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Nombre de la asignatura 
 Cálculo Integral 
 
Semestre 
Segundo semestre 
 
Unidad 3. Métodos de Integración 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Índice 
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ............................................................................................. 3 
Presentación de la unidad ................................................................................................................... 3 
Competencia específica ...................................................................................................................... 3 
Logros .................................................................................................................................................. 4 
Integración por partes ......................................................................................................................... 4 
INTEGRALES POR PARTES ....................................................................................................................................... 4 
SUSTITUCIÓN PARA RACIONALIZAR .......................................................................................................................... 6 
Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales .................................................. 6 
Q(X) ES PRODUCTO DE FACTORES LINEALES DISTINTOS ................................................................................................ 9 
Q(X) CONTIENE FACTORES LINEALES, ALGUNOS SE REPITEN ........................................................................................ 11 
Q(X) CONTIENE FACTORES CUADRÁTICOS REDUCIBLES, NINGUNO SE REPITE .................................................................. 14 
Q(X) CONTIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCTIBLE REPETIDO .............................................................................. 16 
Integrales trigonométricas ................................................................................................................ 19 
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................................... 19 
INTEGRALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENOS ...................................................................................................... 21 
INTEGRALES QUE CONTIENEN TANGENTES Y SECANTES .............................................................................................. 24 
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA ........................................................................................................................... 25 
Estrategias de la integración por medio de tablas integrales ........................................................... 27 
TABLAS DE FÓRMULAS INTEGRALES ....................................................................................................................... 27 
ESTRATEGIAS PARA INTEGRAR .............................................................................................................................. 28 
Integrales impropias .......................................................................................................................... 29 
TIPO 1. INTERVALOS INFINITOS ............................................................................................................................ 30 
TIPO 2. INTEGRANDOS DISCONTINUOS .................................................................................................................. 32 
Consideraciones específicas de la unidad ......................................................................................... 34 
Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 35 
 
 
 
 
 
 
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UNADM | DCEIT | MCIN 
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
 
Presentación de la unidad 
En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es 
posible integrar una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También 
hemos adquirido habilidad para resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen 
integrales más complicadas que no es posible resolverlas con las fórmulas y métodos 
hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos diferentes técnicas y 
métodos para resolver integrales. 
 
Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando 
funciones trigonométricas, integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un 
cociente mediante la descomposición de fracciones parciales entre sus diferentes casos. 
También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales mediante tablas y/o aplicando 
algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso abordaremos 
las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso 
donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita 
en un intervalo [a, b]. 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, 
sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de 
práctica. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Logros 
 
• Proponer diversos métodos de investigación. 
• Determinar el valor del área de diferentes cuerpos curvos. 
• Resolver ejercicios relacionados con integrales trigonométricas. 
• Resolver ejercicios relacionados con integrales impropias. 
• Resolver problemas que presenten argumentos sobre integrales. 
 
 
Integración por partes 
Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. 
Dicho método es una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de 
funciones. Veremos también el proceso de integración cuando tengamos funciones 
expresadas como raíces cuadradas. 
 
Integrales por partes 
 
La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos 
funciones. Supongamos que f y g son funciones derivables. 
La regla de derivación de un producto de funciones establece: 
  )()()()()()( xfxgxgxfxgxf
dx
d
+= 
Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos: 
   dxxfxgxgxfdxxgxf
dx
d
 += )()()()()()( 
En el primer término se cancela la integral. 
dxxfxgdxxgxfxgxf  += )()()()()()( 
Despejamos el primer término de la suma del lado derecho. 
 
 
 
 
5 
UNADM | DCEIT | MCIN 
dxxfxgxgxfdxxgxf  −= )()()()()()( 
Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes. 
Si renombramos los términos )(xfu = y )(xgv = y sus respectivos diferenciales 
dxxfdu )(= y dxxgdv )(= ; reescribimos la fórmula de integración por partes como: 
duvuvdvu  −= 
Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta 
manera te será más fácil recordarla. 
 
Ejemplo 
Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx  . 
Solución 
Antes de realizar la integral identificamos a u y v . 
 u dv = u v − v du 
Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos 
que encontrar para poder aplicar la regla. 
xu = encontrar: dxdu = 
senxdxdv = encontrar: xv cos−= 
 
Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las 
integrales faltantes. En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la 
regla de integración por partes. En este caso no es necesario. 
   
Csenxxx
dxxxcoxx
dxxxsenxdxx
duvvudvu
++−=
+−=
−−−=


cos
cos
)cos()cos( 
La integral del coseno la sacamos de las tablas de 
integrales. 
 
 
 
 
 
6 
UNADM | DCEIT | MCIN 
El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en 
comparación con la inicial.Sustitución para racionalizar 
En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en 
la cual efectuaremos una sustitución n xgu )(= . 
Ejemplo 
Evaluar la integral 
+
dx
x
x 4
 
Solución 
Haremos la sustitución de n xgu )(= , es decir: 
4+= xu que es lo mismo que 42 += xu , despejando x y determinando sus 
diferencias, 
 42 −=ux ; ududx 2= 
Sustituyendo en la integral, llegamos a: 


−
=
−
=
−
=
+
du
u
u
du
u
u
udu
u
u
dx
x
x
4
2
4
22
4
4
2
2
2
2
2
 
Este último término será evaluado usando fracciones parciales. 
 
Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 
Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma: 
( )
( )
( )xQ
xP
xf = 
En donde )(xP y )(xQ son polinomios. 
 
 
 
 
7 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una 
suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor 
grado que el polinomio Q. 
 
Nota: 
Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera. 
( ) 01
1
1 axaxaxaxP
n
n
n
n ++++=
−
−  
 
En dónde 0na . El grado del polinomio está denotado por n . 
 
Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de
)(xP es menor que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor 
que el grado de )(xQ . 
 
Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será 
realizar la división de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir, 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf +==
 
 
En donde )(xR y )(xS también son polinomios. 
Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor. 
 
Ejemplo 
Supongamos que nos piden determinar la integral racional de: 
 
 
dx
x
xx
 −
+
1
3
 
 
 
 
8 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Solución 
Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor 
que el grado del polinomio Q. 
 
Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos: 
=





−
+++=
−
+
 dxx
xxdx
x
xx
1
2
2
1
2
3
 
Cxx
xx
+−+++= 1ln22
23
23
 
 
El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división. 
Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos 
trabajando con el cociente 
)(
)(
xQ
xR
 que pueda tener la forma de una función propia. El 
grado de )(xR es menor que el grado de )(xQ . 
)(
)(
xQ
xR
 
 
Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, 
tanto como sea posible para convertir nuestro cociente 
)(
)(
xQ
xR
 en una suma de fracciones 
parciales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a 
dos. 
rFFF
xQ
xR
+++= 21
)(
)(
 
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, 
)(
)(
xQ
xR
 como una suma de 
fracciones parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ . 
 
 
 
 
9 
UNADM | DCEIT | MCIN 
( )ibax
A
+
 ó 
( )jcbxax
BAx
++
+
2
 
 
Esto siempre va a ser posible. 
 
Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el 
denominador )(xQ de la función propia. 
 
Q(x) es producto de factores lineales distintos 
Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de
)(xQ . 
rFFF
xQ
xR
+++= 21
)(
)(
 
 
Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. 
Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la 
potencia de cada uno de ellos es uno. 
 
 
No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como: 
 
donde kAAA ,,, 21  son constantes a encontrar. 
 
Ejemplo 
Resuelve la siguiente integral. 
 
( ) ( )( ) ( )kk babxabxaxQ +++= 2211
( )
( ) kk
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR
+
++
+
+
+
= 
22
2
11
1
dx
xxx
xx
 −+
−+
232
12
23
2
 
 
 
 
10 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
Solución 
Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado 
que el polinomio del numerador. 
Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de 
factores de grado uno. 
 
 
 
Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado 
uno. ¿Soy muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es 
uno! 
 
Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, 
en términos de las constantes A, B y C . 
 
 
Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos 
ambos lados de la expresión por 
( )( )212 +− xxx . 
 
 
Reordenado para conseguir la igualación de literales. 
 
 
Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales. 
( ) ( )( )212232232 223 +−=−+=−+ xxxxxxxxx
( )( ) 212212
122
+
+
−
+=
+−
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
( )( ) ( ) ( )122212122 −++++−=−+ xCxxBxxxAxx
( ) ( ) AxCBEAxCBAxx 222212 22 −−++++=−+
 
 
 
 
11 
UNADM | DCEIT | MCIN 
( )CBA 221 ++= 
( )CBEA −+= 22 
A21 −=− 
 
Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . 
Puedes usar cualquier método que desees para resolverlo. 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores 
Al resolver el sistema obtenemos: 
2
1
=A , 
5
1
=B y 
10
1
−=C
 
 
Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones 
parciales 
 
Cxxx
dx
xxx
dx
xxx
xx
++−−+=






+
−
−
+=
−+
−+

2
10
1
12ln
10
1
ln
2
1
2
1
10
1
12
1
5
11
2
1
232
12
23
2
 
 
Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales 
distintos ( ) ( )( ) ( )kk babxabxaxQ +++= 2211 
 
Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 
Si 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf +== , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un 
producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. 
Sea el cociente de polinomios 
( )( ) 212212
122
+
+
−
+=
+−
−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
 
 
 
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UNADM | DCEIT | MCIN 
rFFF
xQ
xR
+++= 21
)(
)(
 
 
El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un 
producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. 
( ) ( ) ( )r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
+
++
+
+
+

 
 
Observa que los factores )( 11 bxa + se repiten r veces. 
Un ejemplo claro es el siguiente: 
( ) ( ) ( )32232
3
1111
1
−
+
−
+
−
++=
−
+−
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
 
Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2=r veces, por lo que se escriben 
los términos 
x
A
 y 
2x
B
. Y también el factor )1( −x es lineal y se repite 3=r , por lo que 
puedes escribir tres términos
)1( −x
C
, 
2)1( −x
D
 y 
)1( −x
E
 
 
Analicemos un ejemplo de integración. 
 
Ejemplo 
Determine la integral  +−−
++−
dx
xxx
xxx
1
142
23
4
 
Solución 
El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf +== 
Dividiendo resulta 
 
 
 
 
13 
UNADM | DCEIT | MCIN 
1
4
1
1
142
2323
4
+−−
++=
+−−
++−
xxx
x
x
xxx
xxx
 
El segundo paso es expresar a ( ) 123 +−−= xxxxQ en factores. 
Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123 =+−− xxx tenemos el primer factor 
)1( −x , también a )1( 2 −x lo podemos descomponer en dos factores )1( −x )1( +x . 
Reescribiendo tenemos: 
 
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )11
111111
2
223
+−=
+−−=−−=+−−
xx
xxxxxxxx
 
El factor lineal 1−x , aparece dos veces. 
Con esto ya podemos trabajar con la parte 
)(
)(
xQ
xR
 así que este cociente queda expresado 
como: 
 
 
Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamospor el mínimo común denominador ( ) ( )11 2 +− xx y obtenemos 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )CBAxCBxCA
xCxBxxAx
++−+−++=
−++++−=
2
11114
2
2
 
Igualamos coeficientes en relación con las literales: 
 
0 
42 
0 
=++−
=−
=+
CBA
CB
CA
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 
1=A , 2=B y 1−=C 
 
Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en 
nuestras fracciones parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas. 
( ) ( ) ( ) ( ) 11111
4
22 +
+
−
+
−
=
+− x
C
x
B
x
A
xx
x
 
 
 
 
14 
UNADM | DCEIT | MCIN 
( )
C
x
x
in
x
x
x
Cxin
x
xinx
x
dx
xxx
xdx
xxx
xxx
+
+
−
+
−
−+=
++−
−
−−++=






+
−
−
+
−
++=
+−−
++−

1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
142
2
2
223
24
 
Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores 
lineales, algunos de los cuales se repiten. 
( ) ( ) ( )r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
+
++
+
+
+

 
 
Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 
 
Caso III. Es el caso tal que la descomposición de ( )xQ contiene factores cuadráticos 
irreducibles, de los cuales ninguno se repite. Esto es cuando ( )xQ posee el factor 
cbxax ++2 , en donde 042 − acb . El cociente 
)(
)(
xQ
xR
 tendrá un término de la forma: 
cbxax
BAx
++
+
2
 
Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que ( )xQ contenga 
términos lineales y no lineales. 
Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior 
para determinar las fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar 
la forma de las fracciones parciales cuando los factores del denominador tienen factores 
cuadráticos, usarás el método expuesto en esta sección. 
El siguiente ejemplo lo ilustra mejor. 
 
Ejemplo 
 
 
 
 
15 
UNADM | DCEIT | MCIN 
La función ( )
( )( )( ) 412 22 ++−
=
xxx
x
xf descompuesta en fracciones parciales queda de la 
siguiente manera: 
( )( )( ) 412412 2222 +
+
+
+
+
+
−
=
++− x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x
 
Las fracciones parciales 
12 +
+
x
CBx
y 
42 +
+
x
EDx
surgen debido a los factores cuadráticos ( )12 +x 
y ( )42 +x respectivamente; y la fracción 
2−x
A
es consecuencia del término lineal )2( −x . 
Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional. 
 
Ejemplo 
Calcule la siguiente integral dx
xx
xx
 +
+−
4
42
3
2
 
Solución 
Procedemos a descomponer )4(4)( 23 +=+= xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen 
dos fracciones, una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático). 
( ) 44
42
22
2
+
+
+=
+
+−
x
CBx
x
A
xx
xx
 
Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por ( )42 +xx para resolver los valores 
de A, B y C. 
( ) ( )
( ) ACxxBA
xCBxxAxx
4
442
2
22
+++=
+++=+−
 
Resolviendo llegamos a los valores 
1=A 1=B , 1−=C 
Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma: 
dx
x
x
x
dx
xx
xx
 





+
−
+=
+
+−
4
11
4
42
23
2
 
 
 
 
 
16 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo 
mismo que la suma de dos integrales. 
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
 +
−
+=
+
+−
4
11
4
42
23
2
 
El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos 
expresar en dos partes como: 
 +
−
+
=
+
−
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
4
1
44
1
222
 
 
La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42 += xu y 
xdxdu 2= respectivamente. En la segunda integral se usa la integral: 
C
a
x
aax
dx
+





=
+
−

1
22
tan
1
 
Identificamos que 2=a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser 
descompuesta en tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas. 
( ) ( ) CxxInxIn
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
+−++=
+
−
+
+=
+
+−
−

2tan4
4
1
4
1
4
42
1
2
12
2
1
223
2
 
 
Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 
En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede 
descomponer en el factor ( )rcdxax ++2 repetido r veces. 
)(
)(
xQ
xR
se descompone en las fracciones parciales de la forma: 
( ) ( )r
rr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
++
+
++
++
+
+
++
+
22
22
2
11  
 
Ejemplo 
 
 
 
 
17 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente: 
( )( )( )322
23
111
1
+++−
++
xxxxx
xx
 
Solución 
( )( )( ) ( ) ( )322222322
23
11111111
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
−
+=
+++−
++
x
JIx
x
HGx
x
FEx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxxx
xx
 
El factor x es lineal y tiene potencia 1=r , por lo que se escribe el término 
x
A
, el factor 
)1( +x es lineal y tiene potencia 1=r , por lo que también se escribe el término 
)1( −x
B
. 
El factor )1( 2 ++ xx es cuadrático y tiene potencia 1=r , por lo que se escribe el término 
)1( 2 ++
+
xx
DCx
 . 
Ahora pon mucha atención, como el factor 32 )1( +x no es lineal y tiene una potencia 
3=r , es posible escribir tres factores de la forma: 
)1( 2 +
+
x
FEx
, 
22 )1( +
+
x
HGx
 y 
32 )1( +
+
x
JIx
. 
 
Ejemplo 
Determinar 
( )
dx
xx
xxx

+
++−
22
32
1
21
 
Solución 
Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada 
factor )(xQ . 
 
 
 
 
18 
UNADM | DCEIT | MCIN 
El factor x es lineal y tiene potencia 1=r , por lo que se escribe el término 
x
A
; sin 
embargo, el factor )1( 2 +x no es lineal y tiene potencia 1=r , entonces se escribe el 
término 
)1( 2 +
+
x
CBx
 y el término 
22 )1( +
+
x
DDx
. 
Entonces tenemos que el cociente 
)(
)(
xQ
xR
 es: 
( ) ( )22222
32
1112
21
+
+
+
+
+
+=
+
++−
x
EDx
x
CBx
x
A
x
xxx
 
Multiplicamos por ( )22 1+xx para hacer una igualación de coeficientes: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
xEDxxxCBxxAxxx
++++++++=
++++++++=
++++++=+−+−
234
232424
22223
2
12
1112
 
Se tiene: 
0=+ BA 1−=C 22 =++ DBA 1−=+ EC 1=A 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones: 
1=A 1−=B 1−=C 1=D 0=E 
Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a: 
( ) ( )
( )
( )
( )
C
x
xxx
x
xdx
x
dx
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
xx
xxx
+
+
−−+−=
+
+
+
−
+
−=








+
+
+
+
−=
+
++−
−
 

12
1
tan1lnln
111
11
11
1
21
2
12
2
1
2222
22222
32
 
 
 
 
 
 
19 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Integrales trigonométricas 
En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. 
Para ello conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas 
frecuentemente usadas. 
 
Integrales trigonométricas 
Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas 
combinaciones de funciones trigonométricas. 
La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral 
más accesible que permita realizar el proceso de integración de forma práctica. 
Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar 
integrales. 
 
1cossen 22 =+ xx ó xx 22 cos1sen −= ó xx 22 sen1cos −= 
( )xxen 2cos1
2
1
s 2 −= 
( )xx 2cos1
2
1
cos2 += 
1sectan 22 −= xx 
xx 2csccot1 2 =+ 
Para evaluar integrales de la forma  dxnxmx cossen ,  dxnxmx sen sen ó 
 dxnxmx cos cos , puedes usar las siguientes identidades. 
 )(sen )(sen 
2
1
cossen BABABA ++−= 
 )( c)( cos
2
1
sen sen BAosBABA +−−= 
 )( c)( cos
2
1
coscos BAosBABA ++−= 
 
 
 
 
20 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Además, podemos usar otras identidades como: 
Identidades recíprocas 
senx
x
1
csc = 
x
x
cos
1
sec = 
x
x
tan
1
cot = 
x
senx
x
cos
tan = 
senx
x
x
cos
cot = 
Identidades pitagóricas 
1cossen 22 =+ xx 
xxan 22 sec1t =+ 
xx 22 csccot1 =+Identidades de paridad 
senxx −=− )(sen 
xxos cos)(c −=− 
xx tan)(tan −=− 
 
Ejemplo 
Queremos evaluar la integral  dxx cos
3 . Como notarás, no la puedes evaluar 
directamente con los métodos anteriormente vistos. 
Solución 
Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver. 
Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas 
como: 
 
 
 
 
21 
UNADM | DCEIT | MCIN 
xxxxx cos) sen1(coscoscos 223 −== 
Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen = y xdxdu cos= 
Cuu
du
dxxxdxx
+−=
−=
−=


3
2
23
3
1
)u1(
cos) sen1(cos
 
Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen = 
Cxxdxx +−=
33 sen
3
1
sen cos
 
 
Integrales que contienen senos y cosenos 
En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma 
 dxxx
n cos senm
 
 
Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos: 
 
CASO UNO. En el caso que tengamos 12 += kn una potencia impar, descomponemos el 
xncos en factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos −= con la 
intención de expresar los factores restantes en términos de funciones trigonométricas 
senos. 
 
Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos. 
 
 =
+ dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m
 
 
Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos −= tenemos una integral de la forma, 
 −=
+ dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m
 
 
 
 
 
22 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen = y al hacer 
xdxosdu c= . Al final tendríamos que resolver una integral de la forma: 
duuu mk − )1(
2 
 
CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 += km . 
Usamos la misma técnica que en el caso uno. 
Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx
22 cos1sen −= 


−=
=+
dxxxx
dxxxxdxxx
nk
nkn
 cos sen )cos1(
 cos sen )(sen cos sen
2
212k
 
Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c= , 
senxdxdu −= . Como en la expresión no tenemos un dxxsen )(− multiplicamos ambos 
lados por -1 y nos queda la expresión dxxsendu )(=− . Finalmente tendrás que calcular 
esta integral. 
 duuu nk −− )1(
2 
Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver. 
 
CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias 
son pares, tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las 
siguientes identidades: 
( )xxen 2cos1
2
1
s 2 −= 
( )xx 2cos1
2
1
cos2 += 
 
xxx 2sen 
2
1
sen cos = 
 
 
 
 
23 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Ejemplo 
Determina 
 xdxxsen
25 cos 
 
Solución 
Podríamos convertir x2cos a xsen21− pero nos quedaríamos con una expresión en 
términos de senx sin factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y 
reescribimos el factor xsen4 restante en términos de xcos : 
xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos −== 
Sustituyendo xu cos= , tenemos senxdxdu −= luego 
 
 
 
 
. 
Otro ejemplo 
Evaluar 
 
 
= 
 
= 
 
 
 
 
24 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
= 
 
= 
 
Integrales que contienen tangentes y secantes 
En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma:  dxxx
n sec tanm . 
Tienes dos casos. 
 
i) Cuando la potencia kn 2= es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en 
un factor una potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec += . Expresarás 
la integral en términos de xtan . 


−
−
+=
=
dxxxx
dxxxxdxxx
k
kk
 sec)tan1( tan
 sec)(sec tan sec tan
212m
212m2m
 
Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás 
quedaría así: 
   duuudxxxan m
k
k
1
22m 1 sec t
−
 += 
ii) Cuando la potencia 12 += km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan + en 
factores, manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la 
identidad 1sectan 22 −= xx . Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x. 


−
−+
−=
=
dxxxxx
dxxxxxdxxx
nk
nkn
 tansecsec)1sec(
 tansecsec)tan( sec tan
12
1212k
 
Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de 
integral: 
 
 
 
 
25 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
 
Sustitución trigonométrica 
En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa −
22 , siendo a 
una constante MAYOR a cero. 
Haremos un cambio de variable de x a  mediante la sustitución asenx = . 
Emplearemos la identidad  22 1cos sen−= con el objetivo de quitar la raíz, observa: 
 coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa ==−=−=− 
Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla 
facilitando la integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo. 
A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa. 
 
Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación 
tenemos una tabla donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de 
los signos de los términos del radicando. 
 
 Forma del 
radical 
Sustitución Nuevo límite de 
integración 
Identidad 
empleada 
1. 22 xa − asenx = 
22



− 
22 1cos sen−= 
2. 22 xa + tanax = 
22



− 
22 tan1sec += 
3. 22 ax − secax = 
2
0

  ó 
2
3
  1sectan
22 −=  
 
En video puedes ver algunos ejemplos. 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8
 
 
 
 
26 
UNADM | DCEIT | MCIN 
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related 
 
Ejemplo 
Determina la integral 
+
dx
xx 4
1
22
 
Solución 
Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la 
sustitución empleada será tan2=x definida en el intervalo 2/2/,  − . El 
diferencial de x es ddx 2sec2= . 
 
Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene: 
 sec2sec2sec4)1(tan44 222 ===+=+x 
Reemplazamos en nuestra integral original: 





d
d
xx
dx
  ==
+
222
2
22 tan
sec
4
1
)sec2)(tan2(
sec2
4
 
 
El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma: 






22
2
2
coscos
cos
1
tan
sec
sensen
== 
La integral queda: 
  ==
+






d
sen
d
xx
dx
2222
cos
tan
sec
4
 
Realizando la sustitución senxu = y su respectivo diferencial se tiene: 
===
+
 2222 4
1cos
4
1
4 u
du
d
sen
dx
xx
dx



 
Resolviendo 
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related
 
 
 
 
27 
UNADM | DCEIT | MCIN 
CC
sen
C
uu
du
+−=+−=+





−= 4
csc
4
11
4
1
4
1
2


 
Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en 
cuestión. 
x
x 4
csc
2 +
= 
 
 +
+
−=
+
C
x
x
xx
dx
4
4
4
2
22
 
 
Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 
Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que 
debes tener en consideración cuando trates de resolver integrales. 
 
Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de 
memorizarlas, por lo menos las fórmulas básicas de integración. 
 
Tablas de fórmulas integrales 
La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales. 
 
 
Tabla de fórmulas de integración 
 
 
 
 
28 
UNADM | DCEIT | MCIN 
1.  +
=
+
1
1
n
x
dxx
n
n con )1( −n 
11.  += xxdxx tanseclnsec 
2. xIndx
x
=
1
 12.  −= xxdxx cotcsclncsc 
3. xx edxe = 13.  = xIndxx sectan 
4.  = a
a
dxa
x
x
ln
 
14.  = senxIndxxcot 
5.  sen x xdx cos−= 15. xdxxsenhcosh= 
6.  = xsendxxcos 16.  = xsenhdxxcosh 
7.  = xdxx tansec
2 17. 





=
+
−
 a
x
aax
dx 1
22
tan
1
 
8. xdxx cotcsc2 −= 18.  





=
−
−
a
x
sen
xa
dx 1
22
 
9.  = xdxxx sectansec 19.  +
−
=
− ax
ax
aax
dx
ln
2
1
22
 
10. xdxxx csccotcsc −= 20.  +=

22
22
ln axx
ax
dx
 
 
Estrategias para integrar 
 
Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia 
para enfrentar las integrales. 
 
Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es: 
1. Simplificar el integrando en lo posible. 
2. Detectar si existe una sustitución obvia. 
3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos 
apropiados de integración ya sean: 
 
 
 
 
29 
UNADM | DCEIT | MCIN 
a. Integración de funciones trigonométricas 
b. Integración de funciones racionales 
c. Integración por partes 
d. Integración de radicales 
 
4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se 
puede intentar con lo básico, por sustitución o por partes. 
a. Prueba la sustitución 
b. Intenta integrar por partes 
c. Intenta integrar modificando el integrando 
d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que 
la experiencia es muy importante. 
e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con 
un método. 
 
Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver 
integrales es la experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales 
como te sea posible para cada uno de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial 
de esta unidad. 
 
¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales. 
 
Integrales impropias 
Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un 
intervalo infinito y también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b]. 
Estudiemos ambos casos. 
 
 
 
 
 
30 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Tipo 1. Intervalos infinitos 
Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la 
función 
2
1
x
y = . 
 
La región S está acotada por la función 
2
1
x
y = y el eje x , acotada en el lado izquierdo 
por la recta vertical 1=x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que 
el área S es infinita; sin embargo, esto no es así. 
El área de una región acotada por la vertical 1=x y por la recta vertical movible en el eje 
tx = está dada por: 
( )
tx
dx
x
tA
t
t 1
1
11
1
1 2
−=


−==  
 
Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos 
que el área no rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA . 
Observamos también, que si calculamos el límite cuando →t , llegamos a un valor 
diferente de infinito. 
( ) 1
1
1limlim =





−=
→→ t
tA
tt
 
El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como: 
1
1lim1
1 21 2
=
→
= 

dx
xt
dx
x
t
 
 
 
 
 
31 
UNADM | DCEIT | MCIN 
Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, 
considera la definición siguiente, la cual te expone tres casos: 
 
Definición de una integral impropia de tipo 1 
i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma ( )dxxf
t
a para cualquier at  , 
entonces: 
( ) ( )dxxfdxxf
t
ata  →

= lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma ( )dxxf
b
t para cualquier bt  , 
entonces: 
( ) ( )dxxfdxxf
b
tt
b
 →− = lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como convergentes si 
existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
iii) Si en ambas integrales ( )dxxf
a

 y ( )dxxf
b
 − de los casos anteriores, son divergentes, 
entonces por definición se tiene la suma de integrales: 
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf
a
a


−

−
+= 
 
Ejemplo 
Determina si la integral es divergente o convergente 
 dxx
1
 
Solución 
De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i. 
 
 
 
 
32 
UNADM | DCEIT | MCIN 

( ) ==−=
==
→→
→→


tt
xdx
x
dx
x
tt
t
t
t
t
lnlim1lnlnlim
lnlim
1
lim
1
111 
El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir 
que la integral impropia diverge. 
 
Si tuvieses una integral impropia de la forma: 


1
1
dx
x p
 
Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p . 
 
Tipo 2. Integrandos discontinuos 
Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos 
discontinuos. 
Definición de una integral impropia de tipo 2 
i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b. 
( ) ( )dxxfdxxf
t
abt
b
a  −→= lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a. 
( ) ( )dxxfdxxf
b
tat
b
a  +→= lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
 
 
 
 
33 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes si 
existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
 
iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son 
convergentes las integrales ( )dxxf
c
a y ( )dxxf
b
c , por definición tendrás: 
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a  += 
 
 
Ejemplo 
Determina la integral dx
x

−
5
2 2
1
 
Solución 
La gráfica de la función es la siguiente. 
 
 
 
 
34 
UNADM | DCEIT | MCIN 
 
 
 
Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2=x . La discontinuidad es infinita 
marcada en 2=x . De la definición ii) de esta sección, se tiene: 

( )
32
232lim
22lim
2
lim
2
2
5
2
5
2
5
2
=
−−=
−=
−
=
−
+
+
+
→
→
→ 
t
x
x
dx
x
dx
t
t
t
tt
 
Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área 
es región sombreada de la región. 
 
Consideraciones específicas de la unidad 
 
En esta sección requerimos el siguiente material: 
❖ Calculadora. 
❖ Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien 
adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para 
evaluar las integrales. 
❖ Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas 
planas y volumétricas comunes. 
Es necesario que tengas conocimientos sobre: 
• Álgebra 
 
 
 
 
35 
UNADM | DCEIT | MCIN 
• Geometría analítica 
• Cálculo diferencial 
• Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias. 
 
 
Fuentes de consulta 
 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. 
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill. 
Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.