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Si en la ecuación dada:1+2^x+(2^x)² * 2=y² despejas y :

y=√[1+2^x+(2^x)² *2], puedes dar a x cualquier valor real o complejo y obtienes y sin ningún problema.

Eso vale para todas las ecuaciones indeterminadas (con más de una incógnita) siempre que puedas despejar una de las incógnitas, y entonces asignas valores arbitrarios a las otras, o valores sometidos a alguna limitación que te interese: por ejemplo, si quieres que los valores sean reales, procura vigilar los signos de los radicandos de índice par o al menos cerciorarte de que en la expresión final desaparecen los números imaginarios; o si hay logaritmos, para que sean reales no des valores negativos al argumento; si hay arc sen x, por ejemplo, no asignes a x valores reales mayores que 1, si quieres mantenerte en el campo real... etc.

Ejemplos: con x= 2 , y=√[1+2²+(2²)² *2]=√37;

con x=1/3, y=√[1+2^(1/3)+{2^(1/3)}² *2]=√[1+³√2+ 2³√4]

Mucho más interesante es encontrar soluciones racionales o incluso enteras o enteras y positivas, es decir, considerar la ecuación dada como una ecuación diofántica. Es relativamente fácil ver que no puede haber soluciones racionales no enteras, y que las enteras deben ser no negativas.

Supongamos que buscamos soluciones enteras y positivas para x, y. Como y entra elevada al cuadrado, valen tanto sus valores positivos como sus opuestos.

Hacemos el cambio de variable: 2^x=z → 1+z+2z²=y². (&)

Es éste un problema conocido y abordable, una ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas, pero de las soluciones hay que extraer aquellas que hacen a z potencia de 2, y eso requiere un estudio aparte (acaso sea incluso un problema abierto, porque los hay abiertos con mucha mayor apariencia de ser sencillos…), aunque con software numérico se puede explorar un "pequeño" campo de enteros.

Sea 4z+1=v.

Las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas pueden encontrarse a partir de las fórmulas recursivas:

v(0)=-1 , y(0)=1 // v(n+1)=3v(n)+8y(n) // y(n+1)=v(n)+3y(n)

(Esto forma parte de la teoría clásica de ecuaciones diofánticas cuadráticas con dos incógnitas, tratadas por Legendre y Lagrange, y por supuesto Gauss. Se requiere, en el caso general, el empleo de fracciones continuas periódicas asociadas a la ecuación de Fermat de primera especie, erróneamente llamada ecuación de Pell).

Hay otra "rama" de soluciones, con las mismas fórmulas recursivas, pero empezando con los valores iniciales:

v(0)=1 , y(0)=1. Como debe ser v-1 = potencia de 2, entre la primera centena de millares de números naturales solo valen las soluciones: z=1, y=2 // z=16 , y=23; por tanto, como 2^x=z, tenemos finalmente:

x=0, y=±2 // x=4, y=±23 // soluciones enteras únicas entre los primeros 100.000 enteros positivos y…¡tal vez! sean las únicas soluciones enteras de la ecuación dada (aunque en teoría de números es arriesgado decir tal vez, puesto que, mientras no se demuestre que son las únicas, podría haber una "tercera" solución inimaginablemente gigantesca…).