inecuaciones

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CURSO: Álgebra-MAXI 
PROFESOR: MAXI-984793088
 
INECUACIONES
 
Una inecuación es toda desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas donde existe por 
lo menos una variable a la que denominaremos incógnita. Se presenta de la siguiente manera. 
( ) ( ) ( ) ( )0 ; 0 ; 0 ; 0P x P x P x P x    
 
CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION 
El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de todos los números; en la que al reemplazar cada uno de ellos 
en la variable “x” hace verdadera la desigualdad. 
SOLUCION PARTICULAR DE UNA INECUACION 
Dada una de las inecuaciones, se define como solucion particular de la inecuacion a aquel valor que toma la incógnita, 
que al reemplazar em la inecuacion original, convierte a esta inecuacion em uma desigualdad verdadera. 
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
 
Forma general: 
 
0 < 0
0 0 . : 0 , 
ax b ax b
ax b ax b Donde a a b R
+   +
+   +    
 
 
RESOLUCION DE UNA INECUACION DE PRIMER GRADO 
Para resolver una inecuaciónn lineal se transforma para todos los términos que contiene a la variable “x” al primer 
miembro y las constantes al segundo miembro y luego en la recta numérica se identifica el intervalo al cual pertenece la 
variable. 
EJERCICIOS 
 
 
01. Hallar el conjunto solución de: 
5 3
2
4
−
 +
x
x 
a) ,11− b) 8,− + c) , 3− 
d) , 5− − e) ,5− 
 
02. Hallar el conjunto solución de: 
7 7
2 1
5
−
+  −
x
x 
a) ,6− b) 4,− + c) , 3− 
 
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d) , 2− − e) , 4− 
03. Hallar el conjunto solución de: 
5 8
8
3
−
 −
−
x
x 
a) ,9− b) 1, − + c) , 3− 
d) , 2− − e) , 4− 
04. Calcular el conjunto solución de la desigualdad: 17
2 3 4 5
x x x x
x+ + +  − 
a)  60 ,− + b) 60 ,− + c) , 60− − 
d) 60 ,0− e) x  
05. Al resolver 
5 1 53 3 3 1
4 12 2 3
x x x− − −
−  − el conjunto solución es: 
a) , 2− b) 2, c) ,1− 
d) 1, e) 
06. Calcular el conjunto solución de: 3 4 2 10 5 8x x x+  +  + 
a)  2/3, 6 b)  c) 
d) 2/3, 6 e)  2/3, 6 
07. El conjunto solución de la inecuación: 2 5 3 11x −  , es: 
a)  , 2− − b)  2,1− c)  1,+ 
d)  1,+ e)  2,1− 
08. El conjunto solución de la inecuación: 5 2 6 3 1x x x−  +  + , es: 
a) 11,− + b) 5,− + c) 5,+ 
d) ,5− e) 11,+ 
09. El intervalo solución de la inecuación: 1 2 2 1x x x−  +  + , es: 
a) 1,5 b) 1, + c) 1,5− 
d) 1, − + e) 1,+ 
10. El conjunto solución de la inecuación: 
2 1 2 1
3 5 3 5
x x x x− − +
+   , es: 
a)
5
,
2

− 

 b) 5,
2

− − 

 c) , 2− − 
d) , 2− e)
5
,
2
− − 
 
 
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11. Halle el conjunto solución de la inecuación: ( ) ( )
2 2
3 3 4x x− −  − 
a) 5,+ b) 4,+ c) ,5− 
d) 5, + e) , 4− 
12. Al resolver la inecuación: ( ) ( )
3 3 20 5
2 2 1
4 2 3 2
x x x+ − +  − − El número de valores enteros positivos que 
verifican es: 
a) cuatro b) tres c) dos 
d) uno e) varios 
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
Forma general: 
2 2
 0 ó 0 ax bx c ax bx c+ +  + +  
Inecuaciones de orden superior 
Cuando el grado del polinomio es superior a dos, debemos seguir los siguientes criterios para resolverla: 
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS 
Pasos a seguir: 
1. El coeficiente principal deve ser positivo y la inecuacion deve estar reduzida de modo que el segundo miembro figure 
el cero. 
2. La expresión debe estar factorizada para luego igualar cada factor a cero. 
3. Se ubican dichos valores sobre la recta numérica (puntos criticos). 
4. Se empieza por assignar el signo (+) en el ultimo intervalo y luego en los demas intervalos de variacion se alternan 
los signos (–), (+), (–), (+) ... de derecha a izquerda. 
5. La solucion de la inecuacion estara dada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad es (>) o por las 
zonas negativas si el sentido de la desigualdad es (<). 
6. Si el polinomio presenta factores cuadráticos que son positivos x  , procedemos entonces a realizar la 
cancelación respectiva obteniéndose así, una inecuación equivalente a la anterior (no varía el sentido ni la solución). 
RECUERDA 
 EWJ • 
  
  
 
NOTA: Cuando los factores de ( )P x son todos lineales y algunos ceros son de multiplicidad mayor que uno. 
Suponiendo que ( )−x r es el factor que se repite m veces entonces puede ocurrir lo siguiente: 
1. Si m es par. 
Cuando un factor está elevado a un exponente “par” los signos de los intervalos no son alternados (se repite el mismo 
signo) 
2. Si m es impar. 
Cuando un factor está elevado a un exponente impar los signos en los intervalos no se alteran. 
( )+ 
( )− 
 
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EJERCICIOS 
 
13. Hallar el intervalo de solución de: 
2
4 21 0x x− −  
a) ; 7;3  +− − b) ; 7;3  +− − 
c)  ; 7;3  +− d)  ; 7;3  +− − 
e)  ; 3;7  +−− 
14. Determinar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación: 
2
3 13 10 0x x+ −  
a) –10 b) 10 c) 15 
d) –15 e) –9 
15. La inecuación: 
2
2 5 3 0x x− −  , tiene por solución el intervalo. 
a) 
1
– ,3
2
 
  
 b) 
1
, 3
2
 
  
 c) 
1
,3
2
 
d) 
1
– ,3
2
 e)
1
– 3,
2
 
16. El conjunto solución de la inecuación 
2 3 1
0
2 2
x x− +  es: 
a) 
1
; 1;
2

− +
 b) 
1
; 1;
2
− + 
c) 
1
; 1;
2

− +
 d) 
1
; 1;
2
− + 
e) 
1
1,
2



 
17. La solución de la inecuación: 
2
8 7 0x x− + −  es: 
a) x−    b) 1 7x−   − c) 1 1x−   
d) 0 7x  e) 1 7x  
18. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 
2
3 0x x−  
a) 4,+ b) 3,− + c) 8,+ 
d) 0,3 e) 3,0− 
19. El conjunto solución de la inecuación: 
2
4 0x x− +  , es: 
a)  0 ;4 b)  5;0− c)  2;0− 
d)  3;0− e)  1;0− 
 
 
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20. El conjunto solución de la inecuación: 
2
2 6 0x x+  , es: 
a)   6; 2 2; +− −   b) , 3 0,− − + c)   ; 2; 24  −− − 
d)   ; 3; 36  −− − e)   ; 1; 13  −− − 
21. Hallar el intervalo de solución de: ( ) ( ) ( ) ( )5 4 1 3 0x x x x− − + +  
a)  ;1 U 1;− + b) ;3 U 5;− + c) 3; 1 U 1;− − + 
d)    3 ; 1 U 4 ; 5− − e)    4 ; 3 U 1 ; 5− − 
22. Resolver: ( ) ( ) ( ) ( )5 3 2 7 0x x x x− + − +  , indicando a qué intervalo no pertenece x. 
a)   , 7 U 1,1− − − b) 7, 3 U 5,+− −  c) 7 , 3 U 2 , 5− − 
d) 7, 3 U 3,+− −  e) 5, 3 U 5,+− −  
23. Determinar el intervalo de solución de: 
3 2
6 4 24 0x x x+ − −  
a)   6; 2 2; +− −   b)   ; 3; 26  −− − c)   ; 2; 24  −− − 
d)   ; 3; 36  −− − e)   ; 1; 13  −− − 
24. Resolver: ( ) ( ) ( )
2 52
5 6 1 5 0x x x x+ + − +  
a)  5, 3− − b)  2,− + c) 5, 3− − 
d)    5, 3 2,− − − + e)  5, 3 2,− − − + 
25. Resuelva: ( ) ( ) ( )
2003 2002 13
1 2 13 0x x x− − −  , halle el producto del valor máximo entero y mínimo entero 
que puede tomar la solución. 
a) 24 b) 13 c) 14 
d) 36 e) –26 
26. Resolver: ( ) ( ) ( ) ( )
4 10
3 11 4 6 0x x x x− − + −  
a)  4,6 3− − b) 4,3− c)  6,11 4− − 
d) 4,3 6,11− e)  3,6 11 
27. Resolver: 
2
12 36 0x x+ +  
a)  6− b) c)  4− 
d) 6 e)  
28. Resolver: 
2
18 81 0x x− +  
a)  9− b) c)  3− 
d) 9 e)  
 
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29. Resolver: 
2
–14 49 0x x +  
a)  7− b) c)  14− 
d) 7 e)  
30. Resolver: 
2
8 16 0x x− +  
a)  4− b) c)  8− 
d) 4 e)  
31. El conjunto solución de: 
2 2
2 6 3 42 105x x x x+ +  − + − , es : 
a)  6− b)  0− c)  0 , 6− 
d)  e) 
32. El conjunto solución de la inecuación 
2
4 12 9 0x x− +  es: 
a)
2
3
 
− 
 
 b) 
3
2
 
− 
 
 c) 
3
2 
 
 
 
d) 
2
3
 
 
 
 e) 
 
33. Resolver la inecuación: ( )( )( )3 31 1 1 5 0x x x x+ − −  
a) ,0 1,− + b) ,0 1,− + 
c)  
1
, 0,1
5

− − 
 d) 
1
, 1 0, 1,
5
 
− − +  
 
e) 
1
,0 ,1 2,
5
 
− +  
 
34. Resolver: 
2
6 4 0x x+ +  
a) 3 5 ; 3 5− − − + b) ; 3 5− − − c) O 
d) 3 5 ; − − +  e) 
35. Hallar el conjunto solución de:
5
6 6
x
x
−
−  − , dar como respuesta el menor número natural. 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
36. Hallar el conjunto solución de:
10
0
7
x
x

−
, dar como respuesta el mayor número natural. 
a) 0 b) 2 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
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37. El conjunto solución de: 
2 3
3
2
x
x
−

−
 es: 
a)  2, 3 b)  2, 3 c) 2, 3 
d) 2, 3 e) 2, 4 
38. El menor valor entero de “x” que satisface la inecuación 3x 12 6(x 5) 4x 24+  −  + , es: 
a) 17 b) 14 c) 27 
d) 15 e) 26 
39. El conjunto solución de la inecuación 
2 2 2
(x 1) (x 1) (x 2) 3(x 1)(x 1)+ + − + −  + − , tal que x , es: 
a) ,5− b) 
4
,
9
+ c) 
9
,
4
−
 
d) 
4
,
9
− e) 
9
,
4
+
 
40. El conjunto solución de la inecuación 3x 1 5x 7 10x 13−  +  − es: 
a) 4 ,4− b) 4 ,− + c) 4 ,+ 
d)  , 4− − e) , 4− − 
 
41. El conjunto solución de la inecuación 3x 1 7x 3 12x 3−  +  + es 
a) 0,+ b) , 1− − c) 1,0− 
d) ,0− e) 0,+ 
42. La intersección del conjunto  1 3A 2x 1, x / x2 2= +  −   y el conjunto solución de la inecuación 
x 1 2x 4 5, x−  −   es: 
a) 2, 4 b)
9
3,
2


 c) 3,4 
d) 2,4 e) 3 , 4 
43. El conjunto solución de la inecuación 4x 4 18x 66 10
2 3
+ +
−  + es: 
a) ,4− b) , 4− − c) ,− + 
d) 4,− + e) 4,+ 
44. Resolver: 3x 1 x 1 2x 3
3
−
 +  + 
a) 2;− + b) 2;− + c)  
d) e) ; 2− − 
45. Resolver 4x 7 x 1 3x 8
4
+
 −  + 
a) 5;− + b) 2;− + c)  
d) e) ; 6− − 
46. La suma de los valores enteros que verifican la desigualdad: 2x 7 x 2 3x 5−  +  − 
 
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a) 15 b) 30 c) 42 
d) 36 e) 50 
47. La suma de los enteros que satisfacen la desigualdad: 4(x 1)5x 2 2x 11
5 3
++
  + 
a) – 54 b) – 38 c) 52 
d) – 102 e) 21 
48. La suma de los valores enteros de “x” que verifican la desigualdad: 3x 2 x 6 7x 6−  +  − 
 
a) 4 b) 6 c) 5 
d) 7 e) 9 
49. La suma de los valores enteros que cumplen con la desigualdad: 2x 5 x 3 3x 7−  +  − 
a) 21 b) 65 c) 32 
d) 15 e) 144 
50. La suma de los valores enteros que cumplen con: 4(x 1)5x 2 2x 11
5 3
++
  + , es: 
a) – 11 b) – 102 c) – 132 
d) 151 e) 43 
51. El conjunto solución de la inecuación: 
2
x 4x 21 0− −  
a) 3,7− b) 3,7− − c)  3,7− − 
d) 3,7− − e) 3,7− − 
52. El conjunto solución de la inecuación 
2
9x 12x 4 0− +  , es: 
a) b)  c)  23− − 
d)  23− e)  
2
3
 
53. El conjunto solución de la inecuación 
2
x 2x 5 0+ +  , es: 
a) 5 , 5− b) c)  
d) 1, 2 e) 2, 1− − 
54. El conjunto solución de la inecuación: 
2 3 9
x x 0
5 100
+ +  , es: 
a)  310
 b)  310− c) 
d)  e)  310− − 
55. El conjunto solución de la inecuación 
2
x 8x 16 0− +  , es: 
a)  4 b) ;4− c) 4 ;+ 
d)  e)  4− 
 
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56. El conjunto solución de la inecuación: 
2
(x 2) 8x 6x 6+ +  − , es: 
 
a) b)  c)  23− − 
d)  23− e)  
2
3
 
57. Si la siguiente desigualdad: 
2
3
(x 3) (x 1)
0
(x 5)
− +

−
, tiene:  CS a,b c= − , halle: a b c+ + 
a) 10 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
58. Al resolver: 
2
(11 x)(x 3)
0
(x 7)
− −

−
 el C.S. es    a;b c− , halle: W a b c= + + 
a) 21 b) 5 c) 12 
d) 13 e) 14 
59. El conjunto solución de la inecuación 
2
2
x 8x 15
0
x 2x 3
− +

− −
 es: 
a) 3 ,5− b) 1 ,5− c)  1 ,5− 
d) 1 ,3− e)   31 ,5− − 
60. El conjunto solución de la inecuación 
1 3
x 7 5 x

+ −
 es: 
a) , 4 7 ,− −  + b) , 7− − c) 4 , 7− − 
d) 7 , 4 5 ,− −  + e)    , 7 4 ,5− −  − 
61. El conjunto solución de la inecuación 
2 2
x 8x 5x 4x 9+  − + es: 
 
a)  32 b)  
3
2
− c) 
d)  e) 
3
,
2
+ 
62. Sea ( )
2
P x x x 1= − − , si el conjunto solución de la inecuación ( )P x 2 es a;b , halle a ab b+ + . 
a) 0 b) 1− c) 2− 
d) 1 e) 2 
63. Resuelva la inecuación: ( ) ( )+ −  − 25x 3 4 2x 5 2 3x , indicar el complemento del conjunto solución. 
a)  1;2 b)  c) − ;1 
d) e)  − + 1; 
64. Si el CS de la inecuación: 2x 3 2x 4 0− +  es de la forma a; b c , halle el valor de 
2
a
bc
 
a) 1/4 b) 1/2 c) 1 
 
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d) 
2
2
 e) 2 
65. El conjunto solución de la inecuación:  
25
x , x 0
x
  − es: 
a) 0,5− b)   , 5 0,5− −  c)  , 5 0,5− −  
d)  5,5− e) 0,5 
66. El conjunto solución de la inecuación 
( ) ( )2 2
2
x 2x 5 x x 1
0
x 4x 3
+ + + +

+ +
 , es: 
a) 1, 3 b)  3, 1− − c)  1,3 
d) 3, 1− − e) 
67. El conjunto solución de la inecuación 
2
9 x
0
x
−
 es: 
a) , 3 3,− − + b)  3,3− c)  , 3 0,3− − 
d) , 3− − e)  , 3 0,3− − 
68. El conjunto solución de la inecuación 
1
x
x
 , es: 
a)  1,0 1,− + b) 0, + c) 1,2 2, + 
d) , 1 0,1− −  e) 1,0 1, − + 
69. La suma de los valores enteros que no se encuentran en el conjunto solución de la inecuación: 
2 2
(2x 3x 4)(x x 20) 0+ + − −  , es: 
 
a) 4 b) 5 c) 3 
d) 15 e) 9 
70. El menor número entero que satisface la inecuación: ( ) ( )
( )
2
2
x 2x 3 x 2
0
x 5x 6
− + −

+ +
, es: 
a) – 3 b) – 2 c) 2 
d) – 1 e) 3 
71. Resolver la siguiente inecuación: 
2
(x 1)(x 2)
0
(x 2)(x 1)(x 3)
+ −

− + −
 
a)  −1;5 b)  − 1;5 c)   − − 1;5 2 
d) −1;5 e)  ;2 3; 1−  + − − 
72. Resolver la siguiente inecuación: 
3 4
5 6
(x 4) (x 1)
0
(x 3) (x 2)
+ +

− +
 
a)  −1;5 b)  − 1;5 c) ; 4 3;− −  + d) −1;5 
e)  ;2 3; 1−  + − − 
 
CURSO: Álgebra-MAXI 
73. Resolver: 
3
7
0
(x 2)

−
 
a)  1;2− b) 1;2 − c) ; 4 3;− −  + d) ;2− 
e)  ;2 3; 1−  + − − 
74. Hallar la suma de los números enteros que satisface la inecuación: 
3 2
x 5x 6x
0
x 5
− +

−
 
a) 10 b) 12 c) 14 
d) 18 e) 24 
75. Resuelve la inecuación: 
( )− −

− +
2
x x 1 2
0
x 7x 10
 
a)  −1;5 b)  − 1;5 c)   − − 1;5 2 
d) −1;5 e)   − −1;2 2 
76. Indique cuántos enteros verifican la inecuación 
( ) ( )+ −

+ +
5
2
x 2 x 3
0
x 4x 4
. 
a) 3 b) 6 c) 5 
d) 0 e) 1 
77. Resuelva la inecuación: ( ) ( ) ( ) ( )− − − − + 2 2x 1 x 1 x 5 x 8x 15 0 
 
a)  −1;5 b)    −1;5 3 ;5 c)    − −1;3 1 
d)    − −1;5 1;3 e)    −1;3 5 
78. Si se tiene que: 
( )
4
2
x 9
0
(x 2)(x 5)
−

− +
, la suma de los enteros del conjunto solución es: 
a) – 8 b) – 7 c) – 6 
d) 3 e) 10 
79. Resolver la inecuación: 
4 3 2
x 2x 15x 0− −  
a)  3;5− b) 3;5− c)  
d)  3;5 0− − e)  3;5 0−  
80. Sabiendo que: ( )  4x 3 2;1−  − , halle el intervalo al cual pertenece ( )3x 2− 
a) 
5
;1
4
 
−  
 b) 
5
;1
4
 
−  
 c) 
5
;1
4
 
−  
 
d) 
5
1;
4
 
−  
 e) 
5
1;
4
− 
81. Si se sabe que  x 5;2 − halle la diferencia del mayor y menor valor entero del intervalo al cual pertenece 2x 8x+
. 
a) 34 b) 36 c) 35 
 
CURSO: Álgebra-MAXI 
d) 4 e) – 4 
82. Si (5x 1) 3;2+  − , hallar el intervalo al cual pertenece: 
1
2x 2−
 
a) 5 5;
8 18
− − b)  − 1;5 c) 
5
1;
18

−

 
d) −1;5 e) 51;
18
− 
83. Si x 2;3 , hallar a b+ en:  4 a, b
1 x

−
 
a) – 3 b) – 6 c) 1 
d) –7 e) – 5 
84. Si: x [ 3;2 − , hallar la diferencia del mayor y menor valor entero que puede tomar: 2x 4x 5.+ + 
a) 13 b) 14 c) 15 
d) 16 e) 17 
85. Si “x” varía en el intervalo  1 ; 5 , en que intervalo varia la expresión: 2x 4x 2− + 
a)  1 ; 1− b)  0 ; 5 c)  3 ;6 
d)  2 ; 6− e)  2 ; 7− 
86. Si: ( ) 2x 1 3;5−  − , halle la variación de ( )25 4x x+ − 
a) 1;9 b)  9;0− c)  0;9 
d) 0 ;9 e)  0 ; 5 
87. De las siguientes proposiciones, diga cuáles son verdaderas: 
I) La inecuación 7x 5 7x 11+  + no admite solución. 
II) El conjunto solución de 3x 13 3x 1+  − es . 
III) La inecuación ax b cx d+  + no admite solución, si:  a,b,c,d 0 − y a c 
a) I y III b) II y III c) I y II 
d) ninguna e) todas 
 
88. Establezca el valor de verdad en: 
I) El CS de 9x 7 9x 7+  + es 
II) El CS de 3x 2 3x 5+  + es  
III) El CS de 5x 7 5x 4+  + es  
 
a) VFF b) VFV c) VVF 
d) FVV e) FFV