UNIDAD N5 Parte C

Vista previa del material en texto

UNIDAD Nº5: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 
Ley de Faraday. Ley de Lenz. 
Fuerza electromotriz de movimiento. 
Campos inducidos. 
Corriente de desplazamiento y ecuaciones de Maxwell. 
Inductancia mutua. 
Energía de campo magnético. 
Circuitos RL, LC, RLC serie.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
UNIDAD Nº5: INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 
Parte C
Ecuaciones de Maxwell.
Corriente de desplazamiento. 
Circuitos LC, RLC serie.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
I. Ley de Gauss de la electricidad. !" ∮$. &' = )
II. Ley de Gauss del magnetismo. ∮*. &' = 0
III. Ley de Inducción de Faraday ∮$. &, = − ./0.1
IV. Ley de Ampère. ∮*. &, = 2" 3
En la mecánica clásica se trató de encontrar las ecuaciones que en la forma más compacta definiesen
el problema y lo lograron a través de tres ecuaciones que son las Leyes de Newton.
A continuación, para el electromagnetismo definimos este conjunto de ecuaciones “provisorias”
porque aún no están completas y ahora trataremos de definir el término faltante en una de ellas y por
ende completaremos la tabla que se muestra.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
El término que decimos que falta no es una corrección insignificante, ya que permite completar la
descripción del electromagnetismo y anexar a la ÓPTICA como una parte integral del
electromagnetismo.
Nos permitirá demostrar que la velocidad o rapidez de la luz, c, en el espacio vacío está relacionada
con cantidades puramente eléctricas y magnéticas, mediante la siguiente expresión:
! = 1$%&%
También nos llevará al concepto del espectro electromagnético, en el cual se apoya el
descubrimiento de, por ejemplo, las ondas de radio.
El principio de simetría está muy relacionado a la física y ha sido muy útil ya que nos ha permitido
arribar a nuevos conocimientos.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
PRINCIPIO DE SIMETRÍA
Desde este punto de vista examinaremos la Tabla Inicial 
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
I. Ley de Gauss de la electricidad. !" ∮$. &' = )
II. Ley de Gauss del magnetismo. ∮*. &' = 0
III. Ley de Inducción de Faraday ∮$. &, = − ./0.1
IV. Ley de Ampère. ∮*. &, = 2" 3
Para hacer consideraciones de simetría es irrelevante tomar en cuenta a !" y 2" ya que sólo resultan 
del sistema de unidades SI. En el gaussiano ambas constantes son iguales a 1.
Las ecuaciones I y II en su 
primer término, son 
simétricas porque ambas 
son una integral de 
superficie cerrada de E y 
B.
La III y IV se trata de 
integrales sobre 
trayectorias cerradas de E
y B.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
I. Ley de Gauss de la electricidad. !" ∮$. &' = )
II. Ley de Gauss del magnetismo. ∮*. &' = 0
III. Ley de Inducción de Faraday ∮$. &, = − ./0.1
IV. Ley de Ampère. ∮*. &, = 2" 3
El problema se presenta en los miembros derechos, los cuales no son simétricos.
La primera asimetría es que
existen centros aislados de cargas
(electrones y protones), no sucede
lo mismo con el magnetismo, no
existen monopolos magnéticos.
Esto explica la q que aparece en la
ecuación I y el 0 en la II
De igual manera, aparece 2" 3 (2" &)/&5) en la ecuación IV pero no existe en la ecuación III una
“corriente debida a monopolos magnéticos”
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
I. Ley de Gauss de la electricidad. !" ∮$. &' = )
II. Ley de Gauss del magnetismo. ∮*. &' = 0
III. Ley de Inducción de Faraday ∮$. &, = − ./0.1
IV. Ley de Ampère. ∮*. &, = 2" 3
El problema se presenta en los miembros derechos, los cuales no son simétricos.
La segunda asimetría aparece en
el término − ./0.1 que se
interpreta informalmente como:
Si un campo magnético cambia 
(./0.1 ), se produce un campo 
eléctrico, ∮$. &, .
Esto se demostró con la ley de inducción de Faraday: 
Si se introduce un iman en una espira conductora cerrada, se induce un campo eléctrico y, en 
consecuencia, una corriente en la espira.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Las Ecuaciones de Maxwell.
Esto se demostró con la ley de inducción de Faraday:
Si se introduce un iman en una espira conductora
cerrada, se induce un campo eléctrico y, en
consecuencia, una corriente en la espira.
Partiendo del principio de simetría surge la
sospecha obligada de que se debe cumplir una
relación simétrica.
Si un campo eléctrico cambia ("#$"% ), se produce un campo magnético ∮'. ")
Esta sospecha se pudo confirmar con la demostración de un hecho experimental.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Los Campos Magnéticos Inducidos.
La figura muestra un campo eléctrico uniforme E que
llena una región cilíndrica del espacio. Este campo puede
producirse mediante un capacitor circular de placas
paralelas. E aumenta con un ritmo constante dE/dt =cte,
lo que significa que se debe estar suministrando carga al
capacitor con un ritmo constante; para suministrar esta
carga se necesita una corriente estacionaria i hacia la
placa positiva y una corriente estacionaria igual i saliendo
de la placa negativa.
Experimentalmente se encuentra que un campo eléctrico variable establece un campo magnético. La
figura muestra un campo magnético B en cuatro puntos arbitrarios.
Para describir cualitativamente este nuevo efecto, se puede adoptar un punto de vista análogo al de la
ley de inducción de Faraday.
!". $% = − $Φ)$* Ley de Faraday
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Los Campos Magnéticos Inducidos.
!". $% = − $Φ)$* Ley de Faraday
Esta expresión describe que un campo magnético variable
produce un campo eléctrico.
La contraparte simétrica puede escribirse como:
!+. $% = ,-.-
$Φ/
$*
Esta ecuación asegura que se puede producir un campo magnético a partir de la variación de un
campo eléctrico.
En ambos casos están aumentando los flujos de Φ) y Φ/. Los experimentos demuestran que las
líneas de E giran en sentido antihorario y las de B en sentido horario, lo cual justifica la ausencia del
signo menos.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Los Campos Magnéticos Inducidos.
!". $% = '()
Vimos que la ley de Ampère nos dice
que se puede establecer un campo
magnético haciendo circular una
corriente en un conductor.
!". $% = '(*(
$Φ,
$- + '()
i es la corriente de conducción que pasa a través de la
espira sobre la cual se realiza la integración
Existen dos formas de establecer un campo magnético: a) por un campo eléctrico variable y b) por una
corriente de conducción. Para dar más generalidad a la expresión matemática se deben considerar las
dos posibilidades en simultáneo, es decir Maxwell es el responsable de esta 
importante generalización de la 
Ley de Ampère.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Corriente de Desplazamiento.
Tiene dimensiones de corriente. Aunque no existe movimiento de cargas, resulta
conveniente llamar a ese término, “corriente de desplazamiento”
!". $% = '((*$ + *)
En consecuencia decimos, que el campo magnético se forma por una corriente i de conducción y/o por
una corriente de desplazamiento
El concepto de corriente de desplazamiento permite mantener la noción de que la corriente es
continua. La corriente i no es continua a través de la separación entre las placas de un capacitor, debido
a que no hay trasnporte de carga a través de ellas. Sin embargo la corriente de desplazamiento id en
ese espacio es exactamente igual a i, manteniéndose entonces el concepto de continuidad de la
corriente.
*$ = -(
$Φ/
$0
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Corriente de Desplazamiento.
¿CÓMODEMOSTRAMOS QUE LO ANTES DICHO ES VERDAD?
!" = $% &'(&) = $%
&(+.-)
&) = $% /.
&+
&) = $%
-
012
!
Para calcular la corriente de desplazamiento, recordemos que el campo E entre las dos placas es 
3 = 4$%/
Si derivamos la expresión 
respecto del tiempo
"3
"5 =
1
$%/
"4
"5 =
1
$%/
!
Por definición corriente de desplazamiento id es
Acá se demuestra que !" = !
dentro de las placas
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones de las Leyes de Maxwell.
Las cuatro ecuaciones de Maxwell están ahora completas y reúnen estas características:
1. Simetría
Al incluir la corriente de desplazamiento las ecuaciones III y IV se asemejan mejor.
2. Ondas electromagnéticas: las ecuaciones de Maxwell se conocían mucho tiempo antes pero el
hecho de combinarlas como veremos más adelante surgen las ondas electromagnéticas y el valor de
su velocidad, que es la conocida como velocidad de la luz.
3. Electromagnetismo y relatividad: lo sorprendente de las ecuaciones de Maxwell es que son
enteramente compatibles con la posterior teoría de la relatividad, ya que no requieren cambio para
ningún observador, cualquiera sea su velocidad relativa. Esto no se logró con las ecuaciones de la
Mecánica clásica de Newton que si se debió hacer cambios radicales del movimiento con velocidades
cercanas a la de la luz.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones de las Leyes de Maxwell.
NOMBRE ECUACIÓN DESCRIBE EXPERIMENTO
I. Ley de Gauss de la 
electricidad. !" #$. &' = )
La carga y el campo 
eléctrico
a) Cargas iguales se repelen,
diferentes se atraen.
b) Una carga en un conductor
aislado se dirige a su superficie
exterior.
II. Ley de Gauss del 
magnetismo. #*. &' = 0
El campo magnético Las líneas de campo magnético
forman espiras cerradas, no hay
evidencia de existencia de
monopolos magnéticos.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones de las Leyes de Maxwell.
NOMBRE ECUACIÓN DESCRIBE EXPERIMENTO
III. Ley de Inducción 
de Faraday
∮". $% = − ()*(+ El efecto eléctrico de un campo magnético
Un imán de barra introducido
en una espira cerrada. Sigue
sin haber evidencia de
existencia de monopolos
magnéticos.
IV. Ley de Ampère. ,-. $% = ./(1$ + 1)
El efecto magnético 
de una corriente o un 
campo eléctrico 
cambiante
a) Una corriente en un
alambre produce un campo
magnético cerca de él.
b) La velocidad de la luz se
calcula con mediciones
electromagnéticas
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Circuito LC. Oscilaciones Electromagnéticas. 
Supongamos un circuito LC sin resistencia. Es un sistema semejante al visto en física I de masa
resorte donde no hay fricción.
Supongamos tener inicialmente un capacitor C el cual tiene un carga qm en un tiempo t=0 y que la
corriente i en el inductor es cero. La energía almacenada en el capacitor y en el inductor en ese
mismo instante es:
!" =
1
2
&'2
( !) =
1
2 *+
,
La energía en el inductor es cero porque la corriente i es cero.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Oscilaciones Electromagnéticas.
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Oscilaciones Electromagnéticas.
Siguiendo el mismo razonamiento anterior se ve que el circuito regresará finalmente a su situación
inicial y que el proceso continúa con una frecuencia definida ! (medida en hertz o ciclos por segundo)
a la cual le corresponde una frecuencia angular " = 2%! y medida en radianes sobre segundos. Una
vez iniciadas las oscilaciones en el circuito LC, como no tienen resitencia (es un circuito ideal)
continúan indefinidamente produciendo un intercambio de energía entre el campo eléctrico del
capacitor y el campo magnético del inductor.
Para medir la carga q en función del tiempo, puede medirse la diferencia de potencial variable VC(t) 
que existe a través del capacitor.
&' =
1
) * &' ∝ *
Para medir la corriente i se puede intercalar una pequeña resistencia tal que su efecto en el circuito 
sea despreciable &, = ,- &, ∝ -
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Circuito LC: Ideal vs Real
En los circuitos LC reales, las oscilaciones no continúan indefinidamente debido que siempre existe
alguna resistencia que va agotando la energía de los campos eléctrico y magnético, convirtiéndola en
energía térmica (efecto joule). El circuito se calienta. Una vez iniciadas las oscilaciones se irán
amortiguando.
En una situación ideal (la resistencia del circuito es cero),
estas oscilaciones seguirán por siempre.
ü Para el caso de un circuito real, presenta cierta
resistencia, la amplitud de las oscilaciones disminuye
con el tiempo -> “oscilaciones amortiguadas”
!" =
1
2
&2
' !( =
1
2 )*
+
Rastro de un osciloscopio
mostrando la oscilación
de un circuito LC
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Analogía entre sistemas oscilatorios
Analogía con el Movimiento Armónico Simple
La energía en sistemas oscilatorios
resorte !" =
1
2&'
( capacitor !) =
1
2
*2
+
masa !, =
1
2-.
( inductor !/ =
1
2 01
(
velocidad . = 2'23
corriente 1 = 2*23
Mecánica Electromagética
q se corresponde con x
i se corresponde con v
C se corresponde con 1/k
L se corresponde con m
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Frecuencia de Oscilación: análisis cuantitativo
A continuación se obtendrá una expresión para la frecuencia de oscilación de un circuito LC (sin
resistencia) usando el principio de conservación de la energía.
q Energía total en un circuito LC ! = !# + !% =
1
2
()
* +
1
2 +,
)
q Como la energía es constante, su derivada respecto del tiempo debe ser cero
-!
-. =
1
22
(
*
-(
-. +
1
22 + ,
-,
-. =
(
*
-(
-. + + ,
-,
-. = 0
-,
-. =
-)(
-.)
(
*
-(
-. + +
-(
-.
-)(
-.) = 0
, = -(-.
(
* + +
-)(
-.) = 0
Ecuación diferencial homogénea
de segundo orden
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Frecuencia de Oscilación: análisis cuantitativo
!
" + $
%&!
%'& = 0
Esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden, describe las oscilaciones
de un circuito LC
q Solución de la ecuación diferencial ! = !* cos(/' + 0)
Donde 0 es el ángulo de fase.
/ es la frecuencia angular aún
desconocida.
23
24 = 5 = -/ !* sen (/' + 0) 2
83
248 = -/2!* cos (/' + 0)
Reemplazando 1 y 2 en la primer ecuación 0, obtenemos
3
: + $
283
248 =
3; <=>(?4@A)
: − $/2!* cos(/' + 0)=0
−$/2+C: = 0 / =
1
$ "
Frecuencia de
Oscilación
1
2
0
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Circuito LRC serie. Oscilaciones Amortiguadas y Resonancia.
En este caso nuestra malla tiene un resistor R un
inductor L y un capacitor C
! = !# + !% =
1
2
()
* +
1
2 +,
)
La energía en el circuito en el circuito LRC es
La derivada de la energía
respecto del tiempo en
este caso no es cero
-!
-. =
(
*
-(
-. + + ,
-,
-. = −,
)0
Potencia disipada por calentamiento 
en la resistencia
, = -(-.
Sustituimos estas expresiones
en la anterior
-,
-. =
-)(
-.)
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Circuito LRC serie. Oscilaciones Amortiguadas y Resonancia.
!
"
#!
#$ + & '
#'
#$ + '
() = 0 ' = #!#$
!
"
#!
#$ + &
#!
#$
#(!
#$ + (
#!
#$)
() = 0
& #
(!
#$( +
#!
#$ ) +
!
" = 0
La solución de esta ecuación diferencial es: ! = !.á0. 23
4
(5 6 cos(w ¢ + :)
w ¢ = ;( − ( 4(5)(
w ¢ < ; : La frecuencia de oscilación en un
circuito no-ideal es menor que para un circuito
ideal (en la mayoría de los casos la diferencia
es despreciable)
#'
#$ =
#(!
#$(
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones
NOMBRE ECUACIÓN DESCRIBE EXPERIMENTO
I. Ley de Gauss de la 
electricidad. !" #$. &' = )
La carga y el campo 
eléctrico
a) Cargas iguales se repelen,
diferentes se atraen.
b) Una carga en un conductor
aislado se dirige a su superficie
exterior.
II. Ley de Gauss del 
magnetismo.#*. &' = 0
El campo magnético Las líneas de campo magnético
forman espiras cerradas, no hay
evidencia de existencia de
monopolos magnéticos.
No existen monopolos magnéticos
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones
!" = $%
"Φ'
"(Corriente de desplazamiento
NOMBRE ECUACIÓN DESCRIBE EXPERIMENTO
III. Ley de Inducción 
de Faraday
∮*. ", = − ./0.1 El efecto eléctrico de un campo magnético
Un imán de barra introducido
en una espira cerrada. Sigue
sin haber evidencia de
existencia de monopolos
magnéticos.
IV. Ley de Ampère. 23. ", = 4%(!" + !)
El efecto magnético 
de una corriente o un 
campo eléctrico 
cambiante
a) Una corriente en un
alambre produce un campo
magnético cerca de él.
b) La velocidad de la luz se
calcula con mediciones
electromagnéticas
FÍSICA III - 2021
Dra. Ing. María Elizabeth MÉDICI13/10/21
Unidad Nº5
Conclusiones
La solución de esta ecuación diferencial es: ! = !#á%. '(
)
*+ , cos(w ¢ + 2)
w ¢ = 4* − ( )*+)*
w ¢ < 4 : La frecuencia de oscilación en un circuito no-ideal es
menor que para un circuito ideal (en la mayoría de los casos la
diferencia es despreciable)
6 = 67 + 68 =
1
2
!*
; +
1
2 <=
* >6
>? =
!
;
>!
>? + < =
>=
>? = −=
*@ü Circuito real LRC 
en serie
ü Circuito ideal LC 
en serie
6 = 67 + 68 =
1
2
!*
; +
1
2 <=
* >6
>? = 0
La solución de esta ecuación diferencial es: ! = !#á% cos(4? + 2)
4 = 1< ;
Fercuencia de
resonancia
Fercuencia de
oscilación