MATEMÁTICAS 1RO SEC

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2 + 5 =
8 - 4 =
4
2
16
Tu Nombre:
Tu Sección:
SECUNDARIA
1
Pág.
Álgebra 05
Aritmética 31
Geometría 59
Razonamiento Matemático 89
GENERAL
 
Primer Bimestre
ÁLGEBRA
SECUNDARIA
1
Pág.
Patrones numéricos 07
Ecuación de primer grado 10
Planteo de ecuación de primer grado 13
Sistema de ecuaciones lineales 16
Potenciación 19
Radicación 22
Ecuación exponencial 25
Repaso 28
Álgebra73ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Un patrón es una sucesión de signos:
Ejemplo:
 Z
 Z 
 
Aquí, el patrón es:
“manzana – regla”
Un patrón numérico es una sucesión de números que 
se construye siguiendo una regla o algoritmo.
Ejemplo:
 Z 2; 5; 8
 Patrón: +3
 Z 3; 9; 27
 Patrón: x3
 Z 0,1; 0,001; 0,001
 Patrón: ÷10
I. SUCESIÓN DE PRIMER ORDEN
 Es un conjunto de números que presentan un 
orden que está determinado por una ley de 
formación.
 Ejemplo:
 
 
 Es una sucesión porque es una secuencia en donde 
a cada término se le aumentó 3 para obtener el 
siguiente.
II. UBICACIÓN DE LA RECTA 
 ¿Entre qué números enteros se encuentra ?
 
 Ojo: 
 2 1, 4≈
 
 
 
 2⇒ está entre 1 y 2
 
 ¿Entre que números enteros se encuentra 65– ?
 
6
5 1,2≈–
 
 
 ¿Qué número es mayor?
 
10–5;–
3
–5;–3,3
 
 
Marco teórico
Patrones numéricos
Álgebra 8 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Indica el número que sigue:
 5; 1; –3; …
2. Indica el número que sigue:
 800; 400; 200; 100; ______
3. ¿Entre qué números enteros se encuentra 12 ?
PUCP
4. ¿Qué número sigue?
 2; 5; 10; 17; ______
Resolución:
 T1 T2 T3 T4
 2, 5, 10, 14 
 12+1 22+1 32+1 42+1
 ⇒T5 = 5
2+ 1 = 26
¿Qué número siguen en la siguiente sucesión 
5. 2; 9; 28; _____; _____ 
 
6. Calcula: a + b
 1
3
; a; 3; 9; b; 81
7. Calcula: n – m
 –5; –3; m; 1; n; 5
UNMSM
Calcula el décimo termino en la siguiente sucesión: 
8. 2; 5; 8; 11; 
 T1 T2 T3 T4
 2; 5; 8; 11;…
 
 +3 +3 +3
 T1 = 3(1) – 1 = 2
 T2 = 3(2) – 1 = 5
 T3 = 3(3) – 1 = 8
 T4 = 3(4) – 1 = 11
 .
 T10 = 3(10)–1 = 29
9. Calcula el undécimo término en la siguiente su-
cesión:
 4; 8; 12; 16; ….
10. Calcula: m
 
1 1 11; ; ; ;m
4 9 16
 
11. Calcula: n
 
1 ;1;2; 4;n;16
2
UNI
12. ¿Entre qué números enteros se encuentra ?
 
Resolución:
 
–
4
3– –0,75
4
3
≈
 Ubico el número en la recta:
 
 – 4
3 está entre –1 y 0
13. ¿Entre qué números enteros se encuentra 8– 3 ?
14. Si 23
5
 se encuentra entre “a” y “b”, calcula a + b.
Trabajando en clase
Álgebra93ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando
15. Indica el número que continua la serie:
 6; 3; 0; –3; –6
a) –9 c) 10 e) 20
b) 6 d) 1
16. Indica el número que continúa la serie 20; 10; 5; 52 
a) 5 c) 5
4
 e) 5
3
b) –5 d) 58
17. ¿Entre que números enteros se encuentra -178 ? 
a) –2 y –1 d) –1 y 2 
b) –3 y –2 e) 4 y 5 
c) –1 y 0
18. Calcula 2a – b
 2; 5; 8; 11; 14; 17; a; b
a) 17 c) 23 e) 13
b) 20 d) 43 
19. Calcula: n – m
 23 ; m; 6; 18; n; 162
a) 52 c) 54 e) 60
b) 2 d) 112
20. Calcula: a/b
 –10; –6; a; 2; b; 10
a) 6 c) –3 e) 8
b) –2 d) –1/3
21. Calcula b – a
 a, b ∈
a b33
 7
-¥ +¥
a) 4 c) 1
b) –1 d) 0 
e) 10 
22. Indica el entero anterior 
 al número “a”; si:
 a = –5 – 7
a) 12 c) –13 e) 10
b) –11 d) –12
23. Calcula “m”
 1; 13 ;
1
5 ; m 
a) 17 c) 7 e) 32
b) 1/7 d) 8
24. Calcula “a”
 1
6 ;1; 6; 36; a;1296
a) 216 c) 8 e) 10
b) 324 d) 36
25. ¿Entre qué números se encuentra 3 75 ?
a) 4 y 3 d) 1 y 2 
b) 4 y 2 e) 2 y 3 
c) 4 y 5
26. Calcula “a”
 1; –4; a; –14
a) –20 c) –9 e) 3
b) 8 d) –1
27. Si 389 se encuentra entre “a” y “b”, calcula a + b
a) 4 c) 9 e) 13
b) 5 d) 10
28. Calcula m4 ; si: 1, 2, 4, 8, 16, m
a) 32 c) 16 e) 10
b) 8 d) 4
 
29. Calcula: “n”
 7, 17, 24, n
a) 31 d) 10 
b) 30 e) 3 
c) 28
Álgebra 10 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones 
matemáticas donde, por lo menos, aparece una 
variable o incógnita que debe satisfacer la dicha 
igualdad.
 
Pr imer Segundo
miembro miembro
3x –8 x 12= +
 
I. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
 Son iguales con incógnitas de exponente 1 y que 
pueden reducirse a la forma general siguiente:
 a ≠ 0 
 ax + b = 0
 a, b: valores reales 
 x: incógnita
 
–bx
a
= es la solución o raíz de la ecuación 
 Ejemplo: 
 3x – 1 = 8
 3x = 9
 x = 3 solución o raíz
 C.S = {3}
 La solución o raíz debe cumplir la igualdad.
 Reemplazo:
 3x – 1 = 8
 3(3)–1 = 8
 9 – 1 = 8
 8 = 8 ¡Cumplió!
II. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 
PRIMER GRADO
 Para resolver una ecuación de primer grado 
realizaremos la transpiración de términos.
 Observa:
 Pasa a restar
 
 Y x + 3 = –2
 x = –2 –3
 x = –5
 Pasa a sumar
 
 Y x – 2 = 6
 x = 6 + 2
 x = 8
 Pasa a dividir
 
 Y 3m = 15
 m = 15
3
 m = 5
 Y x –37
=
 Pasa a multiplicar 
 
 x = (–3)(7) 
 x = –21
 Debemos tener a un lado de la igualdad las letras 
y al otro los números.
 Ejemplo:
 4x – 9 = 6x + 19
 –9 –19 = 6x – 4x
 –28 = 2x
 –14 = x
Marco teórico
Ecuación de primer grado
Álgebra113ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Integral
Calcula el valor de la incógnita en 
las siguientes ecuaciones:
1. 4 – 2x = x + 8
2. –3a – 6 = 6
3. x –4 –8
3
=
PUCP
4. 7x – 5 + 2x = 4x + 23 + x
Resolución:
 Y Reducirnos cada miembro 
de la igualdad:
 28–5=23
 
 7x – 5 + 2x=4x + 28 + x – 5
 
 7x+2x=9x 4x+28+x–5
 
 9x – 5 = 5x + 23
 Y Transponemos miembros: 
 9x – 5x = 23 + 5
 4x = 28
 28x 4
= x = 7 
 ∴ C.S = {7}
 ∴ La solución de la ecuación es:
 7
5. 6x – 4 + 3x = 7x + 30 +x – 8
6. 13x – 7 – 5x = 10x – 27 – 7x 
7. –9x + 8 + 7x = –6x + 5 – 4x
UNMSM
8. 5(x – 3) – 2(x – 7)=7x + 2(2x – 1)
Resolución:
 Aplicamos la propiedad 
distributiva:
 
 
 –1 + 2 = 11x – 3x
 1 = 8x
 
1 x
8
=
 
{ }1C.S. 8∴ =
 
9. 6(x – 2)– 3(x – 1) = 4x + 3(x – 2)
 
10. Calcula: n + p
 
3p–1
1;2n–6 18
5
= =
11. Resuelve:
 
x 2 x x 7–
2 3 4 3 6
+ = +
 
UNI
12. Resuelve:
 
x 2 x x 7–
2 3 4 3 6
+ = +
Resolución:
 Y Calculamos el mcm de 
todos los denominadores: 
MCM (2346) 
 2–3–4–6 2 
 1–3–2–3 2 MCM=2.2.3
 1–3–1–3 3 MCM=12 
 1–1–1–1
 Y El MCM se divide entre 
el denominador, luego 
se multiplica por el 
numerador respectivo.
 
x 2 x x 7–
2 3 4 3 6
+ = +
 12 2 = 6.x
 
 
 Y Reducimos:
 9x – 8 = 4x + 14 
 Y Transponemos términos:
 9x – 4x = 14 + 8
 5x = 22
 
22x
5
=
 
 
{ }22C.S. 5∴ =
 ∴ La solución de la ecuación 
 es 22/5
13. x 7 x x 7–
4 5 10 2 20
+ = + 
14. Resuelve:
 
x 1 x –6 3x –1
3 2 6
+
+ =
 
Trabajando en clase
Álgebra 12 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Calcula el valor de la incógnita en las siguientes ecua-
ciones:
15. 8 – 6x = x – 6
a) 2 c) 7 e) –7
b) –2 d) 5
16. – 9m – 12 = 15
a) 3 c) 18 e) 9
b) –18 d) –3
17. x6 –7=–10
 
a) 18 c) –3 e) 9
b) –18 d) 3 
18. x2 -5 =
x
9 +
x
3
a) 790 c) 90 e) -
90
7
b) − 790
 d) - 907 
 
19. 16x – 10 – 4x = 12x – 30 – 5x
a) –4 c) –15 e) 25
b) 4 d) 15
20. 8x – 6 + x – 3 = –5x + 12 – x
a) 6 c) - 75 e) -
7
5
b) - 57 d) -
5
7
 
21. –3 + 3x + 10 – 5x = x + 12 – 4x + 15 
a) 8 c) 32 e) 12
b) 20 d) 34 
22. 2 + 3(x – 4) = –(x + 6) 
a) 1 c) –2 e) 5
b) 3 d) –1
23. Calcula “n – m”
 5(m – 3)= 10; n7 –8 = –6a) 14 c) 8 e) 10
b) 5 d) 9 
24. 2x – 3 = 7 +5x3 
a) 16 c) 2 e) 20
b) –2 d) –16 
25. x2 +
x
4 +
x
8 +
x
16 =
1
32 
a) 127 c) 
1
24 e) 
1
16
b) 130 d) 
1
28
26. 5(x – 4) – 3(x – 2) = 7x + (–6x + 5) 
a) 15 c) 19 e) 18
b) 17d) 16 
27. x -3
4 +
x +1
2 =
2x -1
8
 
a) - 14 c) 3 e) 4
b) - 14 d) –3
28. Calcula “x+1” luego de resolver:
 –3(4 – x) = 5 – 14x,
a) 12 c) 2 e) 1
b) 52 d) 
3
2
 
29. Calcula: “n” si “x” vale 3
 3x – n = 15 – nx
a) 6 c) 3 e) 10
b) 2 d) 1
Sigo practicando
Álgebra133ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
Para resolver un problema hay que ser metódico 
y habituarse a proceder de un modo ordenado 
siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha 
resolución.
Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un 
problema son:
I. Comprender el problema: leer detenidamente el 
problema
II. Planear el problema:
 Y Elegir las operaciones y anotar el orden en 
que debes realizarlas.
 Y Expresar las condiciones con la ecuación adecuada.
III. Resolver el problema:
 Y Resolver la ecuación resultante de la fase anterior 
 Y Asegurarse de realizar correctamente las ope-
raciones
IV. Comprobar la solución
 Y Comprobar que la solución obtenida verifica 
la ecuación 
 Y Comprobar que las soluciones son acordes con 
el enunciado y que cumplen las condiciones de 
este 
Enunciados verbales traducidos a enunciados matemáticos 
1. El doble de un número 2x
2. El cuádruplo de un número 4x 
3. El exceso de un número sobre 5 x – 5 
4. El triple de un número aumentado en 11 3x + 11 
5. La suma de tres números consecutivos x + x + 1 + x + 2 
6. El triple del exceso de un número sobre 9 3(x – 9)
7. Las tres cuartas partes de un número
 
3
4
x
8. Richi tiene el doble de lo que tiene Iris R → 2x
9. Josué tiene la tercera parte de Dany J → x
10. Mi edad hace 5 años x – 5
11. Mi edad dentro de 7 años x + 7
12. La mitad del exceso de un número sobre 13
x–13
 2
13. El doble de la suma de un número y 5 2(x + 5)
Planteo de ecuaciones 
de primer grado
Álgebra 14 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
14. Mi edad es dos veces la tuya
Yo: 2x
Tu: x 
x – 3 = 19 – x
15. Un número excede a 3 tanto como 19 
x
2
x +
16. Un número aumentado en su mitad
17. Un número aumentado en sus tres cuartos
3
4
x + x 
 18. El doble de un número aumentado en 7 equivale al mismo 
número disminuido en 10 2x + 7= x – 10
Integral
1. Si el exceso de un número sobre 
12 es , calcula el número
2. Si el triple de un número 
aumentado en 7 equivale a 
20, calcula dicho número 
disminuido en 11
3. La suma de tres números 
consecutivos es 63, calcula el 
número intermedio
PUCP
4. Si el doble del exceso de un 
número sobre 6 es 18, calcula 
dicho número
Resolución:
 El doble del exceso de un número
 2 resta x
 =
 Sobre 6 es 18 
 ¡Esto no es una fracción!
 Planteando:
 2(x – 6) = 18
 Resolvamos la ecuación planteada
 2(x – 6) = 18
 2x – 12 = 18
 2x = 18 + 12
 2x = 30
 x = 30
2
 x = 15 
 
 El número es 15. ¡Siempre 
debes de leer bien la pregunta!
5. Si el triple del exceso de un 
número sobre 10 es 21, calcula 
dicho número.
6. Si las tres cuartas partes de un 
número, disminuido en 9, es 
igual a 2, calcula la mitad de 
dicho número.
7. Si la quinta parte del exceso de 
un número sobre la unidad es 
igual a 2, calcula dicho número 
aumentado en 4. 
 
UNMSM
8. Richi tiene la tercera parte de 
la edad de Josué. Si hace 5 años 
la edad de Josué era el cuádruple 
de la edad de Richi, ¿cuántos años 
tiene Richi?
Resolución:
 Sean: R → La edad ade Richi
 J → La edad de Josué 
 R < J 
 R → x x – 5
–5
hace 5 años
 
J → 3x 3x – 5
–5
J = 4R
 3x –5 = 4 (x – 5)
 3x –5 = 4 (x – 5)
 3x – 5 = 4x – 20
 –5 + 20 = 4x – 3x
 15 = x
Rpta.:
 ∴ Richi tiene 15 años
 9. Ana tiene la cuarta parte de 
la edad de Cristina. Si hace 5 
años la edad de Cristina era 
el triple de la edad de Ana, 
¿cuántos años tiene Ana?
10. Si hace 5 años tenía la mitad 
de los años que tendré dentro 
de 4 años, ¿cuántos años tendré 
dentro de 10 años?
Trabajando en clase
Álgebra153ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
11. Si mi edad es el triple que la 
tuya y nuestras edades suman 
48 años, ¿cuántos años tengo?
UNI
12. Si tengo S/.120 y gasto los dos 
tercios de lo que no gasto, 
¿cuánto gasté?
Resolución:
 
 Tengo: S/.120
 Gasto No gasto
 x 120 – x
 Gasto = 2
3
 (no gasto)
 
x = x = 2
3
 (120 – x) 
 
 3x = 140 – 2x
 3x + 2x = 140
 5x = 140
 x = 1402
 x = 28
 gasté S/.28
13. Si tengo S/.100 y gasto un 
tercio de lo que no gasto, 
¿cuánto me queda?
14. Si en una fiesta hay 120 personas 
y el número de hombres es al 
número de mujeres como 5 es a 
3, ¿cuántas parejas se pueden 
formar?
Sigo practicando
15. El exceso de un número sobre 11 
es 23, calcula la mitad de dicho 
número.
a) 34 b) 15 c)16
d) 68 e) 17
16. Si el triple de un número dismi-
nuido en 17 equivale a 28, calcu-
la dicho número aumentado en 
5.
a) 20 b) 3 c) 17
d) 15 e) 5
17. Si la suma de cuatro números 
consecutivos es 86, calcula la 
suma del número mayor con el 
número menor.
a) 20 b) 3 c) 43
d) 23 e) 40
18. ¿Qué número aumentado en sus 
dos terceras partes es igual al do-
ble de sí mismo disminuido en 
18?
a) 10 b) 26 c) 54
d) 36 e) 18
 
19. Si las tres quintas partes de un 
número disminuido en 10, es 
igual a 11, calcula la quinta parte 
de dicho número.
a) 16 b) 70 c) 40
d) 80 e) 7
20. Si la quinta parte del exceso de 
un número sobre 7 es igual a 4, 
calcula dicho número aumenta-
do en 3. 
a) 3 b) 30 c) 24
d) 27 e) 33
21 Si un número excede a 9 como 
15 excede a dicho número, cal-
cula el número. 
a) 12 b) 18 c) 20
d) 24 e) 36
22. Si las dos terceras partes del ex-
ceso de un número sobre 6 es 
igual a 10, calcula dicho núme-
ro.
a) 20 b) 21 c) 10
d) 3 e) 15
23. Hace 7 años tenía la mitad de 
los años que tendré dentro de 4 
años, ¿cuántos años tendré den-
tro de 5 años?
a) 10 b) 30 c) 5
d) 50 e) 23
24. Si mi edad es el triple que la 
tuya y nuestras edades suman 
60 años, ¿cuántos años tengo?
a) 15 b) 45 c) 25
d) 30 e) 35
25. Si las tres cuartas partes de un 
número, disminuido en 7, es 
igual a 20, calcula la cuarta par-
te de dicho número.
a) 36 b) 12 c) 18
d) 4 e) 9
 
26. Si el quíntuplo de un número 
aumentado en seis es igual a su 
cuádruplo disminuido en 17, 
calcula dicho número aumenta-
do en 30.
a) 23 b) 53 c) 7
d) -23 e) -53
27. Al cine asistieron 140 personas 
entre adultos y niños. Si el nú-
mero de adultos es al número 
de niños como 7 es a 3, ¿cuántos 
niños asistieron al cine? 
a) 28 b) 42 c) 50
d) 40 e) 100
28. Si dentro de 7 años tendré el do-
ble de la edad que ten{ia hace 3 
años, ¿qué edad tengo?
a) 11 c) 15 e) 17
b) 13 d) 20
29. Si el perímetro del triángulo 
ABC es 12m, calcula la medida 
del mayor de sus lados. 
a) 1 
b) 5 
c) 7 
x x+1
x+2
d) 6
e) 2 
Álgebra 16 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
I. DEFINICIÓN 
 Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de 
primer grado con dos o más variables (incógnitas); 
estas ecuaciones se reflejan de manera simultánea 
para un conjunto de valores es llamado conjunto 
solución (C.S).
 Ejemplo: 
 3x + y = 23
 2x – y = 17
 Ambas ecuaciones se verifican para:
 
 
x = 8 ⇒ C.S = {(8; –1}
 y = –1 
 x y
 
x y
II. RESOLUCIÓN
 Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el 
conjunto de valores que satisfacen simultáneamente 
cada una de las ecuaciones.
 Para ello, utilizamos el método de reducción, que 
consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones 
por algún (os) número(s) de forma que obtengamos 
un sistema equivalente inicial, en el que los 
coeficientes de la “x” o los de la variable “y” 
sean iguales pero con signo contrario.
 Veamos el proceso por fases:
 Y Se multiplica las ecuaciones por los números 
apropiados para que, en una delas incógnitas, 
los coeficientes queden iguales, pero con signo 
contrario.
 Y Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema.
 Y Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita.
 Y Una vez resuelta esta, para hallar la otra 
incógnita, hay que sustituir la incógnita 
hallada en una de las ecuaciones y despejar 
la otra.
Veamos un ejemplo:
 Sea el sistema 
3x + 7y = 23
5x – 3y = 9
 
 Para este ejemplo eliminamos “y”
 3x + 7y = 23 ⇒ 3(3x + 7y) = 3(23) ⇒ 9x + 21y = 69
 5x – 3y = 9 ⇒ 7(5x – 3y) = 7(9)⇒35x – 21y = 63
 44x + 0 = 132
 44x = 132
 x = 3
 Reemplazando w“x” en 1: 3x + 7y = 23
 3(3) + 7y = 23
 9 + 7y = 23
 7y = 14
 C.S= {(3; 2)} y = 2
Integral
1. Resuelve e indica el valor de 
x/y:
 
x + y = 15
–x + y = 11
2. Calcula x . y
 
x + y = 12
x – y = 10
3. Resuelve y da como respuesta
 
x + 3y = –5
–x – 7y = –11
PUCP
4. Resuelve
 
x + 4y = 21
x + 3y = 14
Esquema formulario
Marco teórico
Sistema de ecuaciones lineales
Álgebra173ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Resolución:
 1. … x + 4y = 21
 2. … x + 3y = 14
 2. x – 1
 
x + 4y = 21
–x – 3y = –14
 4y – 3y = –14
 y = 7
 Reemplazo en 1:
 x + 4y = 21
 x + 4(7) = 21 
 x + 28 = 21 
 x = 21 – 28 
 x = –7
 ∴ x = –7
 C.S = {(–7; 7}
 y = 7 
 
5. Resuelve: 
 
x – 5y = 1
x + 3y = –7
6. Calcula: x . y
 
x + y
3 = 4
x – y
4 = 5
7. Calcula “a”
 
6a + 4b = 10
2a + 4b = –10
 UNMSM
8. Resuelve.
 
2x + 3y = 8
3x – 4y = –5
Resolución: 
 (2x + 3y = 8) 4
 (3x – 4y = –5) 3
 ⇒ 
8x + 12y = 32
9x – 12y = –15
 17x = 17
 x = 1
 Reemplazo en:
 2x + 3y = 8
 2(1) + 3y = 8
 2 + 3y = 8
 3y = 8 – 2
 3y = 6
 
6
3y =
y = 2
 x = 1
 ∴ C.S = {(1; 2}
 y = 2 
9. Resuelve:
 
 x + 1y =12
4x – 3y = 15
10. Calcula: xy
 
x – 2 = y + 2
x – 3 = 2y – 5
11. Resuelve:
 
3x + 2y = 8
x – y = 11
UNI
12. Calcula: x + y 
 
41x + 37y = 77
47x + 51y = 99
 
 Resolución:
 
41x + 37y = 77
47x + 51y = 99
88x + 88y = 176
!Sumamos!
 
 
88x
88
88y
88
176
 88÷ 88 ⇒
+ =
 x + y = 2
 
 ¡Es lo que me pedían!
13. Calcula: x + y 
 
23x + 31y = 99
43x + 35y 33
14. Resuelve y da como respuesta, x + y:
 
x + y = 10
x – y = 4
Álgebra 18 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
15. Calcula “x”
4x – 6y = –18
4x + 2y = –14
a) 30
2
– b) 15
4
– c) 8 
d) 15
2
 e) –8 
16. Resuelve:
–x – 3y = 7
x + 2y = 8
a) {(–15; 38)} b) {(–38; –15)} c) {(38; –15)}
d) {(38; 15)} e) {(38; 10)}
17. Calcula: x8
x + y = 11
x – y = 21
a) 2 b) 8 c) 12
d) 16 e) 4
18. Calcula: ab
a + b = 8
a – b = 2
a) 15 b) 243 c) 110
d) 5 e) 125 
19. Calcula: x + y
2x + y
2 = 5
3x – y
3 = 10
a) 18 b) 2 c) 8 
d) 10 e) –6
20. Calcula: x • y
3x + 5y = 21
4x + 5y = 23
a) 5 b) –1 c) 6 
d) 4 e) 1
21. Resuelve y da como respuesta, b –a:
5a – 2b = 0
a + 3b = 17
a) 5 b) 25 c) 2
d) 3 e) 7
22. Resuelve y da como respuesta, x + y:
6x + 10y = 2
4x + 15y = –7
a) 10 b) 18 c) 14 
d) 12 e) 20
Sigo practicando
23. Resuelve:
x – 2 = y + 2
x – 4 = 2y – 8
a) 10 d) 18
b) 14 e) 12
c) 20
24. Resuelve:
4x + 5y = 0
 x – y = 3
a) {(15; 2)} d) {(15; 3)}
b) {(12; 15)} e) {(12; 5)}
c) {(15; 12)}
25. Calcula m – n
m + 3n = 4
m + 2n = 3
a) 1 d) 2 
b) –1 e) –2 
c) 0
26. Calcula m –n
3a + b = 7
a + b = 13
a) 19 d) –19
b) –21 e) 17
c) 5
27. Calcula m –5n
 m + n = 11
 m – n = 7
a) 81 d) 11
b) 4 e) 61
c) 9
28. Calcula: x + y
3x – 2y = 5
5x – 2y = 7
a) 0 d) –1
b) –2 e) 1 
c) 2
29. Calcula y4 – x
x + 4y = 21
y – x = –11
a) 113 d) 5
b) 2 e) 3
c) –5
Álgebra193ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
La potenciación es una operación matemática que 
consiste en multiplicar un número llamado base 
tantas veces como lo indica el exponente.
I. EXPONENTE NATURAL
 Ambas ecuaciones se verifican para:
 

n
"n" veces
5 veces
b b. b...b ;n N
25 2.2.2.2.2 32
= ∈
= =

 
II. LEY DE SIGNOS
 ( – ) par = + par/impar
 ( – ) impar = – (+) = +
 Ejemplos:
 Y (–2)3 = –8
 Y (–3)4 = 81
 Y 72 = 49
III. EXPONENTE CERO
 
0a 1;a 0= ≠
 Y 60 = 1; (–8)0 = 1
 Y –90 = 1
IV. EXPONENTE NEGATIVO
 
–n
n
1a ;a 0
a
= ≠
 Y 
1
–1 1 13
3 3
 = = 
 
 Y
–1
11 6 6
6
  = = 
 
 Y
–3
31 2 8
2
  = = 
 
 Y
–2 24 5
5 4
   =   
   
 
V. TEOREMAS DE LA POTENCIACIÓN
 1. Multiplicación de bases iguales
 
m nm na .a a +=
 ● a3 . a5 = a8
 ● n–4. n10 . n–1 = n5
 2. División de bases iguales
 
m–na ;a 0
m
n
a
a
≠=
 
7–5 2x x
7
5
x
x
= =
 ● ( ) 3 2 5a
3 3– –2 a a–2
a
a
+= ==
 ● ( ) 1 1 2
1 1– –1
–1
2 2 2 2 4
2
+= = ==
 
 
 3. Potencia de potencia
 
( )nm mna a=
 
 ● (x2)3 = x6
 ●
32 8a a=
 ● (n–2)–4 = n8
 4. Potencia de un producto
 
( )n n nab a b=
Marco teórico
Potenciación
Álgebra 20 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Reduce: 
 
( )
( )
6m 7 veces
3 3
9 9
2m 2 veces
x ... x
A
x ... x
+
+
=


2. Calcula:
 
–3 –11 3 5T
2 4 3
   = + +   
   
3. Reduce:
 
( ) ( )
( )
2 22 4 7
35 5 6
3 veces
x 3.x . x
C
x ... x . x
=

PUCP
 
4. Resuelve
 
( ) ( )
–2 23 2
2
1 50P –2 –4 –
3 25
 = + + 
 
 Resolución: 
 ●
( )
( )3
Impar
–2 –8=
 ● –2 21 3 9
3
  = = 
 
 ●
( )
( )2
Par
–4 16=
 ●
22 2
2
50 50 2 4
2525
 = = = 
 
P = –8 + (9) + (+16) – 4
P = –8 + 9 + 16 – 4 
P = 25 – 12
P = 13
5. Calcula:
 
( ) ( ) ( )–2 33 2 3181–3 –5 –4 6N + +=
 
6. Reduce y da como respuesta el 
exponente final de “x”:
 ( ) ( ) ( )
2 –2 –2–4 –4 –4x .x . xB=
 e indica el exponente final de x.
7. Calcula:
 
–11–
21T
8
 
 
  = 
 
UNMSM
 
8. Reduce:
 
( ) ( )
( )
4m 53m–42 3
2m–19
x . x
S
x
+
=
Resolución:
 
 
 
6m–8 12m 15
18m–9
6m–8 12 15
18m–9
18m 7
18m–9
18
x .x
S
x
xS
x
xS
x
S x
+
+ +
+
=
=
=
= m 7– 18+ m 9
16S x
+
=
9. Reduce:
 
( ) ( )
( )
4m 53 2
m–17
a 2m–6. a
M
a 2
+
=
 
10. Reduce:
 
( )
–2–53 4
–10 15
x . x
P
x .x
 
 
 =
 ● ( )43 2 12 8x y x y=
 ● ( )44 4x y xy=
 5. Potencia de una división 
 
m
m
x xm ; y u
y y
  = ≠ 
 
 
 ●
4 8
7 14
x x
y y
 
 =
 
 
 
 ●
33 3
3
28 28 4 64
77
 = = = 
 
 ●
33 3
3
3
32 x 5 32 x 5
10 1000
1616
 
= = = 
 
Esquema formulario
Álgebra213ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
11. Calcula:
 
( )
( )
2 5 6 7 10
36 13
2 .3 .2 .3
N
2 .3
=
UNI
12. Calcula: 
 
4 10
8
2 .8
F
16
=
 
Resolución: 
8 = 23
16 = 24
 
( )
( )
2
4 10
8
4 3
84
4 30
3
34 2
32
2 .8
F
16
2 . 2 10
F
2
2 .2
F
2
2F 2 .4
2
=
=
=
= =
 
13. Calcula: 
 
4 10
8
3 .27
P
81
=
14. Si:
 mm = 2
 Calcula:
 R = m2m + m3m + m4m
Sigo practicando
15. Reduce:
A = x
5 ... x5
x10 ... x10
(2m+3) veces
(4m+6) veces
a) x b) x10 c) x2
d) 0 e) 1 
16. Calcula:
 
M = 16
-2
+ 73
-1
+ 117







 
a) 10 b) 7 c) 38
d) 21 e) 14
17. Reduce: 
 
E = (x
4)3.x33.(x8)3
x4...x4
15 veces
.x21��� ��
a) x2 b) x c) 1
d) 2 e) x125
18. Calcula: 
 
N = 24
3x33
183
-341 
a) 17 b) –52 c) 52
d) 43 e) –17
19. Reduce e indica el exponente 
final de “x”
 
C = (x-6)2.x(-6)2.(x-6)-2
 
 
a) x36 b) 36 c) x24
d) x30 e) 24
20. Calcula:
R = + 4315( )
1
5–( )
–1
a) 89 b) 15 c) 39
d) –19 e) 29
21. Calcula:
 B = (-1)3 +(-3)0 + 15
-1



 
 
a) 7 b) 3 c) 5
d) –5 e) 4
22. Calcula: 
 
N = 2
20.162
88 
a) 252 b) 32 c) 8
d) 64 e) 16
23. Reduce: 
 
P =
x9.(x5)-3
-3
x-2.x42






 
a) x13 b) x8 c) x7
d) x4 e) x10
24. Calcula:S = (3
7.26)3.311.210
(24.35)6
a) 25 b) 80 c) 134
d) 130 e) 144
25. Calcula:
 Q = 47
-1
+ 4-1 - 223
0







 
 
a) 0 b) 2 c) 1
d) –2 e) –1
26. Reduce:
 
C = b
4
3
5
4
6
5
1
2




























a) b b) b3 c) b2
d) 1 e) b0
27. Si aa es 5, calcula “E”
 E = aa + a2a – a3a
a) 95 b) –95 c) 80
d) 130 e) –85
28. Calcula:
 
A = 5
4 +55
54 
a) 25 b) 26 c) 125
d) 30 e) 126
29. Calcula
 
H = 13
-3
. 19
-2
. 127
-1










 
 
a) 320 b) 312 c) 10
d) 315 e) 310
Álgebra 22 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
“n”: índice
“b”: cantidad subradical 
“m”: raíz
 Z , porque 62 = 36
 Z , porque 33 = 27
LEY DE SIGNOS
 Z impar =+ + 5 243 3=
 Z impar – –= 3 –125 –5=
 Z par + =+ 4 16 2=
1. Exponente de fracciones
 
n
m n mx x=
 
 Ejemplos:
 Y
10
5 10 25x x x= = 
 Y
1
338 8 2= =
 Y
 Y
1
225 25 2= =
2. Raíz de un producto
 
n n na.b a . b=
 Ejemplos:
 Y 530 20 30 20 6 455 x y x . y x y= =
 Y 4 44 16.81 16 . 81 2.3 6= = =
 Y 32 16–2 16 – 2 4 2= = =
 Y 17 . 2 17.2 34= =
 Y 3 3 33 7 4 1 7 4 12 43x . x . x x .x .x x x= = =
3. Raíz de raíz
 
n n.mm a a=
 
 Ejemplos:
 Y 2.2 412 12 12 3x x x x= = =
 Y 3 612 12 2x 3 3 9= = =
 Y 4.216 40 16 40 16 40 2 5a .b a b a b a b= = =
4. Raíz de un cociente
 
n
n
n
a a
b b
=
 
 Ejemplo:
 Y 
981 81
144 144
= =
12
3
4
=
 Y 
312 12 4
3
9 33 9
a a 9
b bb
= =
 Y 
5 55
5
160 160 32 2
55
= = =
Marco teórico
Radicación
Álgebra233ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Calcula:
 
5 34F –32 – 16 – –64= 
 
2. Calcula:
 
1 1 1
3 4 2T 8 81 –25= +
3. Reduce:
 
3 5 3 55 7 4 8E x . x . x . x=
PUCP
4. Calcula:
 M 8 50 – 18= +
 
Resolución:
 
8 4.2 4 . 2 2 2
50 25.2 25 . 2 5 2
18 9.2 9 . 2 3 2
M 2 2 5 2 –3 2
M 7 2 –3 2
M 4 2
= = =
= = =
= = =
= +
=
= 
5. Calcula:
 M 27 12 – 75= +
 
6. Reduce:
 
3 6124 47 14 –2B x . x . x=
7. Calcula:
 
5 3432 625 64N – –
243 81 27
=
UNMSM
8. Calcula:
 
–1 –1 –13 4 5A 64 81 –32= +
Resolución: 
 
–1
–1
–1
13
3
14
4
15
5
=
=
=
 
1 11
3 54
3 54
A 64 81 –32
A 64 81– 32
A 4 3–2
A 5
= +
= +
= +
=
9. Calcula:
 
–1 –1 –13 2 6M 8 49 –64= +
10. Calcula:
 
6 4
6 4
128 64 27N – –
342
=
11. Calcula:
 
53 3 5A 9 . 3 8 . 4= +
UNI
12. Reduce: 
 
8 16 4 84P 81x y 36x y= +
Resolución:
8 16 4 84
4 8 16 4 84 4
2 4 2 4
2 4
P 81x y 36x y
P 81 x y 36 x y
P 3x y 6x y
P 9x y
= +
= +
= +
= 
 
13. Reduce: 
 
5 410 8Q 32x 81x= +
14. Calcula:
 
1– 2 341S –5 1
16
 = + 
 
Trabajando en clase
Álgebra 24 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando
15. Calcula:
 S = -643 - 325 - -1253
a) 1 b) –2 c) –1
d) 5 e) 2
16. Calcula:
N = 91/2 – 161/2 + 1441/2
a) 10 b) 7 c) 15
d) 11 e) 8
17. Reduce:
 
F = a116 . a35 . a6 . a25
a) 3 b) a5 c) a2
d) a e) a3
18. Calcula:
 P = 360,5 163 . 43 
a) 4 b) 2 c) 6 
d) 8 e) 1
 
19. Reduce:
 
W = x176 . x1938 . x1224
a) x b) x3 c) 1
d) x6 e) x2
20. Calcula:
 
F = 827
3 + 1681
4 - 1009
a) -6 b) -2 c) 2
d) -3 e) 6
21. Resuelve:
 
F = 52464 + 22054
a) 5 b) 10 c) 2
d) 15 e) 7
22. Resuelve:
 
A = 33
3
3







 
 
 
a) 1 b) -2 c) 2
d) 3 e) 5
23. Calcula:
 
P = 72
2
- 54
3
23
+ 8
2
a) 5 b) 10 c) -1
d) -5 e) 1
24. Calcula:
 R = 84 . 24 + 18 2 -811/2
a) 0 b) –1 c) 1
d) 4 e) 2
25. Calcula: 
 
N = x
605
x6
3 ; x >1 
a) x b) x4 c) x2
d) x5 e) x3
26. Calcula:
 
Q = 5 . 578 
a) 8 b) 10 c) 1
d) 5 e) 13
27. Calcula: 
 
R = 181
-1
4 -72 +17


 
 
a) -45 b) 40 c) -47
d) 50 e) 44
28. Calcula: 
 
M = 2m+4m . 22m-4m
 
 
a) 6 b) 16 c) 2
d) 32 e) 8
29. Indica el exponente final de “x”
 
C = x
65 . x75 . x85
x5 . x1059
 
 
a) x2/5 b) 2/5 c) 2
d) x2 e) 3/5
Álgebra253ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Son aquellas ecuaciones que presentan la incógnita 
en el exponente.
Ejemplo:
 
Teorema 1:
x ya a x y ;a 0
a 1
= ⇒ = ≠
≠
 Z 
 Z
x –8
23 1=
 Solución
 
 
8 0x
2
=–
 
 
8 x 16x2 = =
 Z 2x5 125=
 
 
2x 3
3x 2
=
=
Teorema 2:
x yx y x y; x, y 0= ⇒ = ≠
 Z
 Z ( )( )a 4a 4 27++ =
 
 Solución
 
Teorema 3
x xa b;a b x 0≠ = → =
 Z x 5 x 52 3 x 5 0
x –5
+ += → + =
=
 Z
b 8a–37 5 +=
 
 Solución:
 
a –3 0 a 3
b 8 0 b –8
= → =
+ = → =
 
Teorema 4
 
nx...x nx n x n= → =
 Z
5x...x 5x 5 x 5= → = 
Marco teórico
Ecuación exponencial
Álgebra 26 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Resuelve: 
 
x 9 132 2+ =
2. Resuelve:
 
aa 27=
3. Resuelve:
 
3x–4 3x–43 2=
PUCP
4. Resuelve:
 
2x–52 8=
Resolución: 
 
 
2x–52 8=
 
 2x – 5 = 3
 2x = 8
 x = 8/2
 x = 4 
5. Resuelve: 
 
3x–143 81=
6. Resuelve:
 
2x–105 5=
7. Resuelve:
 
4x 33 1+ =
UNMSM
8. Calcula “a”:
 
3–a a–116 32= Recuerda:
16 = 24
32 = 25Resolución: 
 
3–a a–116 32= 
 ( ) ( )
3–a a–14 52 2=
 
12 – 4a = 4a – 5
12 + 5 = 5a+ 4a
 17 = 9a
 17/9 = a
 
9. Calcula: “x”
 
x 2 x–881 9+ =
 
10. Calcula: x – 4
 ( )
( )x 1 7x 1 7++ =
11. Calcula: ”x”
 
5x...xx 5= 
UNI
 
12. Calcula: n 
 
n 1 n 2 3–n .n3 .9 27 .814+ + =
 
Resolución:
 Recordemos 
 9 = 32
 27=33
 81 = 34 
 
( ) ( ) ( )n 2 3–n 4–nn 1 2 3 4
n 1 2n 4 9–3n 16–4n
n 1 2n 4 9–3n 16–4n
3 . 3 3 . 3
3 .3 3 .3
3 3
++
+ +
+ + + +
=
=
=
 
 3n+5 = 25–7n
 3n+7n = 25–5
 10n = 20
 n = 2
 
13. Resuelve:
 
x 2 x 3 5–x4–x2 .4 8 .16+ + =
14. Resuelve:
 
x–2
327 81=
Trabajando en clase
Álgebra273ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Sigo practicando
15. Resuelve:
 3 = 3
x
2+7 10 
a) 34 d) 9 
b) 13 e) 8 
c) 6
16. Calcula: a + 1
 aa = 256
a) 4 d) 2 
b) 5 e) 1 
c) 3
Resuelve (ejercicios del 18 al 22)
17. 153x–2 = 133x–2
a) 2 d) 2/3 
b) 3 e) 1 
c) 3/2
18. 3 = 27x+5
a) 11 d) 2 
b) –3 e) 5 
c) 1
 
19. 73(x–1)–8=7
a) 2 d) 5 
b) 4 e) 10 
c) 1
20. 
5 = 1
3x
5 -6
a) 90 d) 10 
b) 353 e) 12 
c) 20
 
21. 125x–2 = 25
a) 3 d) 1/3 
b) –4/3 e) 4/3 
c) 8/3
22. Calcula: x2
 
x = 4x4
a) 1 d) 2 
b) 4 e) 8 
c) 16
23. Calcula: x2 +3 
 (3x – 4)(3x – 4) = 88
a) 4 d) 6 
b) 2 e) 5 
c) 3
24. Resuelve:
 
xxx
x7
= 7 
a) 7 d) 7 
b) 77 e) 1 
c) 73
25. Calcula: xx + 5
 2x . 2x+1 . 2x+2 = 512
a) 9 d) 8 
b) 6 e) 10 
c) 7
Calcula “x” (ejercicios del 27 al 30)
26. (32)x+5 = 243
a) 1/2 d) –1/2
b) 2 e) –5/2 
c) 0
27. 
125 = 25
3x+11
3 
a) 1 d) 5 
b) –1 e) 7 
c) 4
28. 
3 = 81x+3
a) 10 d) 13 
b) 11 e) 14 
c) 12
29. 2 = 1642x-3
a) 2 d) 3 
b) 4 e) 5 
c) 6
Álgebra 28 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Trabajando en clase
1. Calcula: xy
 x + 3y = 14
 –x + y = –2
a) 3 b) 5 c) 8
d) 10 e) 15
2. Reduce:
( ) ( ) ( )4 23 –1 –2–4 –5 –2S x . x .x .x=
a) x b) x4 c) x3
d) x2 e) x5
3. Calcula:
 
34 81 25 64A –
16 16 27
= +
a) 19
12
 b) 43 c) 
2
5
d) 7
9
 e) 1
3
4. Si la mitad de un número más su cuarta parte, 
más su tercera parte es igual a 26, calcula dicho 
número.
a) 21 b) 24 c) 22 
d) 20 e) 23
5. Resuelve: 2x – 5 = 11 e indica el valor de x4 .
a) 8 b) 1 c) 4
d) 2 e) 3
6. Resuelve:
 
x 1 4
2
+ =
a) 3 b) 4 c) 7
d) 5 e) 6
7. Resuelve:
 
x –1 x –2
3
2 3
+ =
a) 4 b) 6 c) 8
d) 5 e) 7
8. Si tengo S/.80 y gasto los tres cuartos de lo que no 
gasto, ¿cuánto gaste?
a) S/. 280 b) S/. 140 c) S/. 70 
d) S/. 160 e) S/. 120 
9. Calcula:
 
–1 –13 2E 8 –4=
a) 1 b) 4 c) 0
d) 5 e) 3
10. Resuelve:
 2x– 416 64=
a) 12 b) 
11
3 c) 
11
4
d) 134 e) 6
11. Resuelve:
 
x–3 327 9=
a) 4 b) 8 c) 6 
d) 3 e) 5 
12. Resuelve:
 
( )( )x 6 7 6x 6 13 .13++ =
a) 7 b)6 c) 5
d) 8 e) 4
Repaso
Álgebra293ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
SIGO PRACTICANDO
13. Calcula: xy
 x + 3y = 14
 –x + y = –2 
a) 3 d) 5 
b) 8 e) 10 
c) 15
14. Reduce:
 
a) x d) x4 
b) x3 e) x2 
c) x5
15. Calcula: 
 
A = 8116
4 - 2516 +
64
27
3
a) 1912 d) 
4
3 
b) 25 e) 
7
9 
c) 13
16. Si la mitad de un número más su cuarta parte, 
más su tercera parte es igual a 26, calcula dicho 
número.
a) 21 d) 24 
b) 22 e) 20 
c) 23
 
17. Resuelve: 2x – 5 = 11 e indica el valor de "x"4 
a) 8 d) 3 
b) 2 e) 4 
c) 1
18. Resuelve: 
 x2 +1 = 4
a) 3 d) 6 
b) 5 e) 7 
c) 4
 
19. Resuelve:
 x -1
2 +
x - 2
3 = 3
a) 4 d) 7 
b) 5 e) 8 
c) 6
20. Si tengo S/.80 y gasto los tres cuartos de lo que no 
gasto, ¿cuánto gaste?
a) S/.280 d) S/.140 
b) S/.70 e) S/.160 
c) S/.120
21. Calcula: 
 E = 8 - 43-1 2-1 
a) 1 d) 4 
b) 0 e) 5 
c) 3
22. Resuelve:
 162x–4 = 64
a) 12 d) 
13
4 
b) 113 e) 6 
c) 114
23. Resuelve:
 27x–3 = 93 
a) 4 d) 3 
b) 8 e) 5 
c) 6
24. Resuelve:
 (x+6)(x+6) = 137 . 136 
a) 7 d) 8 
b) 6 e) 4 
c) 5
Álgebra 30 3ro SECUNDARIA
Institución Educativa Privada 
“San Ignacio de Loyola”
“Formando líderes para el futuro”
Primer Bimestre
ARITMÉTICA
SECUNDARIA
1
Pág.
Números Naturales 33
Multiplicación y División de Números Naturales 37
Operaciones Combinadas 41
Números enteros 44
Multiplicación y División en Z 48
Operaciones Combinadas 51
Operaciones Combinadas en N y Z 54
Repaso 57
Aritmética331ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
CONTEXTUALIZACIÓN
¿Cómo podríamos expresar la edad, el peso?
¿Cómo indicamos la hora?
Los números sirven para expresar una cantidad determinada.
I. ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
 Se denomina adición a la reunión de varias canti-
dades en una sola llamada suma.
A+B=S
 1. Términos
 
 2. Leyes de la Adición
 ● Ley aditiva
 Si a ambos miembros de una igualdad se les 
adiciona una misma cantidad, se obtiene 
otra igualdad.
 ( )a b s a b k s k+ φ + + += =
 Ejemplo:
 
( )7 12 19 7 12 5 19 5
19 5 19 5
→= =
=
+ + + +
+ +
 ● Ley de cancelación
 Si en una igualdad se cancela un mismo 
número de ambos miembros, la igualdad 
no varía.
 Ejemplo:
 
9 5 10+ + 14 10= +
14 14=
II. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
 Se denomina sustracción al proceso de quitar 
una cantidad “S” (sustraendo) a otra cantidad 
“M” (minuendo) obteniendo un resultado “D” 
(diferencia).
Números Naturales 
Aritmética 34 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
 
M minuendo
S sustraendo
D diferencia
→
→
→
–
 
 1. Propiedades
 ● Minuendo + sustraendo + diferencia = 2 
minuendo
 
M S D 2M=+ +
 
 ● Sea: 
( )abc a c>
 Si: abc
cba
xyz
–
 Se cumple: y = 9; x + z = 9 y a – c = x + 1
 2. Complemento Aritmético
 Cantidad que le falta a un número para ser 
igual a una unidad de orden inmediato 
superior, a su cifra de mayor orden.
Ejemplo:
C.A. (17) = 102 – 17 = 83
C.A. (345) = 103 – 345 = 655
Método práctico
 
 
Integral
1. Completa los recuadros y 
suma dichos valores.
 
3 7
1 2 3
1 0
6 4
0 1
+
2. Al restar:
 
-8 0 0 2 1
5 9 2 7 9 2
6 3 3
 
 Suma dos valores que van 
dentro de los casilleros. 
3. En un día de playa, Pablo logró 
capturar 45 cangrejos; Camila, 
el doble de Pablo, Luis el triple 
de Camila.
 ¿Cuántos cangrejos lograron 
capturar los tres juntos?
PUCP
4. Si: (a + b + c)2 = 100.
 Calcula el valor de:
 
Resolución
Si: (a + b + c)2 = 100
 a + b + c = 10
b5a
9ac
acb
cb9
2069
+
 
Rpta.:
2069
5. Si: a + b + c = 14
 Calcula el valor de:
 M ab3 c2b 4ac bca= + + +
6. Si: a83 5b9 54c 1659=+ +
 Calcular: “a + b – c” 
7. Daniel compró una gorra a 
S/.15; una camisa en S/.10 más 
que la gorra y una casaca en 
S/.27. SI pagó con un billete 
de S/.100, ¿Cuánto recibió de 
vuelto?
Trabajando en Clase
Aritmética351ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
UNMSM
8. Hallar: “a + b + c”; si:
 ( )C.A. abc 100 243=+
Resolución:
( )
( )
C.A. abc 243 100
C.A. abc 143
= –
=
 
 
1000 143 abc
857 abc
– =
=
 a = 8; b = 5; c = 7
 8 + 5 + 7 = 20
Rpta.: 
20
9. Hallar “m + n + p”; si:
 ( ) 393C.A. mnp 248=+
10. Calcula:
 ( ) ( )mcba m 3 3nabc – = +
11. En una sustracción, hallar el valor del sustraendo, si 
se sabe que la diferencia es 125 y la suma de los tres 
elementos es 1540. 
UNI
12. Pablo utiliza una calculadora para efectuar:
 2172
3757 –
 
 Pero por error en lugar de la cifra 7 marca la cifra 9.
 ¿En cuánto se equivocó?
Resolución:
 Sust. Correcta
 
2172
1585
3757 –
 Sust. Incorrecta
 
2192
1767
3959 –
 El error fue:
 
1761 –
1585
 182 
Rpta.: 182 unidades
 
13. Leonardo utiliza una calculadora para efectuar:
 
4786-
3588
 
 
 Pero por error en lugar de la cifra 8 marca la cifra 2.
 ¿En cuánto se equivocó? 
14. En una sustracción al minuendo le aumentamos 3 
decenas y al sustraendo le disminuimos 2 centenas, 
entonces la diferencia aumenta en:
Aritmética 36 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Integral
15. Completa los recuadros en 
blanco y suma dichos valores:
4 9 +
1 0
1 1 4
8 0 6
a) 53 d) 51 
b) 35 e) 70 
c) 14
16. Luego de completar la sustrac-
ción:
9 4 3 -
1 0 9
2 3 6 0
a) 42 d) 25 
b) 35 e) 24 
c) 52
Suma los valores encontrados
17. Luis, Elías y Daniel van al su-
permercado. Elías gasta S/.15 
más que Daniel, quien gasta el 
doble de lo que gastó Luis. Si 
se sabe que Luis gastó la cuarta 
parte de S/.600, ¿cuánto gastó 
Elías?
a) S/. 318 
b) S/. 153 
c) S/. 315
d) S/. 513 
e) S/. 333 
18. Si: (a+b)3= 729
 Halla 2(aa + bb)
a) 200 d) 198 
b) 199 e) 189 
c) 188
Católica
19. Si: 7m8 + 53n + p52 = 2135
 Calcula “m + n – p”
a) 2 d) 1 
b) 5 e) 4 
c) 3
20. Richard compró una botas a 
S/.65; unos cascabeles a S/.17; 
un sombrero a S/.35 y unos 
guantes a S/.12. Si pagó con 4 
billetes de S/.50, ¿cuánto reci-
bió de vuelto?
a) S/. 22 
b) S/. 21 
c) S/. 20
d) S/. 18 
e) S/. 71 
21. La suma de los términos de 
una sustracción es la tercera 
parte de 1440. ¿Cuál es el do-
ble del minuendo?
a) 840 d) 480 
b) 804 e) 400 
c) 408
22. Encuentra el número de tres 
cifras que sea igual a los 3/5 de 
su C.A
a) 500 d) 735 
b) 408 e) 537
c) 375
23. En:
 abc - cba = (x + 5) y (z +1) 17
 Calcula: x + z + y
a) 12 d) 13 
b) 21 e) 14
c) 22
24. En una sustracción halla el va-
lor de la diferencia si se sabe 
que el sustraendo es 1540 y la 
suma de los tres términos es 
7442.
a) 2081 d) 21 
b) 2181 e) 81 
c) 281
25. La mitad de lo que tienen Nora 
y Rita juntas es S/.25. Si el di-
nero que tiene Rita excede en 
S/.8 al de Nora, ¿cuánto tiene 
Nora?
a) 42 d) 12 
b) 32 e) 21 
c) 22
26. ¿A cuánto debe vender José un 
terreno que le costó S/.17906 
para ganar S/.2050?
a) S/.156 
b) S/.10956 
c) S/.19056
d) S/.19956
e) S/.1956 
27. La diferencia de 2 números es 
408. Si al mayor le quitamos 15 
y al menor le aumentamos 30, 
¿cuál es la nueva diferencia?
a) 333 d) 353 
b) 343 e) 323 
c) 363
28. Daniel emplea una calculado-
ra para resolver:
4598 -
1755
 Pero en vez de marcar la cifra 
5 marcó la cifra 7. ¿En cuánto 
se equivocó?
a) 178 d) 179 
b) 176 e) 176 
c) 177
29. Si; P + Q + R =45
 P = C.A.(83), Q = CA(23)–70
 Calcula el valor de “R”
a) 22 
b) 13 
c) 12
d) 18 
e) 21
SIGO PRACTICANDO
Aritmética371ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
3 x 3 = 9
3 x 2 = 6
Multiplicación y División 
de Números Naturales
Aritmética 38 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar 
uno de los factores consigo mismo, tantas veces como 
indica el otro factor.
Términos
PM.m=
Donde: 
M = multiplicando
m= multiplicador
p = producto
I. LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN 
 1. Ley distributiva
 
 
 Ejemplo:
 
 2. Ley de cancelación
 Si: 
 b.k a. ka.k ⇒= b. k=
a b=
 
 Ejemplo:
 
12 12.k= .9
k 9=
II. DIVISIÓN EN N
 Operación que consiste en averiguar cuántas 
veces un número estácontenido en otro. El 
resultado recibe el nombre de cociente.
 
D d
qr
 
 Donde:
 D = dividendo d = divisor
 q = cociente r = residuo
 
 Algoritmo de la división
 
d qD r= +.
 
III. CLASES DE DIVISIÓN 
 1. División exacta 
 Una división es exacta cuando el resto es cero
 ;15 3 5φ =
 2. División inexacta 
 Cuando el resto es distinto de cero.
 
34 13
26 2
8– 
48 6
45 9
3–
 ● Residuo máximo (Rmáx.)
 Rmáx = divisor –1 
 ● Residuo mínimo (Rmín.)
 Rmín = 1 
Integral
1. Si: 
 p 132
m 240ab
ab =
=
.
.
 
 
 Calcula 
 pmab .
 
2. Completa los espacios en 
blanco en:
 
Da como respuesta el producto de 
las cifras encontradas.
3. Al dividir un número “N” entre 
15, el cociente es 35 y el residuo 
es máximo. Calcula “N”.
MULTIPLICACIÓN EN N
240 8
240 30
Trabajando en Clase
Aritmética391ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
PUCP
4. El producto de dos números 
es 1550 si uno de los factores 
aumenta en 3 unidades, el 
producto lo hace en 150. Da la 
diferencia de ambos números.
Resolución:
 M.m= 1550
 
 
 
31155050m∴ = =
 
 Piden:
 M – m = 50 – 31 = 19
Rpta.:
19
5. El producto de dos números 
es 1242. Si el multiplicando 
aumenta en 25, el producto 
lo hace en 225.
 Da como resultado el número 
mayor.
6. En una división exacta, el 
cociente de dos números es 
15 y a la suma de ellos es 144. 
Calcula el divisor.
 7. Un comerciante compró 9 
rollos de manguera de 50m, 
cada uno y pago S/.2700 en 
total. Después, vendió cada 
metro de manguera a S/.10, 
¿Cuánto ganó por la venta de 
cada rollo?
UNMSM
8. Si: 99 da177dan =. 
 Calcula: dannada+ 
 Resolución:
 
 
dan
... 177
danoo⇒ –
 
 
piden:
nada 3212
dan 123
3335
⇒
⇒
+ +
Rpta.:
3335
9. Si: 99 bc879abc . =
 Calcular bcab+
 
10. Pedro gastó S/.1350 
comprando pantalones a S/.50 
cada uno. Si vende la tercera 
parte de los pantalones a S/.70 
cada uno, otros 5 pantalones 
a S/.90 cada uno, y el resto 
a S/.100 cada uno, ¿Cuánto 
ganó en la venta de todos los 
pantalones? 
 
11. Si de 3 sacos de harina se pueden 
elaborar 171 panetones, ¿Cuántos 
panetones se elaborarán con 13 
sacos de harina?
UNI
12. Al multiplicar un número de tres 
cifras por 34 se obtuvo como suma 
de sus productos parciales 3171. 
Determina cuál es el número.
 
 Resolución:
 
}



abc x
34
4 abc
Pr oductos parciales
3 abc
mpsrq Pr oducto final
.
.
 
 
7abc 3171
3171abc
7
abc 453
=
=
=
Rpta.:
453
13. Al multiplicar un número de 
tres cifras por 45 se obtuvo como 
suma de sus productos parciales 
3213. Determina el producto de 
cifras del número inicial.
14. En una división inexacta, el 
dividendo es 1923, además el 
divisor es el doble del cociente. Si el 
cociente es 31 y el residuo mínimo.
 Calcula la suma de los cuatro 
términos de dicha división 
Aritmética 40 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Integral
15. Si: ab . p = 314
 ab.q=125 
 
 Calcula: “ ab . pq ”
a) 5431 d) 3000 
b) 5000 e) 3265 
c) 4000
16. En:
 7D35 1A
65 5N1
93
9I
E5
L3
12
 Halla los valores desconocidos 
y suma:
 “D + A + N + I + E + L”
a) 18 d) 12 
b) 19 e) 13 
c) 16
17. Al dividir un número “P” en-
tre 17, el cociente es 42 y el re-
siduo es mínimo. Calcula “P”
a) 718 d) 735 
b) 695 e) 715 
c) 706
18. Al multiplicar un número de 
tres cifras por 52, la suma de 
sus productos parciales es igual 
a 889. Halla dicho número.
a) 300 d) 271 
b) 127 e) 217 
c) 721
19. En una división exacta, el co-
ciente de dos números es 23 y 
la suma de ellos es 432. Calcu-
la el divisor. 
a) 18 d) 17 
b) 19 e) 20 
c) 21
20. Edwin compró 20 rollos de ca-
ble de 80m cada uno y pagó en 
total S/.6400. Después vendió 
cada metro de cable a S/. 6, 
¿cuánto ganó por toda la venta? 
a) S/.3100 
b) S/.4800 
c) S/.3200
d) S/.3500 
e) S/.2400 
Católica
21. Un número se divide entre 8 
obteniéndose 30 de cociente y 
2 de residuo. Si dicho número 
se divide entre 15, ¿cuál es su 
residuo? 
a) 4 d) 3 
b) 7 e) 5 
c) 2
22. Un número se divide entre 7 
obteniéndose 512 de cociente 
y 3 de residuo. Si dicho núme-
ro se divide entre 9, cuál es su 
residuo? 
a) 8 d) 6 
b) 5 e) 7 
c) 2
23. Leonardo gasto S/.2700 com-
prando camisas a S/.60 cada 
una. Si vende la quinta parte 
a S/.72 cada una y la novena 
parte S/.80 cada una y el resto 
a S/.75 c/u, ¿cuánto ganó en la 
venta de todas las camisas? 
a) S/.645 d) S/.673 
b) S/.802 e) S/.743 
c) S/.593
24. Si con 6 sacos de harina se pue-
den preparar 4500 bizcochos 
¿cuántos bizcochos se prepa-
ran con 11 sacos de harina? 
a) 8250 d) 8750 
b) 9050 e) 6750 
c) 7920
25. Si: paz .99 = pa355 
Calcula: paz -144
a) 3 d) 0 
b) 1 e) 2 
c) -1
26. Al multiplicar un número de 
tres cifras por 32 se obtuvo como 
suma de sus productos parciales 
1105. Determina el número.
a) 122 d) 405 
b) 321 e) 504 
c) 221
27. En una división el cociente es 
156 y el residuo es 6; al agregar 
1000 unidades al dividendo y 
al repetir la división se obtiene 
un cociente de 173 y un resi-
duo de 54. Hallar el divisor.
a) 86 d) 65 
b) 76 e) 56 
c) 75
28. Cuando un cierto número “N” 
es dividido por 3, el resultado 
es el mismo que cuando a N se 
le resta 28. ¿Cuál es el cociente 
de dividir N entre 2?
a) 12 d) 31 
b) 22 e) 41 
c) 21
 
29. Si se aumenta 10 a los dos 
factores de un producto, este 
quedará aumentado en 1100. 
¿Cuál será dicho producto si la 
diferencia de sus factores es 20?
a) 4800 d) 2400 
b) 3500 e) 1500 
c) 6300
SIGO PRACTICANDO
Aritmética411ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
OPERACIONES COMBINADAS SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En una expresión numérica formada por adiciones, sustracciones, multiplicación y división; radicación y potencia-
ción, sin signos de agrupación, se realiza las operaciones de izquierda a derecha en el orden en el que aparecen.
Ejemplo:
 
OPERACIONES COMBINADAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En las expresiones con paréntesis, primero se realizan las operaciones que están dentro del paréntesis, hasta 
erradicar todos los signos de agrupación (llaves, corchetes, etc.). Al final se operan de izquierda a derecha, 
según el orden en el que aparecen.
Ejemplo:
Prioridades
1. Resolver operaciones entre signos de colección 
2. Resolver las radicaciones y potenciaciones
3. Resolver las divisiones y multiplicaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha
4. Finalmente resolver las adiciones y sustracciones, convenientemente. 
Operaciones combinadas
Aritmética 42 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Un comerciante compró 1200 
pantalones a S/.35 cada uno. 
Si obtuvo una recaudación de 
S/.44400, ¿A cuanto los ven-
dió?
2. Resolver:
 20x(13 + 27)– 40 ÷ 5 x 7 + 12 x 7 ÷ 3
3. En:
 P = 2 . {4.[7 + 4 .(5 . 3 – 9)] – 3 . 32}
 Calcular: “P – 55”
PUCP
4. Multiplico un número por 5, al 
resultado le quito 12, sumo 27 
a esa diferencia y finalmente, 
al resultado, lo divido entre 4 
obteniendo como resultado 
final 20.
 ¿Cuál es el número?
Resolución:
 
Rpta.:
13
 
5. Multiplico un número por 4, 
al resultado le quito 20, luego 
le sumo 24 a esa diferencia 
para finalmente dividirlo entre 
8, obteniendo como resultado 
5. ¿Cuál es el número?
6. Para ganar una deuda de 
2180 dólares, Pablo paga con 
billetes de 5, 10 y 50 dólares. 
Si da 14 billetes de 50 dólares 
y 24 billetes de 10, ¿Cuántos 
billetes de 5 dólares necesita 
para cancelar la deuda?
7. Camila compró 5 docenas de 
vasos a S/.9 cada docena para 
venderlas a S/.2 cada vaso. 
¿Cuánto ganó si, durante la 
venta total, se le rompieron 5 
vasos? 
UNMSM
8. En un corral donde solo hay 
pavos y cerdos, se cuentan 
en total 72 alas y 168 patas. 
¿Cuántos cerdos hay?
Resolución:
 Del enunciado:
 
#alas
# pavos 2
72# pavos 362
=
= =
 Y Pavos = 36.2 patas 
 = 72 patas
 Y Cerdos = 168 – 72 
 = 96 patas
 N° de cerdos = 96
4
 = 24 cerdos
Rpta.:
24
 
9. En un corral hay patos y cuyes; 
en total se cuentan 48 alas y 68 
patas. ¿Cuántos patos y cuyes 
hay un corral?10. Calcula:
 4 x [3 + 6x (5 + 3 – 6)]–3 x[5 – (1 + 2)]
11. Resolver:
 Q=169 x 5–[(64 + 12)+(243–128)] 
da como respuesta “Q – 154”
UNI
12. De un salón “A” pasan al salón 
“B” 25 alumnos; luego del 
salón “B” pasan al salón “A” 
32 alumnos. Si al final “A” y 
“B” tienen 70 y 80 alumnos, 
respectivamente, ¿Cuántos 
alumnos tenía inicialmente 
cada salón?
Resolución:
 
Rpta.:
63 y 87
 
13. De un salón “A” pasan al salón “B” 
18 alumnos, luego del salón “B” 
pasan al salón “A” 23 alumnos. 
Si al final “A” y “B” tienen 65 y 
53 alumnos, respectivamente, 
¿Cuántos alumnos tenía 
inicialmente cada salón?
14. María compró 16 docenas de 
libros de aritmética a S/.18 
cada uno y recibe un libro 
más por cada docena. En la 
factura le hacen una rebaja 
de S/200. Si cada ejemplar lo 
vende a S/.24, ¿Cuánto ganará 
al vender todos los libros?
Trabajando en Clase
Aritmética431ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
15. Un comerciante compra 98 camisas a S/.45 cada 
una, ¿a qué precio debe vender cada uno para ob-
tener una ganancia total de S/.1274? 
a) S/.58 c) S/.72 e) S/.64 
b) S/.66 d) S/.56
16. Resolver:
 5 – 2(3 × 4 – 5 × 2)+3 [4 + 2(21 – 4 × 5) +1]
a) 42 c) 22 e) 62 
b) 32 d) 52
17. En: K = 52 - 22x5 + 83 + 2(32 - 23) calcular: “K -8”
a) 0 c) 3 e) 5 
b) 1 d) 4
18. Si en una caja blanca hay 5 cajas rojas y en cada 
roja hay 4 cajas verdes, ¿cuántas cajas hay en to-
tal? 
a) 66 c) 62 e) 76 
b) 36 d) 26
19. Para pagar una deuda de 2180 euros, Ángel paga 
con 14 billetes de 50 euros y 24 billetes de 10 eu-
ros. ¿Cuántos billetes de 5 euros necesita para 
cancelar la deuda? 
a) 124 c) 842 e) 824 
b) 248 d) 428
20. Se forma un batallón con 12 filas de 10 soldados 
cada una. ¿Cuántos camiones se necesitarán para 
transportarlos si en cada camión pueden viajar 15 
soldados? 
a) 38 c) 12 e) 8 
b) 28 d) 11
21. Tenía S/.2576. Compré ropa por un valor de 
S/.854 y con el resto de dinero compré corbatas a 
S/.6 cada una. ¿Cuántas corbatas compré? 
a) 127 c) 827 e) 728 
b) 827 d) 287
22. De un salón “A” pasan 15 alumnos al salón “B” y 
de éste pasan 35 alumnos al salón “A”. Si al final 
“A” y “B” tienen 70 y 100 alumnos, respectiva-
mente, ¿cuántos alumnos tenía inicialmente cada 
salón? 
a) 50 y 120 c) 50 y 130 e) 50 y 210 
b) 40 y 120 d) 60 y 60
23. Resolver:
 3x 42 - 9 - 23 + 164( ){ } 
a) 33 c) 53 e) 73 
b) 43 d) 63
24. Resuelve: 
 R = 32 x 7 –[481 – 436 + 50 ÷ 25] 
 da como respuesta “R +80” 
a) 237 c) 257 e) 417 
b) 396 d) 243
25. José compró 40 camisetas por S/.480. Si en la ven-
ta de 20 camisetas quiere ganar lo que ha pagado 
por 10 camisetas, ¿a cuánto debe vender estas ca-
misetas? 
a) S/.38 c) S/.32 e) S/.24 
b) S/.18 d) S/.21
26. Multiplica un número por 8, agrégale 8, divídelo 
entre 2, réstale 4 y multiplícale por 3 y obtendrás 
60, ¿Cuál es el número? 
a) 8 c) 6 e) 5 
b) 7 d) 4
27. Un granjero compro 80 vacas a S/.600 cada una 
luego vendió 50 a S/.800 cada una y el resto a 
S/.500 cada una ¿Cuánto gano? 
a) S/. 7000 c) S/. 7080 e) S/. 8050 
b) S/. 7060 d) S/. 750029. Alberto compró 
15 libros a S/.12 cada uno; como se deteriora-
ron nueve, tuvo que venderlos a S/.8 cada uno 
¿A cuánto tiene que vender los restantes para 
no perder? 
a) S/.20 c) S/.332 e) S/.21 
b) S/.19 d) S/.18
28. Un cajero tiene 10 fajas de dinero con 20 bille-
tes de S/.50 cada uno, ¿cuánto de dinero tiene en 
total? 
a) S/. 4500 c) S/.10010 e) S/. 10100 
b) S/. 10800 d) S/. 10000
SIGO PRACTICANDO
Aritmética 44 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
En Piura se registra una 
temperatura de 39 grados 
→ + 39° C
En Cerro de Pasco se 
registra una temperatura 
de 5 grados bajo 0 → –5 °C
Los números negativos, positivos y el cero forman el conjunto de números enteros. Este conjunto se simboliza 
por Z y se representa en la recta numérica.
 Z Números enteros positivos: Z+ = {+1; +2; +3; +4; +5; +6…}
 Z Números enteros negativos: Z– = {…; –6; –5; –4; –3; –2; –1}
 
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Ejemplos:
 Z –3 < 2
 Z –31 < 0
 Z +41 > –41
 Z –13 < –9
Números enteros
Aritmética451ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
VALOR ABSOLUTO
Ejemplo:
 Z –3 = 3
 Z +3 = 3
 Z –335 = 335
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Representamos en la recta numérica cada situación
(+8)+(+5) → marcamos +8 y avanzamos 5 unidades:
 (+8)+(+5) = +13
(–7)+(–3) → marcamos –7 y retrocedemos 3 unidades:
 
 (-7)+(–3) = –10
(+6)+(–2) → marcamos +6 y retrocedemos 2 unidades:
(+6) + (–2) = +4
(–3)+(+5) marcamos –3 y avanzamos 5 unidades
(–3)+(+5) = +2
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Se puede representar como la adición de dos enteros de diferente signo.
a – b = a + (–b)
Ejemplos:
 Z Sustracción: (–15) – (–20) 
 ↓ cambia
 Adición: (–15) + (+20)
 = +15
 Z Sustracción: (–20) – (+18) 
 ↓ cambia
 Adición: (–20) + (–18)
 = –38
Aritmética 46 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Resuelve: 
 25 + 40 – (6 – 4) + [5 – (8 – 9)]
2. Hallar el valor absoluto de:
 a) – 15 =
 b) 5 =
 c) – 2 =
 Calcula el producto de los 
resultados
3. En una cuenta bancaria se 
hace un depósito de S/.23000, 
la siguiente semana se efectúa 
un retiro de S/.12450, dos días 
después se depositan S/.2500 
más y al otro día se retiran 
S/.1589. ¿Cuánto se tiene en la 
cuenta bancaria?
PUCP
4. Pitágoras murió el años 493 
a.C y nació en el año 580 a.C 
¿Cuántos años vivió?
Resolución: 
 Edad = año ___ año
 murió nació
 ⇒ Edad = –493 – (–580)
 = –493 + 580
 Edad = +87 años
5. El gran matemático Euclides 
murió en el año 265 a.C y nació 
en el años 325 a.C ¿Cuántos 
años vivió?
6. Pablo y Camila van en bicicleta 
y salen del mismo lugar. 
Camila avanza 6 km y luego 
retrocede 2 km, mientras que 
Pablo avanza 8 km y retrocede 
5 km.
a) ¿A qué distancia se 
encuentra uno del otro?
b) ¿Quién ha recorrido más 
kilómetros y cuántos?
 
7. Resolver:
 [5+(–3+6)+(–2)]–[(–4+10)+(–3)–(–5)]
UNMSM
8. El nivel de agua de una represa 
ha disminuido 8 cm diarios 
durante 6 días. A causa de las 
lluvias caídas, en los 3 días 
siguientes ha subido el nivel 
7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el 
desnivel final del agua de la 
represa?
Resolución:
 Disminuido = –8 . 6 = –48 cm
 Subió = 7 . 3 = 21 cm
 
 
9. En un depósito hay 800 L de 
agua. Por la parte superior un 
tubo vierte 25L por minuto y 
por la parte inferior salen 30L 
por minuto. ¿Cuántos litros 
de agua habrá después de 15 
minutos?
10. Los trabajadores de una mina 
se encuentran a 20 metros bajo 
tierra. Si excavan 3 metros y 
desde allí suben 8 metros, ¿A 
qué altura estarán ahora? 
11. El termómetro marca una 
temperatura de 2° grados bajo 
cero a las 7 de la mañana. Para 
las 3 de la tarde la temperatura 
ha subido 18 grados. 
 ¿Qué temperatura marca el 
termómetro a la 3 p.m.?
UNI
12. Miluska decide ponerse a 
dieta: el primer día bajó 500 
gramos; el segundo, 200 g más 
que el día anterior y el tercer 
día subió 400g, ¿Subió o bajó 
de peso Miluska y cuánto?
Resolución:
 Bajo = negativo
 Subió = positivo
 
Rpta.: 
 Miluska bajó 800 gramos
13. Daniel decide bajar de peso: 
el primer mes bajó 20 kg; el 
segundo mes, 5 kg más que el 
mes anterior y el tercer mes 
subió 15 g. Daniel bajó o subió 
de peso y cuánto?
14. La suma de dos números es 
–23. Si uno de ellos es –17, 
¿cuál es el triple del otro 
número?
Trabajando en Clase
Aritmética471ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
15. Resuelve:
 (6)–(+5)+(+4)–(–2)–(+1) 
a) 3 c) 5 e) 6 
b) 4 d) -6
16. Halla el valor absoluto de:
 | –5 | =
 | 10 | =
 |–15| =
 |–23| =
17. Un cajero automático ha iniciado sus operaciones 
con 5800 euros, si al mediodía tuvo retiros por un 
total de 4500 euros, luego se le colocan 3500 euros 
más, ¿con cuánto de dinero cuenta? 
a) 48 euros c) 480 euros e) 4 euros 
b) 4800 euros d) 408 euros
18. Si María sale de su casa y camina 9 km hacia el 
norte y luego 6 km hacia el sur, ¿qué tan lejos está 
de su casa (en km) 
a) 3 km c) 5 km e)7 km 
b) 4 km d) 6 km
19. Víctor avanza 22m escalonando una montaña, 
resbala 5m; luego vuelve a subir 18m; cae 3m; as-
ciende nuevamente 12 m y vuelve a caer 1m. ¿A 
qué distancia se encuentra Víctor con respecto al 
punto de partida? 
a) -43 m c) 43 m e) 34 m 
b) 24 m d) 42 m
20. Resuelve:
 7–[(–3)–{(+6)–[–(–1)–(+2)]+(–2)} + (+7)] 
a) -8 c) 8 e) 12 
b) 10 d) 11
21. Resuelve:
 [(–12) – (–20)]–[(+6)+(5–9)–(8–11)]
a) 3 c) 4 e) 6 
b) -3 d) 5 
22. Cierto habitante de la Roma antigua nació en el 
año 89 a.C y se casó a los 35 años. ¿En qué año 
ocurrió su matrimonio? 
a) 32 d.C c) 54 d.C e) 23 d.C 
b) 54 a.C d) 45 d.C
23. ¿Qué distancia hay entre el suelo del pozo de una 
mina situado a 546 m de profundidad y el tejado 
de una casa de 38 metros de altura? 
a) 588 m c) 854 m e) 586 m 
b) 485 m d) 584 m
24. Una cámara frigorífica tenía una temperatura de 
13°C bajo cero. Si después la temperatura bajo 
5°C, ¿cuántos grados tiene ahora la cámara? 
a) 18°C bajo cero d) 17°C 
b) 18°C e) 16°C bajo cero 
c) 15°C
25. Entre 6 a.m. y el mediodía, la temperatura subió 
12°C. si las 6 a.m. la temperatura era de –5°C, 
¿qué temperatura indicaba el termómetro al me-
diodía? 
a) –7° c) 7°C e) 6° 
b) 2° d) 4°
26. Un cuerpo tenía una temperatura de –3°C; al so-
meterla al calor su temperatura aumentó 30°C 
¿cuál es su temperatura final? 
a) 5° c) -27° e) 37° 
b) 72°C d) 27°
27. La suma de dos números enteros en –8. Si uno 
de ellos es 15, calcula el cuádruple del otro número.
a) 92 c) -92 e) -64 
b) -84 d) 84
28. Un avión vuela a 4500 m de altura y un submari-
no está sumergido en el mar a 60 m de profundi-
dad ¿qué altura en metros los separa? 
a) 456 c) 45600 e) 4506 
b) 4650 d) 4560
29. Euclides nació en el año 300 a.C y Pitágoras en el 
año 580 a.C ¿Por cuántos años se diferencian sus 
edades? 
a) 820 c) 200 e) 28 
b) 280 d) -280
SIGO PRACTICANDO
Aritmética 48 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
I. MULTIPLICACIÓN
 Regla de signos 
 + . + = +
 – . – = +
 + . – = –
 – . + = –
 
3 . –7 = –21
↓ ↓ ↓
Factor 
positivo
Factor 
negativo
Producto
negativo
 
 
–2 . –3 = +6
↓ ↓ ↓
Factor 
negativo
Factor 
negativo
Producto 
positivo
 Ejemplos:
 Y –5 × – 8 = 40
 Y +7 × – 4 = –28
 Y +12 × – 3 = –36
 Y –15 × 4 = –60
II. DIVISIÓN
 Regla de signos 
 + ÷ + = +
 – ÷ – = +
 – ÷ + = –
 + ÷ – = –
Ejemplos:
 Y –48 ÷ – 3 = +16
 Y 125 ÷ –5 = –25
 Y (–108) ÷ (–12) = 9
 Y (81) ÷ (–3) = –27
Integral
1. Mónica en los próximos 6 meses tiene que pagar S/. 
140 mensuales en movilidad escolar. ¿Cuánto gastará 
en total?
2. Completa la pirámide multiplicando y calcula “M”. 
 
 
donde 
C
a b
 a x b = C
3. Completa:
a) (6) (–7) = 
b) . (–15) = + 45
c) (–8) . = –72
d) (–2) . . (–5) = –150
Trabajando en Clase
Multiplicación y División en Z
Aritmética491ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
PUCP
4. Resuelve:
 (–2)(+3)(–1)(+1)(4)
Resolución: 
(–2)(+3)(–1)(+1)(–4)
 –6 (–1) (–4)
 +6 . –4 = –24
5. Resuelve:
 [(–36) ÷ 4] [72 ÷ (–8)]
6. Si un número se duplica y luego se le resta el triple de 
–4, se obtiene la quinta parte de –30 ¿Cuál es el 
número?
7. Si A = –8 . –(–6)
 B = (+7) – (–5)
Halla “A × B” 
UNMSM
8. En un examen cada pregunta acertada tiene un valor de 
4 puntos; cada pregunta errada tiene 2 puntos en contra y 
cada pregunta en blanco 1 punto en contra.
 Si Pablo respondió 15 preguntas bien; se equivocó en 8 y 
dejó en blanco 5, ¿qué puntaje obtuvo?
Resolución:
 Acierto = 4 
 Error = –2
 Blanco = –1
 Del problema:
 Aciertos = 15(4) = 60
 Error = 8(–2) = –16
 Blanco = 5(–1) = –5
 
∴ 60 – 16 – 5 =
44 – 5 = 39 puntos
9. En una encuesta, Camila respondió acertadamente 12 
preguntas y falló en 8 de ellas. Si cada acierto tenía 
un valor de 5 puntos, y cada error significaba 3 
puntos en contra, ¿qué puntaje obtuvo Camila?
10. Si a un número se le suma el triple de –5 y luego se 
triplica, se obtiene +24, ¿Cuál es el número?
11. Calcula “A × B”, si: 
 A = –4 . (–5) ÷ –2 + –5
 B = (–15 ÷ 3 + 5) . –2
UNI
12. Cuando dividimos un número por 7, obtenemos como 
residuo 6; pero cuando lo dividimos por 8 se obtiene 
el mismo cociente pero de resto 4. Calcula el valor del 
cociente
Resolución:
 
 N 7
 q 
 6 
 N 8
 q 
 4 
∴ 7q + 6 = 8q + 4
 2 = q
=
⇒N = 7q + 6 ⇒N = 8q + 4
 
13. Cuando dividimos un número por 6, obtenemos como 
residuo 5; pero cuando lo dividimos por 7, se obtiene 
el mismo cociente, pero de residuo 1. 
 Calcula el valor del cociente.
14. La edad de Judith está dada por la expresión:
 [(–56) ÷ (–7)][(–1)(–2)]
 ¿Cuál es su edad?
Aritmética 50 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
15. Doña Justa paga una deuda a 15 cuotas mensuales 
de 98 soles. ¿cuánto es la deuda de doña Justa? 
a) S/.1480 c) S/.1290 e) S/.1550 
b) S/.1470 d) S/.1408
16. En la siguiente pirámide:
 
-4 -2 +1 -3
 
 Calcula el valor del último casillero multiplicando 
cada par de valores.
a) -96 c) 49 e) 36 
b) 94 d) 96
17. Completa: 
 • (9) (–5) = 
 • (–13) = +52
 • (–7) = –21
 Da como respuesta la suma de los recuadros.
a) 48 c) -44 e) 44 
b) -38 d) -46
18. Tengo cierto número de pelotas para vender. Si 
las vendo a S/.17 cada una, ganó S/.12; pero si las 
vendiera a S/.15 cada una perdería S/.6 en total. 
¿Cuántas pelotas tengo para vender? 
a) 3 c) 18 e) 19 
b) 9 d) -9
19. Si una cantidad se triplica, luego se le quita el do-
ble de 7, se obtiene la octava parte de 32. ¿Cuál es 
el número? 
a) 20 c) 18 e) 14 
b) 6 d) 42 
20. Calcula a – b – c en (-3).(+5).(-7).(9) = abc 
a) 5 c) 0 e) 2 
b) 10 d) 25
21. Halla el dividendo sabiendo que el divisor es –15 
y el cociente es –22, además, la división es exac-
ta. 
a) 30 c) -330 e) 330 
b) 303 d) 33
22. Cuando dividimos cierto número por 50, obtene-
mos como residuo 20; pero si dividimos el mismo 
número por 52, obtenemos el mismo cociente, 
pero 4 de residuo, calcula el cociente. 
a) 9 c) 10 e) 16 
b) 7 d) 8
23. Si a un número se le suma el doble de –13, luego 
se cuadruplica y se obtiene –152. ¿Cuál es el nú-
mero? 
a) 14 d) 18 
b) 48 e) –20 
c) –12
24. Calcular: (–a .–b).(–c .–d) 
 si: (–28635)÷(–23)= abcd 
a) 24 c) 12 e) 40 
b) 8 d) 53
25. Fabián participa de un examen donde respon-
dió correctamente solo 12 preguntas; respondió 
5 incorrectamente dejo 4 en blanco. Si por cada 
acierto gana 5 puntos; por cada error, –3 puntos y 
por preguntas en blanco –2, ¿qué puntaje obtuvo 
Fabián? 
a) 73 c) 60 e) -8 
b) 37 d) –15
26. El doble de la suma de dos números es 100 y el 
cuádruple de su cociente es 36. Halla los números.
a) 40 y 5 
b) 45 y 2
c) 45 y 5 
d) 54 y 5
e) 40 y 2028. Al efectuar una división se 
notó que el divisor es el triple del cociente y el 
residuo fue el doble del cociente. Si el dividendo es 
261, ¿cuál fue el residuo? 
a) 27 c) 24 e) 9 
b) 15 d) 18
27. José quiere compartir entre sus hijos cierto nú-
mero de caramelos. Si les da 8 caramelos a cada 
uno, le sobran 17 y si les da 12 caramelos, le faltan 
27, ¿cuál es el número de hijos? 
a) 10 c) 11 e) 14 
b) 12 d) 13
28. La cantidad de dinero que tiene Rubén coincide 
con el valor de la siguiente expresión:
 (–80)÷(–16)×10 + (–8).(–7)
 ¿cuánto dinero en soles tiene Rubén? 
a) S/.105 c) S/.99 e) S/.106 
b) S/.87 d) S/.120
SIGO PRACTICANDO
Aritmética511ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
I. SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN
• Realizamos las multiplicaciones y divisiones 
en el orden en el que aparecen porque las dos 
operaciones tiene la misma prioridad.
• Efectuamos las adiciones y sustracciones de 
izquierda a derecha.
Ejemplos:
1. 10 ÷ 2 + 5 . 3 + 4 – 5 . 2
 5 + 15 + 4 – 10
 20 + 4
 24 – 10 = 14
 
2. 8 + 10 ÷ 2 + 4 . 3 – 9 – 5 . –3
 8 + 5 + 12 – 9 + 15
 13 + 12
 25 – 916 + 15 = 31
II. CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
• Primero se desarrolla las operaciones que están 
dentro de los paréntesis.
• Si hubieran corchetes y llave se resuelven los 
ejercicios que están dentro del mismo respetando 
la jerarquía.
• Luego procedemos con las multiplicaciones y 
divisiones 
• Finalmente, efectuamos adiciones y sustracciones 
de izquierda a derecha.
Ejemplos:
1. [15 – (8 – 10 ÷ 2)] . [5 + (3 . 2 – 4)
[15 – (8 – 5)] . [5 + (6 – 4)]
 [15 – 3] . [5 + 2]
 12 . 7 = 84
 
2. (16 – 9){8 – 6[9 – 6 . 5 – 7(9+ –8)]}
(16 – 9){8 – 6[9 – 30 – 7(1)]}
(16 – 9){8 – 6[– 21 – 7]}
 (16 – 9){8 – 6[– 28]}
 (16 – 9){8 + 168}
 7 . {176} 
 1232
Integral
1. Resuelve: 
 {27–[25÷–5]}+6{2(–4 +9)}+16
2. Resuelve:
 
4 16 + 6 64 + (9)(9)0
 
3. Daniel y Matías manejan bicicletas. 
Resuelve las operaciones para 
averiguar cuántos km recorrió 
cada uno.
 Daniel:
 (–1)(–64)–(–32)+(–17)(–2) (km)
 Matías: 
 (9)(5)–(–24)÷(8)–(10.–2) (Km)
Tarea
Operaciones combinadas
Aritmética 52 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
PUCP
4. ¿Cuál es el número cuyo doble, 
aumentado en el triple de 5, es 
igual a 7?
Resolución: 
Sea el número “n”
2n + 3(5) = 7 
2n + 15 = 7
2n = 7 – 15
n = 82–
n = –4
5. Halla un número cuyo triple, 
disminuido en 22, es igual a 14
6. Si un número se multiplica 
por 3, y seguidamente se le 
resta el doble de –8, se obtiene 
la cuarta parte de –20. ¿Cuál es 
el número?
7. Desde un submarino, Manolo 
baja 132m, luego sube 111 m, 
a continuación sube 93 m y 
finalmente baja 188m ¿A qué 
profundidad se encuentra:
UNMSM
8. En un examen cada pregunta 
correcta vale 3 puntos, cada 
error es 1 punto en contra y 
cada pregunta en blanco vale 
cero ¿cuál es la nota de Juan si 
no contestó 10 preguntas; de 
las que contestó, 40 son buenas 
y 20 son malas?
Resolución:
Nota de Juan
40.(3 ) + 20. (–1)
 
 120 – 20
 
 100 
Rpta.: 
La nota de Juan es 100 puntos 
 
9. En una prueba de 20 preguntas 
se califica 5 puntos por cada 
acierto y –2 por cada pregunta 
mal contestada. Si Eder contestó 
correctamente 16 preguntas y 
el resto incorrectamente, ¿qué 
puntaje obtuvo?
10. Un comerciante compró 120 
sandias a 3 soles cada una. 
Luego vendió la tercera parte a 
S/.5 la unidad y el resto al precio 
inicial. ¿Ganó o perdió al final 
y cuánto? 
11. En: 
D = 24 ÷ 4 × 2 + 5–[–7+9×(3÷(–1))]+80 ÷ 2 
 Resuelve y calcula: 
 D – 90
UNI
12. Una compañía pierde diariamente 
S/.452. ¿Cuánto de dinero le 
quedará a esta compañía si al 
empezar el mes de mayo tenía 
S/.20 000 y la pérdida se dio 
solo en todo el mes de mayo?
Resolución:
Mayo 
Dinero inicial = S/.20000
diario = S/.452
Pérdida mes de mayo 
= 452(31) = S/.14012
Restante: 20000 –
14012
 5988 
Rpta.: 
 Al final del mes le quedaran 
S/.5988
 
13. Una empresa de vestuarios tiene 
un capital de S/.5000. debido a 
compras de accesorios para los 
vestuarios, esta empresa gasta 
S/.125 cada día en el mes de junio. 
¿con cuánto dinero empezará el 
mes de agosto?
14. Calcula K
 
[3.(–4)–(2.–3)].[(–8)+(–4)]
[(–2).(–1)].[–3.–4]
K=
Aritmética531ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
15. Resuelve:
 A = (+14–170)÷(34 – 21) 
a) 12 c) 5 e) -10 
b) 10 d) -12
16. Efectúa:
 I = (–400+39)÷(–37+18)
a) 19 c) 22 e) 20 
b) 21 d) -19
 
17. Resuelve e indica cuál es el mayor: 
 A = (–3 .–5) – (–4 .–9) 
 B = (–2 .13) + (12 .–2)
 C = (–5 .3) + (12 .–2)
 D = (–6 .5) + (–7 .8)
 E = (–4 .15) –(9 .11)
a) E c) C e) A 
b) D d) B
18. Calcula a+b+c
 (–4)x (–4)x(–4)x(–4) = abc 
a) 11 c) 13 e) 6 
b) 2 d) 5
19. A un número se le resta 25 y se le aumenta 3; lue-
go se le multiplica por 2 y, finalmente, se le divide 
entre 10. Si el resultado es 20, calcula dicho nú-
mero. 
a) 212 c) 221 e) 142 
b) 122 d) 132 
20. Un animal enfermo temía una temperatura de 
43°C. Si luego su temperatura subió 7°C y después 
bajó 18°C, ¿cuál fue su temperatura al final? 
a) 30°C c) 41°C e) 33°C 
b) 28°C d) 32°C
21. Determina el cociente si el divisor es la cuarta 
parte del cociente, además el dividendo y el resi-
duo son 403 y 3, respectivamente. 
a) 10 c) 401 e) 50 
b) 20 d) 30
22. Resuelve:
 P = (398+26)÷(–19+11) 
a) 31 c) 43 e) -53 
b) 20 d) 53
23. Un comerciante compró 200 pelotas a S/8 cada 
una. Luego vendió la cuarta parte a S/.12 cada 
una y el resto a S/. 7 cada una, ¿cuánto ganó o 
perdió al final?
a) Ganó S/.50 d) Perdió S/.80 
b) Perdió S/.50 e) No ganó ni perdió 
c) Ganó S/.80
 
24. En: 
 R = {–12 . –5 + 32 ÷ 9 + (–2)}
 Calcula: R – 20
a) 2 c) 59 e) 13 
b) 61 d) 39
25. Una piscina tiene 1380 litros, si logra vaciarse a 
razón de 230 litros por hora, ¿cuántas horas de-
morará en vaciarse totalmente?
a) 3h c) 5h e) 2h 
b) 6h d) 4h
26. Una congeladora baja la temperatura a razón de 
4°C por minuto. Si la temperatura que registra es 
18°C, ¿en cuántos minutos logrará los 10°C bajo 
cero?
a) 11 c) 9 e) 8 
b) 10 d) 7
27. Calcula “N2”
 N = {5 +4 –12+(17 – 19) + 6}. –8
a) 49 c) 64 e) 16 
b) 25 d) 100
28. Un elevador estaba en el piso 12. Si bajo 5 pisos, 
subió 13 y bajó 2 pisos, ¿en qué piso se encuentra 
ahora?
a) 5 c) 12 e) 20 
b) 30 d) 18
29. Un avión subió 8825 m. Debido al mal tiempo 
tuvo que elevarse 1547 m. Si después descendió 
1239 m ¿actualmente, a qué altura se encuentra?
a) 9133 m 
b) 9313 m 
c) 9331 
d) 9333
e) 3913
SIGO PRACTICANDO
Aritmética 54 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
En una operación combinada los cálculos numéricos 
no siempre se realizan de izquierda a derecha 
siguiendo el orden normal de la escritura.
Las operaciones se efectúan respetando las reglas que 
vamos a ver a continuación.
Regla 1
Si en una operación combinada no existen paréntesis 
( ) ni corchetes [ ] entre la adición y la sustracción, 
ninguna tiene prioridad. Se puede empezar por 
cualquiera de ellas; veamos:
Ejemplos: 
47 + 23 – 15 = 
 70 – 15 = 55 →
 
47 + 23 – 15 = ?
 47 + 8 = 55
 
Regla 2
Si en una operación combinada no existen paréntesis 
ni corchetes, estando primero la multiplicación y 
luego la división, tiene prioridad la multiplicación 
sobre la división, luego se efectúan la adición y la 
sustracción.
Ejemplo 1:
9 × 6 ÷ 3 + 5 – 8 = ?
 
 54 ÷ 3 + 5 – 8 
 18 + 5 – 8 = 15
Ejemplo 2:
35 – 4 × 5 ÷ 2 + 6 = ?
 
 35 – 20 ÷ 2 + 6 
 
 35 – 10 + 6 = 31
Regla 3
Si en una operación combinada no existen paréntesis 
ni corchetes, estando primero la división y luego la 
multiplicación, tiene prioridad la división sobre 
la multiplicación, luego se efectúan la adición y la 
sustracción.
Ejemplo 1: 
35 – 8 ÷ 4 × 3 = ?
 
 35 – 2 × 3
 
 35 – 6 = 29
Ejemplo 2: 
9 + 24 ÷ 8 × 4 – 7 = ?
 
 9 + 3 × 4 – 7
 
 9 + 12 – 7 = 14
Regla 4
En una operación combinada, las operaciones que están 
dentro del paréntesis o corchete se realizan primero. 
Si existen paréntesis dentro de otros paréntesis, tiene 
prioridad el paréntesis que está más al interior. 
Ejemplo 1
5 × [12 + (3 + 7) = ?
 
 5 × [12 + 10] = ? 
 
 5 × 22 = 110
Ejemplo 2
36 ÷ [16 ÷ 8 + 7] = ?
 
 36 ÷ [2 + 7] = ? 
 
 36 ÷ 9 = 4
Operaciones combinadas en N y Z
Aritmética551ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Integral
1. Efectúa: 
 5
2.3 + 8( 16 – 5.8 ÷ 20 )
2. Resuelve:
 [(8.2)–3 + 15] – (3.2)
3. Resuelve y determina la suma de cifras de R
 R = 144 – 9
0.4 + 31 
PUCP
4. Se compran 24 cajas que contienen 50 pares de 
pañuelos cada una. Si son distribuidos entre 16 per-
sonas, ¿Cuántos pañuelos recibirá cada una?
Resolución: 
50 pares = 100
24 cajas × 100 = 2400
⇒ 2400 ÷ 16 = 150
 Cada persona recibe 150 pañuelos 
5. En un almacén hay 12 paquetes. Si cada paquete con-
tiene 10 bolsas y en cadabolsa hay un ciento de 
hojas de papel, ¿Cuántas hojas de papel hay?
6. Una orquesta cobra $600 por presentación. Si 
tuvo una presentación el fin de semana y sus 8 inte-
grantes cobran por igual, ¿Cuánto recibió cada uno?
7. Un comerciante compra 30 camisas por S/.630 ¿A 
cómo debe vender cada camisa para que al ven-
der todas, consiga una ganancia de S/.390?
UNMSM
8. En un almacén de naranjas, cada hora se despa-
chan 300 cajas y se reciben 100. Si al cabo de 4 
horas había en el almacén 200 cajas, ¿Cuántas 
cajas había al principio?
Resolución:
Inicio = “n” cajas
n +[ 300 + 100]4 = 200
n +(– 200)4 = 200
n – 800 = 200
n = 200 + 800 
Trabajando en Clase
 n = 1000
 Al principio habían 1000 cajas
9. En un almacén de gaseosas, cada hora se despachan 
2000 unidades y se reciben 200. Si al cabo de 6 horas 
habían en el almacén 3000 gaseosas, ¿Cuántas gaseosas 
había al inicio?
10. 
 
M = 100 + (62.4) ÷(6. 64)
N = 62 – 4 + ( 100 ÷25).32 
 Calcula N
M
11. Mirian tenía S/.900 y realizó compras durante 
4 días. Si el primer día gastó S/.360 y cada día si-
guiente gastó la mitad de lo que gastó el día anterior, 
¿cuánto de dinero le sobró?
UNI
12. Un terreno de 900 m2 debe ser cercado con alam-
bre. Si el terreno tiene forma cuadrada, ¿cuántos 
metros de alambre se necesitarán?
 Resolución:
 A = 900m
2
 A= L2= 900
 L = 900
 L = 30m
 Perímetro = 4 L
 P = 4(30) = 120
 Luego se necesitarán 120m de alambre
 
13. Carlos tiene un terreno de 225 m2 de área. Si el 
terreno tiene forma cuadrada, ¿cuánto mide su pe-
rímetro del terreno?
14. Cuánto se debe sumar como mínimo a ac para obte-
ner un cubo perfecto? 
 Dato:
 132 = abc
 
Aritmética 56 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
15. Resuelve: 
 (–8.3) +[(–5.+4)+25] 
a) 22 c) 20 e) -19 
b) 21 d) 19
16. Efectúa:
 400 –5
2 ÷(–12+(–13))
a) 35 c) 21 e) -21 
b) 201 d) 12
 
17. Resuelve:
 C = 45 - 9 + 2(3. 10)+ 5+ 3 
 determina la suma de cifras de “C” 
a) 11 c) 6 e) 20 
b) 12 d) 18
18. Si la temperatura de una ciudad de una ciudad a 
las 6 a.m. es –5°C y por la tarde alcanza una tem-
peratura de 32°C, ¿cuál fue la variación de tempe-
ratura? 
a) –27°C c) 37°C e) 18°C 
b) 27°C d) –37°C
19. Una banda de rock cobra por contrato $ 450. Si 
en todo el mes de abril tuvo un contrato por día, 
¿cuánto recaudó en dicho mes? 
a) 1530 c) 4130 e) 1030 
b) 1350 d) 510 
20. Un comerciante compró 28 artefactos por 
S/.1400, ¿A cuánto debe vender cada artefacto 
para que al vender todas consiga una ganancia de 
S/.420? 
a) S/.60 c) S/.48 e) S/.65 
b) S/.56 d) S/.62
21. Calcula C – D.
 D = (–5)+(–3)(2+(–5))
 C = (–10+(–15))–(64÷4) 
a) 41 c) 4 e) 45 
b) -41 d) -4523. Calcula: K .–1
 K = –10{–8[(–3.+5)–12]–4} 
a) +2120 c) 210 e) 2210 
b) -2120 d) 2020
23. Calcula: P20
 
P= [ 625 + (3) ]÷ 2 -172
a) 2 c) 1 e) 5
b) 0 d) 4
 
24. Rosa tenía S/.720 y realizó compras durante tres 
días. Si el primer día gastó la mitad y los siguientes 
la mitad del día anterior, ¿cuánto dinero le sobró?
a) S/.125 c) S/.90 e) S/.122 
b) S/.115 d) S/.105
25. Cierto matemático griego nació en el año 15 a.C y 
murió a los 82 años de edad ¿en qué año murió?
a) 37 d.C c) 47 d.C e) 32 d.C 
b) 74 d.C d) 67 d.C
26. Un terreno de 225 m2 de área debe ser cercado 
con alambre. Si el terreno tiene forma cuadrada, 
¿cuántos metros de alambre se necesitaran?
a) 15 c) 45 e) 75 
b) 30 d) 60
27. Si 152= abc ¿cuánto se debe sumar como mínimo 
a ab para obtener un cuadrado perfecto?
a) 3 c) 5 e) 7 
b) 4 d) 6
28. ¿Cuánto se debe sumar a ac para obtener un cubo 
perfecto? 112 = abc
a) 0 c) 15 e) 16
b) 11 d) 1730. En:
A = –5 . 2+ (–10) . 2 – 8
B = (4 . –8) ÷ 4 + (–10)
C = 92 – 8 . 10 + 5
D = 100 – 5 . 2+(–9)
E = 52÷ 5+(–4). 3
Determina el resultado mayor
a) E c) A e) C 
b) D d) B
 
SIGO PRACTICANDO
Aritmética571ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
1. Calcula: A – B 
 A = –5.–2 + 4.5
 B = –4.–3 + –2
a) –20 d) 30
b) 20 e) 40
c) 10 
2. Si: a + b + c = 16
 Calcula: 
abc
cab
bca
 
a) 1706 d) 1776
b) 1676 e) 16
c) 1667
3. A las 10 a.m. la temperatura era de 12°C si las 3 p.m. la 
temperatura llegó a 28°C ¿cuál fue la variación de tempe-
ratura?
a) 19°C d) –16°C
b) 18°C e) 17°C
c) 16°C
4. Calcula el dividendo 
 si d = 14; q = –4 y r = 12
a) –44 d) 56 
b) 44 e) –56
c) 34
 
5. La suma de los tres elementos da una sustracción es 
3456. Calcula la diferencia si el sustraendo es la cuarta 
parte del minuendo. 
a) 1296 d) 508
b) 30 e) 815
c) 40 
 
6. Calcula: y – x
 abc – cba = (x + 3) y (x – 4)
a) 2 d) 5
b) –2 e) –4
c) 4
7. Si en una división exacta, el divisor es –4 y el co-
ciente es 24, calcula el dividendo.
a) 53 d) 96
b) 35 e) –96
c) 48
 
8. Resuelve:
 P = 2.–3.[4+(–3)–22.8÷16](–4.–2)
a) 14 d) 48 
b) 90 e) –48
c) 84 
9. Un ascensor se encuentra en el piso 23 de un rasca-
cielos. Después de un rato, asciende 2 pisos; luego 
baja 7 pisos y, finalmente, asciende 5 pisos. ¿En qué 
piso se encuentra?
a) 23 c) 18 e) 17
b) 24 d) 25 
10. Lucía compra 5 blusas a S/.16 c/u y 3 pantalones a 
S/.72 c/u. Si pagó con tres billetes de S/.100, ¿cuánto 
recibió de vuelto?
a) S/. 6 
b) S/. 8 
c) S/. 12 
d) S/. 4
e) S/. 5
 
Repaso
Aritmética 58 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
11. Halla el número que multiplicado por 2, aumentado 16; al 
resultado divídelo entre 9; luego réstale 6 y finalmen-
te agrégale 3; el resultado es 15. ¿Cuáles el número 
inicial?
a) 37 
b) 73 
c) 146 
d) 162
e) 18
 
12. José, al recibir un examen de 50 preguntas, responde 
solo 39, de las cuales 27 son correctas; además cada 
pregunta correcta vale 10 puntos; las incorrectas –5 y 
las preguntas en blanco –2. ¿Cuál es el puntaje de José?
a) 350 
b) 270 
c) 22 
d) 210 
e) 188
Primer Bimestre
GEOMETRÍA
SECUNDARIA
1
Pag.
Conjunto convexo y no convexo 61
Segmentos 64
Segmentos proporcionales 67
Ángulos, bisectriz y operaciones de adición y sustracción 70
Ángulos complementarios y suplementarios 74
Ángulos entre rectas paralelas y una secante 77
Triángulos: Propiedades fundamentales 81
Repaso 85
Geometría611ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
Marco teórico
I. CONJUNTO CONVEXO
 Un conjunto de puntos P se denomina convexo, si 
para dos puntos cualesquiera A y B del conjunto P, el 
segmento de extremos A y B se encuentra contenido 
en el conjunto P.
 Ejemplo:
1. Una recta L es un conjunto de puntos 
convexos, pues:
 
 ∀A, B ∈ L (A ≠ B)
 ⇒ AB ⊂ L
 
2. Un círculo es “C ” un conjunto convexo, pues:
 
 ∀A, B ∈ C (A ≠ B)
 ⇒ AB ⊂ C
II. CONJUNTO NO CONVEXO
 Un conjunto de puntos P, es denominado no con-
vexo cuando existe, dos puntos A y B del conjun-
to P, tal que el segmento de extremos A y B (AB) 
no se encuentra contenido en el conjunto P.
I. El conjunto P es no convexo, pues: 
 Ejemplo:
 
 Se observa que: MN ⊄ P
2. La línea curva es no convexo pues:
 
 Se observa que: AB ⊄ en la línea curva.
Integral
1. La figura muestra una región 
cuadrangular. Indica si es un 
conjunto convexo. ¿Por qué? 
2. La región triangular mostra-
da. ¿Es un conjunto convexo? 
¿Por qué?
 
3. La región mostrada, ¿Es un 
conjunto convexo?, ¿Por qué?
 
Trabajando en Clase
Conjunto convexo y no convexo
Geometría 62 1ro SECUNDARIA
“Formando líderes para el futuro”
7. De los gráficos mostrados, la 
intersección de ellos. Represen-
ta un conjunto convexo?
 
 UNMSM
8. La unión de dos círculos. ¿Es 
siempre un conjunto de 
convexo?
 
Resolución:
 Se observa que al menos existe 
un par de puntos cuyo segmento 
no está contenido en la unión de 
dichos conjuntos.
 
 Entonces la unión no siem-
pre conjunto convexo.
9. La unión de las siguientes 
figuras. Representa siempre 
un conjunto convexo?
 
10. ¿Qué par de puntos verifican 
que la región no es convexa?
 
11. De las gráficas mostradas.