fase-4-aplicaciones-de-la-integral-en-longitud-de-arco-areas-y-volumenes

Matemáticas

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SIN SIGLA

Laura Llanos
23/8/2023
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Matemáticas

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FASE 4 - Aplicaciones DE LA Integral EN Longitud DE
ARCO, Áreas Y Volúmenes
calculo integral (Universidad Nacional Abierta y a Distancia)
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FASE 4 - Aplicaciones DE LA Integral EN Longitud DE
ARCO, Áreas Y Volúmenes
calculo integral (Universidad Nacional Abierta y a Distancia)
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FASE 4 - APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LONGITUD DE ARCO, ÁREAS Y 
VOLÚMENES 
 
 
 
Presentado por: 
Verónica Aguirre Salcedo – 1114460406 
Paola Andrea Celorio – 25530287 
Edgar Rafael De La Cruz - 1100336303 
Jonathan David Molina - 1088975251 
Grupo: 
551110_14 
Presentado a: 
Ana María Trujillo 
Curso: 
Cálculo integral 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) 
Escuela de Ciencias de la Educación (ECEDU) Licenciatura en matemáticas 
Noviembre 2021. 
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TABLA DE CONTENIDO 
 
Fase 4 - Aplicaciones De La Integral En Longitud De Arco, Áreas Y Volúmenes ......................................1 
Tabla De Contenido .....................................................................................................................................2 
Introducción .................................................................................................................................................3 
Desarrollo De Los Ejercicios........................................................................................................................4 
1.1. Ejercicios Tipo 1: Áreas Entre Dos Curvas .......................................................................................4 
1.2. Ejercicios Tipo 2: Sólidos De Revolución .......................................................................................20 
1.3. Ejercicios Tipo 3: Longitud De Arco De Una Curva .......................................................................32 
Referentes Bibliográficos ...........................................................................................................................48 
Anexos .......................................................................................................................................................49 
Tabla De Enlaces De Videos ..................................................................................................................49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUCCIÓN 
 
Con la realización del presente trabajo, se tratará de dar solución a una serie de problemas 
y situaciones planteadas previamente, con el objetivo principal de reconocer el concepto de 
integral, aplicándolo correctamente e identificando y proponiendo las diversas técnicas de 
integración conocidas para la resolución de diversos problemas prácticos procurando generar 
aprendizajes significativos de calidad. 
 
 
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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS 
 
1.1. EJERCICIOS TIPO 1: ÁREAS ENTRE DOS CURVAS 
 
Para los siguientes ejercicios hallar el área de manera analítica y luego compruebe el 
resultado con GeoGebra siguiendo los siguientes pasos: 
- Grafique las funciones en GeoGebra, digitando en la Entrada cada una como f(x)=escribe 
la función y luego g(x)=digital la función. Recuerda que puedes usar el teclado digital de 
GeoGebra activándolo en el menú́ de Vista. 
- Halle con la función Intersección de GeoGebra, el intercepto de las dos funciones. 
- Digite en el campo de entrada el comando: IntegralEntre(<Función, <Función>, 
<Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo> ) 
- Por ejemplo: IntegralEntre(f, g, escribe el valor de x del primer intercepto, escribe el valor 
de x del segundo intercepto) 
- Toma un capture de pantalla del resultado final en Geogebra y pégalo en el documento 
final como parte del desarrollo del ejercicio. 
 
 
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Ejercicio a 
 
Objetivo: Emplear estrategias para calcular el área entre dos curvas para la integración 
definida. 
Fundamentos y estrategia para emplear: Se emplea la definición la expresión matemática 
que permite hallar el área entre dos rectas, así como las diferentes propiedades de la integral, el 
teorema fundamental del cálculo, para la solución de los ejercicios. 
Problema: Para los siguientes ejercicios hallar el área de manera analítica y luego compruebe 
el resultado con Geogebra. 
 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝒙𝟐; 𝒈(𝒙) = 𝒙 
Para empezar la solución del este ejercicio se procede con los siguientes pasos. 
Tenemos las funciones 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥2 𝑔(𝑥) = 𝑥 Ahora se calculan los puntos de intersección igualando las funciones, así. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Se reemplazan sus valores. 5𝑥 − 𝑥2 = 𝑥 Se traspones los términos y se iguala a 0 0 = 𝑥2 − 5𝑥 + 𝑥 Se reúnen términos semejantes. 𝑥2 − 4𝑥 = 0 Factor izamos 𝑥(𝑥 − 4) = 0 Ahora 𝑥 = 0 ˅ 𝑥 − 4 = 0 se despeja x 
 𝑥 = 0 + 4 x = 0 𝑥 = 4 
Ahora se procede a calcula la integral usando ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 
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 ∫ (5𝑥 − 𝑥2) − 𝑥 𝑑𝑥40 Se quitan todos los paréntesis posibles ∫ (5𝑥 − 𝑥2 − 𝑥)𝑑𝑥40 Se reúnen términos semejantes ∫ 4𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥40 Se resuelve usan las técnicas de integración 4 (12 𝑥2) − 13 𝑥3 |40 Se simplifica 2𝑥2 − 13 𝑥3 |40 Se reemplaza x por sus valores 
Para 𝑥 = 0 2(0)2 − 13 (0)3 = 0 
Para 𝑥 = 4 2(4)2 − 13 (4)3 2(16) − 13 (64) = 10,6666 
R/: El áreaes 10,67 𝑢2 
Grafica en Geogebra. 
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Ejercicio b 
 
Objetivo. Adquirir habilidades en la implementación de la definición de áreas entre dos 
curvas para la integración definida. 
Problema. Hallar el área de manera analítica y luego compruebe el resultado con 
Geogebra 
Fundamentos y estrategia para emplear. Es esencial la definición la expresión 
matemática que permite hallar el área entre dos rectas, así como las diferentes propiedades de la 
integral, el teorema fundamental del cálculo, para la solución exitosa de este. 
 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 ; 𝒈(𝒙) = 𝟏𝒙 + 𝟏 ; 𝒙 = 𝟐 
 
En este caso grafique las tres. 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 
𝒈(𝒙) = 𝟏𝒙 + 𝟏 𝒙 = 𝟐 
Se halla el punto de intersección de las funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), puestos que en ese punto son 
iguales 
√𝑥 + 2 = 1𝑥 + 1 
Se elevan ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical 
(√𝑥 + 2)2 = ( 1𝑥 + 1)2 
Se simplifica el resultado eliminado el radical 
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 𝑥 + 2 = 1(𝑥 + 1)2 
Se hace la trasposición de términos, dejando todo en el primer miembro 
𝑥 + 2 − 1(𝑥 + 1)2 = 0 
Se resuelve la suma indicada (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2(𝑥 + 1)2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥2 + 2𝑥) = 0 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 2𝑥24𝑥 + 2 = 0 𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0 
Resolviendo la ecuación anterior utilizando el programa de Geogebra, podemos llegar a la 
conclusión que el punto donde las funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son iguales, es cuando 𝑥 = −0,25, la 
recta 𝑥 = 2, la tomamos como extremo. Entonces como ya se conoce el límite inferior y el límite 
superior se procede a aplicar la siguiente ecuación 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏𝑎 
Sabiendo que 𝑎 = −0,25, 𝑏 = 2 
∫ (√𝑥 − 2 − 1𝑥 + 1) 𝑑𝑥2−0,25 
Ahora se procedemos a separar las integrales 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥 −2−0,25 ∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 
Además, para mayor facilidad y comprensión se resuelve cada integral por separada. 
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 ∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 
Aplicamos sustitución 𝑢 = 𝑥 + 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = ∫ √𝑢𝑑𝑢2−0,25 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = ∫ 𝑢12𝑑𝑢2−0,25 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = 𝑢12+112 + 1 | 2−0,25 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = 𝑢3232 | 2−0,25 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = 23 𝑢32 | 2−0,25 
Ahora se reemplaza en la expresión. 
∫ √𝑥 + 2𝑑𝑥2−0,25 = 23 (𝑥 + 2)32 | 2−0,25 
Ahora se procede a aplicar el teorema fundamental del cálculo. 
∫ 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)2−0,25 23 (𝑥 + 2) | 2−0,25 = 23 (2 + 2)32 − 23 (−0,25 + 2)32 
= 23 (4)32 − 23 (1,75)32 
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 = 3,78 
Ahora tomamos la segunda integral 
∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 
Podemos apreciar que estamos frente a una integral inmediata, luego 
∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 = 𝐿𝑛|𝑥 + 1 | 2−0,25 
∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 = 𝐿𝑛|2 + 1| − 𝐿𝑛|−0,25 + 1| 
∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 = 𝐿𝑛|3| − 𝐿𝑛|0,75| 
∫ 1𝑥 + 1 𝑑𝑥2−0,25 = 1,38 
Ahora podemos hallar el área total, recordemos que la integral inicial es 
∫ (√𝑥 − 2 − 1𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 3,78 − 1,382−0,25 = 2,4 A = 2,4Unidades2 
 
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Ejercicio c 
 
Objetivo. Adquirir habilidades en la implementación de la definición de áreas entre dos 
curvas para la integración definida. 
Problema. Hallar el área de manera analítica y luego compruebe el resultado con 
Geogebra 
Fundamentos y estrategia para emplear. Es esencial la definición la expresión 
matemática que permite hallar el área entre dos rectas, así como las diferentes propiedades de la 
integral, el teorema fundamental del cálculo, para la solución exitosa de este. 
 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐; 𝒈(𝒙) = 𝒙 
Hallamos los puntos de corte igualando las dos funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
𝑥2 = 𝑥 
𝑥2 − 𝑥 = 0 
𝑥(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
Los puntos de corte son 0 y 1 generando un intervalo en [0,1] ahora si procedemos hallar el área 
mediante la integral. 
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 𝐴 = ∫ (𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥10 
𝐴 = 𝑥22 − 𝑥33 | 10 
𝐴 = (122 − 133 ) − [0 − 0] 
𝐴 = 12 − 13 − 0 = 12 − 13 = 3 − 26 = 16 
𝐴 = 16 𝑢𝑑 
 
 
 
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Ejercicio d 
 
Objetivo: Emplear estrategias para calcular el área entre dos curvas para la integración 
definida. 
Fundamentos y estrategia para emplear: Se emplea la definición la expresión matemática 
que permite hallar el área entre dos rectas, así como las diferentes propiedades de la integral, el 
teorema fundamental del cálculo, para la solución de los ejercicios. 
Problema: Para los siguientes ejercicios hallar el área de manera analítica y luego compruebe 
el resultado con Geogebra. 
 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔 
Reescribimos las funciones en términos de y 
𝑦 = 12 − 𝑥2 
𝑦 = 𝑥2 − 6 
𝑥2 − 6 = 12 − 𝑥2 
Unimos las dos ecuaciones para igualar a 0 
𝑥2 − 6 − 12 + 𝑥2 = 0 
Resolvemos términos semejantes 
2𝑥2 − 18 = 0 
Factorizamos con la fórmula cuadrática 
𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎 
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 𝑥 = −0 ± √02 − 4(2)(−18)2(2) 
𝑥 = 0 ± √1444 
𝑥 = √1444 𝑥 = −√1444 
𝑥 = 124 𝑥 = −124 
𝑥 = 3 𝑥 = −3 
Este proceso nos genera un intervalo de integración [−3, 3] 
Procedemos a hallar el área: 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏𝑎 
𝐴 = ∫ [(12 − 𝑥2) − (𝑥2 − 6)]𝑑𝑥3−3 
𝑢𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝐴 = ∫ [12 − 𝑥2 − 𝑥2 + 6]3−3 𝑑𝑥 
𝐴 = ∫ [−2𝑥2 + 18]𝑑𝑥3−3 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 
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 = [18𝑥 − 2𝑥33 ] 3−3 
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 
= [18(3) − 2(3)33 ] − [18(−3) − 2(−3)33 ] 
= (54 − 18) − (−54 + 18) 
= 𝟕𝟐 𝒖𝟐 
 
 
 
 
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Ejercicio e 
 
Objetivo. Hallar el área de forma analítica y comprobar con el programa Geogebra. 
 
Fundamentos y estrategia para emplear. Se emplea la definición la expresión 
matemática que permite hallar el área entre dos rectas, así como las diferentes propiedades de la 
integral. 
Problema. Para los siguientes ejercicios hallar el área de manera analítica y luego 
compruebe el resultado con Geogebra 
 𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
Paso 1. 
Para empezar, buscamos los puntos de corte igualando las dos funciones 
Se tiene lo siguiente. 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 22 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠−1(1) = 𝑥, 𝑥 = 0 v 𝑥 = 2𝜋, Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
 
Paso 2. 
Calculamos el área bajo las curvas utilizando la siguiente expresión. 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 
Reemplazamos las funciones 
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 𝐴 = ∫ [(2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) − (𝑐𝑜𝑠𝑥)]𝑑𝑥2𝜋0 
Ahora restamos las 2 expresiones y simplificamos 𝐴 = ∫ [(2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) − (𝑐𝑜𝑠𝑥)]𝑑𝑥2𝜋0 𝐴 = ∫ (2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥2𝜋0 } 
Aplicando propiedades de la integración 
𝐴 = ∫ 2𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥2𝜋0
2𝜋
0 
Integrando y remplazando por los límites de integración 𝐴 = 2𝑥 𝑑𝑒 (2𝜋 𝑎 0) − 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑒 (2𝜋 𝑎 0) 𝐴 = 2(2𝜋 − 2. 0) − 2(𝑠𝑖𝑛( 2𝜋) − 𝑠𝑒𝑛( 0)) 𝐴 = 2((2𝜋) − 2. 0) − 2( 0 − 0) 4𝜋 – 0 𝐴 = 12,56𝑢2 
 
 
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1.2. EJERCICIOS TIPO 2: SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 
 
Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de manera analítica. 
- Realice la gráfica en Geogebra escribiendo las funciones en el campo de Entrada, luego 
active la vista gráfica 3D y utilice en el campo de entrada el comando 
Superficie(<Curva>, <Ángulo>, <Recta>) 
- Por ejemplo: Superficie(𝑥2, 2*pi, EjeY); si se va a rotar alrededor del eje x, entonces 
utilizar Superficie(𝑥2, 2*pi, EjeX) 
- Toma un capture de pantalla del resultado final en Geogebra y pégalo en el documento 
final como parte del desarrollo del ejercicio. 
 
 
 
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Ejercicio a 
 
Objetivos. Se aplica la definición de volumen para calcular el volumen de un sólido en 
revolución, en el que intervienes las técnicas y nociones de integrales, de la misma manera las 
diferentes fórmulas de cuerpos, tales como el cono, esfera y cilindro. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicarán diferentes 
nociones sobre el cálculo integral, tales como los son las reglas de integración, así como, así 
como las diferentes técnicas de integración. 
Problema. Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de 
manera analítica. 
 𝑦 = √𝑥 ; 𝑥 = 0; 𝑦 = 2 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 //Por 
el método de cascarones cilíndricos. 
 
Para empezar la solución del siguiente ejercicio, se tiene en cuenta lo siguiente. 
Se aplicarán diferentes nociones sobre el cálculo integral, tales como los son las reglas de 
integración, así como las diferentes técnicas de integración. 
 
Para hallar el volumen de solidos de revolución por el método de cascarones cilíndricos se utiliza 
la formula 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 así: 
 
Como la función es √𝑥 se reemplaza en la fórmula. 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 
 
Se reemplaza la función en la formula 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥(√𝑥)𝑑𝑥20 
 
El dos lo puedo multiplicar con las x 
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 𝑉 = 𝜋 ∫ (2𝑥√𝑥)𝑑𝑥20 
 
Se calcula la derivada 𝑉 = 𝜋|3√𝑥|20 
 
Evaluamos x 𝑉 = 𝜋(3)√2 𝑉 = 𝜋(4,24) 𝑉 = 13,32𝑢3 
R/: El volumen del solido es 13,32𝑢3 
 
 
 
 
 
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Ejercicio b 
 
Objetivo: Implementar estrategias matemáticas que permitan la obtención del volumen de 
sólidos en revolución. 
Problema: Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de 
manera analítica. 
Fundamentos y estrategias para emplear: Es importante tener presente conceptos como el 
método de arandelas, el teorema del factor nulo y aspectos básicos de las integrales definidas e 
indefinidas, además de saberes de factorización y simplificación. 
 𝒚 = 𝒙𝟐; 𝒚 = √𝒙 𝒂𝒍𝒓𝒆𝒅𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 = 𝟏 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑨𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒍𝒂𝒔 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = √𝑥 
Igualamos las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥2 = √𝑥 (𝑥2)2 = (√𝑥)2 𝑥4 = 𝑥 
Restamos x al mismo lado para eliminar una constante x 𝑥4 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑥4 − 𝑥 = 0 
Factorizamos 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 0 
Utilizamos el Teorema del Factor Nulo 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 − 1 = 0 𝑜 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
• 𝑥 = 0 
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• 𝑥 − 1 = 0 
 𝑥 = 1 
 
 𝑟 = 𝑥 = 𝑦2 𝑅 = 𝑥 = √𝑦 𝑦 = √𝑥 
Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz 𝑦2 = (√𝑥)2 𝑦2 = 𝑥 𝑦 = 𝑥2 
Aplicamos raíz 
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 √𝑦 = √𝑥2 √𝑦 = 𝑥 
 𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ − 𝜋𝑟2ℎ 𝑉 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)ℎ 𝑑𝑣 = 𝜋 [(√𝑦)2 − (𝑦2)2] 𝑑𝑦 𝑑𝑣 = 𝜋(𝑦 − 𝑦4)𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝜋(𝑦 − 𝑦4)𝑑𝑦10 ∫ 𝑣 = 𝜋 (∫ 𝑦 𝑑𝑦10 − ∫ 𝑦410 𝑑𝑦) 𝑉 = 𝜋 (12 − 15) 𝑉 = 𝜋 ( 310) = 310 𝜋 𝑢3 
 
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Ejercicio c 
 
Objetivo: Implementar estrategias matemáticas que permitan la obtención del volumen de 
sólidos en revolución. 
Problema: Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de 
manera analítica. 
Fundamentos y estrategias para emplear: Es importante tener presente conceptos como el 
método de arandelas, el teorema del factor nulo y aspectos básicos de las integrales definidas e 
indefinidas, además de saberes de factorización y simplificación. 
 𝒚 = 𝟐 − 𝟏𝟐 𝒙; 𝒚 = 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒅𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 // Por el método de discos 
 𝑑𝑣 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 
 𝑑𝑣 = 𝜋𝑅2ℎ 
Con 𝑅 = 𝑦 y ℎ = 𝑑𝑥 
 
𝑑𝑣 = 𝜋(2 − 12 𝑥)2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝜋(4 − 2𝑥 + 14 𝑥2)𝑑𝑥 
Ahora integramos 
 
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 ∫ 𝑑𝑣 = 𝜋 ∫ (4 − 2𝑥 + 1420 𝑥2)𝑑𝑥 
𝑣 = 𝜋(4𝑥 − 2𝑥22 + 𝑥312| 20 
Ahora evaluamos en los limites 
𝑣 = 𝜋 (8 − 4 + 812) − (0) 
𝑣 = 𝜋. (143 ) 
𝑣 ≡ 14,7 𝑢3 
 
 
 
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Ejercicio d 
 
Objetivos. Se aplica la definición de volumen para calcular el volumen de un sólido en 
revolución, en el que intervienes las técnicas y nociones de integrales, de la misma manera las 
diferentes fórmulas de cuerpos, tales como el cono, esfera y cilindro. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicarán diferentes 
nociones sobre el cálculo integral, tales como los son las reglas de integración, así como, así 
como las diferentes técnicas de integración. 
Problema. Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de 
manera analítica. 
 𝑦 = √𝑥 − 1 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 5 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 
 
Fórmula del volumen de sólidos: 
 𝑑𝑣 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
 con 𝑟 = 𝑦 ℎ = 𝑑𝑥 
 
sustituimos en la fórmula: 𝑑𝑣 = 𝜋 ∙ (√𝑥 − 1)2 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝜋(𝑥 − 1)𝑑𝑥 
 
integramos 
∫ 𝑑𝑣 = 𝜋 ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥50 
𝑣 = 𝜋. 𝑥22 − 𝑥| 50 
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 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 
𝑣 = 𝜋 (522 − 5) − 0 
𝑣 = 𝜋 (252 − 5) 
𝑣 = 𝜋 ∙ 152 𝑣 = 23,56 𝑢3 
 
 
 
 
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Ejercicio e 
 
Objetivos. Se aplica la definición de volumen para calcular el volumen de un sólido en 
revolución, en el que intervienes las técnicas y nociones de integrales, de la misma manera las 
diferentes fórmulas de cuerpos, tales como el cono, esfera y cilindro. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicarán diferentes 
nociones sobre el cálculo integral, tales como los son las reglas de integración, así como, así 
como las diferentes técnicas de integración. 
Problema. Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de 
manera analítica. 
 𝒚 = 𝟏 − 𝒙𝟐 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 
Aplicamos la fórmula del volumen de sólidos: 𝑑𝑣 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
 
 con 𝑟 = 𝑦 = 1 − 𝑥2 ℎ = 𝑑𝑥 
 
sustituimos en la fórmula: 𝑑𝑣 = 𝜋 ∙ (1 − 𝑥2 )2 ∙ ℎ ∫ 𝑑𝑣 = 𝜋 ∫ (1 − 𝑥4)𝑑𝑥40 
 
integramos 𝑣 = 𝜋. (𝑥55 )| 40 
 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 
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 𝑣 = 𝜋 (455 ) − 055 𝑣 = 𝜋 ∙ 204,8 𝑣 = 643,39 𝑢2 
 
 
 
 
 
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1.3. EJERCICIOS TIPO 3: LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA 
 
Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la longitud curva de 
las funciones dadas en un intervalo. 
 
 
 
 
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Ejercicio a 
 
Objetivo. Aplicar la definición y formula de la longitud de arco de una curva, con el 
propósito de conocer su longitud. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicar 
principalmente la fórmula de la longitud de arco de una curva, pero pese a la complejidad que 
este presenta, fue necesario utilizar la sumatoria de Riemann. 
Problema. Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la 
longitud curva de las funciones dadas en un intervalo. 
 
Para empezar, hallar la longitud de arco de dos puntos AB es esencial utilizar la formula ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑏𝑎 𝑑𝑥 
 
Como 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦’ = 𝑓′(𝑥) 
tendremos que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Se remplaza en la expresión. ∫ √1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝜋0 𝑑𝑥 
 
Para este es pertinente se utiliza la sumatoria de Riemann. 
Tenemos los datos. 𝑎 = 0 𝑏 = 𝜋 𝑛 = 6 se calcula ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑏−𝑎𝑛 ∆𝑥 = 𝜋−06 ∆𝑥 = 𝜋6 
 
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Se realiza la sumatoria 𝑥0 = 0 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 = 0 + 𝜋6 = 𝜋6 = 30° 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 = 𝜋6 + 𝜋6 = 2𝜋6 = 𝜋3 = 60° 𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥 = 𝜋3 + 𝜋6 = 3𝜋6 = 𝜋2 = 90° 𝑥4 = 𝑥3 + ∆𝑥 = 𝜋2 + 𝜋6 = 4𝜋6 = 2𝜋3 = 120° 𝑥5 = 𝑥4 + ∆𝑥 = 2𝜋3 + 𝜋6 = 5𝜋6 = 150° 𝑥6 = 𝑥5 + ∆𝑥 = 5𝜋6 + 𝜋6 = 6𝜋6 = 𝜋 
 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑥0 = 0 𝑓(𝑥0) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2(0) = √1 + 1 = √2 = 1,41 𝑥1 = 𝜋6 𝑓 (𝜋6) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜋6 = √1 + (√32 )2 = √72 = 1,32 𝑥2 = 𝜋3 𝑓 (𝜋3) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜋3 = √1 + (12)2 = √52 = 1,12 𝑥3 = 𝜋2 𝑓 (𝜋2) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜋2 = √1 + 02 = 1 𝑥4 = 2𝜋3 𝑓(2𝜋3 ) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2 2𝜋3 = √52 = 1,12 𝑥5 = 5𝜋6 𝑓(5𝜋6 ) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2 5𝜋6 = √72 = 1,32 𝑥6 = 𝜋 𝑓(𝜋) = √1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜋 = √1 + (−1)2 = √2 = 1,41 
 
 
Se hace la sumatoria de los valores de 𝑥𝑖 y se multiplica por ∆𝑥 
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 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)6𝑖=0 = (1,41 + 1,32 + 1,12 + 1 + 1,12 + 1,32 + 1,41) 
 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)6𝑖=0 = (8,7) 
Ahora ∫ √1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝜋0 𝑑𝑥 ≈ (𝜋6) (8,7) ≈ 4,55 
 
 
 
 
 
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Ejercicio b 
 
Objetivo. Aplicar la definición y formula de la longitud de arco de una curva, con el 
propósito de conocer su longitud. 
Problema. Plantee y resuelve la integral para hallar la longitud curva de las funciones dadas 
en un intervalo. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio es indispensable utilizar 
principalmente la fórmula de la longitud de arco de una curva, pero pese a la complejidad que 
este presenta, también aremos uso de las diferentes técnicas de integración, como lo es la 
integración por sustitución, la integración por fracciones parciales y así, como los son algunas 
reglas de derivación. 
 𝒚 = 𝒙𝟐; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 
 
Desarrollo. 
Para empezar buscamos la derivada de la siguiente expresión, 𝒚 = 𝒙𝟐 𝑦′ = 2𝑥 
Elevamos ambos miembros al cuadrado. (𝑦′)2 = 4𝑥2 
Aplicamos la formula 𝑠 = ∫ √1 + 𝑓′(𝑥)2𝑏𝑎 𝑑𝑥 
𝑠 = ∫ √1 + 𝑎𝑥2𝑑𝑥2−2 
Para resolver la integral se aplica la sustitución trigonométrica. 
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Luego de acuerdo con la forma de la expresión que se encuentra debajo del radical tiene la forma 𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃 2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜃2 
Ahora derivamos la expresión anterior 
𝑑𝑥 = 12 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 
Ahora hallamos otra razón trigonométrica, 𝑠𝑒𝑐𝜃 
𝑠𝑒𝑐𝜃 = √1 + 4𝑥2 
Ahora realizamos la sustitución 
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝑢. 12 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝑢2−2 
Se procede a sacar las constantes del integrando. 12 ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃𝑑𝜃 
Ahora resolvemos la integral obtenida aplicando la integración por partes. 𝑈 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
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 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 
∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑑𝜃2−2 
= 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃(𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)𝑑𝜃 
= sec 𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃𝑑𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 
= 12 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 12 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃| | 2−2 
𝑆 = 12 [12 √1 + 4𝑥2. 2𝑥 + 12 𝑙𝑛 |√1 + 4𝑥2 + 2𝑥|] 
Ahora se aplica el teorema fundamental del cálculo, primero reemplazamos por el límite superior. 12 [12 √1 + 4(2)2. 2(2) + 12 𝑙𝑛 |√1 + 4(2)2 + 2(2)] 12 [12 √17. 4 + 12 𝑙𝑛|√17 + 4] = 4,646 
Ahora reemplazamos por el límite inferior. 12 [12 √1 + 4(−2)2. 2(−2) + 12 𝑙𝑛 |√1 + 4(−2)2 + 2(−2)] 12 [12 √17. (−4) + 12 𝑙𝑛|√17 − 4] = −4,646 𝑆 = 4,646 − (−4,646) = 4,646 + 4,646 = 9,293 
La longitud de la curva 𝑦 = 𝑥2en el intervalo −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐, es aproximadamente igual a 9,293 U 
 
 
 
2 
-2 
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Ejercicio c 
 
Objetivo. Aplicar la definición y formula de la longitud de arco de una curva, con el 
propósito de conocer su longitud. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicar 
principalmente la fórmula de la longitud de arco de una curva, pero pese a la complejidad que 
este presenta, fue necesario utilizar la sumatoria de Riemann. 
Problema. Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la 
longitud curva de las funciones dadas en un intervalo. 
 𝒚 = 𝒆𝒙 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 
 
𝐿 = ∫ √1 + (𝑦1)2𝑏𝑎 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑒𝑥 + 1 𝑦1 = 𝑒𝑥 
𝐿 = ∫ √1 + (𝑒𝑥)210 𝑑𝑥 
𝐿 = ∫ √1 + 𝑒2𝑥10 𝑑𝑥 
Sustituimos 𝑒2𝑥 = 𝑢 quedando así 
𝐿 = ∫ √1 + 𝑢2𝑢𝑒21 𝑑𝑢 
𝐿 = 12 . ∫ √1 + 𝑢𝑢𝑒21 𝑑𝑢 
Ahora sustituimos 𝑣 = √1 + 𝑢 y queda así 
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 𝐿 = 12 . ∫ 2𝑣2𝑣2 − 1 𝑑𝑣√1+𝑒2√2 
 
𝐿 = ∫ 𝑣2𝑣2 − 1 𝑑𝑣√1+𝑒2√2 
Factorizamos 
𝑣2𝑣2−1 y nos queda −( 1−𝑣2+1 − 1) y queda asi 
𝐿 = − ∫ 1−𝑣2 + 1√1+𝑒2√2 − 1 𝑑𝑢 
Separamos la suma 
−(∫ 1−𝑣2 + 1√1+𝑒2√2 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑑𝑣√1+𝑒2√2 
Integramos cada parte en los valores dados quedando asi 
∫ 1−𝑣2 + 1 𝑑𝑢 = (𝐼𝑛( √1 + 𝑒2 + 1) − 𝐼𝑛 (( √1 + 𝑒2 − 1)( √2 + 1)) + 𝐼𝑛 ( √2 − 1)2√1+𝑒2√2 ) 
 
∫ 1𝑑𝑣 =√1+𝑒2√2 √1 + 𝑒2 − √2 
Ahora si asociamos las derivadas, quedando así 𝐼𝑛( √1 + 𝑒2 + 1) − 𝐼𝑛 (( √1 + 𝑒2 − 1)( √2 + 1)) + 𝐼𝑛 ( √2 − 1)2 + √1 + 𝑒2 − √2 
 
 
 
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Ejercicio d 
 
Objetivo. Aplicar la definición y formula de la longitud de arco de una curva, con el 
propósito de conocer su longitud. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio se aplicar 
principalmente la fórmula de la longitud de arco de una curva, pero pese a la complejidad que 
este presenta, fue necesario utilizar la sumatoria de Riemann. 
Problema. Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la 
longitud curva de las funciones dadas en un intervalo. 
 
 𝑦 = √2 − 𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
Derivamos la función aplicando regla de la cadena: 
𝑦′ = 𝑑𝑑𝑥 12 (2 − 𝑥2)12−1 ∙ 𝑑𝑑𝑥 (2 − 𝑥2) 
= 𝑑𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑑𝑥 𝑥22√2 − 𝑥2 
= 0 − 2𝑥2√2 − 𝑥2 = − 𝑥√2 − 𝑥2 
Aplicamos la fórmula de la longitud de arco: 
𝑙 = ∫ √1 + (𝑦′)2𝑑𝑥𝑏𝑎 
Sustituimos la derivada en la fórmula: 
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 𝑙 = ∫ √1 + ( −𝑥√2 − 𝑥2)2 𝑑𝑥10 
𝑙 = ∫ √1 + 𝑥22 − 𝑥2 𝑑𝑥10 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
= ∫ √2 − 𝑥2 + 𝑥22 − 𝑥2 𝑑𝑥10 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 
= ∫ √2√2 − 𝑥2 𝑑𝑥10 
= √2 ∫ 1√2 − 𝑥2 𝑑𝑥10 
= √2 ∫ 1−𝑥√210 
= √2 ∫ 𝑥√210 = √2 sin−1 ( 𝑥√2)| 10 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠: 
= √2 sin−1 ( 1√2) − √2 sin−1 ( 0√2) 
= √2 sin−1 ( 1√2) = √2 ∙ 45 𝑳 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟕 𝒖. 
 
 
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Ejercicio e 
 
Objetivo. Aplicar la definición y formula de la longitud de arco de una curva, con el 
propósito de conocer su longitud. 
Problema. Plantee y resuelve la integral para hallar la longitud curva de las funciones dadas 
en un intervalo. 
Fundamentos y estrategia para emplear. En este tipo de ejercicio es indispensable utilizar 
principalmente la fórmula de la longitud de arco de una curva, pero pese a la complejidad que 
este presenta, también aremos uso de las diferentes técnicas de integración, como lo es la 
integración por sustitución, la integración por fracciones parciales y así, como los son algunas 
reglas de derivación. 
 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
Tenemos por definición que la longitud de arco es la siguiente expresión 𝐿 = ∫ √1 + (𝑑𝑥𝑑𝑦)2 𝑑𝑥𝑏𝑎 
La función:𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Derivando la función 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Elevándola al cuadrado 
(𝑑𝑥𝑑𝑦)2 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
Calculando la longitud de arco 
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 𝐿 = ∫ √1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥𝜋𝑜 
Realizando la sustitución 2𝑢 = 𝑥, entonces nuestros límites de integración serán: 𝑢 = 𝜋2 y 𝑢 = 0 
Tenemos que 2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Remplazamos 
𝐿 = ∫ √1 + (𝑐𝑜𝑠2𝑢2)2 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Realizando la identidad pitagórica: 𝑐𝑜𝑠(𝑥)2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 
𝐿 = 2 ∫ √1 + 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Simplificando y aplicando la identidad del ángulo doble para el seno, 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝐿 = 2 ∫ √2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑢. 𝑠𝑒𝑛2𝑢 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
𝐿 = 2 ∫ √2 − 2𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑢. 2𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
𝐿 = 2 ∫ √2 − 4𝑠𝑒𝑛𝑢2. 𝑐𝑜𝑠𝑢2 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
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Tomando factor común y extrayendo el 2 del radical 
𝐿 = 2√2 ∫ √(1 − 2senu2. cosu2) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Utilizando la identidad pitagórica 1 = (1)(1) = (𝑠𝑒𝑛𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2)(𝑠𝑒𝑛𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2) 
𝐿 = 2√2 ∫ √((senu2 + cosu2)(senu2 + cosu2) − 2senu2. cosu2) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Resolviendo las operaciones y luego simplificando 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + 2𝑠𝑒𝑛𝑢2𝑐𝑜𝑠𝑢2 + 𝑐𝑜𝑠𝑢4 − 2𝑠𝑒𝑛𝑢2. 𝑐𝑜𝑠𝑢2) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + 𝑐𝑜𝑠𝑢4 ) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Expresamos el 𝑐𝑜𝑠𝑥 como el producto de 2 términos 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + 𝑐𝑜𝑠𝑢2. 𝑐𝑜𝑠𝑢2 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Aplicamos la identidad pitagórica: 𝑐𝑜𝑠(𝑥)2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 y luego factorizando 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢2). (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢2 ) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢4) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
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Simplificando 
𝐿 = 2√2 ∫ √(𝑠𝑒𝑛𝑢4 + 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢4) 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
Integrado y luego remplazando los límites de integración 
𝐿 = 2√2 ∫ √1 𝑑𝑢𝜋2𝑜 
𝐿 = 2√2 ∫ 1 𝑑𝑢𝜋2𝑜 𝐿 = 2√2u𝑑𝑒 𝜋2 𝑎 0 𝐿 = 2√2 (𝜋2 − 0) 𝐿 = 2√2 (𝜋2) 𝐿 = √2π 
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Por último tenemos la solución. 𝐿 = 4,44 𝑢 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS 
 
• Hernández, E. (1988). Aplicaciones de la Integral Definida. Recuperado 
de https://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones-integral.pdf 
• Holguin, L. (2010). Volúmenes de solidos de revolución. Recuperado 
de https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf 
• Rondón, J. (2011): Módulo de Calculo Diferencial. Recuperado 
de https://repository.unad.edu.co/bitstream/handle/10596/7136/100411_Modulo_Calculo_
Diferencial_2011.pdf?sequence=5&isAllowed=y 
• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, 7ma Ed. México: 
Cenage Learning. Recuperado 
de https://archive.org/details/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion 
• Telecomunicaciones, I. (2000). Aplicaciones de la integral. Recuperado 
de http://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf 
• Benavides-Parra, J. C. (2018). Sólidosde revolución. [Archivo de video]. Recuperado 
de http://hdl.handle.net/10596/23281 
• Geogebra https://www.geogebra.org/graphing?lang=es 
 
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https://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones-integral.pdf
https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf
https://repository.unad.edu.co/bitstream/handle/10596/7136/100411_Modulo_Calculo_Diferencial_2011.pdf?sequence=5&isAllowed=y
https://repository.unad.edu.co/bitstream/handle/10596/7136/100411_Modulo_Calculo_Diferencial_2011.pdf?sequence=5&isAllowed=y
https://archive.org/details/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion
http://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf
http://hdl.handle.net/10596/23281
https://www.geogebra.org/graphing?lang=es
 
ANEXOS 
 
TABLA DE ENLACES DE VIDEOS 
 
Nombre de estudiantes Ejercicios sustentados Enlace video explicativo 
Verónica Aguirre Salcedo Tipo 1, literal c https://youtu.be/XW4HSFtKYrY 
Paola Andrea Celorio Tipo 1, literal d https://youtu.be/NVGDykpecAY 
Edgar Rafael De La Cruz Tipo 2, literal a https://www.youtube.com/watch?v=znak12N8pIw 
Jonathan David Molina Tipo 2, literal b https://youtu.be/e1ZzDm-eVEo 
 
 
Descargado por Laura Llanos (laurallanos60@gmail.com)
lOMoARcPSD|4759711
https://youtu.be/XW4HSFtKYrY
https://youtu.be/NVGDykpecAY
https://www.youtube.com/watch?v=znak12N8pIw
https://youtu.be/e1ZzDm-eVEo
https://www.studocu.com/co?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=fase-4-aplicaciones-de-la-integral-en-longitud-de-arco-areas-y-volumenes