Geometria 2año

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Geometría 2.° año – III BImestre302
Rectas y planos en el 
espacio
LOS PLANOS DE MI CASA
La siguiente imagen muestra 
una casa de dos pisos, con un 
balcón en el frontis de la casa. 
¿Podemos identificar planos 
en esta casa? ¿Cuáles serían 
dichos planos?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración de las 
construcciones
¿Por qué es importante ser 
precisos al momento de rea-
lizar una construcción?
RAZONANDO...
 � De acuerdo a la posición entre planos, 
¿cómo son el primer piso y el segundo 
piso?
 � De acuerdo a la posición entre planos, 
¿cómo son el primer piso y la ventana de 
vidrio?
 � De acuerdo a las posiciones de una rec-
ta y un plano en el espacio, ¿cómo son la 
columna delgada de color negro y el se-
gundo piso?
¿Qué aprendere-
mos hoy?
Aprenderemos a re-
conocer las diferen-
tes posiciones entre 
planos y rectas en el 
espacio para resol-
ver problemas.
Ma
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Rectas y planos en el espacio
GeometRía 2.° año – iii BimestRe303
La geometría del espacio presenta a veces gran dificultad de comprensión, debido a una escasa visión 
espacial. En gran parte, esta dificultad es consecuencia de tener que representar sobre el plano lo que se 
ve en el espacio. Por tanto, conviene tener muy claros los elementos fundamentales de la geometría del 
espacio, que son el punto, la recta y el plano.
Un plano es representado geomé-
tricamente por cualquier región 
plana, convencionalmente se con-
sidera la región paralelográmica. 
Para denotar un plano, se ubica 
una letra en una de sus esquinas, 
luego se identifica así:
H
 Notación: Plano H: H
Determinar un plano significa ubicarlo o fijarlo en un determinado 
lugar. Así, por ejemplo, como ubicar la pizarra en la pared de manera 
que quede fija; para ello es necesario clavar en tres de sus esquinas o 
vértices.
A continuación, veamos los elementos necesarios para determinar un 
plano:
Tres puntos no colineales 
determinan un plano.
Una recta y un punto exterior 
a ella determinan un plano.
H
A B C
 � Sea A, B y C puntos no co-
lineales.
 � Entonces, con dichos pun-
tos se determina el plano H.
P
A
L
 � Sea: A ∉ L
 � Entonces A y L determi-
nan el plano P.
Dos rectas secantes 
determinan un plano
Dos rectas paralelas 
determinan un plano
M
A
L1
L2
 � L1 ∩ L2 = {A}
 � Entonces, L1 y L2 determi-
na el plano M.
S
L1L2
 � L1 // L2
 � Entonces, L1 y L2 determi-
na el plano S.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS
En el espacio se pueden analizar las posiciones relativas entre dos rec-
tas, entres dos planos, y entre una recta y un plano.
RECUERDA QUE…
Los límites con que seña-
lamos una parte del plano 
son arbitrarios, así pode-
mos limitarlo en forma de 
triángulo, de polígono, de 
círculo. Pero la costumbre 
de limitar un plano la ma-
yor parte de las veces por 
un rectángulo o romboide 
como se ve, en el suelo, pa-
redes, en los cuadros, en las 
mesas, etc.Ma
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Rectas y planos en el espacio
GeometRía 2.° año – iii BimestRe304
POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Rectas paralelas Rectas secantes Rectas alabeadasSon aquellas rectas que tienen un 
solo punto en común. Existe un 
solo plano en el cual están conte-
nidas dichas rectas.
Si: a ∩ b = {A} → a y b son se-
cantes.
M
a A b
Son aquellas rectas que no tienen 
puntos en común y existe un solo 
plano que las contiene.
Si: m ∩ n = f y m y n son co-
planares.
Entonces: m y n son paralelas.
R
m
n
Son aquellas rectas que no tienen 
puntos en común y que no son 
coplanares.
Si: L1 ∩ L2 = f y L1 y L2 : no co-
planares.
Entonces: L1 y L2 son alabeadas.
H
L2
L1
POSICIONES DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
Planos secantes Planos paralelos
Son aquellos que tienen en co-
mún un conjunto de puntos que 
forman una recta.
H
A
B
Arista
P
 H ∩ P = { AB }
Son aquellos que no tiene punto 
en común
H
P
 H // P ↔ H ∩ P = f
POSICIONES DE UNA RECTA Y PLAN EN EL ESPACIO
Rectas y planos paralelos Rectas y planos secantes Recta contenida en el plano
Cuando ambos no tienen punto 
en común.
H
L
Una recta y un plano son secantes, 
cuando ambos tienen un punto 
en común, denominado punto de 
intersección.
M
P
L
Una recta está contenida en un 
plano, cuando todos los puntos 
de dicha recta pertenecen a dicho 
plano.
M A 1
A 2...
A i
L
Ma
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Rectas y planos en el espacio
GeometRía 2.° año – iii BimestRe305
VeRificando el apRendizaje
Nivel Básico
1. De acuerdo con la posición de dos planos en el 
espacio, los planos son:
a) Perpendiculares
b) Secantes
c) Paralelos
d) Alabeados 
2. ¿Cuántos pares de planos paralelos hay en el sólido?
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3 
3. ¿Cuántos pares de planos paralelos hay en el sólido?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4 
4. Marca la alternativa falsa:
a) Dos planos paralelos no tienen puntos en común.
b) Dos rectas alabeadas están contenidas en dife-
rentes planos.
c) Una recta está contenida en un plano cuando 
tiene un punto en común.
d) Un plano está determinado por un punto.
Nivel Intermedio
5. Determina el valor de verdad de las proposiciones:
P
L1
L2
I. La recta L1 está contenida en el plano P. ( )
II. La recta L1 y L2 son alabeadas. ( )
III. L1 y L2 determinan el plano P. ( )
6. En el gráfico, identifica las rectas alabeadas.
P Q
A
B
R
7. Grafica una recta paralela, una secante y otra ala-
beada a la recta AR.
Q
A q
R
8. Marca en cada sólido las rectas paralelas, las rec-
tas perpendiculares y las rectas secantes en rela-
ción con la base del siguiente sólido.
Nivel Avanzado
9. El siguiente solido está formado por un prisma y 
una pirámide. ¿Cuántos pares de planos paralelos 
hay?
10. De la pregunta anterior, ¿cuántos pares de planos 
secantes hay?
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2
Geometría 2.° año – III BImestre318
Ángulos diedRos
EL ÁNGULO QUE FORMAN LAS TAPAS DE UN LIBRO
Un docente de Geometría abre un libro de tal forma que la tapa superior e inferior forman un ángulo diedro 
obtuso de 165°. ¿Cuánto grados más tendrá que abrir el libro para formar un ángulo de 180°?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración de la lectura
¿Por qué es importante 
practicar la lectura desde 
pequeños?
RAZONANDO...
 � ¿Qué tipo de ángulodiedro forman las 
tapas del libro?
 � ¿Cuál es el suplemento del ángulo 
diedro que forman las tapas del libro?
 � ¿Qué ángulo debe cerrar el docente el 
libro para formar un ángulo diedro de 
90°?
¿Qué aprenderemos 
hoy?
Aprenderemos a reco-
nocer las características 
y los tipos de ángulos 
diedros para resolver 
problemas.
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Ángulos diedros
geometría 2.° año – iii Bimestre319
Si observas la habitación en la que te encuentras, puedes ver cómo dos paredes contiguas se encuentran 
en una recta. El espacio en torno a esa recta que está comprendida entre las paredes se denomina diedro 
o ángulo diedro.
Un ángulo diedro es la figura geométrica formada por la unión de dos 
semiplanos que tienen en común una recta de origen a la cual se le de-
nomina arista del ángulo diedro.
cara
cara
o y
B
arista
A
P
H
x
q
Notación:
Ángulo diedro,
AB ángulo diedro H – AB – F.
 � < xoy: ángulo plano o recti-
líneo del ángulo diedro
 � q: medida del ángulo diedro
La medida de un ángulo diedro es la medida del ángulo rectilíneo for-
mado por dos perpendiculares a la arista en el mismo punto. Los ángu-
los diedros pueden ser:
DIEDRO AGUDO DIEDRO OBTUSO
a < 90°
a
b > 90°
b
DIEDROS COMPLEMENTARIOS DIEDROS SUPLEMENTARIOS
a + b = 90°
a
b
a + b = 180°
a
b
RECUERDA QUE…
a
P
H
H ⊥ P → a = 90°
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Ángulos diedros
geometría 2.° año – iii Bimestre320
EJEMPLO 1:
Si los siguientes diedros son complementarios, calcula el valor de “x”.
SOLUCIÓN:
 ● Nos piden calcular el valor de “x”, y nos dan como dato que 
los ángulos diedros son complementarios.
 ● Identificamos los ángulos e igualamos la suma a 90°.
 Y 2x + 12°
 Y x + 27°
2x + 12° + x + 27° = 90°
 3x + 39° = 90°
 3x = 51°
 x = 17°
2x + 12°
x + 27°
EJEMPLO 2:
En la figura mostrada, calcula el valor de “x” si el ángulo diedro P – AB – Q es igual a 132°.
SOLUCIÓN:
 ● Nos piden calcular el valor de “x”, y nos dan como 
dato que el ángulo diedro es 132°.
 ● Identificamos los ángulos e igualamos la suma a 132°.
 Y 3x + 24°
 Y 54°
3x + 24° + 54° = 90°
 3x + 78° = 90°
 3x = 12°
 x = 4°
P R
Q
A
B
3x+24°
54°
EJEMPLO 3:
Calcula el valor del mayor ángulo diedro.
SOLUCIÓN:
 ● Nos piden calcular el valor del mayor ángulo diedro y 
dado el gráfico, los ángulos forman un ángulo de 180°.
 ● Identificamos los ángulos e igualamos la suma a 180°.
4x + 1° + x + 2x + 15° + 2x + 11° = 180°
 9x + 27° = 180°
 9x = 153°
 x = 17°
 ● Reemplazamos en cada ángulo:
 Y 4x + 1° = 4(17°) + 1° = 69°
 Y x = 17°
 Y 2x + 15° = 2(17°) + 15° = 49°
 Y 2x + 11° = 2(17°) + 11° = 45°
P
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2x + 15x
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S
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Ángulos diedros
geometría 2.° año – iii Bimestre321
Nivel Básico
1. ¿Cuántos ángulos diedros hay en el siguiente sóli-
do geométrico?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14 
2. Calcula la suma de ángulos diedros y planos pa-
ralelos que tiene el siguiente sólido.
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22 
3. ¿Cuántos ángulos diedros hay en el siguiente sóli-
do geométrico?
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18 
4. Calcula la suma de ángulos diedros y planos pa-
ralelos que tiene el siguiente sólido.
a) 6
b) 9
c) 12
d) 18 
Nivel Intermedio
5. En la figura mostrada, si los planos P y Q son per-
pendiculares, calcula el valor de “x”.
3x + 27°
P
Q
6. Si los siguientes diedros son complementarios, 
calcula el valor de “x”.
3x + 11° 2x + 24°
7. En la figura mostrada, si m P – AB – Q = 90°, 
calcula el valor de “x”.
3x + 12°
P
Q
x + 6°
A
B
8. En la figura mostrada, calcula el valor de “x” si el 
ángulo diedro P – AB – Q es igual a 120°.
x + 36°
P
Q
R
2x + 21°
A
B
Nivel Avanzado
9. En la figura mostrada, calcula el valor de “x”.
P
Q
2x + 17°
87°
10. Si el suplemento de la medida de un ángulo die-
dro es igual a los 7/3 de su complemento, halla el 
ángulo diedro.
VeRificando el apRendizaje
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3
Geometría 2.° año – III BImestre334
pRismas
UNA CAMA PENTAGONAL
La siguiente imagen muestra una cama de madera, así como también una casa de muñecas hechas del mismo 
material. ¿A qué sólidos geométricos se asemejan estas estructuras?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración de los espacios 
personales
¿Por qué es importante res-
petar el espacio personal de 
las personas?
RAZONANDO...
 � ¿A qué sólidos geométricos se ase-
mejan estas estructuras?
 � ¿Cómo se llama este sólido de 
acuerdo a su base?
 � ¿Cuántos vértices tiene este sólido?
 � ¿Cuántos caras tiene este sólido?
 � ¿Cuántas aristas tiene este sólido?
¿Qué aprenderemos 
hoy?
Aprenderemos a reconocer 
los elementos, caracte-
rísticas y clasificación de 
los prismas para resolver 
problemas.
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Prismas
Geometría 2.° año – iii Bimestre335
Así como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros, también en la geo-
metría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo, 
en las construcciones de las casas, edificios, etc., es muy común ver las columnas de forma prismática o 
cilíndrica. También las paredes, los tanques de ciertas cisternas u otros objetos que son de nuestra utili-
dad. En el presente capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas.
Un prisma es un poliedro en el cual, dos de sus caras son regiones 
poligonales congruentes y paralelos denominados bases y el resto de 
las caras son regiones paralelográmicas denominadas caras laterales. 
Las aristas comunes entre las caras laterales y las bases se denominan 
aristas básicas y las aristas comunes entre las caras laterales se deno-
minan aristas laterales, estas son paralelas y de igual longitud.
A
F
C
H
J
G
B
E D
I
NOTACIÓN:
Prisma pentagonal ABCDE – FGHIJ.
Un prisma es nombrado según él número de lados que tenga su base:
Triángular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal
CLASIFICACIÓN
Los prismas se clasifican según la inclinación de su base, en:
Prisma oblicuo Prisma recto
Es aquel prisma cuyas aristas la-
terales no son perpendiculares a 
las bases.
Es aquel prisma cuyas aristas la-
terales son perpendiculares a las 
bases.
RECUERDA QUE…
Los elementos del prisma 
son los siguientes:
Arista
básica
Arista
básica
Arista
lateral
Cara
lateral
Base
Base
Altura
G H
E
B
A
F
J
I
C
D
Fórmula de Euler:
C + V = A + 2
Donde:
C = N° de caras
V = N° de vértices
A = N° de aristasMa
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Prismas
Geometría 2.° año – iii Bimestre336
PARALELEPÍPEDO:
Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.
PRISMA REGULAR:
Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares.
a h
Cuando sus caras son re-
giones rectangulares se le 
conoce como Paralelepípe-
do rectangular, rectoedro u 
ortoedro.
EJEMPLO 1:
Marca la alternativa que no es correcta, toman-
do en cuenta la figura mostrada.
a. Tiene 3 caras laterales.
b. La forma de la cara lateral es triangular. 
c. Tiene 2 bases triangulares.
d. Tiene 9 aristas.
SOLUCIÓN:
 ● La forma de la cara lateral es rectangular, 
por lo tanto, la letra C es falsa.
EJEMPLO 2:
Calcula la suma del número de caras y aristas 
del siguiente prisma.
SOLUCIÓN:
 ● El prisma cuadrangular tiene 6 caras.
 ● El prisma cuadrangular tiene 12 aristas.
 ● Suman en total: 6 + 12 = 18.
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Prismas
Geometría 2.° año – iii Bimestre337
Nivel Básico
1. ¿Cuál es el nombre del siguiente prisma?
a) Triangular
b) Pentagonal
c) Hexagonal
d) Octogonal
2. Es aquel prisma que tiene 8 caras laterales.
a) Triangular
b) Heptagonal
c) Octogonal
d) Hexagonal
3. Es aquel prisma cuyas bases son dos cuadrados.
a) Triangular regular
b) Cuadrangular
c) Triangular
d) Cuadrangular regular
4. Un prisma es recto cuando _________________.
a) sus bases son regiones paralelográmicas
b) sus aristas laterales no son perpendiculares a 
las bases
c) sus aristas laterales son perpendiculares a las 
bases
d) sus bases son regiones poligonales regulares
Nivel Intermedio
5. Escribe el nombre y describe las características 
del siguiente prisma:
6. Si en un prisma el número de caras es 10, el nú-
mero de vértices es 16. ¿Cuántas aristas tiene?
7. En cada prisma, pinta las bases de color azul y 
marca una altura de color verde. Luego, indica 
qué clase de prisma es.
8. Si en un prisma el número de caras laterales es 9, el 
número de aristas es 27. ¿Cuántos vértices tiene?
Nivel Avanzado
9. Calcula cuántos metros de madera se necesitan para 
construir una estructura como la que se muestra.
10. Si la altura de esta estructura aumenta en 50 cm, 
¿cuántos metros de madera se necesitarán ahora?
VeRificando el apRendizaje
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4
Geometría 2.° año – III BImestre350
piRÁmide
GRAN PIRÁMIDE DE GUIZA
El lado de la base de la pirámide regular de Guiza es 230 m. Si la apotema de la pirámide mide 269 m, ¿cuánto 
mide su altura?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración de las construc-
ciones antiguas
¿Por qué es importante cui-
dar y valorar las construc-
ciones antiguas que pertene-
cieron a otras culturas?
RAZONANDO...
 � ¿Qué polígono es la base de una pirá-
mide? ¿Cómo se le llama de acuerdo 
con dicha base?
 � ¿Cuántas caras laterales tiene dicha pi-
rámide? ¿Cómo son dichas caras?
 � ¿Cuántas caras tiene en total dicha pirá-
mide?
 � ¿Cuánto mide su altura aproximada-
mente?
¿Qué aprendere-
mos hoy?
Aprenderemos a 
reconocer los elemen-
tos, características y 
propiedades de las pi-
rámides para resolver 
problemas.
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Pirámide
Geometría 2.° año – iii Bimestre351
Así como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros; también en la geo-
metría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicacióna la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo, 
en las construcciones de las pirámides de Egipto u otros. En el presente capítulo conoceremos mejor a 
estas formas geométricas.
La pirámide es aquel poliedro en el cual una de sus caras es una región 
poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones 
triangulares denominadas caras laterales, todas ellas tienen un vértice 
en común el cual se le denomina vértice o cúspide de la pirámide.
A
E D
C
P
B
NOTACIÓN:
Pirámide pentagonal P – ABCDE.
De acuerdo con el número de lados de su base; las pirámides pueden 
ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales si su base tiene tres, 
cuatro, cinco lados, respectivamente; tal como se muestra en la si-
guiente figura.
Triángular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal
PIRÁMIDE REGULAR:
Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular 
(triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.) y, además, 
tiene todas sus aristas laterales de igual longitud. En toda pirámide 
regular las caras laterales son congruentes y el pie de altura es el cen-
tro de la base.
En la figura se muestra una 
pirámide hexagonal regular 
M – ABCDEF.
B
Q A
O
Ap
M
Altura
C D
NF
E
H
RECUERDA QUE...
Los elementos de la pirámi-
de son los siguientes:
Arista lateral
Altura
Arista
básica
A
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Pirámide
Geometría 2.° año – iii Bimestre352
APOTEMA DE LA PIRÁMIDE REGULAR (Ap)
Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista 
básica:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
(Ap)2 = (ap)2 + H2
Ap
ap
H
EJEMPLO 1:
Calcula la medida de la apotema de la siguiente pirámide
16 m
6 m
SOLUCIÓN:
 ● Aplicando el teorema de Pi-
tágoras en la pirámide:
(Ap)2 = (ap)2 + H2
(Ap)2 = 62 + 162
(Ap)2 = 36 + 256
(Ap)2 = 292
Ap = 292 = 17,09 m
En toda pirámide regular se 
cumple:
 � Las caras laterales están 
limitadas por triángulos 
isósceles congruentes en-
tre sí.
 � Las caras laterales y la 
base forman ángulos die-
dros de medidas iguales.
 � Las aristas laterales for-
man con la base ángulos 
de medidas iguales.
EJEMPLO 2:
¿Cuál no es una característica de la siguiente 
pirámide?
a. Posee 5 caras.
b. Posee 4 caras laterales.
c. Posee 1 base triangular.
d. Posee 4 aristas laterales.
SOLUCIÓN:
 ● Posee una base cuadrangular, por lo tanto, 
la letra C es falsa.
EJEMPLO 3:
Calcula la suma del número de caras y aristas 
de la siguiente pirámide.
SOLUCIÓN:
 ● ELa pirámide pentagonal tiene 6 caras.
 ● La pirámide pentagonal tiene 10 aristas.
 ● Suman en total: 6 + 10 = 16.
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Pirámide
Geometría 2.° año – iii Bimestre353
Nivel Básico
1. De acuerdo con el número de lados de la base, 
estas pirámides son:
a) Triangulares
b) Pentagonales
c) Cuadrangulares
d) Octogonales
2. Es aquella pirámide que tiene 7 caras.
a) Triangular
b) Heptagonal
c) Octogonal
d) Hexagonal
3. Es aquella pirámide cuya base es un triángulo 
equilátero.
a) Triangular regular
b) Cuadrangular
c) Triangular
d) Cuadrangular regular4. Una pirámide es regular cuando:
a) Su base está limitada un polígono de 4 lados.
b) Sus aristas laterales son triángulos equiláteros.
c) Su base está limitada por un polígono regular.
d) Sus aristas laterales son cuadriláteros.
Nivel Intermedio
5. Calcula la medida de la altura de la pirámide:
Ap = 26 cm
L = 20 cm
6. Calcula la apotema de la pirámide.
14 cm
25 cm
Ap = ¿?
7. Calcula el perímetro de la base del siguiente polí-
gono:
Ap = 23 cm
ap
h = 20 cm
8. Se tiene una pirámide cuya base es un trapecio rec-
tangular. ¿Cuántos planos concurren en el vértice 
opuesto a la base de dicha pirámide? ¿Y en un vér-
tice de la base?
Nivel Avanzado
9. ¿Cuál es la diferencia entre el número de ángulos 
diedros que hay en un prisma de base decagonal 
y el número de ángulos diedros que hay en una 
pirámide cuya base es un dodecágono?
10. Ismael construyó un prisma de base rectangular y 
Sofía construyó una pirámide cuya base es un oc-
tógono. Ismael dijo a Sofía: “El sólido que yo cons-
truí tiene más aristas y más vértices que el tuyo”. 
¿Es cierta la afirmación de Ismael? ¿Por qué?
VeRificando el apRendizaje
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5
Geometría 2.° año – III BImestre366
cilindRo
BALONES DE OXÍGENO
Los siguientes balones de oxígeno tienen un diámetro de 30 cm y una altura de 1,50 m. ¿Cuánto mide la gene-
ratriz de este balón cilíndrico?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración del oxigeno
¿Por qué es importante el 
uso del oxígeno en esta eta-
pa de pandemia?
RAZONANDO...
 � ¿Qué características tiene el siguiente 
balón cilíndrico?
 � ¿Cómo son su altura y su generatriz?
 � ¿Cuánto mide el radio de dicho balón 
de oxígeno?
 � ¿Cuánto mide la generatriz de dicho 
balón cilíndrico?
¿Qué aprenderemos 
hoy?
Aprenderemos a reco-
nocer los elementos, 
características y propie-
dades de los cilindros 
para resolver problemas.
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Cilindro
Geometría 2.° año – iii Bimestre367
Se llama superficie cilíndrica a aquella superficie generada por una recta que, apoyándose sobre una cur-
va, se mueve paralelamente a una dirección dada. Las rectas que forman la superficie cilíndrica se llaman 
generatrices y la curva por cuyos puntos pasan se llama directriz. Si la directriz es una circunferencia, 
resulta una superficie cilíndrica circular.
El cilindro es aquel sólido geométrico comprendido entre dos planos 
paralelos entre sí y secante a una superficie curva cerrada denomina-
da superficie lateral del cilindro y en los planos paralelos se determi-
nan secciones planas congruentes las cuales se denominan base del 
cilindro.
Q
P
CLASIFICACIÓN
Cilindro recto Cilindro oblicuo
Es aquel cilindro cuyas genera-
trices son perpendiculares a sus 
bases.
Es el cilindro cuyas generatrices 
son oblicuas con respecto a las 
bases.
g h
g
h
Cilindro recto
Es aquel cilindro cuyas bases son círculos, también es denominado 
cilindro de revolución porque es generado por una región rectan-
gular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
ghh
r r
360°
r O2
O1
eje de giro
O1O2: EJE
RECUERDA QUE...
Los elementosdel cilindro 
son los siguientes:
Eje
r
Base
Altura
Radio
Base
Generatriz
Ma
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Cilindro
Geometría 2.° año – iii Bimestre368
EJEMPLO 1:
Calcula la medida de la generatriz del cilindro oblicuo.
g = ? h = 24 cm
7 cm
R SOLUCIÓN:
 ● Aplicando el teorema de 
Pitágoras en el cilindro 
oblicuo:
(g)2 = (h)2 + 72
(g)2 = 242 + 72
(g)2 = 576 + 49
(g)2 = 625
g = 25 cm
EJEMPLO 2:
¿Cuál no es una característica del cilindro oblicuo?
A. Su base forma un ángulo de 90° con la generatriz.
B. Sus bases pueden ser superficies circulares.
C. La generatriz mide más que la altura.
D. La generatriz es oblicua con respecto a la base.
SOLUCIÓN:
 ● La generatriz forma un ángulo diferente de 90° con la base, 
por lo tanto, es oblicua, la que no es una característica es la 
letra A.
EJEMPLO 3:
¿Cuál no es una característica del cilindro recto?
A. Su base forma un ángulo de 90° con la generatriz.
B. Sus bases pueden ser superficies circulares.
C. La generatriz y la altura tienen la misma medida.
D. La generatriz es oblicua con respecto a la base.
SOLUCIÓN:
 ● La generatriz forma un ángulo de 90° con la base, por lo 
tanto, no es oblicua, la que no es una característica es la 
letra D.
Para construir objetos ci-
lindros (pote de conservas, 
tarros de leche, recipientes 
para pinturas), es necesario 
hacer el diseño en una plan-
cha de latón y luego realizar 
el corte correspondiente, tal 
como se muestra en la figura.
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Cilindro
Geometría 2.° año – iii Bimestre369
VeRificando el apRendizaje
Nivel Básico
1. De acuerdo con la clasificación de cilindros, ¿qué 
tipo de cilindro es este?
a) Circular c) Oblicuo
b) Circular recto d) Recto
2. Es aquel cilindro llamado también de revolución:
a) Circular recto c) Oblicuo
b) Recto d) Paralelo
3. Es aquel cilindro cuya generatriz mide más que la 
altura:
a) Oblicuo
b) Circular
c) Circular recto
d) Recto
4. ¿Cuál es una característica de los cilindros rectos?
a) Son generados por una región rectangular al 
girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
b) Las generatrices son oblicuas con respecto a 
las bases.
c) Las generatrices son perpendiculares a sus bases.
d) La generatriz mide más que la altura.
Nivel Intermedio
5. Calcula la longitud de la generatriz del siguiente 
cilindro recto.
25 cm
37°
6. Calcula la medida del radio en el siguiente cilin-
dro recto.
60°
12 3 cm
7. Calcula la longitud de la altura del siguiente cilin-
dro oblicuo.
g = 24 2 cm
h = ?
45°
8. Calcula la medida de la generatriz del siguiente 
cilindro oblicuo.
g = ? h = 12 cm
7 cm
Nivel Avanzado
9. ¿Cuál de los siguientes cilindros tiene mayor altura?
d = 20 cm
g = 60 cm
52 cm
60°
h = ? h = ?
10. Si la generatriz del cilindro oblicuo mide 64 cm, 
¿cuál es la diferencia entre las alturas de estos ci-
lindros?
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6
Geometría 2.° año – III BImestre382
cono
CONOS DE SEÑALIZACIÓN
Los siguientes conos de señalización permiten separar el tránsito peatonal del tránsito vehicular. Si dichos 
conos tienen un diámetro de 28 cm y una generatriz de 50 cm; ¿cuánto mide su altura?
VALORES Y ACTITUDES
Valoración de la señalización
¿Por qué es importante 
colocar señalizaciones en las 
calles?
RAZONANDO...
 � ¿Qué características tiene el cono de 
señalización indicado?
 � ¿Cómo son su altura y su generatriz? 
¿Qué relación tienen?
 � ¿Cuánto mide el radio del cono de se-
ñalización?
 � ¿Cuánto mide la altura de dicho cono?
¿Qué aprenderemos 
hoy?
Aprenderemos a reco-
nocer los elementos, 
características y propie-
dades de los conos para 
resolver problemas.
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Cono
Geometría 2.° año – III BImestre383
Un cono, en geometría elemental, es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rec-
tángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base, y el 
punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
El estudio sistemático de las pirámides, el conocimiento de la circun-
ferencia y de algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obten-
ción y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca 
el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de 
que su base es una región curva en lugar de una poligonal.
h
h
CLASIFICACIÓN
Si el pie de la altura es el centroide la base, entonces el cono se 
denomina cono recto; caso contrario, se denomina cono oblicuo.
Cono recto Cono oblicuo
h
O
h
O
Cono de revolución o cono circular recto
Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular al 
girar 360° en torno a uno de sus catetos.
g
Eje de
giro
Superficie
lateral
Vértice o
cúspide
Generatriz
Base
360°
V
O
h
r
RECUERDA QUE...
Los elementos del cono son 
los siguientes:
Eje
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Altura
Vértice
Radio
Base
GeneratrizMa
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