CEPRE CT SEM12

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la circunferencia trigonométrica, halle 
el área de la región sombreada 
a) 
1
2
sin−
 
b) 
1
2
sin+
 
c) 
1
3
sin+
 
d) 
1
4
sin+
 
e) 
1
4
sin−
 
 
 
Si T y M son puntos de tangencia, calcule 
“r” en términos de  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
1


sin
sin−
 b) 
1
1


sin
sin
+
−
 c) 
1


sin
sin+
 
d) 
1 

sin
cos
+
 e) 
4
sin
 
 
 
En la circunferencia trigonométrica 
mostrada. 
Halle cot en términos α si .OP PT= 
a) 
1
2
sin−
 
b) 
1 2
2


cos
sin
+ 
− 
 
 
c) 
1
3
sin+
 
d) 
1 

sin
cos
+
 
e) 
1
4
sin−
 
 
 
En la figura mostrada, se tiene una 
circunferencia trigonométrica donde PQ 
es tangente a la circunferencia en P. 
Calcular el área del trapecio OMPQ en 
función de θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
2

 
sin
(sin sec )+ 
b) 
2

 
cos
(sin sec )+ 
c) 
2

 
sin
(cos sec )
−
− 
d) 
2

 
sin
(cos sec )− + 
e) 
2

 
sin
(sin sec )− 
 
y
r

M
T
x
. .CT
Q
P

M
O x
y
y
T P
O

x

x
y
 
 
 
MOISÉS ALEJANDRO APAZA QUINCHO 
2 
 
Calcule el mayor valor entero de k si θ 
pertenece al cuarto cuadrante y se cumple: 
24 4 1 0
2 3
2
   

sin cos sin sin
sin
k
 − + − 

 −
=

 
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 
 
 
En la circunferencia trigonométrica 
adjunta, determine: 
área del 
área del 
POR
RQO


 
 
a) 1csc + 
b) 2 1csc + 
c) 2 1sec + 
d) 1sec + 
e) 2 2sec + 
 
 
En la figura, O es el centro del círculo 
trigonométrico. Si: OA=1u y 
3
3
tan ,= 
calcule el área de la región sombreada (en 
2 )u 
a) 
8
9

 
b) 
6
7

 
c) 
7
8

 
d) 
7
6

 
e) 
9
8

 
 
 
En la circunferencia trigonométrica de la 
figura mostrada, el arco 
2

 ; , calcule 
el área de la región sombreada. AM = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)
1 1
2 2


cos
cos
− 
 
− 
 d) 
2
5


cos
cos
− 
 
− 
 
b) 
2
5


cos
cos
− 
 
− 
 e) 
1 2
2 1


cos
cos
− 
 
− 
 
c) 
2
1


cos
cos
− 
 
− 
 
 
 
En el círculo trigonométrico de la figura, es 
un ángulo negativo en posición normal. Si 
PQ es perpendicular a ,MN halle las 
coordenadas de 0 0( ; )Q x y y de como 
respuesta 0 0.x y− 
a)  cos sin− 
b) 2  cos sin− 
c) 2 cos sin− 
d) 3  cos sin− 
e) 5  cos sin− 
 
 
En la circunferencia trigonométrica de la 
P
O
Q
R

x
y

r
M
A
x
y
P
M
N
Q
O
 
 
 
MOISÉS APAZA QUINCHO 
3 
figura mostrada, el ángulo θ está en 
posición normal. Determine el área de la 
región triangular SOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
1 1
2 1


sin
sin
+ 
 
− 
 b) 
1
1


sin
sin
+
−
 c) 
2
2


sin
sin
−
+
 
d) 
3
3


sin
sin
−
+
 e) 
2
3


sin
sin
−
+
 
 
 
¿Qué valores puede tomar “x” para que se 
cumpla: 
2 1
3 2
sin
x x− +
= + siendo θ un 
arco del tercer cuadrante? 
a) 
1 3
5 5
; b) 
1 2
5 5
; c) 
1
1
5
;− 
d) 
2
0
5
; e) 
3
0
5
; 
 
 
Indique el producto de los valores mínimo 
y máximo de la expresión: 
2 34 3 2   cos sin ;Q = + −  
a) 18 b) 36 c) 9 d) 40 e) 20 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Sea: 2 2 2( ) sin csc ,xf x x= + − determinar el 
rango de la función ( ).xf 
Si: 
2

;x n n  
a) 0;+ b) 
2
0
5
; c) 
1
1
5
;− 
d) 
3
0
5
; e) 2 8; 
 
 
Halla el periodo de la función “F” definida 
por: 3 4 4 2( ) cos sinxf x x= + 
a) 2 b) 2 1 + c)  
d) 3 e) 1 + 
 
 
Calcula el rango de la siguiente función: 
21 2( ) cosxf x= + 
a) 0;+ b) 
2
0
5
; c) 
1
1
5
;− 
d) 
3
0
5
; e) 2 8; 
 
 
Calcule el menor valor que toma la función 
definida por: 
2 2
( )
sin sin
sin
x
x x
f
x
+
= 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 4 e) 1 
 
 
La distribución diaria de luz solar durante 
el año en Puno está dada por una función 
de la forma   ( ) sin( ( ))tf A t= − + horas, 
donde “t” es el número de días 
transcurridos del año. El día más largo 
tiene 12h de luz; el día más corto, 10h; y se 
sabe que el 23 de febrero hubo 11h de luz. 
¿Cuál de las siguientes funciones describe 
explícitamente f (t)? 
a) 
2
4 23 11
365

sin ( )t
 
− + 
 
 
b) 
2
4 23 11
365

sin ( )t
 
− + 
 
 
c) 
2
4 54 11
365

sin ( )t
 
− + 
 
 
 
B
AS O
P
'B
'A
 
 
 
MOISÉS ALEJANDRO APAZA QUINCHO 
4 
 
Determine el menor periodo positivo de la 
función definida por: 
1 2 1 2( ) cos cosxf x x= + + − 
a) 
2
5

 b) 2 1 + c)  
d) 
3
2

 e) 
2

 
 
 
Sea   : ;f − → la función definida por: 
4 2 1( ) cos sinxf x x= + − ¿en cuantos puntos 
el grafico de esta función interseca al eje 
de las abscisas? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
Sea 
7
6 6
 
: ;f → definida por 
22 4
2

( ) cos cos .xf x x
 
= − + 
 
 Determine el 
rango de la función 
a) 
3
4
2
;

−

 d) 2 3;−

 
b) 
1 4 3
4
2
;
 +
−

 e) 2 2 3;−

 
c) 
1 2 3
4
2
;
 +
−

 
 
 
La suma de los valores del conjunto 
solución de la siguiente ecuación 
2 3arccos arcsin arcsin( )x x x− = − es: 
a) 1,3 b) 1,5 c) 1,4 d) 1,7 e) 1,2 
 
 
Determine el valor de “x” si se cumple que: 
5 5 2
2

arctan( ) arccot( )x x+ + − = 
a) 2 5( )+ d) 
1
2 5
6
( )− 
b) 
1
2 5
2
( )+ e) 
1
2 5
4
( )+ 
c) 
1
2 5
2
( )− 
 
EJERCICIOS ADICIONALES 
 
Si 0; ,
2
x

  hallar el rango de la función 
definida por: 
( ) 1 sin 2 sin
2 4
x
f x x
 
= + + − 
 
 
a) 0;2 b) 0; 2 c) 2;2− 
d) 0; 3 e) 0; 7 
 
 
Determine el máximo valor que toma la 
función: 2 2( ) 3sin 4cos ,f x x x x= +   
a) 3 b) 2 c) 7 d) 4 e) 5 
 
 
Si  0;2 ,x  determine el rango de la 
función f: ( )( ) sin sin sinxf x x x= + 
a) 0; 2 
 
 b) 0; 2 c) 2;3− 
d) 0; 3 e) 2; 2− 
 
 
Si ;
12 12
x
  
 − 
 
 indicar la suma del valor 
mínimo y máximo de la función f definida 
por: ( )
7
2sin
4
xf x
 
= + 
 
 
a) 3− b) 3 1− − c) 2 3+ 
d) 1 3− + e) 2 3