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Fase-5-colaborativo-grupo-13 compressEJERCICIOS
MATEMATICOS
calculo integral (Universidad Nacional Abierta y a Distancia)
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MATEMATICOS
calculo integral (Universidad Nacional Abierta y a Distancia)
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FASE 5 - APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN CONTEXTOS 
MULTIDISCIPLINARES 
 
 
 
 
ESTUDIANTES: 
GERMAN ABEL AVILA 
YEISON HUMEJE 
CRISTIAN OSORIO 
CARLOS ANDRES GOMEZ 
FERNEY ALBERTO TORRES 
 
 
DOCENTE 
LAURA LIZETH ALDANA 
 
CALCULO INTEGRAL (LIC. EN MATEMATICAS) 
GRUPO 13 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION 
2021 
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Introducción 
 
Las integrales son definidas, comúnmente, como el área bajo la curva de ciertas funciones. 
Existen distintos métodos de cálculo para encontrarlas, ya sea de forma analítica, por interpolación, 
por aproximación o de forma mecánica (sumatorias). 
Este trabajo pretende mostrar, desde su simplicidad, la utilidad que tienen las integrales en 
contextos multidisciplinares, para este caso, la Física, la economía, la medicina, etc. aunque las 
integrales se pueden aplicar en la ingeniería industrial, la electrónica, electricidad, Computación, 
etc. 
También, en este trabajo, se hace uso de GeoGebra, que es una herramienta que sirve como 
soporte de validez de la solución del ejercicio planteado. En nuestro caso, nos proporciona un 
apoyo visual, grafico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO TIPO 1: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA 
FÍSICA 
Una partícula se mueve a lo largo de una recta con la función velocidad 𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡 donde v 
se mide en metros por segundo. Encuentre: 
a) la función x(t) del desplazamiento 
Analizando la partícula con su movimiento, esta es dada con su velocidad, de acuerdo a la física 
la derivada de la posición es la velocidad y así mismo la derivada de la velocidad es la aceleración, 
en este caso como antiderivada, la integral de la velocidad es la función de desplazamiento. 𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 𝑡 
𝑥(𝑡) = ∫(𝑡2 − 𝑡)𝑑𝑡 
𝑥(𝑡) = 13 𝑡3 − 12 𝑡2 + 𝐶 
Entonces la función de desplazamiento de la partícula está dada por 
𝑥(𝑡) = 13 𝑡3 − 12 𝑡2 + 𝐶 
Donde C es una constante que cumple las unidades de metro. 
b) la distancia recorrida por la partícula durante el intervalo t = 0 s y t = 5 s 
Este punto hace referencia a una distancia que es un desplazamiento en un instante de tiempo, 
este tiempo está dado, por ende, se analiza como una integral definida de la función de velocidad 
de la partícula. 
𝑑 = ∫ (𝑡2 − 𝑡)𝑑𝑡50 
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 𝑑 = [13 𝑡3 − 12 𝑡2} 50 = 13 53 − 12 52 = 29.2 𝑚 
Entonces después de 5 segundos la partícula se ha desplazado una distancia de 29.2 metros. 
c) Compruebe el ejercicio con GeoGebra, para ello integra la función v(t) en el intervalo 
dado. 
 
Figura 1. Representación de ejercicio del movimiento de una partícula del ejercicio realizado en el programa GeoGebra. 
Ávila (2021) 
 
Se observa el comportamiento de la partícula cuando pasan 5 segundos y corrobora la distancia 
obtenida mediante la integral. 
 
 
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EJERCICIO TIPO 2: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN LA 
ECONOMÍA 
El flujo de ingreso de una compañía es a razón de 𝑓(𝑡) = 9000√1 + 2𝑡 , donde t se 
mide en años y f (t) se mide en dólares por año, halle el ingreso total obtenido en 
los primeros cuatro años. 
Compruebe el resultado con Geogebra y anexe la gráfica en el documento final. 
 
SOLUCIÓN 
Podemos decir, entonces, que los ingresos totales: 
𝐼𝑇 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑏𝑎 
Donde 𝑓(𝑡) = 9000√1 + 2𝑡, “b” es igual a 4 y “a” es cero. Entonces: 
 
 
𝐼𝑇 = ∫ 9000√1 + 2𝑡40 . 𝑑𝑡 
𝐼𝑇 = 9000 ∫ √1 + 2𝑡40 . 𝑑𝑡 
𝐼𝑇 = 9000 ((2𝑡 + 1)323 ) ] 40 
Reemplazamos a t: 
𝐼𝑇 = 9000 ((2(4) + 1)323 − (2(0) + 1)323 ) 
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𝐼𝑇 = 9000 ((9)323 − 13) 
𝐼𝑇 = 9000 (273 − 13) 𝐼𝑇 = 9000 (263 ) = 78.000 
El ingreso total de la empresa durante los cuatro años fue de 78.000 dólares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Representación de los ingresos del ejercicio en el programa GeoGebra. Osorio (2021) 
 
Dado que la función f(t) involucra una constante muy grande (9000) esto dificulta visualizar la 
curvatura (a escala) de esta función. 
 
 
 
 
 
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EJERCICIOS TIPO 3: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN 
LA BIOLOGÍA 
Objetivo: Emplear conceptos de integración aplicados en entornos disciplinares diferenciados 
en este caso a la biología. 
Fundamentos y estrategias para emplear: Para el desarrollo de esta actividad se utilizará 
técnicas y conceptos de integración aplicados a la biología mediante funciones que representan 
cambios y la función del cálculo en este ejercicio es determinar esos cambios en función al 
tiempo delimitado en intervalos, este ejercicio se apoyara con el teorema fundamental del cálculo. 
𝑓(𝑥) = ∫ [𝐹(𝑥)]𝑑𝑥𝑏𝑎 
Ejercicio Tipo 3: 
Un verano húmedo y cálido causa una explosión en la población de mosquitos en un área 
lacustre de descanso. 
El número de mosquitos se incrementa a una rapidez estimada de 𝑓(𝑡) = 2200 + 10𝑒0.8𝑡 
(donde t se mide en semanas). 
¿En cuánto se incrementa la población de mosquitos entre las semanas 5 y 9 del verano? 𝑓(𝑡) = 2200 + 10𝑒0.8𝑡 5 ≤ 𝑥 ≤ 9. 
0,8 = 45 
 
𝑃𝑚 = ∫ (2200 + 10𝑒45𝑡 ) 𝑑𝑡95Se integra por separado. 
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 ∫ (10𝑒45𝑡𝑑𝑡) = 10 ∫ 𝑒4𝑡5 𝑑𝑡 
𝑢 = 4𝑡5 𝑑𝑢 = 45 𝑑𝑡 54 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 10. 54 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 504 𝑒𝑢 = 252 𝑒4𝑡5 
∫ (2200 + 10𝑒4𝑡5 ) 𝑑𝑡 = 2200𝑡 + 252 𝑒4𝑡5 ] 95 95 
Se aplica el teorema fundamental del calculo 
= [(2200(9) + 252 𝑒4(9)5 ) − (2200(5) + 252 𝑒4(5)5 )] = (19800 + 16742,8) − (11000 + 682,4) = 36542,8 − 11682,4 𝑷𝒎 = 𝟐𝟒𝟖𝟔𝟎, 𝟒 𝒎𝒐𝒔𝒒𝒖𝒊𝒕𝒐𝒔 
Entonces, la población de mosquitos entre la semana 5 a la 9 esta estimada en 24860 
mosquitos 
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Figura 3. Representación de la población de mosquitos en los intervalos dados en el ejercicio en el programa GeoGebra. 
Gómez (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIOS TIPO 4: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN 
LA INGENIERÍA 
 Los anchos (en metros) de una piscina en forma de riñón (ver Figura 1) se midieron a intervalos 
de dos metros como se indica en la figura. Utilice la regla de Simpson para estimar el área de la 
piscina. 
 
 
x F(x) 𝑥0 0 𝑥1 6,2 𝑥2 7,2 𝑥3 6,8 𝑥4 5,6 𝑥5 5,0 𝑥6 4,8 𝑥7 4,8 𝑥8 0 
 
 
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Regal simpson 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑠𝑛 = Δ𝑥3 [𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)]𝑏𝑎 𝑠8 = Δ𝑦3 ‖𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) + 2𝑓(𝑥4) + 4𝑓(𝑥5) + 2𝑓(𝑥6) + 4𝑓(𝑥7)+ 𝑓(𝑥8)‖ 𝑠8 = 23 [0 + 4(6,2) + 2(7,2) + 4(6,8) + 2(5,6) + 4(5,0) + 2(4,8) + 4(4,8) + 0] 𝑠8 = 23 [24,8 + 14,4 + 27,2 + 11,2 + 20 + 9,6 + 19,2] 𝑆8 = 23 126,4 𝑆8 = 0,666666[126,4] 𝑆8 = 84,267𝑢2 
 
El área estimada de la piscina en forma de riñón es aproximadamente 84,267𝑢2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIOS TIPO 5: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL EN 
LAS CIENCIAS SOCIALES 
La tasa de nacimientos de una población es 𝑏(𝑡) = 2200𝑒0.024𝑡personas por cada año y la de 
decesos es 𝑑(𝑡) = 1400𝑒0.018𝑡personas por cada año. Halle el área entre estas curvas para 0 ≤ t ≤ 
10. 
¿Qué representa el área? Realiza la gráfica de las funciones con GeoGebra y además 
comprueba el área entre dichas curvas. 
Compruebe el resultado con GeoGebra y anexe la gráfica en el documento final. 
𝐴 = ∫ (𝑏(𝑡) − 𝑑(𝑡))𝑑𝑡100 
De la gráfica concluimos que el área es b de t – d de t y no al contrario ya que se ve, que el b 
de t, está por encima del d de t, 
Después de esto, simplemente reemplazamos las ecuaciones y el ejercicio nos da los rangos de 
integración 0 ≤ t ≤ 10. 
𝐴 = ∫ (2200𝑒0.024𝑡 − 1400𝑒0.018𝑡)𝑑𝑡100 
= 2200𝑒0.024𝑡0.024 − 1400𝑒0.018𝑡0.018 |100 
= (2200𝑒0.024(10)0.024 − 1400𝑒0.018(10)0.018 ) − (2200𝑒0.024(0)0.024 − 1400𝑒0.018(0)0.018 ) 
= 22000.024 (𝑒0.24 − 1) − 14000.018 (𝑒0.18 − 1) 
 
A= 𝟗𝟓𝟐𝟓. 𝟑𝟕𝟕𝟐𝟎 
El área representa la cantidad de personas en que la población se ha aumentado por año 
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Figura 4. Representación del ejercicio realizado en el programa GeoGebra. Torres (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Enlace de Videos 
 
Nombre del 
estudiante 
Ejercicio escogido Link del video 
German Ávila Ejercicio 1 https://youtu.be/K2hRNzOZnFM 
 
Cristian Danilo 
Osorio 
Ejercicio 2 https://youtu.be/4YQqhQFyGmM 
 
Carlos Andrés 
Gómez 
Ejercicio 3 https://youtu.be/8vN-PI2I3jo 
 
Yeison Humeje Ejercicio 4 https://www.youtube.com/watch?v=NkfDeT7iKJw 
Ferney Alberto 
Torres 
Ejercicio 5 https://youtu.be/pTaQIvNMCjo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://youtu.be/K2hRNzOZnFM
https://youtu.be/4YQqhQFyGmM
https://youtu.be/8vN-PI2I3jo
https://www.youtube.com/watch?v=NkfDeT7iKJw
https://youtu.be/pTaQIvNMCjo
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Conclusiones 
La solución de estos ejercicios muestra la importancia de tener conceptos claros, referente al 
cálculo, para desarrollar efectivamente cualquier problema que se ajuste a un modelo matemático. 
A su vez, vemos que los comportamientos de ciertos fenómenos en lo cotidiano, se expresan 
como funciones y que, con estas, se pueden analizar, para potenciar el entendimiento y hacer 
predicciones adecuadamente al comportamiento de dichos eventos o situaciones. 
Con GeoGebra, se puede observar de manera gráfica dichas funciones y así poder analizar el 
comportamiento de los eventos hipotéticos planteados en cada problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referencias Bibliográficas 
Ayres, F. (1991). Calculo integral y diferencial. Obtenido De 
http://personal.cimat.mx:8181/~gil/docencia/2012/calculo/calculo_ayres1-5.pdf 
scholar. (2021). aplicacion del calculo integral en la industria. Obtenido de 
https://scholar.google.es/scholar?hl=es&as_sdt=0%2C5&q=aplicacion+del+calculo+integ
ral+en+la+industria&btnG= 
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, 7ma Ed. México: 
Cenage Learning. Recuperado de 
https://archive.org/details/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion 
Telecomunicaciones, I. (2000). Aplicaciones de la integral. Recuperado de 
http://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://archive.org/details/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion
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