?

Depende.

Si quieres tres números reales x,y,zx,y,z que cumplan x3+y3+z3=33x3+y3+z3=33 entonces hay infinitos, y son muy fáciles de encontrar.

Si quieres tres números racionales x,y,zx,y,z que cumplan x3+y3+z3=33x3+y3+z3=33 entonces todavía hay infinitos, aunque son un poco más difíciles de encontrar.

Si quieres tres números enteros, que cumplan esa ecuación, entonces tienes que tener paciencia: nadie (*) sabe si esos tres enteros existen. 3333 es el número natural más pequeño para el cual se desconoce si puede ser representado como suma de tres cubos de números enteros.

(*) ACTUALIZACIÓN (Marzo de 2019):
¡¡¡Esto acaba de ser resuelto!!
Timothy Browning acaba de descubrir cómo representar 3333 como suma de tres cubos de enteros:

abc33=8866128975287528=−8778405442862239=−2736111468807040=a3+b3+c3a=8866128975287528b=−8778405442862239c=−273611146880704033=a3+b3+c3

Para soluciones reales, considera

x=0,y=0,z=33−−√3x=0,y=0,z=333

o

x=y=z=11−−√3x=y=z=113

o

x=2,y=3,z=−2–√3x=2,y=3,z=−23.

Hay claramente infinitas soluciones: puedes escoger xx e yy con el valor que quieras, y siempre hay exactamente un zz que funciona, ya que todo número real tiene exactamente una raíz cúbica.

¿Quieres raíces racionales? Aquí tienes una simple:

(−4)3+(−53)3+(143)3=33(−4)3+(−53)3+(143)3=33.

De nuevo, hay infinitas soluciones, aunque eso no es tan obvio como en el caso de los números reales. Si escoges xx e yy que sean racionales, en general no hay motivo para asumir que el zz correspondiente será racional también – véanse los ejemplos anteriores de soluciones reales.

Pero, de hecho, hay infinitas maneras de representar cualquier número racional como la suma de tres cubos de racionales. Esto fue descubierto por primera vez en 1825 por un maestro de escuela de Leeds llamado S. Ryley, que publicó este descubrimiento en “The Ladies’ Diary” (‘El diario de las damas’), una publicación que se hacía anualmente en Londres desde 1704 hasta 1841, llevando el subtítulo

"Que Contiene Nuevos Avances en ARTES y CIENCIAS, y muchos PARTICULARES entretenidos: Diseñado para el USO Y DIVERSIÓN DEL SEXO BELLO."

[nota del traductor: la expresión original era en inglés del año 1840, o anterior, y decía ‘FAIR SEX’ para referirse a las mujeres, donde la palabra ‘FAIR’ aludía a la belleza]

Uno echa de menos una época cuando las damas de Londres eran entretenidas con parametrizaciones fraccionarias de ecuaciones cúbicas.

El problema de representar enteros como sumas de cubos de enteros es muy difícil.

Por simples consideraciones de residuos modulo 99, no hay tales representaciones para números que tengan un resto de 44 o 55 al dividir por 99. Para todos los demás números, se cree que tales representaciones existen, pero son bastante caóticas de una forma bastante… entretenida.

• 1=13+03+031=13+03+03
• 2=13+13+032=13+13+03
• 3=13+13+133=13+13+13
• 44 está descartado
• 55 está descartado
• 6=23+(−1)3+(−1)36=23+(−1)3+(−1)3
• 7=23+(−1)3+037=23+(−1)3+03
• 8=23+03+038=23+03+03
• 9=23+13+039=23+13+03
• 10=23+13+1310=23+13+13
• 11=33+(−2)3+(−2)311=33+(−2)3+(−2)3
• 12=103+73+(−11)312=103+73+(−11)3
• 1313 está descartado
• 1414 está descartado
• 15=23+23+(−1)315=23+23+(−1)3
• 16=23+23+0316=23+23+03
• 17=23+23+1317=23+23+13
• 18=33+(−2)3+(−1)318=33+(−2)3+(−1)3
• 19=33+(−2)3+0319=33+(−2)3+03
• 20=33+(−2)3+1320=33+(−2)3+13
• 21=163+(−14)3+(−11)321=163+(−14)3+(−11)3
• 2222 está descartado
• 2323 está descartado
• 24=23+23+2324=23+23+23
• 25=33+(−1)3+(−1)325=33+(−1)3+(−1)3
• 26=33+(−1)3+0326=33+(−1)3+03
• 27=33+03+0327=33+03+03
• 28=33+13+0328=33+13+03
• 29=33+13+1329=33+13+13
• 30=(−283059965)3+(−2218888517)3+2220422932330=(−283059965)3+(−2218888517)3+22204229323
• 3131 está descartado
• 3232 está descartado
• 3333=??? Nadie lo sabe. (EDITADO: Ver arriba – ¡ahora resuelto!)
• 34=33+23+(−1)334=33+23+(−1)3
• 35=33+23+0335=33+23+03
• 36=33+23+1336=33+23+13
• 37=43+(−3)3+0337=43+(−3)3+03
• 38=43+(−3)3+1338=43+(−3)3+13
• 39=1344763+1173673+(−159380)339=1344763+1173673+(−159380)3
• 4040 está descartado
• 4141 está descartado
• 42=42=??? Nadie lo sabe. [Edito: Ahora sí se sabe. Fue resuelto en Septiembre de 2019]

Las soluciones dadas son las más pequeñas posibles. La representación de 3939 fue encontrada en 1992 por Heath-Brown, Lioen y te Riele. La representación de 3030 fue encontrada en 1999 por Beck, Pine, Tarrant y Yarbrough Jensen.

Es posible que el 4242 no tenga tal representación, aunque tengo la sensación de que eso es improbable. Es también posible que los números que lo cumplan estén fuera del alcance de la tecnología actual o incluso futura. Así es la matemática: no hay garantías.