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El CUADERNO DE TRABAJO 4, para el cuarto año de educación secundaria es complemento del libro de 
GEOMETRÍA 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & Yho S.A.C., ubicado 
en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. 
 Título de la obra: Cuaderno de Trabajo Geometría 4
 Título de la colección: Geniomatic Educación secundaria
 Director Académico: Hernán Hernández Bautista
 Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista
 Anibal Trucios Espinoza
 Asesor Académico: Elvis Valerio Solari
 Diseño y Diagramación: Norma Guadalupe Guerrero Noel
 Marco Antonio Lizárraga Podestá
 Eduardo Tomas Granados Marcelo
 Corrección de Estilo: Victor Francisco Bautista
 Fotografía: Yuri Hernández Oblea 
 Hernán Hernández Bautista
 Páginas Web
 Primera edición: Setiembre 2015
 Tiraje: 3000 ejemplares
 
Editado e impreso en los talleres gráficos de:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna Nº 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426-4853
www.editorialingenio.pe
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en Octubre 2015
Copyright © 2015
Geniomátic E.I.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. 
Número de Proyecto Editorial:31501001501087
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14621
ISBN del libro: 978-612-4302-07-7
CUADERNO DE TRABAJO 4
34 
El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser 
diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de 
Editorial Ingenio & YHO S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones 
favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de 
problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de 
capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, iniciativa, crea-
tividad, autovaloración, etc.
El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática 
GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. 
La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver 
los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro 
textos mencionados.
Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de 
no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su 
propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Proyecto Ingenio. Sin 
contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los 
materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.
El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, 
Tarea y Reforzando:
EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO
Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el 
estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá ne-
cesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolu-
ción con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él 
mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado.
En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es 
inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, 
ampliar y profundizar los contenidos del capítulo.
Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, 
requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna 
dificultad.
TAREA
Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente 
en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de 
dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de 
avance entre los estudiantes.
REFORZANDO
Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascen-
dentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones 
del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión 
a las universidades.
PRESENTACIÓN
4 4
Los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los 
contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en 
seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el 
desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios.
En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios 
para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines 
semejantes.
RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS
La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de apren-
dizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya 
establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pre-
gunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta 
científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene 
sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en 
forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será 
“porqué esto o aquello”.
Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntar-
le hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir 
posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejerci-
cios resueltos similares.
En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los 
caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los primeros 
años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.
La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy 
útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos 
ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para 
determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni 
reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de 
la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual.
Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y es-
forzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad 
todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta 
pedagógica.
EDITORIAL INGENIO & YHO S.A.C.
54 
CAPÍTULOS TEMAS N° PÁGINA
Capítulo 01 TRIÁNGULOS I 7
Capítulo 02 TRIÁNGULOS II 10
Capítulo 03 POLÍGONOS 14
Capítulo 04 CUADRILÁTEROS 17
Capítulo 05 CIRCUNFERENCIA I 21
Capítulo 06 CIRCUNFERENCIA II 25
Capítulo 07 PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO 28
Capítulo 08 PROPORCIONALIDAD 32
Capítulo 09 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 36
Capítulo 10 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 39
Capítulo 11 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 43
Capítulo
12 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 46
Capítulo 13 ÁREA DE REGIONES POLIGONALES 50
Capítulo 14 ÁREA DE REGIONES CIRCULARES 53
Capítulo 15 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 57
Capítulo 16 ÁNGULOS TRIDIMENSIONALES 61
Capítulo 17 POLIEDROS 64
Capítulo 18 PRISMA 68
Capítulo 19 PIRÁMIDE 71
Capítulo 20 CILINDRO CIRCULAR RECTO 75
Capítulo 21 CONO CIRCULAR RECTO 78
Capítulo 22 ESFERA 82
Capítulo 23 TEOREMA DE PAPPUS - GOULDING 85
Capítulo 24 PLANO CARTESIANO 89
 CLAVE DE RESPUESTAS 92
GEOMETRÍA 4
6 4
G
EO
M
ETR
ÍA
74 
1 En el triángulo ABC, calcula  +  + q + y, si  + 
q = 100.
A) 180º 
B) 380º 
C) 280º 
y
A
B
C
D) 360º 
E) 260º
3 En el siguiente triángulo, I es el incentro, calcula 
x.
A) 90º 
B) 100º 
C) 110º I
x
20
°
D) 120º
E) 140º
5 	 En	la	figura	calcula x. 
A) 40º 
B) 50º 
C) 60º 
x
110°
130°D) 70º
E) 80º
2 En el siguiente triángulo se traza el segmento 
BE. ¿Qué denominación tiene?
A) Altura 
B) Mediana 
C) Bisectriz 
D) Bisectriz y mediana 
A
B
C
Eb bE) Mediana y altura
4 	 En	la	figura	calcula x. 
A) 10º 
B) 20º 
C) 30º 
80° 6x2x
D) 40º
E) 50º
6 Si O es ortocentro, calcula x.
A) 220º
B) 240º
C) 140º 
x
120°
OD) 120º
E) 320º
TRIÁNGULOS I 01
capÍtulo
Tarea
G
EO
M
ET
R
ÍA
EDITORIAL INGENIO
8 4
10 En el siguiente triángulo calcula x.
A) 5° 
B) 10° 
C) 15° x
110° 130°
D) 20° 
E) 25°
7 		 En	la	figura,	el	segmento	DE es una mediatriz, 
calcula q. 
A) 20º
B) 30º
C) 40º 
120°
D
E
D) 50º
E) 60º
8 Si el punto E es excentro de ABC, calcula x.
A) 15º 
B) 25º 
C) 35º 
x
40°
25°
A
B
C
E
D) 45º
E) 55º
1 	 En	la	figura
 calcula  +  + g.
 
40°
2 	 En	la	figura	calcula 
 el valor de .
 
3 	 En	la	figura	calcula 
 el valor de m.
 
3m
6m
4 	 En	la	figura,		
 calcula el valor de x. 
 
x
56°
A
B
C
D E
78° 
9 Si el punto E es excentro de ABC, calcula x.
A) 50º 
B) 60º 
C) 70º 
x
A
B
C
50°
60°
E
D) 80º
E) 90º
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
94 
REFORZANDO NIVEL I
1 En un triángulo equilátero, calcula la medida 
del ángulo formado por dos bisectrices interio-
res.
A) 100º B) 110º C) 120º 
D) 130º E) 150º
2 	 En	la	figura	calcula el valor de q.
A) 30° 
B) 37° 
C) 45° 
D) 53° 
E) 60°
3 En un triángulo ABC, las bisectrices externas 
de los ángulos A y C se intersecan en E; tal que 
mAEC = 12°. Calcula la medida del ángulo 
ABC.
A) 118º B) 120º C) 124º 
D) 156º E) 130º
4 En un triángulo acutángulo ABC se ubica el or-
tocentro O, donde mAOC = mB + 70º, calcu-
la mB.
A) 45º B) 55º C) 65º 
D) 75º E) 85º
5 En un triángulo ABC se traza la altura BH y la 
bisectriz del ángulo ABC. Halla el ángulo for-
mado por la bisectriz y la altura BH, si mA – 
mC = 40°. 
A) 20º B) 30º C) 40º 
D) 50º E) 60º
REFORZANDO NIVEL II
6 	 En	la	figura,	calcula el valor de .
A) 16° 
B) 26° 
C) 36° 
180º
D) 46° 
E) 56°
7 	 En	la	figura	calcula el valor de x.
A) 31° 
B) 32° 
C) 33° 
4x
x
D) 35° 
E) 36°
8 	 En	la	figura	calcula m.
A) 15° 
B) 16° 
C) 17° 
m
6m
D) 18° 
E) 19°
9 	 En	la	figura,	el	triángulo	ABC	es	equilátero.	Cal-
cula x.
A) 55° 
B) 65° 
C) 75° 
50° x
x
A
B
C
D) 85° 
E) 95°
10 En un triángulo isósceles ABC, AB = BC. So-
bre los lados AB y BC se ubican los puntos P 
y Q, respectivamente, tal que mPQB = 120° y 
PQ = QC = AC. Calcula mQPB.
A) 20º B) 30º C) 40º 
D) 50º E) 60º
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
10 4
REFORZANDO NIVEL III
11 	 En	la	figura,	calcula x.
A) 12° 
B) 22° 
C) 32° 
10x
30° 
D) 42° 
E) 52°
12 En un triángulo ABC, calcula la medida del 
ángulo que forman la ceviana BM y la bisec-
triz exterior BQ, si mBAC – mBCA = 110° y 
mBMC = 80°.
A) 55º B) 20º C) 30º 
D) 45º E) 25º
13 Halle q.
A) 25°
B) 35°
C) 45° 
120°
70°
y
y
x
x
D) 55° 
E) 65°
14 	 En	la	figura	calcula f.
A) 15° 
B) 18° 
C) 20° 
112°
94°
36°
D) 21° 
E) 22°
15 	 En	la	figura	halla x.
A) 60°
B) 90°
C) 80° x
50°
70°
D) 70° 
E) 100°
TRIÁNGULOS II02
capÍtulo
2 	 En	la	figura	calcula MB.
A) 12
B) 11
C) 10 
A
B
C
RM
8
45º
D) 9
E) 8
1 Dados los triángulos ABC y MNP, calcula x + y.
A) 26
B) 21
C) 24 
A
B
C
10a
α
θ
y M
N
P
x a
15
α
θ
D) 20
E) 25
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
114 
3 	 En	la	figura	calcula ED.
A) 10 2
B) 10
C) 15 
A
B
C20
60º
60º
D
E
D) 10 3
E) 18
4 	 En	la	figura,	L es mediatriz de AC y AB = 10 m. 
Calcula TB.
A) 16 m
B) 12 m 
C) 14 m 
A
B
C
T
3α
L
α
D) 10 m
E) 13 m
5 	 En	la	figura	PQ	=	AB	=	12.	Calcula BQ, si BC = 8.
A) 8
B) 6
C) 5 
A
B
P
Q
C
D) 4
E) 3
6 	 En	el	gráfico	calcula θ.
A) 18º
B) 37º/2
C) 20º 
A
B
2θ CD
θ
D) 45º/2
E) 25º
7 		 En	la	figura	calcula AC, si AP = 12.
A) 18
B) 20
C) 22 
A
B
C
3θ
3θ
4θ
P
11θD) 24
E) 26
8 	 Del	 gráfico,	 C	 es	 circuncentro	 del	 triángulo	
ABD. Calcula θ.
A) 30º
B) 25º
C) 20º 
A
B
D
C
40º
30º
H
θ
D) 15º
E) 10º
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
12 4
10 El triángulo ABC tiene una mediana BM. En el 
triángulo ABM trazamos la mediana AP que cor-
ta a BC en R (P en BM y R en BC). Si AR = 12 m, 
calcula PR.
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 3 E) 2
9 Si HC = 3 m, calcula BC.
A) 12
B) 10
C) 9 
A
B
C
H
2θ
θ
θD) 8
E) 6
Tarea
1 En un triángulo rectángulo ABC, mABC = 90º, 
siendo M punto medio de AC, sobre AB se ubi-
ca el punto R. Si AR = 12 m, RB = 2, BC = 10 m. 
Calcula mARM.
2 Los ángulos BAC y ACB de un triángulo ABC 
miden 53º y 45º, respectivamente. Si AB = 15, 
calcula AC. 
3 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se tra-
za la ceviana interior BN, tal que mNBC = 12º, 
mNAB = 34º y BN = 16. Calcula AC.
4 En los lados AC y AB de un triángulo rectángu-
lo ABC, recto en B, se ubican los puntos P y T 
respectivamente; tal que PA = PC, TA = BC = 4 
y mPAT = 15º. Calcula la medida del ángulo 
PTB. 
REFORZANDO NIVEL I
1 	 En	la	figura,	AR	=	QC	y	AP	=	10.	Calcula RQ.
A) 10 
B) 12
C) 13 
A C
Q
B
50º
50º
50º
R
P
D) 14
E) 15 
2 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se tra-
za la bisectriz interior AM, tal que MC = 2(BM). 
Calcula la medida del ángulo interno en C. 
A) 30º B) 10º C) 20º 
D) 36º E) 60º
3 	 En	la	figura,	AB	=	BR	y	BC	=	BS.	Calcula x.
A) 90º
B) 100º
C) 110º 
60º 60º
A
B
C
x
R
S
D) 120º
E) 130º
4 	 En	el	gráfico	mostrado	MN	=	NP;	AC	=	2(CP)	y	
NC = 2 m. Calcula BN.
A) 14 m
B) 2 m
C) 6 m 
A
B
C
M
N
P
D) 5 m
E) 8 m
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
134 
5 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
mC = 36º. Sobre AC se ubica el punto F, tal que 
BF = 12 m y mABF = 18º. Calcula AC.
A) 21 B) 22 C) 23 
D) 24 E) 25
REFORZANDO NIVEL II
6 	 En	la	figura,	mABC = 90º, AB = 5 m y AH = 3 m. 
Calcula FN.
A) 2 m
B) 3 m
C) 4 m 
A
B
C
FN
H
α
α
D) 1 m
E) 2,5 m
7 	 En	la	figura,	AM	=	10	y	CN	=	12.	Calcula MN.
A) 18
B) 20
C) 22 
A
B
C
NM
45º
D) 24
E) 26
8 En un triángulo isósceles ABC; AB = BC; se traza 
la ceviana interior BR y BF // AC (F exterior rela-
tivo a BC); si AR = BF y FC = 8. Calcula BR.
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14
9 En un triángulo rectángulo isósceles ABC, 
mB = 90º, por B se traza una recta exterior al 
triángulo. Luego se traza AP y CQ perpendicu-
lares a dicha recta. Si AP = 4 y CQ = 10, calcula PQ.
A) 14 B) 15 C) 16 
D) 17 E) 18
10 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la altura BH y desde P, un punto ubicado 
en HA se traza la perpendicular PQ a BA, Q en 
AB. Si los triángulos AQP y PHB son congruen-
tes, determine la mHBC.
A) 18º B) 24º C) 30º 
D) 36º E) 15º
REFORZANDO NIVEL III
11 En un triángulo ABC se traza BM, perpendicu-
lar a la bisectriz
interior del ángulo A. Si N es 
el punto medio de BC, AB = 5 m y AC = 8 m, 
calcula MN.
A) 2
3
 B) 5
3
 C) 3
4
 D) 5
2
 E) 3
2
 
12 Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC 
se construyen los triángulos equiláteros ABE y 
BFC. Calcula el ángulo que forman AF y CE al 
cortarse.
A) 120º B) 110º C) 90º 
D) 95º E) 105º
13 Desde el vértice B de un triángulo ABC se trazan 
BP y BQ, perpendiculares a las bisectrices exte-
riores de los ángulos A y C, respectivamente. Si 
PQ = 10 m, calcula el perímetro del triángulo 
ABC.
A) 10 B) 15 C) 18 
D) 20 E) 25
14 	 En	la	figura	MN	=	3	m.	Calcula la altura BH del 
triángulo ABC.
A) 12
B) 9
C) 8 
A
B
C
2α
N
M
α
D) 6
E) 5
15 	 En	la	figura,	L es mediatriz de AC, AB = 4 m y 
AC = 14 m. Calcula MS.
A) 3
B) 4
C) 5 
A
B
C
S
M
α
α
L
D) 6
E) 7
G
EO
M
ET
R
ÍA
14 4
2 ¿Qué polígono es aquel donde el número de sus 
diagonales es igual al número de sus lados?
A) Decágono B) Octógono 
C) Heptágono 
D) Hexágono E) Pentágono
1 Indique cuáles de la siguientes proposiciones 
son verdaderas (V) o falsas (F).
I. El heptágono tiene nueve lados.
II. En todo polígono convexo al menos hay un 
ángulo interno cuya medida es mayor que 
180º.
III. En todo polígono convexo, el número de 
vértices es igual al número de ángulos inter-
nos.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF
3 Si la medida de cada uno de los ángulos inter-
nos de un polígono regular es igual a 5 veces la 
del ángulo externo adyacente, ¿de qué polígono 
regular se trata?
A) Heptágono B) Nonágono 
C) Decágono 
D) Dodecágono E) Pentágono
5 Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones:
I. En todo polígono convexo la suma de las 
medidas de todos sus ángulos externos es 
igual a 360º.
II. En un decágono convexo hay por lo menos 
doce ángulos externos.
III. A un polígono no convexo, una recta secan-
te siempre interseca en tres puntos como 
máximo.
A) VVV B) FFF C) VFV D) VFF E) FFV
6 En un polígono equilátero cuyo lado mide 4, 
el número de sus diagonales resulta numérica-
mente igual al triple del número que expresa el 
perímetro de la región limitada por el polígono. 
Calcula el perímetro del polígono.
A) 124 B) 108 C) 104 
D) 100 E) 96
03
capÍtulo
4 ¿Cuál es el polígono regular donde 6 veces la 
medida de su ángulo interior equivale al cua-
drado de la medida de su ángulo exterior?
A) Octógono B) Nonágono 
C) Decágono 
D) Undecágono E) Dodecágono
POLÍGONOS
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
154 
8 Desde 10 vértices de un polígono se pueden tra-
zar 84 diagonales. Calcula el número total de 
diagonales del polígono. 
A) 50 B) 70 C) 60 
D) 90 E) 80
10 Si el número de lados de un polígono equián-
gulo aumenta en 5, el número de sus diagonales 
aumenta en 50. Calcula la medida del ángulo 
exterior.
A) 60º B) 50º C) 40º 
D) 30º E) 36º
Tarea
1 La suma de las medidas de los ángulos internos, 
centrales y externos de un polígono regular es 
igual a 2160º. Calcula la medida de su ángulo 
central. 
2 Desde (n – 4) vértices consecutivos de cierto po-
lígono se trazan 32 diagonales. Calcula n.
3 ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número 
de diagonales aumenta en tres al aumentarse en 
uno el número de lados?
4 Desde 5 vértices consecutivos de un polígono 
equiángulo se trazan 54 diagonales. Calcula la 
medida del ángulo exterior.
7 Calcula el número de diagonales de un polígo-
no regular sabiendo que el cuadrado de la me-
dida de su ángulo central equivale a 9 veces la 
medida de su ángulo interior.
A) 24 B) 35 C) 42 
D) 56 E) 65
9 ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del 
polígono cuyo número total de diagonales es 
119?
A) 2400º B) 2100º C) 2500º 
D) 2600º E) 2700º
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REFORZANDO NIVEL I
1 Dos ángulos de un pentágono convexo miden 
120º cada uno. Calcula la medida de los ángulos 
exteriores de los otros tres ángulos si se sabe que 
son iguales entre sí.
A) 60º B) 65º C) 70º 
D) 75º E) 80º
2 	 En	el	siguiente	gráfico	calcula el valor de α.
A) 120º
B) 125º
C) 135º 
αα α α
α
α
α
α
α
D) 140º
E) 150º
3 ¿En qué polígono se cumple que la suma de 
las medidas de sus ángulos internos excede en 
1080º a la suma de las medidas de sus ángulos 
externos?
A) Octógono B) Hexágono 
C) Decágono 
D) Heptágono E) Dodecágono
4 Calcula el número de lados que tiene un polígo-
no regular, si la medida de cada ángulo exterior 
es 72º.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
5 ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un po-
lígono cuyos ángulos internos suman 1980º?
A) 154 B) 126 C) 104 
D) 94 E) 65
REFORZANDO NIVEL II
6 En un polígono regular, el ángulo central mide 
la sesentava parte de la suma de los ángulos in-
ternos. El nombre del polígono es:
A) Nonágono B) Decágono 
C) Undecágono 
D) Dodecágono E) Icoságono
7 Los ángulos interiores B, C y D de un pentágono 
convexo ABCDE miden 80º, 150º y 50º. ¿Qué án-
gulo forman las prolongaciones de BA y DE?
A) 50º B) 60º C) 70º 
D) 80º E) 90º
8 ¿Cuál es el polígono convexo cuya suma de las 
medidas de sus ángulos internos se triplica al 
duplicar el número de sus lados?
A) Triángulo B) Octógono 
C) Cuadrilátero 
D) Pentágono E) Hexágono
9 Si a un polígono equiángulo se le duplicara el 
número de sus lados, la medida de su ángulo 
interior aumentaría en 18º. ¿Cómo se llama el 
polígono?
A) Octógono B) Decágono 
C) Hexágono 
D) Nonágono E) Undecágono
10 Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. Un polígono regular es siempre convexo. 
II. La medida de un ángulo exterior de un do-
decágono es igual a 36º
III. La intersección de las mediatrices de al me-
nos de dos de los lados de un polígono de-
termina el centro del polígono.
A) FFF B) FFV C) FVV 
D) VVV E) VFF
REFORZANDO NIVEL III
11 Calcula el número de diagonales trazadas des-
de siete vértices consecutivos en el icoságono 
convexo.
A) 100 B) 102 C) 104 
D) 105 E) 110
12 ¿Cuál es el polígono convexo donde el número 
total de sus diagonales excede en 42 al número 
de sus vértices?
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A) Octógono B) Nonágono 
C) Decágono 
D) Undecágono E) Dodecágono
13 ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyo 
ángulo interior disminuiría en 6º, si sólo tuviera 
los 4/5 de los lados que tiene?
A) 15 B) 18 C) 20 
D) 12 E) 25
14 Al disminuir en 10 cada ángulo interior de un 
polígono regular resulta otro polígono regular 
cuyo número de lados es las 2/3 partes del po-
lígono original. Calcula el número de lados de 
dicho polígono.
A) 12 B) 14 C) 15 
D) 18 E) 20 
15 Desde los puntos medios de tres lados consecu-
tivos de un polígono regular se han trazado 39 
diagonales media. Calcula la medida de un án-
gulo central.
A) 36º B) 32º C) 30º 
D) 26º E) 24º
04
capÍtulo
1 	 En	la	figura	calcula el valor de ρ.
A) 12°
B) 11°
C) 10° 
8ρ 9ρ
7ρ 36°
D) 9°
E) 8°
2 Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. Si los cuatro lados de un cuadrilátero son 
congruentes, entonces el cuadrilátero es un 
cuadrado. 
II. Las medidas de los ángulos internos de un 
rombo son iguales.
III. Romboide es el paralelogramo propiamente 
dicho. 
A) VVV B) VVF C) FFF 
D) VFV E) FFV
CUADRILÁTEROS
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3 	 En	 la	 figura	 ABCD	 es	 un	 paralelogramo																	
LM = MC, AL = 6 y BO = OD. Calcula MO.
A) 5
B) 7/2
C) 4 
A
B C
M
O
D
L
D) 5/2
E) 3
5 	 En	la	figura,	M	es	punto	medio	de	AB. Calcula x.
A) 1
B) 3/2
C) 2 x
A
2
B
6M
ND) 5/2
E) 3
6 Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. Las diagonales de un rombo son congruen-
tes.
II. Las diagonales de un rectángulo son per-
pendiculares entre si.
III. Si las diagonales de un cuadrilátero son 
perpendiculares y congruentes, entonces el 
cuadrilátero es un cuadrado.
A) VVV B) VFF C) VVF 
D) FFF E) FVF
7 Un cuadrilátero convexo ABCD, donde BC = CD, 
la mediatriz de CD pasa por A. Si mDAC = 
2(mCAB) y mABD = 110°,
calcula mDBC.
A) 18° B) 24° C) 30° 
D) 36° E) 40°
8 	 En	la	figura	se	muestra	el	romboide	ABCD	y	los	
cuadrado, CDEF (centro O) y ABGH. Calcula 
OM si GC = a y HM = MF.
 
A
B
C
H
M
D
E
F
G
O
A) a B) a
4
 C) 
2
2a D) a
2
 E) a
3
4 En un trapecio ABCD (BC // AD), M es punto 
medio de AB y N punto medio de AD. Si CN 
biseca a DM en P y PC = 15 m, calcula PN.
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6
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9 Se une el punto medio M del lado CD del rec-
tángulo ABCD con el vértice B y el punto me-
dio N de BM con el vértice A. Si el ángulo CBM 
mide 37°/2, ¿cuánto mide el ángulo NAD?
A) 60° B) 30° C) 50° 
D) 45° E) 40°
10 En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B 
se traza la altura CH y se pide calcular la longi-
tud del segmento que une los puntos medios de 
AH y CD sabiendo que BD = 12 m. 
A) 8 m B) 10 m C) 6 m 
D) 4 m E) 9 m
Tarea
1 En un triángulo equilátero ABC, de medianas 
AM y BN y perímetro 24 m, calcula la distancia 
entre los puntos medios de AM y BN.
2 En un trapezoide ABCD calcula la medida del 
ángulo formado por las bisectrices de los ángu-
los exteriores A y D, si las medidas de los ángu-
los internos B y C suman 200°.
3 El perímetro de un trapecio isósceles es 80. Cal-
cula la longitud de su lado no paralelo, si las 
longitudes de su base menor, base mayor y del 
lado no paralelo son entre sí como 4; 6 y 3, res-
pectivamente.
4 En un trapecio, la base media mide 16 cm y el 
segmento que une los puntos medios de las dia-
gonales 4 cm. Calcula las longitudes de sus ba-
ses.
REFORZANDO NIVEL I
1 	 En	la	figura	calcula el valor de ω. 
A) 102°
B) 106°
C) 108° 
ω
ω
92°
ω – 68°
D) 112°
E) 116°
2 	 En	la	figura	calcula x.
A) 32°
B) 36°
C) 40° x
α
α θθ
P
120°
4x
D) 42°
E) 44°
3 	 En	la	figura,	ABCD	es	un	cuadrado.	Calcula x.
A) 15°
B) 37°/2
C) 18° 
x
A
B CM
D
D) 45°/2
E) 24°
4 Calcula la longitud de la mediana de un trape-
cio rectángulo sabiendo que la altura mide 16 m, 
el lado no paralelo 20 m, y la longitud de una de 
las bases es el doble de la otra.
A) 16 5 B) 18 C) 18 5 
D) 16 E) 20 5