FUNCION_RACIONAL

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FUNCION RACIONAL: FUNCIÓN DE 
PROPORCIONALIDAD INVERSA 
 
ACTIVIDAD 1 (Inicio) 
El área de un rectángulo de lados x e y, es de 1𝑚2. 
 
 
 
a) ¿Qué valores pueden tomar sus lados? (si es necesario pueden confeccionar una tabla de valores) 
b) Teniendo en cuenta la fórmula del área del rectángulo, y suponiendo que el valor de la base es de 2 
m y el área total del rectángulo es 1𝑚2 ¿cómo podemos calcular la altura del mismo? 
c) Y si conocemos el valor de la altura, por ejemplo y = 3m ¿Cuál es la base en este caso? 
d) ¿Cuál es la fórmula que permite calcular la altura del rectángulo conociendo la base? Recuerden: 
área del rectángulo=base×altura. 
e) Observando la tabla de valores y sus respuestas de los puntos anteriores, ¿Qué relación hay entre 
la medida de la base y la altura del rectángulo de área 1𝑚2? 
 
ACTIVIDAD 2 
Tomamos la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 y la descontextualizamos de la situación problemática, es decir, que las 
variables ya no son las longitudes de los lados del rectángulo, completar la siguiente tabla de valores. 
X f(x) 
1 
2 
6 
0 
0,5 
0,25 
-0,25 
-0,5 
-1 
-2 
-6 
 
a) Graficar en un sistema de ejes cartesianos 
¿Cuál será el dominio de esta función? ¿Y la imagen? 
• Completen las siguientes tablas 
X f(x) 
10 
1000 
10000 
100000 
-1000 
-10000 
-100000 
 
0,01 
0,0001 
0,00001 
0,00000
1 
 
-0,1 
-0,0001 
-0,00001 
 
 
⮚ ¿Qué sucede con la función cuando x toma valores positivos cada vez más grandes en valor 
absoluto? 
⮚ ¿Qué sucede con la función cuando x toma valores positivos cada vez más pequeños en valor 
absoluto, o sea, cuando se acerca mucho, mucho a cero? 
 
Información 
 
Podemos ver, que a medida que x aumenta, cuando tiende al infinito, f(x) toma valores cada vez más 
cercanos a cero, porque si dividimos el número 1 en cada vez más partes, éstas serán cada vez más 
pequeñas. También podemos observar que a medida que x va tomando valores negativos cada vez 
más pequeños, x tiende a menos infinito, f(x) también toma valores cada vez más cercanos a cero. 
Esto significa que la gráfica de la función se acerca cada vez más al eje x, es decir, a la recta y=0. Ésta 
recta se la denomina asíntota horizontal. 
 
Y si observamos l segunda tabla, podemos observar que a medida que x va tomando valores positivos 
cercanos a cero, tiende a cero por derecha, f(x) aumenta, y a medida que x va tomando valores 
negativos cercanos a cero, x tiende a cero por izquierda, f(x) disminuye. 
 
En ambos casos, la función se va acercando a la recta vertical x=0, la cual llamamos asíntota vertical. 
La gráfica que se obtuvo es una HIPÉRBOLA. 
Análisis del gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
: 
- Dominio R – {0} 
- Imagen R – {0} 
- C+ = (0, ∞+) 
- C- = (-∞, 0) 
- Raíces no tiene 
- Ordenada al origen no tiene (x≠0) 
- La recta y=0 es una asíntota horizontal 
- La recta x=0 es una asíntota vertical 
- No es una función continua en x=0 (porque está cortada), aunque sí en los demás valores de x 
 
DEFINIMOS: 
FUNCIÓN RACIONAL: Toda función que se expresa como cociente entre dos funciones polinómicas se 
denomina función racional, es decir, sea 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑋)
𝑄(𝑋)
 es una función racional con Q(x) ≠0. 
Aquella función racional de la forma 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥
 con x≠0, k≠0 siendo k un número real, es una FUNCIÓN 
DE PROPORCIONALIDAD INVERSA y su gráfica es una HIPÉRBOLA y tiene las siguientes 
características: 
● Asíntota horizontal: dada una función f decimos que la recta de ecuación y = a es una asíntota 
horizontal de la gráfica de f porque a medida que x toma valores cada vez más grandes, en valor 
absoluto, f(x) se aproxima a la recta y = a. 
● Asíntota vertical: dada una función f decimos que la recta de ecuación x = b es una asíntota 
vertical porque a medida que x toma valores cada vez más cercanos a b, el módulo de f(x) toma 
valores cada vez mayores. 
● El dominio de la función va a ser todos los reales, menos los valores que anulen el 
denominador, en este caso R - {0} 
● La imagen de la función depende de la fórmula de la función, en este caso R - {0} 
 
ACTIVIDAD 3 
Ahora analicen el siguiente applet de geogebra donde se representa la función 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥
 y luego 
completa: 
https://www.geogebra.org/m/xdamnbfv 
Si el valor de k>0 la función es……………………. 
Si el valor de k=0, la función es……………………. 
Si el valor de k<0, la función es……………………. 
 
ACTIVIDAD 4 
A. La fórmula de la función f, cuya gráfica aparece a continuación, es f(x)= 
𝑘
𝑥
 
 
a) Indiquen el signo de k 
b) Se sabe que el punto (−
1
4
 ; 12) pertenece a la gráfica de f ¿cuál es el valor de k? 
c) Determinen el dominio y la imagen de f 
d) Escriban las ecuaciones de las asíntotas 
 
B. Para cada una de las siguientes funciones, graficar CON GEOGEBRA, hallar dominio, imagen, 
asíntota horizontal, asíntota vertical, conjunto de positividad y conjunto de negatividad, y 
determinar si son crecientes o decrecientes 
 
a) h(x)= 
−6
𝑥
 
b) g(x)= 
1
2
 𝑥
 
https://www.geogebra.org/m/xdamnbfv