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11UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 5 TANTO POR CIENTO ARITMÉTICA I. REGLA DEL TANTO POR CUANTO A. Concepto Es un procedimiento aritmético que nos permite determinar que "TANTO" (parte) representa una cantidad con respecto a un todo "CUANTO". Ejemplo: En cierta panadería, por cada 20 panes que se compra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántos me regalan? Resolución: Obsequian 3 por cada 20 < > el 3 por 20 En general: aEl a por b de N : N b Tanto cuanto Ejercicios • El 4 por 7 de 63: ................................... • El 3 por 4 de los 2 5 de 720 ..................... B. Casos particulares del tanto por cuanto • Tanto por ciento (%) a por ciento: aa% 100 • Tanto por mil o oo b por mil: b o oo b 1000 II. REGLA DEL TANTO POR CIENTO La idea consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y luego tomar de ellas tantas partes como se indique: aa por ciento : a% 100 Ejemplos: • 20 por ciento: 20% 20 100 • 150 por ciento: 150% 150 100 • 400 por ciento: 400% 400 4 100 Observación: Tanto por Fracción ciento o entero Ejemplo: El 20% de 300 es 2020% 300 300 60 100 En general aEl a% de N: a% N N 100 Ejercicios • El 40% de 7000: ________________________ ______________________________________ • El 30% de 80: __________________________ ______________________________________ • El 20% del 75% del 50% de 16 000: _________ ______________________________________ DESARROLLO DEL TEMA 12UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TANTO POR CIENTO TEMA 5 Exigimos más! A. Equivalencias 1. De tanto por ciento a fracción o entero 10 110% Décima parte100 10 20 120% Quinta parte 100 5 25 125% Cuarta parte100 4 50 150% La mitad100 2 100100% 1 Total 100 2. De fracción a tanto por ciento 1 1 11 100% 25% 4 4 4 7 7 100% 35% 20 20 • ¿Qué tanto por ciento es 6 de 15? ___________________________________ ___________________________________ • ¿De qué número, 36 es su 80%? ___________________________________ ___________________________________ • En un aula hay 24 varones y 16 mujeres, calcule: a) ¿Qué tanto por ciento son los varones del total? b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres? c) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres de los varones? B. Operaciones con el tanto por ciento Aplicados sobre una misma cantidad. 1. Adición 20% A + 30% A = ___________________ 120% B + 45% B = ___________________ N + 30% N = ________________________ 2. Sustracción 40% A – 10% A = _____________________ N – 25% N = _________________________ C. Aumentos y descuentos sucesivos Si a una cantidad se le aumenta el 30% y luego de la nueva cantidad se le disminuye su 20% entonces se obtiene: Luego: 130% N – 26% N = 104% N Respuesta: 104% de la cantidad inicial. Forma práctica Cantidad inicial: "N" Luego del aumento y descuento: + 30% – 20% Queda: N × 130% × 80% = 104% N Respuesta: 104% Ejercicios • Un artículo se ofrecía en una tienda en S/. P; si el vendedor realiza dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. Calcule el descuento único equivalente a estos dos descuentos sucesivos. ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ • Calcule el aumento único equivalente a tres aumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%. ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ D. Aplicaciones comerciales Ejemplo: El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere ins- trumentos musicales al por mayor en una fábrica, al verificar el costo de un solo saxofón sería $500; él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece el saxo en $800, pero al momento de la venta realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto ganó dicho co- merciante en la venta del saxo? Resolución: P =500C P =600V P =800F compra vende ofrece Ganancia Descuento G=100 D=25% 800=200 Aumento o incremento:300 Respuesta: ganó $100 13UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 5 TANTO POR CIENTO Exigimos más! Problema 1 Un libro se ofrece en venta recargán- dose el r por ciento del precio del cos- to, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el ven- dedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante? UNI 2010 - I A) 100 (100 r) B) r 100 100 r C) (100 r) r D) 1 10,01 r E) 1 10,01 r Resolución: Ubicación de incógnita Cuánto le rebajaron al estudiante. Análisis de los datos o gráficos Se aumentó (r%) y luego le rebajaron (p%), quedando al final: Precio de costo Precio de venta = S/. X Operación del problema Entonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X 1 = (1 + r%)(1 – p%) Operando: 1p 10,01 r Nota: La respuesta se asumirá por cada 100 unidades monetarias. Respuesta: 1 10, 01 r Problema 2 Para fijar el precio de venta de un artí- culo se aumentó su costo en 30%. Al venderse se hizo un descuento del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó? A) 15% B) 12% C) 17% D) 20% E) 7% Resolución: Sea el precio de costo: 100 K Se observa: G = 17 K Nos piden: 17K 100% 17% 100K Respuesta: C) 17% Problema 3 Una tienda vende un producto hacien- do descuentos primero uno de 15% y luego otro de 15%. Se observa: C V F V C F P G P P D P P (incremento) P PV: Precio de venta PC: Precio de costo PF: Precio fijado o precio de lista. Observaciones: 1. Cuando se mencionen gastos o impuestos. Ejemplo: Si en la aplicación planteada mencionaban gas- tos de $30 por mantenimiento, entonces P =500C P =600V P =800F G =70Neta Gastos=30 D=200 G =100Bruta La ganancia líquida sería de $70 y ya no $100. Neta BrutaG (Gastos) G 2. Cuando la ganancia, perdida o incremento se expresen en tanto por ciento y no se men- cione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de costo. 3. Cuando el descuento se exprese en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de lista. 4. En casos de pérdida (PV < PC). PV Pérdida PC C VP – (Pérdida) P problemas resueltos 14UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TANTO POR CIENTO TEMA 5 Exigimos más! Una segunda tienda, que tiene el mis- mo producto y al mismo precio de lista, realiza un descuento del 30%. ¿Cuán- to de descuento (en %) o de incre- mento (en %) debe efectuar la segun- da tienda para que en ambas tiendas el producto tenga el mismo precio final? La respuesta aproximada es: UNI 2007 - I A) Descuenta 3,2% B) Incrementa 3,2% C) Descuenta 6,4% D) Incrementa 6,4% E) Incrementa 5,2% Resolución: • Sea el precio del producto: P 1° Tienda: 2 descuentos suceviso del 15% y 15% • 1F 289P 85% 85% P P 400 2° Tienda: Un descuento único del 30% • 2F 7 280P 70% P P P 10 400 Como: 2 1F F P P ; entonces debe incre- mentarse en la 2.a tienda para que ambas tiendas tengan el mismo precio final. • 2F 280P P 400 El incremento sería: 1 2F F 9P P P 400 280P 9Px% 400 400 x% 3,2% Respuesta: B) 3,2
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