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Un teorema aritmético muy útil sobre la forma cuadrática x²+y², básico en la teoría de números, es:

TEOREMA:

La forma cuadrática x²+y², donde x, y son enteros positivos, toma el valor N entero positivo, es decir, la ecuación diofántica x²+y² = N es resoluble en enteros, si y solo si los factores primos de N del tipo 4k-1 (en caso de que existan) llevan exponentes pares en la descomposición de N en factores primos.

Por tanto, siendo N = 1021090952484265, debemos descomponerlo en factores primos (empezando por el 5, que se ve a simple vista):

1021090952484265 = 5*13*17*29*37*41*53*61*73*89.

Si se disminuye en 1 cada factor primo, obtenemos :

4,12,16,28,36,40,52,60,72,88.

Todos múltiplos de 4, de modo que todos los factores primos de N, en este caso, son del tipo 4k+1, y como ninguno es del tipo4k-1 (o sea, congruente con -1 módulo 4),

vemos que la ecuación diofántica x²+y² = 1021090952484265 es resoluble.

Podemos resolver fácilmente (¡MENTALMENTE INCLUSO!) las ecuaciones diofánticas parciales:

x²+y² = 5 ; x²+y² = 13 ; x²+y² = 17 ; x²+y² = 29 ; x²+y² = 37

x²+y² = 41 ; x²+y² = 53 ; x²+y² = 61 ; x²+y² = 73 ; x²+y² = 89

2²+1²=5 ; 2²+3²=13 ; 4²+1²=17 ; 5²+2²=29 ; 6²+1²=37 ;

5²+4²=41 ; 7²+2²=53 ; 6²+5²=61 ; 8²+3²=73 ; 8²+5²=89.

Luego:

5*13*17*29*37*41*53*61*73*89 =

= (2²+1²) (2²+3²) (4²+1²) (5²+2²) (6²+1²) (5²+4²) (7²+2²) (6²+5²) (8²+3²) (8²+5²)

Si a, b, c, d son cualesquiera números reales (o incluso complejos), se verifica la linda identidad de Fibonacci (Liber quadratorum), conocida anteriormente (Brahmagupta) y esencial en los trabajos de Fermat, Euler y Lagrange :

(a²+b²) (c²+d²) = (ac-bd)²+(ad+bc)² ,

que admite muchas demostraciones, algunas verdaderamente estéticas.

Tal vez la manera más directa de obtenerla (y no solo "comprobarla"), y que además es una preciosa aplicación de los números complejos, sea factorizar cada binomio:

(a²+b²) (c²+d²) = (a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)= [(a+bi)(c+di)] * [(a-bi)(c-di)] =

[(ac-bd) + (ad+bc)i ] * [(ac-bd) - (ad+bc)i ] = (ac-bd)²+(ad+bc)² , como se quería demostrar.

Esta identidad, entre otros muchos tesoros, contiene toda la trigonometría, que se puede edificar a partir de ella.

Por tanto, dado el producto(2²+1²) (2²+3²) (4²+1²) (5²+2²) (6²+1²) (5²+4²) (7²+2²) (6²+5²) (8²+3²) (8²+5²),

multipliquemos sucesivamente por cada factor, empleando la identidad de Fibonacci:

(2²+1²) (2²+3²) = (2*2–1*3)²+(2*3+1*2)²=1²+8² ; (65)

(1²+8²)(4²+1²) = (1*4–8*1)² + (1*1+8*4)²= 4²+33² ; (1105)

(4²+33²) (5²+2²) = (4*5–33*2)²+(4*2+33*5)² = 46²+173² ; (32 045)

(46²+173²) (6²+1²) = (46*6–173*1)²+(46*1+173*6)² = 103²+1084² ; (1185665)

(103²+1084² ) (5²+4²) = (103*5–1084*4)²+(103*4+1084*5)² = 3821²+5832²

(48 612 265)

(3821²+5832²)*(7²+2²)=(3821*7–5832*2)²+(3821*2+5832*7)² = 15083²+48466² ; (2576450045)

(15083²+48466²) (6²+5²) = (15083*6–48466*5)²+(15083*5+48466*6)²=

= 151832²+366211² ; (157 163 452 745)

(151832²+366211² )*(8²+3²) = (151832*8–366211*3)²+(151832*3+366211*8)² = 116023²+3385184² ;

(11 472 932 050 385)

Y por fin, la última "multiplicación":

(116023²+3385184² ) (8²+5²) = (116023*8–3385184*5)²+(116023*5+3385184*8)² = 15 997 736²+27 661 587²

(1021090952484265).

Por tanto, una solución concreta, en enteros positivos, de la ecuación diofántica cuadrática propuesta es:

x = 15 997 736 ; y = 27 661 587

Por el mismo método se obtendrían todas las soluciones.

Todas las soluciones se podrían obtener directamente resolviendo cada ecuación diofántica parcial, correspondiente a cada número primo de la decomposición canónica de N.

Por tanto, dados5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, tenemos:

5 = 1²+2²=2²+1² → 2 soluciones

13 = 2²+3²=3²+2² → 2 soluciones

17 = 1²+4²=4²+1² → 2 soluciones

29 = 2²+5²=5²+2² → 2 soluciones

37 = 1²+6²=6²+1² → 2 soluciones

41 = 4²+5² = 5²+4² → 2 soluciones

53 = 2²+7² = 7²+2² → 2 soluciones

61 = 5²+6²=6²+5² → 2 soluciones

73 = 3²+8²=8²+3² → 2 soluciones

89 = 5²+8² = 8²+5² → 2 soluciones.

Combinándolas de todos los modos posibles y eliminando las soluciones repetidas y las que no dan valores positivos para x e y, se obtienen todas las representaciones del número dado como suma de dos cuadrados.

A este respecto debe señalarse un teorema importante:

(Véase, por ejemplo el Corolario 3.23 de An Introduction to Theory of Numbers, de Niven y Zuckerman, quinta edición, John Wiley & Sons)

El número de representaciones de un entero positivo n como suma de dos cuadrados es 4 veces el exceso del número de divisores de la forma 4k+1 sobre el número de divisores de la forma 4k-1.

En el caso presente el nº de divisores de la forma 4k-1 es 0, y los de la forma 4k+1 son exactamente 10, luego el nº de representaciones del número dado será 4*(10–0) = 40 representaciones.

Pueden verse todas las soluciones enteras (positivas y negativas) de la ecuación de la pregunta y de otras análogas en la preciosa página de Darío Alpern, que resuelve inmediatamente (online) cualquier ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas:

Resolución de ecuaciones cuadráticas en dos variables enteras