Tema 03 - Magnitudes proporcionales

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5UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
ARITMÉTICA
I. NOCIONES PREVIAS
A. Magnitud
Es toda cualidad de la materia que pueda experi-
mentar variación, en nuestro caso estudiaremos la
magnitudes matemáticas que serán aquellas sus-
ceptibles a medición.
B. Cantidad
Es el valor que toma una magnitud en un determi-
nado instante, generalmente se expresa como un
valor numérico acompañado de cierta unidad de
medida.
Ejemplos:

 
3
4 h ;20minTiempo
5 m ;80 kmLongitud
37 C ; 300 kTemperatura
Volumen 60 m ; 4
Número de alumnos 50 alumnos
Magnitud Cantidad

II. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de
dos magnitudes que guardan cierta relación de depen-
dencia entre sí: relación directa y relación inversa.
A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Dos magnitudes son directamente proporcionales
cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor
de una de ellas entonces el valor de la otra aumen-
te o disminuya respectivamente en la misma pro-
porción. Se cumple que el cociente de sus respec-
tivos valores es constante.
Ejemplo:
Andrea compra en la panadería 10 panes con S/. 2,
manteniendo el precio del pan constante se podría
afirmar:
Se observa:
En ambos casos varía en la misma proporción.
Luego:
(N panes)(N panes) DP(Costo) K
(costo)
K : constante
  
En el ejemplo:
10 30 15 20 5
2 6 3 4
constante
   

En general
Sean las magnitudes A y B:
(Valor de A)A DP B K
(valor de B)
K : constante
 
DESARROLLO DEL TEMA
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MAGNITUDES PROPORCIONALES
TEMA 3
Exigimos más!
Observación:
El comportamiento de las magnitudes del ejem-
plo anterior también se puede representar grá-
ficamente.
• La gráfica de dos magnitudes directamente pro-
porcionales es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
• En cualquier punto de la recta el cociente entre
los valores de sus coordenadas es constante.
f(x)10 15 20 30 k
2 3 4 6 x
constante
    

Luego:
f(x) = K f(x)=k x
x
K :constante Función de
proporcionalidad
 directa
 
B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales
cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor
de una ellas entonces el valor de la otra disminuya
o aumenta respectivamente y la proporción se in-
vierta. Se cumple que el producto de sus respecti-
vos valores es constante.
Ejemplo:
David es un ciclista que recorre a diario una distan-
cia de 60 km como parte de su entrenamiento,
con respecto al comportamiento de su velocidad y
el tiempo empleado en los últimos cuatro días, se
puede afirmar:
Se observa:
En ambos casos la proporción se invierte.
Luego:
 
(Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h
h: constante
  
En el ejemplo:
10 6 30 2 15 4 20 3 60
constante
       

En general:
Sea las magnitudes M y N.
   Valor Valorde M de N
Sean las magnitudes M y N
M IP N h
h : constante
  
Observación:
 
El comportamiento de las magnitudes en el
ejemplo anterior también se puede repre-
sentar gráficamente.
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MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más!
Problema 1
Para pintar el Estadio Nacional se con-
tratan 8 personas que afirman pueden
terminar la obra en 10 días, laborando
8 horas diarias. Al terminar el quinto
día de trabajo se decide incrementar
la jornada a 10 horas diarias y contra-
tar más personas para culminar el res-
to de la obra en 2 días. Calcule la can-
tidad de personas que se deben con-
tratar en forma adicional.
UNI 2010-II
A) 8 B) 10
C) 12 D) 14
E) 16
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: Cantidad de personas que se
deben contratar en forma adicional (x)
Análisis de los datos o gráficos
a
8 
personas
10 días, 
8 h/d
a b
normalmente 8 
personas 8h/d 
culminarían en 
5 días
8 personas
5 días
8h/d
(8+x)personas
2días
10h/d
Operación del problema
Se cumple para la obra "b":
(8 x) 2 10 8 8 5    
Conclusión y respuesta
x 8 
Respuesta: A) 8
Problema 2
Tres socios A, B, C deberían repartirse
una utilidad de M dólares proporcional-
mente a sus edades, las cuales son x
del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)
del socio C. Como el reparto se realizó
un año después, calcule la cantidad que
recibe el socio que más se perjudica.
UNI 2009-II
A)
M(x 1)
3(x 2)


B)
M(x 2)
x 1


C)
M(x 3)
x 1


D)
M(x 1)
x 3


E)
M(x 1)
2(x 3)


Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide hallar lo que recibe el socio que
más se perjudica.
Análisis de los datos o gráficos
El más perjudicado es el socio A, pues
es el mayor de todos ellos.
Operación del problema
Dentro de 1 año:
A B C k
x 1 x 2 x 5
  
  
A B C A
(x 1) (x 2) (x 5) x 1
  
     
M A
3x 6 x 1

 
M(x 1)A
3(x 2)
 

Respuesta: A) 
M(x 1)
3(x 2)


Problema 3
De las magnitudes Z, W, X, se sabe que
Z es directamente proporcional a X2 y
W es inversamente proporcional a X2. Si
N = Z + W y X = 1 implica que N = 6;
X = 0,5, implica que N = 9. Determínese
N si X 2 .
C. Propiedades
Sean las magnitudes A, B, M y N.
I.
A DP B B IP A
M IP N N IP M


II.
K K
K K
A DP B A DP B
M IP N M IP N


 K Q
III.
1A DP B A IP
B
1M IP N M DP
N


Ejemplo:
Sean las magnitudes A, B, C, D y E.
• Elegimos "A" como magnitud referencial.
• Comparamos "A" con las demás magnitudes.
A DP B; cuando C, D y E son constantes.
A IP C; cuando B, D y E son constantes.
A IP D; cuando B, C y E son constantes.
A DP E; cuando B, C y D son constantes.
• Finalmente la relación será: A C D K
B E
constante
  
 
problemas resueltos
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TEMA 3
Exigimos más!
UNI 2008 - II
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden hallar N para X 2 .
Análisis de los datos o gráficos
Dado que Z DP X2, entonces 
2
Z a
X

2Z ax 
Dado que W IP X2, entonces WX2 = b
2
bW
x
 
Operación del problema
Además N = Z + W
Para X = 1: 6 = a + b
Para X = 
1
2 : 9 = 
a
4 + 4b
Resolviendo: a = 4, b = 2
Cuando X 2 , reemplazando:
 
 
2
2
2N 4 2 9
2
  
Respuesta: C) 9