Tema 14 - Numeración

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37UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 14
NUMERACIÓN
ARITMÉTICA
El número surge con la necesidad del hombre de expresar o
asociar una cantidad a los objetos o elementos que lo rodean.
Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientos
de vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas y
símbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hom-
bre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante el
transcurso de la historia, las culturas, imperios o naciones se
han caracterizado por su particularidad en el estudio y repre-
sentación de los números, tanto como su aplicación en las
matemáticas, que permitieron en gran medida su avance
tecnológico, científico, militar, económico; como han sido la
cultura romana, egipcia, china, árabe, etc.
En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan en
los colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras
(palabras) y los números (numerales), y muchas veces nos
hemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos un
alumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas:
• Nombre
• Edad
• Peso
• Estatura
• Dirección de domicilio
• Teléfono
Ahora analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado en sus
respuestas?
A. Número
Es un ente matemático que nos da la idea de cantidad.
Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza.
B. Numeral
Es la representación gráfica de un número.
Ejemplo: XII, 347, .......
C. Cifras
Es un símbolo que se utiliza para representar un número.
Cifras: 
cifras significativas
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Analicemos el siguiente diagrama, un niño observa un
árbol con catorce manzanas.
• La idea en su mente es el número.
• Si él coge una piedra y realiza marcas sobre la tierra
indicando el número de manzanas que observa:
Representación: IIII IIII IIII, XIV, 14, ...
Se pueden utilizar
 una o más cifras
 (Numeral)
Observación:
Vemos la diferencia entre número (idea) y numeral
(representación) pero es frecuente que en diversos
libros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo,
por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.
I. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de principios que rigen la correcta re-
presentación y escritura de los numerales. Básicamen-
te son dos los principios que necesitamos conocer.
A. Principio del orden
"Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y posee
un respectivo orden".
Ejemplo:
 
DESARROLLO DEL TEMA
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B. Principio de la base
Todo sistema posicional de numeración tiene una
determinada base, la cual es un número entero
que indica cuantas unidades de cierto orden son nece-
sarias para formar una unidad en el orden inme-
diato superior.
En forma práctica indica de cuanto en cuanto se
están agrupando las unidades simples.
En base 10: diez unidades de un determinado orden
formarán una unidad del orden siguiente (superior).
Ejemplo:
En el gráfico inicial, si el niño observa catorce manzanas,
vamos a representarlas cada una por una bolita y luego
por agrupación expresaremos en las bases diez, ocho,
cinco y tres.
 
Conclusiones
•  2 Base
•    0 Cifra Base 
• Cifras usadas en base n:
 cifra 
máxima
0, 1, 2, 3, ..., (n - 2), (n 1)
C. Cambio de base
1. De base 10 a otra base n ( n ≠ 10 )
Ejemplos:
• Pasando 25 a la base 7
• Pasando 25 a la base 4
• Pasando 153 a la base 6
2. De base m a base 10 ( m ≠ 10 )
Ejemplos:
6738 = 6000 + 700 + 30 + 8
6738 = 6 x 103 + 7 x 102 + 3 x 101 + 8
4527 = 4 x 7
2 + 5 x 71 + 2 = 333
24135 = 2 x 5
3 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 = 358
2001003 = 2 x 3
5 + 1 x 32 = 495
300004 = 3 x 4
4 = 768
3. De base m a base n ( m ≠ 10 ∧ n ≠ 10)
Ejemplo:
Expresar 24135 en la base 8.
D. Algunos sistemas de numeración
Base Nombre Cifras 
2 Binario 0; 1 
3 Ternario 0; 1; 2 
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; ....; 7 
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; .....; 8 
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; .....; 9 
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; ......; (10) 
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; ..... ; (11) 
 
II. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN
NUMERAL
Cuando se desea denotar a un numeral en forma ge-
neral, conociendo alguna información sobre él (ya sea
con respecto a las cifras o a la base), se pueden em-
plear letras que representen a las cifras.
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NUMERACIÓN
Ejemplos:
• ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejem-
plo: 10; 11; 12; 13; ...; 99.
• a25 puede estar representando a: 125; 225; 325;
425; ...; 925
• Numeral de 3 cifras consecutivas crecientes:
a(a 1)(a 2) 
123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
• 2a5(a ) = 151; 254; 359.
•
6
3m(m 2) = 3026; 3136; 3246; 3356
•
7
4(m 1)(m 3)  =4407; 4517; 4627
Numeral capicúa
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, del
centro del numeral, son iguales.
En general: abcdcban
=
=
=
Ejemplos:
4774; 2528; 19491
7
aba; abba;
mnppnm ; somos
III. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
k 1 k 2 k 3
n
k cifras
abc .. pq an bn cn ... pn q       
Ejemplos:
nabcd = a × n
3 + b × n2 + c × n + d
4aaa = a × 4
2 + a × 4 + a = 21a
5abba = a×5
3 + b×52 + b×5 + a = 126a + 30b
5a03a = a × 5
3 + 3×5 + a = 126a + 15
A. Descomposición polinómica por bloques
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
3
3
4 2
2
3 2
abcde ab n cde
 abcde ab n cd n e
 abcde a n bc n de
 abcde abc n de
 abcde ab n c n de
  
    
    
  
    
Ejemplos:
4758 = 4700 + 58
2abab ab 10 ab 101 ab    
4 4 4 4
3abcabc abc 4 abc 65 abc    
6 6 6 6
3ab0ab ab 6 ab 217 ab    
5 5 55
2ab32 ab 5 32 25 ab 17     
IV. PROPIEDADES
A. Bases sucesivas
 1c 1d 1e K
1b 
1a K e d c b a     
Ejemplos:
1412
147
15  7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22
141213
14129
32 = 32(9+2+4+3+2+4)
 = 3224 = 3 × 24 + 2 = 74
1213
1(n 1)n
11


 = n(n 1)1 2 3 ... n
2
    
B. Numeral de cifras máximas
K
n
k cifras
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1     
Ejemplos:
Base 10 Base 6
9 = 10 - 1 5 = 6 - 1
99 = 102 - 1 556 = 6
2 - 1
999 = 103 - 1 5556 = 6
3 - 1
9999 = 104 - 1 55556 = 6
4 - 1
Base 8 Base 4
7 = 8 - 1 3 = 4 - 1
778 = 8
2 - 1 334 = 4
2 - 1
7778 = 8
3 - 1 3334 = 4
3 - 1
77778 = 8
4 - 1 33334 = 4
4 - 1
C. Intervalo de un numeral
k 1 k
n
"k" cifras
n abc...de n  
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Ejemplos:
2 310 abc 10 
7
3 47 abcd 7 
3
5 63 abcdef 3 
¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?
V. CAMBIO DE BASE ESPECIAL
A. De base n a base nk
Se forman bloques de k en k cifras de derecha a
izquierda, luego cada bloque se descompone polinó-
micamente y el valor que resulte será una cifra en la
base nk.
2n n n n
3n n
(n )
(n )
ab cd ef
abc def


a b c d e f
na b c d e f
Ejemplos:
2122113 = (213) (223) (113)9
= (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1)9
= 7849
121123 = 1(213)(123)9
= 1(2×3+1)(1×3+2)9
= 1759
2122113 = (2123)(2113)27
= (2×32 + 1×3 + 2) (2×32 + 1×3 + 1)27
= (23)(22)27
B. De base nk a base n
Cada cifra de la base nk se lleva por divisiones suce-
sivas la base "n" y cada una nos dará "k" cifras en la
base n; a excepción de la primera cifra que podría
generar menor número de cifras.
Ejemplo:
Expresar 7849 en base 3.
Problema 1
¿En cuántos sistemas de numeración el
número 1234 se escribe con tres cifras?
UNI 2010-I
Nivel fácil
A) 23 B) 24 C) 25
D) 26 E) 27
Resolución:
Ubicación de incógnita
Halle los valores de la base (n)
Análisis de los datos o gráficos
n1234 abc
Operación del problema (Propiedad)
2 3
nn abc n  ; 2 3n 1234 n 
Desarrollando la desigualdad:
3 1234 n 1234 
10,... n 35,... 
25 valores
n {11, 12, 13, ..., 35} 
Respuesta: C) 25
Problema 2
Sabiendo que: (6)a00a bc1,0 es el cero,
a 0 , determine la suma (a + b +c)
 UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) 12 B) 13
C) 14 D) 15
E) 16
Resolución:Ubicación de incógnita:
a + b + c
Operación del problema
(6)aooa bc1
Por descomposición polinómica y redu-
ciendo: 217a bc1
Conclusiones
Por terminación, se observa que a = 3
 217 × 3 = 651 = bc1
 a = 3, b = 6, c = 5
 a + b + c = 14
Respuesta: C) 14
Problema 3
De la igualdad (7) (n)a2b a51 calcule el
valor de: a + b + n.
UNI 2006–I
Nivel difícil
A) 11 B) 12
C) 13 D) 14
E) 15
Resolución:
* (7) (n)a2b a51
 
 

• Por Desigualdad aparente:
7 n 5 n 6   
* Ahora: (7) (6)a2b a51
• 2 2a x 7 2 x 7 b a x 6 5 x 6 1    
 
13 a b 17
1 4
 
 
a b n 1 4 6 11      
Respuesta: A) 11
problemas resueltos