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La ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas es una de las pocas ecuaciones diofánticas de las que sabemos "todo", es decir, que podemos resolver analíticamente, y enumerar todas sus soluciones, cuando las tienen en cantidad finita, o dar fórmulas paramétricas que contienen todas las soluciones, en el caso en que admiten una cantidad infinita de ellas. En el caso de las ecuaciones de elipses o parábolas los cálculos son más sencillos, en general; el caso más difícil es el de las hipérbolas.

Aquí se nos propone la ecuación x²+64x+1432=y².

Pasando todos los términos al primer miembro:

x²-y²+64x+1432=0.

Podría resolverse esta ecuación diofántica empleando atajos ad hoc, pero entiendo que lo que más beneficio puede aportar a los lectores de este problema es un enfoque general que sirva para todos los casos análogos, y no sea demasiado "particular".

En general, dada la ecuación cuadrática:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0, donde a,b,c,d,e,f son enteros (cada uno de ellos puede ser positivo, negativo o nulo, salvo que debe ser no nulo al menos alguno de los tres a,b,c), se considera el discriminante de la cónica que representa; en algunos casos singulares la ecuación puede representar una cónica degenerada, como lo son, por ejemplo, xy=0, o bien x²+y²=0, o también (x-3y)²=0, o incluso ser una cónica imaginaria, como x²+3y²=-5.

Si Δ = b²-4ac es negativo se trata de una elipse y el número de soluciones enteras es finito. El problema puede ser pesado, si los coeficientes son grandes, pero siempre es resoluble.

Si Δ = b²-4ac=0 se trata de una parábola y el número de soluciones enteras es o cero o infinito. Se obtienen una o varias "ramas" de soluciones paramétricas, en forma de trinomios cuadráticos en un parámetro libre, que recorre todos los enteros, y así se obtienen todas las soluciones enteras (positivas, negativas o nulas), tras resolver una congruencia cuadrática binomia.

Si Δ = b²-4ac es positivo se trata de una hipérbola; y si Δ no es cuadrado perfecto se da el caso más difícil de todos, que no obstante se puede resolver reduciéndolo en esencia a la solución de una o varias ecuaciones de Pell; ahí aparecen fracciones continuas infinitas y periódicas, o bien hay que abordar el cálculo probando una cantidad finita de valores, que conducen a las infinitas soluciones, o prueban que no hay ninguna en absoluto; pero si Δ es cuadrado perfecto, entonces las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola tienen todos sus coeficientes racionales, y se puede descomponer la ecuación cuadrática en varios sistemas lineales de 2 ecuaciones con dos incógnitas. El número de soluciones enteras en este caso será finito. Es el caso más sencillo dentro del caso más complicado, que es el caso hiperbólico.

Mediante un cálculo bastante sencillo, pero muy laborioso, se puede transformar la ecuación diofántica dada, con discriminante positivo y cuadrado perfecto, en otra equivalente en la que su primer miembro esté descompuesto en producto de dos binomios de primer grado, cuya anulación corresponde a las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola, y cuyo segundo miembro es una constante entera. Suponiendo Δ = b²-4ac =m², con m entero positivo, y abreviando la expresión m²d²-4am²f-(bd-2ae)² = L, tal transformación es la siguiente:

[2am x+m(b+m) y+(md+bd-2ae) ] * [2am x+m(b-m) y+(md-bd+2ae) ] = L (*)

[Se debe efectuar este cálculo una sola vez en la vida, como ejercicio, pero luego es mejor tomar nota ¡¡para no tener que repetirlo!!]. La idea para obtener este resultado es multiplicar todos los términos de la ecuación general ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 por 4am², y luego enseguida se "ve" el camino si se tiene costumbre de factorizar polinomios en casos elementales, o bien por el método de los coeficientes indeterminados, se puede plantear la igualdad:

(Ax+By+C)*(A'x+B'y+C') ≡ 4am² (ax²+bxy+cy²+dx+ey+f) y se determinan los coeficientes A,B,C,A',B',C'. En todo caso se llega a la ecuación (*).

En este problema concreto, tenemos: a=1, b=0, c=-1, d=64, e=0, f=1432 → Δ=0²-4*1*(-1)=4 ¡CUADRADO PERFECTO! → m²=4 → m=2 (el valor positivo de la raíz cuadrada √4). Será L=m²d²-4am²f-(bd-2ae)² =

= 4*64²-4*1*2²*1432=-6528.

La solución por tanto es posible por medio de la factorización: es el caso más sencillo en el cálculo de puntos de red de una hipérbola, usando el lenguaje geométrico, o bien, en la solución de una ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas y discriminante positivo y cuadrado perfecto, usando el lenguaje aritmético.

Con la fórmula (*) encontramos la ecuación equivalente:

(4x+4y+128)*(4x-4y+128)=-6528. Dividiendo ambos miembros por 4*4=16:

(x+y+32)(x-y+32)=-408=-2³*3*17 (descomposición en factores primos).

Pero los dos factores binomios (x+y+32), (x-y+32) tienen suma = 2x+64, siendo x entero → esto es un número par; de modo que o ambos son pares o ambos impares. Pero siendo su producto =-408, par, no pueden ser ambos impares. Luego necesariamente, ambos son pares; la lista de divisores enteros de -408 es:

±1, ±2, ±4, ±8

±3, ±6, ±12, ±24

±17, ±34, ±68, ±136

±51, ±102, ±204, ±408.

Luego todos los productos posibles de dos factores pares [y de signo contrario] que den -408 serán:

-(±2)*(±204) // -(±4)*(±102) // -(±6)*(±68) // -(±12)*(±34)

o estos mismos productos en orden contrario.

De modo que todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica dada serán las soluciones enteras de los siguientes sistemas lineales:

x+y+32 = -2 // x-y+32 = 204 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 2 // x-y+32 = -204 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 204 // x-y+32 = -2 → x=69, y=103

x+y+32 = -204// x-y+32 = 2 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 4 // x-y+32 = -102 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = -4 // x-y+32 = 102 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 102 // x-y+32 = -4 → x=17, y=53

x+y+32 = -102 // x-y+32 = 4 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 6 // x-y+32 = -68 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = -6 // x-y+32 = 68 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 68 // x-y+32 = -6 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = -68 // x-y+32 = 6 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 12 // x-y+32 = -34 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = -12 // x-y+32 = 34 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = 34 // x-y+32 = -12 (VALOR NEGATIVO)

x+y+32 = -34 // x-y+32 = 12 (VALOR NEGATIVO)

Por tanto todas las soluciones positivas de la ecuación diofántica propuesta, es decir, soluciones con x, y enteras y positivas serán:

[3º sistema] x=69, y=103 // [7º sistema] x=17, y=53

Esto es lo realmente interesante; pedir la suma de todos los valores de y no es algo especialmente útil, pero ya que la piden, será = 103+53 = 156.