Tema 22 - Estudio de los divisores

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63UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 22
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
ARITMÉTICA
I. TABLA DE DIVISORES
Ejemplo:
Elaborar una tabla de los divisores de:
a) 200 b) 504
Resolución:
200 = 23 x 52
5 = 1
0
5 = 5
5 = 25
1
2
1 2 4 8
5 10 20 40
25 50 100 200 
2 2
0 1 2 3
 4 2 
Divisores 
de 5
2
Divisores de 2
3
De aquí en adelante trabajaremos en función del número:
31 2 k
1 2 3 kN P P P ... P D.C.
  
II. CANTIDAD DE DIVISORES (CD(N))
Ejemplo 1:
Halle la CD de los números:
a) 200 b) 540
Resolución (a):
200 = 23 x 52 (D.C.)
 CD(200) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 . 3 = 12
Resolución (b):
540 = 22 x 33 x 5 (D.C.)
 CD(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 . 4 . 2 = 24
Ejemplo 2:
Analice los divisores de 72.
Resolución:
72 = 23 x 32 (C.D.)(72) = 4.3 = 12
• Los divisores son:

simples compuestos
primos propios
1; 2;3; 4;6;8;9;12;18;24;36;72


• CD72 = 12
• CDSIMPLES = 3 CDPRIMOS = 2
• CDCOMPUESTOS = 9 CDPROPIOS = 11
En general:
N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1)        
Además:
N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD 
III. SUMA DE DIVISORES (SD(N))
Ejemplo:
Calcule la suma de los divisores de: 200 y 2205.
Resolución:
• 200 = 23 x 52
 
4 3
(200)
2 1 5 1SD x 15 x 31 465
2 1 5 1
   
 
• 2205 = 32 x 5 x 72
 
3 2 3
(2205)
3 1 5 1 7 1SD x x 4446
3 1 5 1 7 1
   
  
En general:
1 2 k1 1 1
1 2 k
(N)
1 2 k
p 1 p 1 p 1
SD x x...x
p 1 p 1 p 1
       

  
DESARROLLO DEL TEMA
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ESTUDIO DE LOS DIVISORES
TEMA 22
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IV. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVI-
SORES (SID(N))
Ejemplo:
Calcule la SID de: 200.
Resolución:
200 = 23 x 52 sus divisores son:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 y 200
Sumando sus inversas:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 4 5 8 10 20 25 40 50 100 200
          
200 100 50 40 25 20 10 8 5 4 2 1
200
          
(200)
(200)
SD 465 93SID
200 200 40
   
En general: 
(N)
(N)
SD
SID
N

V. PRODUCTO DE LOS DIVISORES (PD(N))
Ejemplo:
Calcule el producto de los divisores de 72.
Resolución:
72 = 23 x 32
CD(72) = 4 x 3 = 12
Observemos estos divisores:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Multiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, tenemos:
1 x 72 = 72 4 x 18 = 72
2 x 36 = 72 6 x 12 = 72
3 x 24 = 72 8 x 9 = 72
De aquí inducimos que:
PD(72) = 72.72.72.72.72.72 = 72
6
12
122
(72)PD 72 72 
En general:
(N)CD
(N)PD N
VI. FUNCIÓN DE EULER (n)  
Se define para todo los enteros positivos N y representa
la cantidad de números enteros positivos menores que
N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas
veces la función es llamada indicador de N.
Ejemplo 1:
Calcule: (7) y (13) .
Resolución:
1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)
1, 2, 3, 4, .... , 12, (13)
Cada uno de los enteros positivos menores que 7, es
PESI con 7.
(7) 6  y (13) 12 
En general: Si p es primo entonces:
(p) p 1  
Ejemplo 2:
Calcule (8) ; (9) y (625) .
Resolución:
8 = 23; 9 = 32 y 625 = 54
3 3 2 2
2 2
4 4 3 3
(2 ) 2 2 2 (2 1) 4
(3 ) 3 3 3(3 1) 6
(5 ) 5 5 5 (5 1) 500
     
     
     
En general:
Si p es primo y  es un entero positivo entonces:
1(p ) p (p 1)   
Ejemplo 3:
Halle: (72) y (200)  .
Resolución:
• 72 = 23 x 32
 (23 x 32) =  (23) x  (32)
 (23 x 32) = 4 x 6 = 24
(72) = 24
• 200 = 23 x 52
 (23 x 52) = 22(2 – 1) x 5(5 – 1) = 4 x 20
(200) = 80
En general:
Si:    31 2 k1 2 3 kN P .P .P ...P D.C.
Entonces:
1 2 k1 1 1
1 1 2 2 k k(N) P (P 1).P (P 1)....P (P 1)
         
Si n > 1 entonces la suma de los enteros positivos
menores o iguales a "n" y PESI con "n" es:
1 .n. (n)
2

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ESTUDIO DE LOS DIVISORES
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Ejemplo:
Calcule la suma de los números enteros positivos
menores o iguales que n y PESI con n, donde:
n = 200
200 = 23 x 52 (200) 80 
1S x200x80 8000
2
 
VII.FUNCIÓN (N)
Esta función se llama parte entera de n.
Ejemplos:
[13] = 13 [5; 3] = 5
[2; 13] = 2 [3; 8] = 3
La utilidad que presta la función es básicamente para
determinar los exponentes de los factores primos del
factorial de un número.
Sea el número:
31 2 k
1 2 3 k
1 2 3
1 1 1
n! p p p ...p
n n n ...
p p p
  

    
        
         
Ejemplo:
Calcule los exponentes 3 y 5 en 50!
Resolución:
50! = 3a . 5b .... (D.C.)
2 3
50 50 50a 16 5 1 22
3 3 3
              
     
 a = 22
2
50 50b 10 2 12
5 5
        
   
 b = 12
En la práctica se realizan divisiones sucesivas:
 
Para 3
50 3
 16 3
 5 3
 1
 
Para 5
50 5
 10 5
 2
 a 16 5 1 22     b 10 2 12   
VIII.TEOREMA DE EULER
Si m > 1, además a y m son PESI, entonces:
o
(m)a m 1  
Ejemplo:
8 y 25 son PESI; como (25) 20 
Luego: 
o
(25)
o
20
8 25 1
8 25 1
  
 
IX. TEOREMA DE WILSON
Si p es primo entonces: 
o
(p 1)! 1 p  
Ejemplo:
I. 5 es primo entonces: 4! + 1 = 25 = 
o
5
II. 7 es primo entonces: 6! + 1 = 721 = 
o
7
Problema 1
Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo
de 30, que tiene un total de 24 divi-
sores. Al multiplicarlo por 10 se forma
un nuevo número cuya cantidad de
divisores es 15/8 de la cantidad de di-
visores del número original. Calcule la
suma de las cifras del menor número
que cumple las condiciones indicadas.
UNI 2012-II
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
Resolución:
Ubicación de incógnita
Suma de cifras del menor número de
tres cifras abc.
Análisis de los datos o gráficos
o
abc 30 ......................(1)
CD(abc) 24................(2)
15Cd(10 abc) CD(abc)..........(3)
8


  
Operación del problema
Si 
o
abc 30 entonces al descomponer
canonicamente tiene como divisores
primos al 2, 3 y 5. Para que abc sea
mínimo, el exponente del 2 es mayor.
Conclusiones y respuesta
abc 360
a b c 9

  
Resumen
El dato (3) no es necesario en la resolu-
ción y solo será usado para comprobar.
Respuesta: B) 9
Problema 2
El número N = 3b . 5a (con a  1) tiene
tres divisores más que M = 2a . 53.
Determine la suma de las inversas de
los divisores de M.
problemas resueltos
66UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
TEMA 22
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UNI 2011 - II
A) 1,564 B) 1,852
C) 2,184 D) 1,248
E) 1,384
Resolución:
Ubicación de incógnita
Sea SID(M) la suma de inversas de los
divisores de M.
Análisis de los datos o gráficos
Necesitamos hallar "a" sabiendo que
a 1.
Operación del problema
b a a 3
N M
3 1
N 3 5 M 2 5
CD CD 3
(b 1)(a 1) (a 1) 4 3
(a 1)(b – 3) 3
   
 
     
 
 

Reemplazo en M = 22  53
3 4
(M)
(M) 2 3
2 –1 5 –1
SD 2 –1 5 –1SID 2,184
M 2 5

  

Respuesta: C) 2,184
Problema 3
Si el número N que se factoriza como
N = 51 (117n), tiene la tercera parte
del número de divisores de 31 1040,
determine el valor de "n".
UNI 2011 - I
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución:
Ubicación de incógnita
Calcular "n"
Análisis de los datos o gráficos
nN 51x(117)
1CD(N) CD(311040)...( )
3

 
Operación del problema
Sea la descomposición canónica de
N = ax . by. cz
CD(N) = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
N = 51(117)n = 32n+1 x 13n x 171
311040=28 x 35 x 51
De ::
2
12n 2)(n 1)2 (8 1)(5 1)(1 1)
3
(n 1 9
(
) n 2
     
   
El valor de n es 2.
Respuesta: B) 2