Tema 19 - Divisibilidad I

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51UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 19
DIVISIBILIDAD I
ARITMÉTICA
I. DIVISIBILIDAD
A. Definición
Un número entero A es divisible entre otro número
entero positivo B si y solo si la división de A entre B
es exacta.
Así:
Ejemplos:
• ¿Es 42 divisible entre 6?
Sí, porque: 642
0 7
• ¿Es –32 divisible entre 8?
Sí, porque: 832
40


• ¿Es 30 divisible entre 8?
No, porque: 830
No es exacta
6 3



• ¿Es 40 divisible entre –5?
No, porque: 5  
• ¿Qué números son los divisores de 12?
Son: 1; 2; 3; 4; 6 y 12
• ¿Qué números son los divisores de –30?
Son: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15 y 30
:El1es divisor de todo número enteroNota
II. MULTIPLICIDAD
A. Definición
Un número entero A es múltiplo de otro número
entero positivo B si y solo si A puede expresarse
como el producto de B por otro número entero.
Así: 
Ejemplos:
• ¿Es 40 múltiplo de 8?
Sí, porque: 40 = 8 x (5)
• ¿Es –36 múltiplo de 9?
Sí, porque: –36 = 9 x (-4)
• ¿Es 30 múltiplo de 13?
No, porque: 30 13k;k  
• ¿Es 40 múltiplo de –5?
No, porque: 5  
: Cero es múltiplo de cualquier
número enteropositivo.
Nota
• ¿Qué números son múltiplos de 4?
o
4; 8;12;...
N 4 4k 0
4; 8; 12;...


  
  
• ¿Qué números son múltiplos de 9?
o
9;18;27;...
M 9 9k 0
9; 18; 27;...


  
  
DESARROLLO DEL TEMA
52UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD I
TEMA 19
Exigimos más!
B. Notación de número que es múltiplo de algún
módulo
Ejemplos:
• Si N es múltiplo de 6: 
O
N 6
N 6 k ; k

   
• Si A es múltiplo de 13: 
O
A 13
A 13 k ; k

   
III. NÚMEROS NO DIVISIBLES POR CIER-
TOS MÓDULOS
Cuando un número no es múltiplo del módulo con el
que requerimos trabajar.
Ejemplo:
De los cuales planteamos que:
52 = 9(5) + 7  52 = 9(6) – 2
O sea: 
En general:
Ejemplos:
IV. PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD
A. Principio de las operaciones
1. Adición
 o o o on n n n  
Ejemplos:
 
   
o o o o
 20 15 45 80 
 5 5 5 5
 
  
  
2. Sustracción
o o o
n n n 
Ejemplos:
  
o o o
 42 14 28 
 7 7 7
 
 
3. Multiplicación
o o
a n n 
Ejemplos:
 6 x 20 120
o o
6 x 5 5
4. Cuando varios factores se expresan con
respecto al mismo módulo
 
o o o o
(n a) (n b) (n c) n a b c        
Ejemplos:
o o o o
o o o o
o o o o o
(7 2)(7 5) 7 2 5 7 3
(13 4)(13 7) 13 4 7 13 2
(8 6)(8 2)(8 3) 8 6 2 3 8 4
      
      
        
Entonces:
o o o
3 3
o o o
2 2
o o o
2 2
(7 2) 7 2 7 1
(7 3) 7 3 7 2
(9 5) 9 5 9 7
    
    
    
Tener en cuenta los siguientes casos:
o o o
2 2
o o o
3 3
o o o
4 4
o o o
5 5
(7 2) 7 2 7 4
(7 2) 7 2 7 1
(7 2) 7 2 7 2
(7 2) 7 2 7 4
    
    
    
    
53UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 16
DIVISIBILIDAD I
Exigimos más!
En general:
n ; a ; k     
B. Otros principios
oo
o
A 5
A 35
A 7

 
 
 ; 
o
o o
o
B 2
B 42 B 3
A 7



 

 
En general se observa que:
2. En otro sentido, teniendo cierta información con
respecto a un número (por ejemplo):
o
o
A 5
A 9

 
  
o
o
A MCM(5;9)
A 45


o
o
o
B 4
B 6
B 15

 



 
 
o
o
B MCM(4;6;15)
B 60


En general:
Si: N  a , N  b y N  c
 N MCM(a; b; c) 
3. Cuando un número deja siempre el mismo resi-
duo al dividirse entre varios módulos:
o o
o
N 8 2 N 24 2
N 12 2

    
  
En general:
Si: N  a r , N  b r y N  c r
 N MCM(a; b; c)    r
Ejemplos:
o
o
12 3
N 60 3
15 3

   


o o
o
5 4
A 35 4
7 4

  
 
Además:
o o
o
o o
6 1 6 5
B 30 5
10 5 10 5
 
  
    
 
  
o o
o
o o
14 10 14 4
C 84 4
12 8 12 4
 
       
 
   
También:
C. Principio de Arquímedes
Si: 
o
A B n  además A y n no poseen divisores
comunes, excepto la unidad entonces se cumple 
o
B n .
Donde  A,B y n    .
Ejemplos:
• Si: 
o
o
5a 9
a 9

 
• Si: 
o
o
9x 10
x 10

 
• Si: 
o
o
6m 55
m 55

 
• Si: 
o
o
26a 11
a 11

 
También podrían presentarse casos como el siguiente:
o
5a 13 10  , el cuál se puede despejar de la siguiente
forma:
o o
o
o o
5a 13 10 5a 10 13
5(a 2) 13
a 2 13 a 13 2
     
   
      
Lo anterior puede presentarse con requerimiento
de un paso previo:
• Si: 
o o
o
4m 15 7 4m 15 8
m 15 2
     
  
54UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD I
TEMA 19
Exigimos más!
• 
Así:
• Si: 
o
o
o
6m 8
3m 4
m 4

 
 
• Si: 
o
o
o
22x 55
2x 5
x 5

 
 
Problema 1
En una reunión de profesionales hay
131 personas, la mayor parte son va-
rones. Si la octava parte de los varones
son ingenieros y la séptima parte de las
mujeres son economistas, ¿cuántos
varones no son ingenieros?
UNI 2008-I
Nivel fácil
A) 12 B) 21
C) 30 D) 84
E) 96
Resolución:
Piden, ¿cuántos varones no son inge-
nieros? Sea a la cantidad de ingenieros
varones. Sea B) la cantidad de mujeres
economistas.
Número de varones = 8a
Número de mujeres =7b
  
° ° °
7+5 7+a 7
131 8a= + 7b  a : 5; 12
Además 8a > 7b  a =12
Dado que piden: 8a – a = 7a = 84
Respuesta: D) 84
Problema 2
Consideremos la expresión:
2 2 2 2E(n) n (n 1) (n 2) ... (n 9) ,n        
Entonces podemos decir que 
o
E(n) 7 si:
UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) No existe 
o
n / E(n) 7 
B)    n 7r 5 / r 7t 4 / t      
C)    n 7t 2 / t 7s 1 / s      
D)    n 7r 3 / r 7r 4 / r      
E)    n 7t 6 / t 7r 3 / r      
Resolución:
Debemos encontrar la forma que debe
tener "n" para que:
o
(n)E 7
Desarrollando E(n):
2 2 2
(n)E n (n 2n 1) (n 4n 4)      
2 2(n 6n 9) ... (n 18n 81)      
Agrupando:
o
2
(n)E 10n 90n 285 7   
 

 

oo
o
2
7 17 4
2n 18 n 57 7

  
o
22n 4n 7 6  
o
2n 2n 7 3  
o
2(n 1) 7 4  
En conclusión:
o o
o o
o o
{7r 3/r }n {7t 6/t }
n 1 7 2 n 1 7 2
n 7 1 n 7 3
n 7 6 n 7 3
   
       
    
    
 
 
Respuesta:
E) n {7t - 6 / t N} {7r - 3 / r N}   
Problema 3
Cinco amigos recogieron en una isla un
cierto número de cocos y acordaron re-
partirlos al día siguiente. Durante la no-
che uno de ellos decidió separar su par-
te y para ello dividió el total en cinco
partes y dio el coco que sobraba a un
mono y se fue a dormir. Enseguida, otro
de los amigos hizo lo mismo, dividiendo
lo que habia quedado por 5, dando el
coco que sobraba a un mono, uno tras
otro hicieron lo mismo, dando a un mono
el coco que sobraba. En la mañana se
repartieron los cocos sobrantes quedan-
do un coco. ¿Cuál es el número mínimo
de cocos que se recogieron?
UNI 2006-II
Nivel difícil
A) 14 521 B) 14 581 C) 14621
D) 15 581 E) 15 621
Resolución:
Sea: N  # cocos en total
• Del enunciado se puede deducir:
o4 4 4 4 4(N 1)x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 5 5k
5 5 5 5 5
                   
 1° 2° 3° 4° 5°
• Despejando:
15625k 11529N
1024
 
o
15625k 11529 1024  
265 k 265
o
1024
o
k 1024 1  
Como piden el "N" mín, será para:
k = 1024 – 1 = 1023
15625 x1023 11529N 15621
1024
  
Respuesta: E) 15 621
• Si: 
o
o o
o
6c 10 4
3c 5 2 3c 5 3
c 5 1
 
      
  
problemas resueltos