Cálculo II - Integrais Duplas e Triplas

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ANAZA
Walter Edwin Canaza Trujillo Matemática Superior – Calculo II 
 
 
 
Pagina 
 
INTEGRALES DOBLES 
( , )
(
)
,
,
)
(
R
R
R
f x y dy
f x
I f x
y
y
dxdy
d
dA
x

  





 
 Para las integrales del tipo ( , )
R
f x y dydx se lo realizara de la siguiente forma: 
 
( )
( )
( , ) ( , )
( , ) 1
f xb
R a g x
R
I f x y dA f x y dydx
si f x y I dA Area de "R"
 
   
  

 
 
 Para las integrales del tipo ( , )
R
f x y dxdy se lo realizara de la siguiente forma: 
 
( )
( )
( , ) ( , )
( , ) 1 "
n xd
R c h x
R
I f x y dA f x y dxdy
si f x y I dA Area de R"
 
   
  

 
 
TRANSFORMACIONES 
Jacobiano de transformación 
R
x
y
R' 
u
v
|J| 
 
 ,
( , ) ( , )
R R
x y
I f x y dxdy f u v J dudv
u v
 
   
 
  
 
R
x
y
( )f x
g( )x
a b
R
x
y
( )h x ( )n x
c
d
 
 
 
 
 
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Walter Edwin Canaza Trujillo Matemática Superior – Calculo II 
 
 
 
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Donde el Jacobiano de transformación será igual a : 
u v
u v
x xx y
J
y yu v
 
 
 
una propiedad importante será: 
1x y
J
u vu v
J
x y
 
 
  
 
 
 
COORDENADAS POLARES 
 
 
2
1
( )
( )
cos
sin
( , ) ( , )
( , ) 1 "
r
r
r
R g
R
x r x x
 J r
y r y y
I f x y dA f r rdrd
si f r I rdrd Area de R"


 
 


 
 
  
   
  
 
   
  

 
Coordenadas polares generalizadas 
 
 
   1 1
cos
cos sin
sin
p
r p p
p
r
x xx ar
 J pabr
y yy br



 

 
   
   
  
 
APLICACIONES A LA FISICA 
Centros de masa 
 
   
,
, , , ,
R
x y
R R
m x y dA 
M y x y dA M x x y dA

 

 

 
 
, ( , )
y x
M M
x y , x y densidad
m m
   
Momentos de Inercia 
       2 2 2 2, , ,x y o
R R R
I x y y dA ; I x y x dA ; I x y x y dA        
Momento respecto a cualquier eje 
  2,L
R
I x y D dA  donde D es la distancia del punto P(x,y) al eje L 
 
R
x
y
( )r 
g( )
2
1
x
R
y
x
y
 
 
 
 
 
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INTEGRALES TRIPLES 
 ,
,
,
,
,
V
dxdydz dxdzdy
dydxdz dydzdx
dzdx
I f x
dy dzd
y z dV d
ydx
V


   


 
El orden para el dV dependerá del tipo de proyección: 
 
R
z
R
R z R
dV dz dV dz
si f x y z I V
I dzdA
dxdy d
z z d
d
A
y x
sup
inf
sup inf
 ,
 ( , , ) 1
  
  
    
 
 
TRANSFORMACIONES 
Jacobiano de transformación 
   
V V
x y z
I f x y z dxdydz f u v w J dudvdw
u v w
, , , ,
 
   
 
  
Donde el Jacobiano de transformación será igual a : 
u v w
u v w
u v w
x x x
x y z
J y y y
u v w
z z z
 
 
 
una propiedad importante será: 
x y z
J
u v wu v w
J
x y z
1 
 
  
 
 
 
COORDENADAS CILINDRICAS 
zr
V g z
V
x r
x y z
y r J r
r z
z z
I f x y z dxdydz f r z rdzdrd
si f r z I rdrd dz Volumen de V
sup2
1 inf
( )
( )
cos
sin
( , , ) ( , , )
( , , ) 1 " "
 
 



 
 

 
    
  
 
   
   

 
( , )z f x y
z
y
x
z
y
x

r
z
 
 
 
 
 
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z
y
x



Coordenadas cilíndricas generalizadas 
 
     
p
p p p
x ar
x y z
y br J pabcr
r z
z cz
1 1
cos
sin cos sin

  

 
 
 
    
  
 
COORDENADAS ESFERICAS 
extr
V g
V
x
x y z
y J
z
I f x y z dxdydz f d d d
si f I d d d Volumen de V
2
1 int
2
( )
2
( )
2
cos sin
sin sin sin
cos
( , , ) ( , , ) sin
( , , ) 1 sin " "
 
  
  
    
  
 
       
       

 
     
  
 
   
   

 
Coordenadas esféricas generalizadas 
   
   
 
       
p q
p q q p p q
q
x a
x y z
y b J pqabc
z c
2 2 1 1 1 1
cos sin
sin sin sin sin cos cos
cos
  
       
  
 
   
 
 
     
  
 
APLICACIONES A LA FISICA 
Centros de masa 
V
xy xz yz
V V V
m x y z dV 
M z x y z dV M y x y z dV M x x y z dV
( , , )
( , , ) , ( , , ) , ( , , )

  

  

  
 
yz xyxz
M MM
x y , z , x y z densidad
m m m
, ( , , )    
Momentos de Inercia 
Momento respecto a los planos coordenados 
xy zy xz
V V V
I z x y z dV ; I x x y z dV ; I y x y z dV 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )       
Momento respecto a los ejes coordenados 
x xy xz y xy yz z zy xzI I +I I I +I ; I I +I;   
 
 
 
 
 
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( , )z f x y
z
y
x
Momento respecto al origen de coordenadas 
 xy xz zy x y zI I +I +I = I I I0
1
2
   
 Momento respecto a cualquier eje 
L
V
I D x y z dV2 ( , , )  donde D es la distancia del punto P(x,y,z) al eje L 
AREA DE SUPERFICIE 
Estas integrales dependerán de la proyección a la cual se realicen la superficie. 
 
Dónde: 
R1 es la proyección en el plano XY, R2 es la proyección en el plano YZ 
y R3 es la proyección en el plano XZ 
 INTEGRALES DE LINEA 
Integrales de línea de primera especie 
       
C
I f x y z dS dS dx dy dz
2 2 2
, , ; Donde     
Integrales de línea de Segunda especie 
       
C
C
I f x y z dr f x y z P Q R dr dx dy dz
I Pdx Qdy Rdz
, , Donde: , , , , , , ,  
   


 
 
 
   
   
   
x y
R
z y
R
x z
R
S z z dxdy
S x x dydz
S y y dxdz
22
1
22
2
2 2
3
1
1
1
  
  
  



 
 
 
 
 
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z
y
x
A
B
C1
C2 Cn
x
y
R
C
Independencia del camino de integración 
(función conservativa o irrotacional) 
y x z x z yRot f f P Q P R Q R( ) 0 , ,       
u u u
du Pdx Qdy Rdz du dx dy dz
x y z
  
      
  
 
B
C C Cn Cn A
I f dr f dr f dr du u
1 2
......          
Área de una figura plana 
C
A xdy ydx C curva cerrada ; donde : ( ) Teorema de Green en el plano 
C R
Q P
I Pdx Qdy dA
x y
  
    
  
  
 
 
 
PARAMETRIZACION DE CURVAS NOTABLES 
 
 
 
 
 
 
 2 2
2 2 2 2 2 2
 Lemniscata Cicloide
cos(2 ) ( sin )
( ) ( ) ( cos )
  
 
  
    
r a x a
x y a x y y a
 3
3
 Hipocicloide Cardioide
cos (1 cos )
sin 
x a r a
y a
 

  

 
 
 
 
 
 
 
 
Catenaria Rosa de 3 petalos
cos( )
 cos(3 ) n impar
sin( )2
x x
a a a ne e
y a r a
a n





   

 
 Rosa de 4 petalos Epicicloide
( )cos cos
cos( )
 cos(2 ) n par 
sin( )
( )cos sin
a b
x a b b
a n b
r a
a n a b
y a b b
b
 



 
 
    
  
  
 
    
 
 
 
 
 
 
 
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 Hipocicloide Gral. Trocoide
( )cos cos
sin
 
cos
( )cos sin
a b
x a b b
x a bb
y a ba b
y a b b
b
 
 

 
 
    
  
  
    
 
 
 Tractriz Bruja de Agnesi
ln cot cos 2 cot
 2
 (1 cos 2 )
sin
x a x a
y a
y a

 


 
   
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
2
3
Folio de Descartes Involuta de una Circunferencia
3
(cos sin )1
 
(sin cos )3
1
at
x
x at
y aat
y
t
  
  

 
 


 
Caracol de Pascal Espiral de Arquimedes
 No corta
cos 
 Corta
b a
r a b r a
b a
 

  

 
CUADRICAS 
 
 
2 2 2 2
 Ecuacion de la Esfera
( ) ( ) ( )o o ox x y y z z R     
 2 2
2 2
Ecuacion del Paraboloide Eliptico
 
x y z
a b c
 
 
 
 
2 2
2 2
Ecuacion del Cilindro Eliptico
 1
x y
a b
 
 2 2 2
2 2 2
Ecuacion del Cono Eliptico
 
x y z
a b c
 
 
 
 
     
2 2 2
2 2 2
 Ecuacion del Elipsoide
1
o o ox x y y z z
a b c
  
  
 2 2 2
2 2 2
Hiperboloide de una sola Hoja
 1
x y z
a b c
  
 
 
 
2 2 2
2 2 2
Hiperboloide de dos Hojas
 1
x y z
a b c
  
 2 2
2 2
Paraboloide Hiperbolico 
 
x y z
a b c
 