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Fase 3– Técnicas de integración
calculo integral (Universidad Nacional Abierta y a Distancia)
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Fase 3– Técnicas de integración
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Descargado por Laura Llanos (laurallanos60@gmail.com)
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Fase 3– Técnicas de integración 
 
1.1 Ejercicios tipo 1: Integración por sustitución. 407 - 413 
Hallar la integral indefinida aplicando el método de sustitución. 
Ejercicio C ∫ 𝒆𝒖(𝟏−𝒆𝒖)𝟐 𝒅𝒖 
U=(1 − 𝑒𝑢)2 Elegir una expresión para U 𝑑𝑢 = 0 − 𝑒𝑢 = −𝑒𝑢 Derivar U ∫ 𝑒𝑢𝑢2 𝑑𝑢 Remplazar u ∫ − 1𝑢2 𝑑𝑢 Sustituir –du ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 = − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 Aplicar ∫ 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∗ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 = − (− 1u ) = 1u Aplicar la regla de la potencia 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1𝑛+1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 ≠ −1 1u = 11−𝑒𝑢 Sustituir u por 1 − 𝑒𝑢 11−𝑒𝑢 + 𝐶 Agregar la constante C a la solución. 
Respuesta: 
𝟏𝟏−𝒆𝒖 + 𝑪 
 
1.2 Ejercicios tipo 2: Integración por partes. Stewart 2012 463-468 
Hallar integral indefinida aplicando el método de integración por partes. 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
I: Inversa 
L: Logarítmica 
A: Algebraica 
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T: Trigonométrica 
E: Exponencial 
Ejercicio c: ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
 ∫( 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒙)𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)(𝒔𝒆𝒏𝒙) − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 
 ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 
∫( 𝑥2 + 2𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) − [(2𝑥 + 2)(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥)2𝑑𝑥] 
∫( 𝑥2 + 2𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) + (2𝑥 + 2)(𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)2𝑑𝑥] 
∫( 𝑥2 + 2𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) + (2𝑥 + 2)(𝑐𝑜𝑠𝑥) − 2 ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥] 
Determinar U, dv, du y v. 
De ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙 𝑢 = (𝑥2 + 2𝑥) 𝑑𝑣 = cos(𝑥) 𝑑𝑥 
Derivar u para hallar du 
du= 2x+2 
Integral de dv para hallar v 
v= sen (x) 
 
Determinar U, dv, du y v. 
De ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑣 = sen(x)𝑑𝑥 
Derivar u para hallar du 
du= 2dx 
Integral de dv para hallar v 
v= -cos (x) 
 
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∫( 𝑥2 + 2𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) + (2𝑥 + 2)(𝑐𝑜𝑠𝑥) − 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
Respuesta: (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)(𝒔𝒆𝒏𝒙) + (𝟐𝒙 + 𝟐)(𝒄𝒐𝒔𝒙) − 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝑪 
1.3 Ejercicios tipo 3: Integrales trigonométricas 471 -476 
Hallar la integral definida o indefinida por el método de integral trigonométrica. 
Ejercicio c: ∫ 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟑 (𝒙)𝒅𝒙 
U= sec (x) 
du = tan (x) sec (x) ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 sustituir du ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢33 Aplicar la regla de la potencia 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1𝑛+1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 ≠ −1 13 𝑠𝑒𝑐3 Sacamos 1/3 y remplazamos a u. 13 𝑠𝑒𝑐3 + 𝐶 Agregamos la constante C. 
Respuesta: 
𝟏𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟑 + 𝑪 
 
 1.4 Ejercicios tipo 4: Integración por sustitución trigonométrica. 478-483 
Hallar la integral definida o indefinida por el método de sustitución trigonométrica. 
Ejercicio c: ∫ 𝒅𝒙√𝒙𝟐+𝟏𝟔 ∫ 1√𝑥2+16 𝑑𝑥 Reescribir la operación cambiando dx por 1. ∫ 1𝑥+16 𝑑𝑥 Simplificar 𝑢 = 𝑥 + 16, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Usar integración por sustitución ∫ 1𝑢 𝑑𝑢 Remplazar 𝑥 + 16 𝑝𝑜𝑟 𝑢 y remplazar dx por du 
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𝐼𝑛 𝑢 𝐼𝑛𝑥 = 1𝑥 𝐼𝑛 (𝑥 + 16) Sustituir a 𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑥 + 16 𝐼𝑛 (𝑥 + 16) + 𝐶 Añadir la constante C 
Respuesta: 𝑰𝒏 (𝒙 + 𝟏𝟔) + 𝑪 
 
1.5 Ejercicios tipo 5: Integración por fracciones parciales. 484-492 
Hallar la integral definida o indefinida por el método de fracciones parciales. 
Ejercicio c: ∫ 𝒙𝟐+𝟏(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟐)𝟐 𝒅𝒙 𝐴𝑥−3 + 𝐵𝑥−2 + 𝐶(𝑥−2)2 Descomposición de fracciones parciales 
𝑥2+1(𝑥−3)(𝑥−2)2 = 𝐴(𝑥−2)2+𝐵(𝑥−3)(𝑥−2)+𝐶(𝑥−3)(𝑥−3)(𝑥−2)2 Se reescribe la ecuación con denominador común. 𝑥2 + 1 = 𝐴(𝑥−2)2+𝐵(𝑥−3)(𝑥−2)+𝐶(𝑥−3)(𝑥−3)(𝑥−2)2 ∗ (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)2 Pasar a multiplicar lo que esta dividiendo 𝑥2 + 1 = 𝐴(𝑥 − 2)2 + 𝐵(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) + 𝐶(𝑥 − 3) Cancelar términos. 
 𝑥2 + 1 = 𝐴𝑥2 − 4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 − 5𝐵𝑋 + 6𝐵𝐶 + 𝐶𝑥 − 3𝐶 Resolver paréntesis 𝑥2 + 1 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥2) + (−4𝐴𝑥 − 5𝐵𝑥 + 𝐶𝑥) + (4𝐴 + 6𝐵𝐶 − 3𝐶) Agrupar con relación a la x 𝑥2 + 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 + (−4𝐴 − 5𝐵 + 𝐶)𝑥 + 4𝐴 + 6𝐵𝐶 − 3𝐶 Sacar termino semejante (x) 
Hallar A, B y C 
A + B=1 −4𝐴 − 5𝐵 + 𝐶 = 0 4𝐴 + 6𝐵𝐶 − 3𝐶 = 1 Usar el método de matriz para resolver las ecuaciones. 
 
A = 10B=-9 
C=-5 
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= 
10𝑥−3 − 9𝑥−2 − 5(𝑥−2)2 Sustituir A,B y C 
 = ∫ 10𝑥−3 𝑑𝑥 − ∫ 9𝑥−2 𝑑𝑥 − ∫ 5(𝑥−2)2 𝑑𝑥 Aplicar la regla de la suma 
 = ∫ 1𝑥−3 𝑑𝑥 − ∫ 1𝑥−2 𝑑𝑥 − ∫ 1(𝑥−2)2 𝑑𝑥 Aplicar regla del factor constante 
 ∫ 1𝑥−3 𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥 − 3, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Integrar por sustitución ∫ 1𝑥−2 𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥 − 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Integrar por sustitución ∫ 1(𝑥−2)2 𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥 − 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Integrar por sustitución 
= ∫ 1𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 Remplazar datos en la fórmula original 
= 𝐼𝑛 𝑢 − ∫ 1𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 Aplicar de 𝐼𝑛 𝑥 = 1𝑥 = 𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − ∫ 1𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 Remplazar u en el primer término. = 𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − 𝐼𝑛(𝑥 − 2) − ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 Aplicar de 𝐼𝑛 𝑥 = 1𝑥 y remplazar u del segundo término. = 𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − 𝐼𝑛(𝑥 − 2) + 1𝑢 Aplicar la regla del exponente ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1𝑛+1 + 𝐶 𝑒𝑛 ∫ 1𝑢2 𝑑𝑢 = 𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − 𝐼𝑛(𝑥 − 2) + 1𝑥−2 Remplazar u por x-2 en el último término. = 10𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − 9𝐼𝑛(𝑥 − 2) + 5𝑥−2 Reescribir la integral con los valores de A, B y C. = 10𝐼𝑛 (𝑥 − 3) − 9𝐼𝑛(𝑥 − 2) + 5𝑥−2 + 𝐶 Añadir la constante C 
Respuesta: 𝟏𝟎𝑰𝒏 (𝒙 − 𝟑) − 𝟗𝑰𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝟓𝒙−𝟐 + 𝑪 
 
1.6 Ejercicios tipo 6: Integrales impropias. 519-527 
Determine si cada una de las siguientes integrales es impropia y si es convergente o divergente. 
Evalué las que sean convergentes. 
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Ejercicio c: ∫ 𝒆−𝟓∞𝟐 𝒅𝒑 
 ∫ 𝑒−5∞2 𝑑𝑝 = 𝑒−5 ∫ 1∞2 𝑑𝑝 aplicar regala de la constante p 
= ∫ 𝑒−5𝑝∞2 𝑑𝑝 = 𝑒−5𝑝 + 𝐶 Integral definida 
 
∫ (∞44 + ∞416 − ∞22 ) − (244 + 2416 − 222 )∞2 Evaluar los limites usando ∫ (𝑡44 + 𝑡416 − 𝑡22 ) 𝑑𝑡∞2 = ∞ 
*Es divergente 
Respuesta: Es divergente, Integral 𝒆−𝟓𝒑 + 𝑪 
 
 Link del video: https://youtu.be/oDqduVDQ6i4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://youtu.be/oDqduVDQ6i4
 
 
 
 
 
 
Referencia Bibliográficas 
Integración por sustitución | Introducción. (2018, 25 agosto). YouTube. 
https://www.youtube.com/watch?v=UZyG4jCBMgU 
Integración por partes | Introducción. (2018, 14 septiembre). YouTube. 
https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU 
Integración por partes | Ejemplo 5 | Exponencial. (2018, 20 septiembre). YouTube. 
https://www.youtube.com/watch?v=dsFHZQPoxWc 
Integración por sustitución | Ejemplo 2. (2018, 27 agosto). YouTube. 
https://www.youtube.com/watch?v=xBRZnhCFcgM 
 
 
 
 
 
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https://www.youtube.com/watch?v=UZyG4jCBMgU
https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU
https://www.youtube.com/watch?v=dsFHZQPoxWc
https://www.youtube.com/watch?v=xBRZnhCFcgM