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(A2A)* Sea la función f(x)=asin(x)+bcos(x).f(x)=asin(x)+bcos(x).

El valor x=x0x=x0 donde la función alcanza un máximo cumplirá que la derivada de ff en x0x0 es nula, es decir:

f′(x0)=acos(x0)−bsin(x0)=0f′(x0)=acos(x0)−bsin(x0)=0 (Ec. 1).

También debe cumplirse que su segunda derivada sea negativa, es decir:

f′′(x0)=−asin(x0)−bcos(x0)<0,f″(x0)=−asin(x0)−bcos(x0)<0,

que se cumple teniendo en cuenta la periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, por lo que, en el máximo de f,f, se cumple:

sin(x0)>0,cos(x0)>0.sin(x0)>0,cos(x0)>0.

De Ec.1, obtenemos:

tan(x0)=sin(x0)cos(x0)=a/btan(x0)=sin(x0)cos(x0)=a/b (Ec. 2).

Teniendo en cuenta las identidades trigonométricas siguientes:

sin2(x)+cos2(x)=1,sin2(x)+cos2(x)=1,

tan(x)=sin(x)cos(x),tan(x)=sin(x)cos(x),

obtenemos esta otra identidad (suponiendo sin(x)>0sin(x)>0):

sin(x)=tan(x)1+tan2(x)√sin(x)=tan(x)1+tan2(x) (también se puede encontrar aquí: Identidades trigonométricas),

luego:

sin(x0)=a/b1+(a/b)2√=aa2+b2√sin(x0)=a/b1+(a/b)2=aa2+b2 (Ec. 3).

También obtenemos esta otra identidad (suponiendo cos(x)>0cos(x)>0):

cos(x)=11+tan2(x)√,cos(x)=11+tan2(x),

luego:

cos(x0)=11+(a/b)2√=ba2+b2√cos(x0)=11+(a/b)2=ba2+b2 (Ec. 4).

Finalmente, al introducir Ec. 3 y Ec. 4 en Ec. 1, obtenemos:

f(x0)=aaa2+b2√+bba2+b2√=a2+b2a2+b2√=a2+b2−−−−−−√,f(x0)=aaa2+b2+bba2+b2=a2+b2a2+b2=a2+b2,

que era lo que se pedía probar.

Una interpretación geométrica de este resultado es que, para una elipse de semiejes aa y bb y centro el origen de coordenadas (Ecuaciones paramétricas de una circunferencia.), el máximo de la suma de las coordenadas xx e yy de un punto de la elipse es igual a la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los catetos de longitudes aa y b.b.

He editado la respuesta para quienes prefieran una demostración más geométrica.

Si cc es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC de catetos aa y b,b, y xx es el ángulo que forma el cateto bb con la hipotenusa (como en la figura), entonces:

c=a2+b2−−−−−−√c=a2+b2 (teorema de Pitágoras),

sin(x)=a/csin(x)=a/c (definición),

cos(x)=b/ccos(x)=b/c (definición),

f(x)=asin(x)+bcos(x)=a2/c+b2/c=a2+b2a2+b2√=a2+b2−−−−−−√.f(x)=asin(x)+bcos(x)=a2/c+b2/c=a2+b2a2+b2=a2+b2.

En cambio, si tenemos otro ángulo x′x′ distinto de x,x, podemos formar dos triángulos rectángulos semejantes entre sí: AB'C y A'BC (como en la figura).

Entonces tenemos:

(A′B)=c′b/b′(A′B)=c′b/b′ (semejanza de triángulos),

sin(x′)=a/c′sin(x′)=a/c′ (triángulo AB'C),

cos(x′)=b/(A′B)=b′/c′cos(x′)=b/(A′B)=b′/c′ (triángulo A'BC).

Por lo tanto:

f(x′)=asin(x′)+bcos(x′)=a2+bb′c′.f(x′)=asin(x′)+bcos(x′)=a2+bb′c′.

Para probar el enunciado, hay que demostrar que el cociente f(x)/f(x′)f(x)/f(x′) es mayor que 1, es decir:

R=f(x)f(x′)=a2+b2ca2+bb′c′=c′(a2+b2)c(a2+bb′)>1.R=f(x)f(x′)=a2+b2ca2+bb′c′=c′(a2+b2)c(a2+bb′)>1.

Por el teorema de Pitágoras:

c=a2+b2−−−−−−√c=a2+b2 (triángulo ABC),

c′=a2+b′2−−−−−−√c′=a2+b′2 (triángulo AB'C).

Por tanto:

R=a2+b2√a2+b′2√a2+bb′.R=a2+b2a2+b′2a2+bb′.

Definimos los cuadrados del numerador y denominador de RR y operamos para compararlos:

R1=(a2+b2)(a2+b′2)=a4+b2b′2+a2(b2+b′2),R1=(a2+b2)(a2+b′2)=a4+b2b′2+a2(b2+b′2),

R2=(a2+bb′)2=a4+b2b′2+a2(2bb′).R2=(a2+bb′)2=a4+b2b′2+a2(2bb′).

Por otro lado, como x≠x′,x≠x′, entonces b≠b′,b≠b′, por lo que:

(b−b′)2=b2+b′2–2bb′>0.(b−b′)2=b2+b′2–2bb′>0.

Por tanto:

R1−R2=a2(b2+b′2–2bb′)>0,R1−R2=a2(b2+b′2–2bb′)>0,

así que:

R1>R2,R1>R2,

R1R2>1.R1R2>1.

Finalmente:

f(x)f(x′)=R=R1R2−−−√>1,f(x)f(x′)=R=R1R2>1,

es decir:

f(x)>f(x′),f(x)>f(x′),

que era lo que había que demostrar.