución 
Sea mEl = a, entonces del dato mDU 2: 
: : -20.+ 
|: <interior m< ETl= Ao 
U+x 
 €): interior mx ETL= 
 
igualando 
20+y=00+X 
U=x=y Nos piden el mayor valor entero de x: x mayor £. 
E Sea mx ABC= 
Como del dato la mVR—mAG < 49% dl ' 
Dato: y <48% 
x—y<d4g0 e 
AABCT: x=00+y+0 | 
o< 499 E 0 
0% FABCO es inscrito: 20:+28=1800 
Multiplicando por 2 
20,<980 > 0+0=90 
Pa En (1) x=90%+wy 
mDU mayor ¿=97 > y=x-909 
CLAVE (D) Ahora en el dato 
> x—90%<480 
x<138* 
PROBLEMA N.” 85 
x mayor ¿=137" 
Del gráfico, la mx ABC<48*. Calcule el mayor 
valor entero de x. _CLAVE (0) 
76 
 
Wu CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
PROBLEMA N.” 86 PROBLEMA N.” 87 
Del gráfico, B y C son puntos de tangencia y la Del gráfico, DN=3 u, calcule la suma de valores 
mé Nix. Calcule x: enteros que puede tomar AD, 
 
Aj 6 Bj) 10 Cc) 15 
D) 14 E) 12 
A) 50* B) 54* C)j 56" 
Resolución 
D) 60% E) 64% 
Resolución 
 
 
Nos piden la suma de los valores enteros que 
puede tomar 4D: 5,. 
El CAARÍN es inscrito en la *. 
 
= m«<xNAB=m=x RIN =ct Nos piden x. 
El CAADRN es inscrito en la €. ADNA: se nota que DN=NA=3 
> m<DAN=x Aplicando existencia en el ADAN 
== 3-3<x<34+3 
En la 4: mBC=2x (por < inscrito) E 
Por teorema en la Y > x=1:2:3;4:5 
x+2x=180% 5,=1+243+4+5 
*=600 z S=15 
_Cuave (D) _CLAVE (0) 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 88 
Del gráfico, 1+y<132*. Calcule el menor valor 
entero de la (msR + mKR). 
 
A) 920 B) 97 C) 940 
D) 959 E] 93% 
Resolución 
 
Nos piden el menor valor entero de la 
(mSA +mKR): (x+y) menor Z. 
Se trazan LR; LS y LK. 
El CAABLK es inscrito en la *;. 
=> mxcCiK=a 
El ASLCO es inscrito en la %,, 
=> m«BLS=y 
78 
pr 
En L: men Len E 
2 2 
máxir= AR Y 
2 2 
Ahora ay =1800 (0) 
Del dato (1+y<132* 
En (1) E se 
2 
x+y>960 
(x+y) menor Z=97* 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.? 89 
En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una 
circunferencia * de centro M, m<ABC=900; 
mx BCD=74*, el radio de Fes 12; CD>MC y CD 
toma el menor valor entero par, Calcule 48-AD, 
A] 4 B) 5 Cc) 6 
Dj) 7 E) 8 
Resolución 
 
W CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Nos piden (AB-AD). Resolución 
El ts. BTM es notable de 45”. 
=> BT=TM=12 
El Es. CTM es notable de 37? a 53%. 
=> TC=4x4=16; CM=5x4=20 
Como del dato CD>MC 
 
ED>20 
=> CD=22 (menor valor entero par) Nos piden x. Us 
Se traza la cuerda común NC. 
En la €, por ángulo inscrito (<NZI; <NCI): 
AB+CD=BC+AD m-<NZI=m < NCI=0 
En la €, el CAANCR es inscrito. 
=> m-=XRÁN=m < NCI=0 
En el (A4B8CD aplicamos teorema de Henri Pitot. 
AB+22=28+AD 
AB-AD=6 Ahora como la m < PAN=m < NZI=0. 
CLAVE e El CAANZP es inscriptible. 
x=370" 
Otra forma 
PROBLEMA N.” 90 
Del gráfico, calcule x. 
 
Nos piden x, 
Se prolonga AN hasta $ (Se %,). 
Por teorema en E, A €: AR//S1 —= maxzZiS=x 
El (ANSIZ es inscrito en %,. 
 
A] 60* B) 622 C) 68% 2 x=709
 
D) 709 E) 722 
CLAVE (D) 
79 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 91 
Del gráfico, calcule x. 
 
 
 
 
 
 
3x 
2x : 
A) 18? B) 36% C) 440 
D) 54% El 729 
Resolución 
e 
1 E E E 
PR EN 
A F : 3x 
22 A ( a 
E 
P Z C B 
Nos piden x. 
De la 4, A F,, por teorema se sabe que 
AF//RZ 
De la F, A F,, por teorema se sabe que 
RZ//N8 
Entonces podemos decir que AF//NB y luego 
por teorema de las paralelas 
2x+3x=180" 
5x=1800 
x=36* 
_CLAVE 
80 
PROBLEMA N.* 92 
Del gráfico, calcule x. 
 
 
A Mx___HC 
A) 429 B) 440 C) 46% 
D) 482 Ej 50% 
Resolución 
 
 
Nos piden x. 
Se traza 
NM (Por teorema en la % m < NMC=900). 
Por ángulo inscrito 
m < MNC=m < MSC=0. 
Como la mx 4BN=m<NMC=90*%, entonces el 
CXABNM es inscriptible. 
= m=<BAC=m=<MNC=0 
Ahora como la m 4 LAM=m <= MSC=0 
Entonces el CAALSM es inscriptible. 
x=489* 
_ CLAVE (D) 
 
a o CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
PROBLEMA N.? 93 
Del gráfico, la mCLZ = 2(m<ANZ) y la mic =160, 
Calcule la m <ANR, 
 
 
A) 16% B) 121 C) 8? 
D) 6* E) 4% 
Resolución 
 
 
Nos piden la m <ANR=x. 
Dato: mCLZ7=2mxAÁNZ, 
Sea la m< 4NZ=0 
—> méLZ =20 
; | p 28 
En la *, por ángulo inscrito (<C1Z):m<Ciz =S 
Se trazan AR a CP 
Se observa que el (AARCP es inscrito en la F,. 
> mx RAP=m«“PCl=0a 
En la €): mx PCI=m=< PZ!=0 
Ahora podemos ver que 
AR//ZI y como 
m<ANI=m < RIN=0 
Entonces el CJARIN es trapecio isósceles (ins- 
criptible) 
x=m-< CIL 
x=8" 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.? 94 
Del gráfico, ABCD es un paralelogramo. Calcule 
x/y. 
 
 
A] 2 B) 1 Cc) 1/2 
DJ) 3/2 Ej 4/3 
Resolución 
Nos piden x/y. 
Del gráfico vemos que la m « BAO=459 
3 m«BCD=45",; (teorema del paralelogramo) 
m-«BLD=m«< CDL=459 
81 
 
LUMBRERAS EDITORES cc 
 
A) 132 Bj) 22% Cc) 23* 
D) 26* Ej 33% 
ResoluciónA o D L 
Como la m x BCD=m « BLD=459 
entonces el CABCLD es inscriptible 
y se cumplirá que la m <BDC=x+y. 
Por ángulo inscrito (< BL5) 
mBS = 2(x) 
Por ángulo central (x BOS) 
 
m-<BO5=2x 
Podemos ver que el ¿ABKDO es inscriptible. 
=> 2x=xX+y, x= Nos piden x. 
ea Dato: DY=3[YK). 
y 
_ CLAVE (6) Sea YK=l — DY=30. 
Del hexágono regular SANDIR, se sabe que la 
PROBLEMA N.? 95 m-
<NDI=120%; m <= DN/=30* 
Del gráfico, SANDIR y DIAK son polígonos regu- Entonces Ñ; Te / son colineales. 
entonces el (A DYIT es inscriptible 
ylamxTYl=m< TDI=x. 
El ta. YD! es notable en 37% a 530, 
30%+x=53* 
x=¿23" 
 
_Cuave (E) 
82 
 
o o CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
NIVEL AVANZADO De mvi40 
4<x<B 
PROBLEMA N.? 96 xmenorZ=5 A xmayor Z=7 
Del gráfico, OU=3; US=2 y el <LUO es agudo. 
Calcule la suma del menor y mayor valor entero + *Xmenor 4 +x menor Z=12 
de LU. 
_Cuave 
L 
PROBLEMA N.* 97 
5 En una circunferencia se trazan las cuerdas TB 
y TA, luego se ubica L en TB; tal que TL=TA y 
mAT 
A) 9 B) 10 c) 11 7 +2 m<TLA)=1208. 
D) 12 E) 13 Calcule el menor valor entero de la mx TLA. 
Resolución 
A) 409 B) 410 C) 429 
E D) 430 E) 440 
Resolución 
5 
Nos piden x menor 2 +x mayor Z. 
AOLU: aplicamos el teorema de la existencia 
5-3<x<54+43 
2<x<B (1) 
Como mx LUO<90* (por dato) 
—. 53 4? 
 
25<94+1 Nos piden el menor valor entero de la mx TLA: 
16<xr x menor Z. 
4<x (11) Sea la mAT =0 
83 
 
LUMBRERAS EDITORES 
HE. 
En el dato 22 +2(maTia) = 1201 
Luego 
+2 =1209 
BD+4x=240% 
> B=240%-4x (1) 
Se traza AB, por ángulo inscrito (< TBA). 
MÁTBA=2 
2 
En el A LAB: x> (11) 
Reemplazando (1) en (11) 
240% -—4 x 
á 2 
x 
2x>240%-4x — 6x>40% 
x>400 
x menor Z=41% 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.*? 98 
En una circunferencia se ubican los puntos A; N; 
l: D tal que AIMDN=(R), RA=AN=S, RN=6 y la 
mÁN = 3(mD1). Calcule la mD!. 
530 A) 160 3) + C) 180 
p ¿2 E) 140 
2 
84 
Resolución 
 
Nos piden la mDI=0, 
Dato: mAN = 3(mDr) 
=> mAN=30 
Por ángulo interior (x< ARN) 
mear 2 20 
En el ARAN se traza la altura AH. 
—+ RH=HN=3 
El Es. AHN es notable de 37” a 530, 
mxARN=539 => 20=53" 
539 ga 
2 
_ CLAVE 
PROBLEMA N.* 99 
Según el gráfico, £ es punto de tangencia y la 
mKIE = 3(m7H) =30. Calcule la mR/A. 
A) 0/2 
8) 0 
Cc) 28 
D) 38/2 
E) 30 
 
al CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UMA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
360 
E 
68 
 K 
 
 
e, 
Nos piden la MRIA=x. 
Del dato: mk/£ =3[mTH)=30 
— m7H=8 
De la €, por ángulo semiinscrito 
mx REA= > 
De la €, por ángulo interior (< REA) 
+0 m«REA= 2" 
2 
igualando 
20 At — JB8=x+B 
2 2 
x=20 
pa 
PROBLEMA N.” 100 
Del gráfico, la mAB=840 y la mM = 4 (m<-ASB). 
Calcule la mx ALB. 
A) 379 
B) 399 
Cc) 40% 
D) 422 
E) 449 
 
Resolución 
 
Nos piden la mx ALB=x. 
Dato: mNiM = 4(m<ASB) 
5ea miASB=( 
> mNM=4a 
Por ángulo inscrito (< MAN y <MBN) 
Ao 
m-< MAN=m= NBmM= > 20 
Por ángulo inscrito (1 ANB) 
349 
ms ANB = 3 =42" 
Del AASN: teorema del < exterior 
a+20=420 
> 30=42* 
a1=140 
Por ángulo interior («< ATB) 
o D 
midip e = 700 
1494700 
Teorema x= ——— 
x=420 
_ CLAVE 
85 
 
 
 
A E Mi 
PROBLEMA N.”? 101 Dividiendo entre 2 
Del gráfico, la mAB=2ÍmLS) y MK>MB. Si la aso > Y 
m=< MKB toma su mayor valor entero, calcule x. 0 + 
3 mayorz” e" 
A) 88" 
B) 890 Por ángulo interior 
c) 909 y 29+0_30 
D) 1309 E 
E) 132% x=3x440 . 
x=132* 
_Cuave (E) 
Resolución 
PROBLEMA N.? 102 
Del gráfico, la mAK =3(mNI)= 30. 
Calcule la mATK —mRE. 
 Nos piden x. Datos: mAB = 2(mis) A) a D) 2,50 
MK > MB 
Sea la miS=09 => mAB =20 Resolución 
Por ángulo exterior («< AKB) 
mit Axe=29-8 =- 9 
2 2 
Como el dato ¡MK > MB 
En el Es, BMK podemos plantear 
90-99 — 90%>0 
2 2 
 
86 
 
y CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Nos piden la mATK —MmBRE. 
Dato: mAK = 3(mNI) =3a0 
> mAK=30 » mN/=a 
En la €, por ángulo interior 
MmATK +0 
2 
En la €) por ángulo interior 
=0 
MRE +3a a A 
igualando 
MATK +0: =mRE +30: 
mATK =mRE =20 
6 
_ CLAVE (C) 
PROBLEMA N.” 103 
Del gráfico, la mDU—mAL < 16%, Calcule el ma- 
yor valor entero de la mMR. 
 
 
 
 
 
A) 140 
8) 159 
C) 169 
D) 179 
E) 189 
Nos piden el mayor valor entero de la miMIR: 
x mayor £. 
Dato: mDÚ-=mAL < 162 
seamDU=0 A mAL=08 
=> a-8<16* (1) 
En la €, por ángulo inscrito (< UGD) 
mxUuGD= (11) 
2 
En la €, por ángulo interior (« AGL) 
meñci=*+8 (111) 
Como (11) =(111) 
x+0 ( 
—m=-— 
2 2 
x+8=0 
x=0a—0 
En (1). x<16? 
x mayor ¿=15* 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.? 104 
En una circunferencia desde un punto exterior 
P se trazan las secantes PAB y PCD, tal que la 
2Ím8D)=32(mac), luego se traza AS(S e PC), 
de tal forma que la mx ASP=3(m= APS). Si 
 
AC 
AS=11 y la measap=25, calcule PA. 
A) 11 B) 15 O) 18 
D) 22 E) 25 
87 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
 
 
A) 140 B) 152 C) 16* 
Nos piden calcular PA=x. 
D) 17* E) 189 
Datos: 2(má8D) = 3[mAC ) 
Resolución 
Sea la mAC =2a > mBD= 30 
AC_2 
y la masap=TEE 2 + masa =0 
Por ángulo exterior («< BPD) 
masro=222 . 2 
2 2 
 
y la m< ASP=3= (Dato) 
 
ASAP a+ 22 - 18p0 _ 
2 2 Nos piden el mayor valor entero de la mEf: 
x mayor £. t
w
i
t
t
e
r
.
c
o
m
/
c
a
l
a
p
e
n
s
h
k
o
 
e =180% = a=60* 
Dato: 
El En ASP es notable de 30% a 60% E e 
mCD=2[mEF)=2x 
 
az Por ángulo exterior (< ASG) 
CLAVE — 
== máG-2x 
1 = ——_— 11) 
2 
PROBLEMA N.? 105 Por ángulo exterior (< AKB) 
Del gráfico, la mCD=2[mEF)ymAG-mAB <160, MmAB=x 0 
= a = 
Calcule el mayor valor entero de la méF. 2 
88 
 
ai CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERE NCIA 
Como (1)=(11): mAG-2x=mAB-=x 
mAG -mAB =x 
Del dato 
mAG=mAB < 16% 
x< 162 
x mayor Z=15" 
_ CLAVE (B) 
PROBLEMA N.” 106 
Del gráfico, la m<5RI=3( m< ADN) y la 
ms/+ mÁN =160*. Calcule la m<sRI. 
Jo 
IV 
Resolución 
 
Nos piden la m< SA]. 
Dato: m-<5R/=3(m-=x ADN) 
Sea mi ADN=x 
—> mXsAl=3x 
€: Por ángulo inscrito mAN=2x 
Por ángulo interior 
3x = A = m7! = 4x 
€.,: Por ángulo inscrito m5] =2(3x)= 6x 
Del otro dato 
mSI+mAN =160% 
6x+2x=160% 
x=20% 
m-<5RI=60% 
PROBLEMA N.* 107 
Del gráfico, SK=LK, Calcule x+40x, 
 
A) 280% 8) 2609 C) 2709 
D) 335* E) 3602 
89 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
Nos piden x+ 401. 
En la €, por ángulo central (< ROS) 
mRS=x 
En la 4) por ángulo inscrito (< RP5) 
m«< RPS=m« LKS=x/2 
ASKL: a+ a+ =1800 
40+x=360% 
_Ciave (E) 
PROBLEMA N.? 108 
Del gráfico, AB y CD forman un ángulo cuya 
medida es 60%; AB=CD y el perimetro de la re- 
gión triangular SOL es 16(2 + 3 ) cm. Calcule £5, 
 
A) 1642 cm B) 16cm cl] 164/5 cm 
D) 1643 cm E) 8/3 cm 
Resolución 
 
Nos piden L5. 
AATSOL: 
m- 5OL+60* +180*=3609 
mx 5OL=120% 
Como del dato 
AB=CD => 05=0L=( 
ASOL: sL=043 
Del otro dato (perímetro de la región triangular) 
0+6+04/3 =16(2+/3) 
0(2+/3)=16(2+,/3) 
(=16 
SL=1643 cm 
_Cuave (D) 
 
E CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
PAR 
PROBLEMA N.? 109 
Del gráfico, OM>ON, entonces qué se puede 
decir de CD y AB. 
 
A) DC<AB 
B) falta una condición más 
C) DC=AB 
D) DC>AB 
E) pc=*8 
2 
Resolución 
 
Analizando las condiciones dadas, 
por teorema AM=MB=x; DN =NC=y 
EOMB A EONC. 
Aplicando el teorema de Pitágoras 
2 y Y 2 Y eL) - +(3) (2) = “+ 0 
Como del dato OM >0N 
o>b 
=> at>b (11) 
Sumando (1) ». (11) 
2 2 
A 
4 4 
y> 
> y>x 
DC>AB 
_CLAvE 
PROBLEMA N.? 110 
Del gráfico, la mBC = 100%; mAL =mLC; 
mAT =m?TN y A; B; C son puntos de tangencia. 
Calcule x. 
 
 
A) 50* 
D) 65* 
B) 60% C) 62* 
E) 680 
91 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
 
Nos piden x. 
Datos: mAL =mLC=u 
mBC = 1008, por teorema 
mCN =100* 
En la %,: mATN = 360% (10094201) 
MATN =260*-2a 
Como del dato 
— 26020 
mAT =m7N= =130*-0a 
Por angulo inscrito (< TLC) 
130"-a+a 
A 
x=65* 
_ Crave (D) 
92 
mn” 
PROBLEMA N.” 111 
Del gráfico,T es punto de tangencia y la 
m78=4(mLD)= 4, Calcule x. 
A) 3,50 r 
B) 20 SA 
C) 2,50 ES 
DJ 30 
E) 1,50. AY , 
Resolución 
 
Nos piden x. 
Dato: m7B =4 (m£o) = 40 
> miD=a 
Por teoremaen %, A %, 
mT7A =m7B = 40: 
En la %, por ángulo interior (<75A4) 
 
40+0 Sa 
X= = — 
2 2 
x=2,50 
_Cuave (€) 
 
PROBLEMA N.? 112 
Del gráfico, T; K y E son puntos de tangencia. 
Calcule y=x. 
E 
 
 
A) 60* B) 759 C) 909 
D) 120% E) 150% 
Resolución 
Nos piden y—x. 
Ss 
 
 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Del gráfico, sea la m <BAC=0 A m=<xBCA=0 
Del AABC, por teorema fundamental 
0+0+y=180" 0) 
Por ángulo inscrito («< KEQ A < PTK) 
| mx KEQ=0 am«<PTK=a 
JA TSEK: x+0.+8=909 (11) 
(por teorema de dos circunferencias tangentes 
exteriores mx TKE=909) 
De (1)—(11) 
a+0+y-x-a-8=180%-900 
y-x=90* 
Otra forma 
 
 
Nos piden y—x, 
Sea la m<APT=4 a m<EQC=00. 
¡APSOB: x+4+0=y 
=> Y-x=0+0 (1) 
93 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Por teorema de dos circunferencias tangentes 
exteriores la m < TKE=900, 
Por ángulo inscrito (x AKT A < CKE) 
m«AKT = > = 4) 
2 
mckE === 
En K: $++90%=1800 
=> 4+w=900 
Ahora en (1) 
y-x=30* 
_ CLAVE (0) 
PROBLEMA N.?* 113 
Del gráfico, L; K y $ son puntos de tangencia, 
L[M=MS5=3 y la mNK =60*, Calcule y—x. 
 
A) 43 
D) 2/3 
B) 442 Cc) 3/2 
E) 343 
94 
Resolución 
 
Nos piden y—x. 
Por teorema en la %, a €). 
mKT =mNK =60% 
Por teorema en la €, a €;, la m< LK5=90". 
23 KM=M5S=LM=3 
En la €, por teorema 
m7S =mTK =60% 
Por ángulo central («< TO,5) 
m-<TO,5=60% 
El Es. M50, es notable de 30% y 60% 
x=4/3 
En la €, por teorema 
mÍQ=m0K 
Como ya se sabe la mLQK +mKT5 =1800 
=> mLQK = 60? 
 
" CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Por ángulo central («LO,Q) 
m E L0,Q=30% 
El Es O,LM es notable de 30* y 60% 
y=343 
y-x=2v3 
_cuave (D) 
PROBLEMA N.? 114 
Del gráfico, L y K son puntos de tangencia y 
OK=K5. Calcule la mLsN. 
 
A] 82 B) 387” Cc) 97* 
D) 102% E) 120" 
Resolución 
 
Nos piden la min. 
Del gráfico podemos decir que 
miSN =mlS+mSN (1) 
Es OKO,: por teorema de Pitágoras 
P+0=(20rP 
P+ió=at+ralr 
atr=3 > [22 
Da 
Con esta relación la m «< KOO, =37* 
=> mLS=370 (por ángulo central) 
Se traza NO. 
ElELOKN es notable de 309 y 602, 
m << KON =60%=m3SN 
En (1) 
m£SN =379+609 
mLSN =970 
Otra forma 
 
95 
 
LUMBRERAS EDITORES 7 
Nos piden la músN. 
Del gráfico podemos decir que mi5N =múS +mSN (1) 
Por teorema de dos circunferencias tangentes interiores al prolongar LK interseca en su punto medio 
T del ANS, 
(máT =mST = 909) 
o o 
El En KOT es notable de = A o , 
127% 90%+mLS - 
Por ángulo interior (< £K5) mxAKT = 3 e TU =3 mls=37" 
Al trazar ON, el OKN es notable de 30% a 600. 
 
 
Por ángulo central (q SON) la mSN =609 
En (1) m£SN = 3794600 
miSN =97* 
_Cuave (€) 
PROBLEMA N.* 115 
Se tienen dos circunferencias secantes €, y *,, en A y B, luego se trazan las cuerdas secantes AS y 
BL (AS BL=(K)); m£S =180%. Si Ke %,, calcule la m< 0,80, (O, es centro de la %, y O, es centro 
de la 4). 
A) 60% B) 75? E]: 90s D) 120? E) 1359 
Resolución 
Primero se dibuja tal como se indica en el 
enunciado del problema. 
Nos piden la m < 0,B0,. 
Sea la mLA=28; mAB=2w A mBS=20, 
Ahora en la €,: 28+20.+20=1800, 
Se traza la cuerda común AB. 
 
96 
 
E CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Por teorema en la %, A €, 
mAL=mkKA =28 
mSB= mKB = 20 
Por ángulo central (< AO,8B) 
m<A0,8=20+20 
Como 0,4=0,B y 
m=40,8+mAB = 1800 
Entonces podemos verificar que 
mAKB+mAB = 180% 
de lo cual se deduce que se trata de dos circun- 
ferencias ortogonales. 
mx 0,80,=90* 
Otra forma 
Primero se dibuja tal como se indica en el enun- 
ciado del problema. 
L 28 
€, 
Nos piden la m< 0,80). 
Por teorema enla F, a F 
mAL=mKA=20 
mSB=mKB =20 
Ahora sea lamAB=20. 
En la €,: 204 20+20=180* 
yen la £): la mAB +mAKB también es 
20+20+20, 
esto quiere decir que la mAB+mAKB=1800, 
con lo cual podemos asegurar que se trata de 
dos circunferencias ortogonales. 
m< 0,B0,=90% 
_ CLAVE (O 
PROBLEMA N.? 116 
Del gráfico, la mBM =mML y la mÉN =mNC. 
Calcule x. 
A) 809 
D) 100% 
B) 900 C) 95 
EJ 1209 
97 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 €, 
 
Nos piden x. 
Datos máM=mML=20: 
míN =mNC=28 
=> m«BAM =m-iMAL= 
m<LDN=m=<xNDC=pB 
Par teorema en %, a %, AB//CD 
> 20+2f$=180%; a1+B=900 
Por teorema de las paralelas 
x=01+P 
x=3900 
_CLAVE 
PROBLEMA N.? 117 
Del gráfico, P y E son puntos de tangencia y la 
mP| =1600. Calcule la m< LRE. 
A) 809 
B) 909 
C) 96% 
D) 1022 
E) 1109 
 
98 
Resolución 
 
Nos piden la mxLRE=x. 
Se trazan RT y PR. 
El TREN es inscrito en la Y. 
3 M«XRTN=mx REL=0 
El (A TRPI es inscrito en la F>. 
=> mx/PR=m=xRTN=0 
Como la m< REL=m=<RPI=8 
entonces el CA PLER es inscriptible. 
x=80" 
_ CLAVE (A) 
PROBLEMA N.” 118 
Del gráfico, la m«< BA5=48*. Calcule la mxLCB. 
A) 46% B 
B) 480 
Cc) 509 
D) 52* 
E) 569 5 
L 
A H € 
 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
 
Resolución 
B 
5 
e 7 
L al 
O 
Á H C 
Nos piden la ma LBC=x. 
Dato: mx B45=489 
Sea mx BCA=0 
Es BHC: mx BHS=0 
El (ALBSH es inscriptible. 
=> mxBLS=0 
Como mx BLS=m=<x ACB=0 
entonces el (ALSCA es inscriptible. 
x=489 
_CLAVE 
PROBLEMA N.” 119 
Del gráfico, la mAB= 48% y BC=CG. Calcule la 
m«ux BGU. 
A) 249 B) 26% C) 28% 
D) 30% E) 329 
Resolución 
 
 
Nos piden la m< 8GU=x. 
El AABCO es inscrito en la € 
=> mxBCG=180*-2a 
Del dato BC=CG, podemos deducir 
> mxcBG=m=CGB=0 
Como mx CBG=m=x CUG=x 
Entonces el FA BCGU es inscriptible. 
De lo cual x=m=x BCU 
Por ángulo inscrito («< BCA) 
= =240 
2 
 m« BCA= 
x=240 
_CLave 
99 
 
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.” 120 
Del gráfico, $; R; l y N son puntos de tangencia. 
Calcule x. Por ángulo interior (<< SEN) 
En la €, por teorema m3N = 1809-40 y mRI =0 
ya MSN +mRI 
2 
9+180%-0 
y 2 
x=390* 
e 
_Cuave (B) 
 
PROBLEMA N.” 121 
A) 889 B) 309 C) 942 az SER 
D) 969 E) 100% Del gráfico, 2m« BLS=mBAD y la mDU= 48". 
Calcule x. 
Resolución 
 
 
A) 229 B) 23% C) 249 
D) 422 E] 48* 
Resolución 
 
Nos piden x. 
El CAABCOD está inscrito en la €,. 
3 m*xABC+m«ADC=1800 
 Sea la mx 4A8C=0, entonces de lo anterior la 
m«< ADC=180*-0. 
 
100 
 
Nos piden x. 
Del dato: mBAD=2m=<bBLS 
Sea mx BLS=a 
— mBAD=2a 
Por ángulo inscrito (« BCD) 
BAD 20 
m«sco=- == =0 
Como CABCD está inscrito en la €, aplicamos 
un teorema 
mx BAD=180" -c 
Se puede ver que en el CLABLS la 
m« BAD+m=x BL5=1800 
Entonces el CAABLS es inscriptible. 
Por lo cual x=m=< UAD. 
Por ángulo inscrito (< UAD) 
Ó 
mxUAD = —= 24P 
x=24* 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 122 
En un triángulo isósceles ABC de base AC se 
ubica £ en la región interior, tal que BL=AC; 
la m<BAL=40* y la maLaCc=30*. Calcule la 
m«< BC. 
Aj) 10% 
D) 15% 
B) 12* Cc) 14% 
E) 16* 
CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 
Resolución 
 
Nos piden la mx LBC=x, 
Se prolonga al AL hasta 5, tal que AB=AS=( 
AABC=ABAS (LAL) > BS=AC=m 
EJ m«xsBC+70%=30%+709 
m«< 5BC=300 
El ALBS es isósceles. 
x+30%=400 
x=1009 
Otra forma 
 
 
 
101 
 
LUMBRERAS EDITORES 
Nos piden la mx ¿BC=x 
Se traza LM//AB 
== m«uLMC=m=x ABC=409 
Se nota que el CAABML es inscriptible y como 
LM//AB entonces ABML debe ser tra pecio isós- 
celes. 
De lo cual podemos decir que 
BL=AM=a0 y ma MAL=x 
Entonces el AMAC es isósceles ya que AM=AC y 
m« AMC=m< ACM=70% 
=> x+30%=40* 
x=10% 
_CLAvE 
PROBLEMA N.” 123 
En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior 
BL, tal que AB=1C, la mx ABL=2(m=LBC) y 
BL=AL. Calcule la m<xLBC. 
A) 32* Bj 30" C) 28* 
D) 262 E) 25% 
Resolución 
 
 
 
102 
Nos piden la mx ¿BC=«x. 
Se traza la ceviana interior LK en el ABLC tal 
que BK=KL, 
3 mauXKBL=m« BLK=0 
Como la m« BAL=m< LKC=20 
Entonces el (ABKL