Tema 21 - Números primos

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59UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 21
NÚMEROS PRIMOS
ARITMÉTICA
OBJETIVOS
• Reconocer los números primos y compuestos.
• Descomponer canónicamente un número para realizar
un estudio de sus divisores.
• Aplicar el teorema de Euler en la resolución de problemas
concretos.
I. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
ENTEROS POSITIVOS
Dado el conjunto numérico:
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }
Nota:
 
 
Se observa que:
– 1 tiene un solo divisor.
– 2, 3, 5, 7, 11 ... tienen solo 2 divisores.
– 4, 6, 8, 9, 10, 12 ... tienen más de dos divisores.
Luego los Z+ son clasificados en dos conjuntos de
números:
• Simples: {1, 2, 3, 5, 7, 11, ...}
• Compuestos: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...}
En general:
A. Números simples
Son aquellos números que tienen a lo más dos di-
visores.
1. La unidad
Es el único Z+ que tiene un solo divisor.
2. Primos absolutos
Son aquellos números que poseen exactamente
dos divisores, usualmente se dice "número primo".
{2, 3, 5, 7, 11, ... }
B. Números compuestos
Son aquellos números que tienen más de dos divisores:
{4, 6, 8, 9, 10, 12, ... }
Todo número compuesto tiene por lo menos un di-
visor primo. En esta primera parte vamos a realizar
un estudio amplio sobre el conjunto de los números
primos: {2, 3, 5, 7, 11, ... }
Los cuales presentan las siguientes propiedades:
I. La sucesión de los números primos es infinita y
no existe fórmula alguna para determinar todos
los números primos.
Fermat supuso que el número (
n22 1 ) es primo;
donde "n" es un entero positivo.
 
DESARROLLO DEL TEMA
60UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
NÚMEROS PRIMOS
TEMA 21
Exigimos más!
II. Todos los números primos, a excepción del 2
son impares.
III. Los únicos números consecutivos que son primos
es el 2 y 3.
IV. Todo número primo mayor que 2 es de la forma
o
(4 1) ó 
o
(4 1) .
Número primo
3
5
7
11
Forma
4 - 1
4 + 1
4 - 1
4 - 1.....
.....
Lo contrario no siempre se cumple:
25 es 
o
4 1 pero no es primo.
• Todo número primo mayor que 3 es de la forma
o
(6 1) ó 
o
(6 1) .
Número primo
5
7
11
13
Forma
6 - 1
6 + 1
6 - 1
6 + 1.....
.....
Importante:
• En muchas oportunidades se presenta un número,
por ejemplo 163; 221 ó 317, y se pregunta si es primo,
evidentemente que contestar la pregunta nos deman-
daría algún tiempo, pues tendríamos que determinar
si es o no divisible por algún entero, inferior al número.
Para estos casos se tiene un procedimiento práctico:
Algoritmo para determinar si un número es
primo
1.er paso
Se calcula la raíz cuadrada aproximada (por defecto)
del número.
2.o paso
Se indican todos los números primos menores o
iguales a la raíz cuadrada aproximada.
3.er paso
Se determina si el número es o no divisible entre
cada uno de los números primos indicados en el
paso anterior.
• Se dirá que el número es primo, si no resulta
ser divisible por ninguno de los primos indicados.
• Se dirá que el número es compuesto si por lo
menos en un caso resulta divisible.
Ejemplo 1:
¿163 es un número primo?
1.er paso: 163 12,...
2.o paso: {2, 3, 5, 7, 11}
3.er paso:
o
o
o
o
o
163 2 1
163 3 1
163 5 3
163 7 2
163 11 9
 
 
 
 
 
Conclusión: 163 es número primo.
Ejemplo 2:
¿221 es un número primo?
1.er paso: 221 14,...
2.o paso: {2, 3, 5, 7, 11, 13}
3.er paso:
o
o
o
o
o
o
221 2 1
221 3 2
221 5 1
221 7 4
221 11 1
221 13 = 13x17
 
 
 
 
 

Conclusión: 221 no es número primo.
II. CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚ-
MEROS
A. Números primos entre sí (PESI)
Se les denomina también primos relativos o coprimos
y son aquellos que tienen como único divisor común
a la unidad.
Ejemplo 1:
¿8; 12 y 25 son PESI?
 8; 12 y 25 son PESI.
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NÚMEROS PRIMOS
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Ejemplo 2:
¿9; 15 y 21 son PESI?
 9; 15 y 21 no son PESI.
B. Números primos entre sí 2 a 2
Son aquellos grupos de números que al ser tomados
de 2 en 2 pares de número son PESI.
Ejemplo 3:
¿8; 9 y 25 son PESI 2 a 2?
8; 9 y 25 son PESI 2 a 2.
Ejemplo 4:
¿8; 15 y 21 son PESI 2 a 2?
8; 15 y 21 no son PESI 2 a 2.
Propiedades
I. Si varios números son PESI dos a dos entonces
son PESI. Los contrario no siempre ocurre.
II. Dos o más números consecutivos siempre son
PESI.
En el caso de tener un número compuesto, por
ejemplo 504 y se quisiera conocer cuántos divisores
tiene o cuántos de sus divisores tienen cierta carac-
terística, es necesario tener una herramienta que
nos permita responder las interrogantes y esta he-
rramienta es el teorema fundamental de la aritmética.
III. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA
Todo número entero positivo mayor que la unidad se
puede expresar como la multiplicación indicada de sus
divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos
a exponentes enteros positivos, esta representación
es única y se le denomina "descomposición canónica
del número".
Ejemplo: Descomponer canónicamente el número 1400.
Resolución:
1400
700
350
175
35
7
1
2
2
2
5
5
7
1
 
3 2
descomposición
 canónica
 (D.C.)
 1400 = 2 x5 x7 
Problema 1
Hallar el valor de "n" para que el número
de divisores de N = 30n sea el doble del
número de divisores de M = 15 . 18n
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
UNI 1990
Nivel fácil
Resolución:
N = 30n = 2n . 3n . 5n
3
NCD (n 1)(n 1)(n 1) (n 1)      
 M = 14 x 18n = 2n . 32n+1 . 5
2 2
MCD (n 1)(2n 2) 4(n 1)     
Además, por dato del problema:
N MCD 2CD
(n + 1)3 = 2 . 4(n + 1)2
n + 1 = 8
n 7 
Respuesta: C) 7
problemas resueltos
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TEMA 21
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Problema 2
Calcule la raíz cuarta del producto de
todos los enteros positivos menores
que 2500, que tengan exactamente
5 divisores positivos. (Sugerencia: Vea
cuál es la forma de los números enteros
positivos que tienen exactamente 5
divisores).
A) 210 B) 169
C) 225 D) 256
E) 196
UNI 1996 - II
Nivel intermedio
Resolución:
Si tienen 5 divisores positivos, son de
la forma: p4. p: primo
Luego, por dato:
p4 < 2500
p < 7, ...
P 2;3;5;7 
Piden:
4 4 4 4 42 3 5 7 210   
Respuesta: A) 210
Problema 3
Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras
respectivamente, que son primos ab-
solutos y están en progresión aritmé-
tica de razón t, siendo r el menor pri-
mos absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos di-
visores tiene t?
A) 8 B) 10
C) 12 D) 14
E) 16
UNI 1997 - II
Nivel difícil
Resolución:
Como "r" es el menor primo absoluto
de 3 cifras, r = 101.
Además p; q; r están en progresión
aritmética de razón "t".
Luego: q = 101 – t (2 cifras)
 p = 101 – 2t < 10 (1 cifra)
 t > 45,5
Para t = 48, q = 53 y p = 5
Finalmente t = 48 = 24 x 31
CDt = 5 . 2 = 10
Respuesta: B) 10
Finalmente t = 48 = 24 x 31