SEM 7 - Polinomios ESPECIALES

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Capítulo 2. Términos Algebraicos y
Polinomios Especiales
"Hay una fuerza motriz
más poderosa que el
vapor, la electricidad y
la energía atómica: la
voluntad".
Albert Einstein
2.3 POLINOMIOS ESPECIALES.
Dentro del estudio de polinomios existe una clasicacion en base a sus caractersticas y de
acuerdo a ello son:
2.3.1 Polinomio ordenado.
Un polinomio está ordenado cuando los ex-
ponentes de la variable �referida� están aumen-
tando o disminuyendo.
Ejemplo.
P (x, y) = 6x9y − 3x5y4 + 5x3y8
Polinomio ordenado de forma descendente res-
pecto a �x.�
Polinomio ordenado de forma ascendente res-
pecto a �y�
Ejemplo.
P (x; y) = x4y3 + 2x2y5�3xy8
Polinomio ordenado de forma descendente res-
pecto a �x.�
Polinomio ordenado de forma ascendente res-
pecto a �y�
2.3.2 Polinomio completo
La variable �referida� presenta todos los ex-
ponentes consecutivos desde 1 hasta un mayor
determinado e incluso el término independien-
te(T.I.).
Ejemplo.
P (x, y) = 9x3 − 7y + 4x4y8 + x2y5 + 5xy2
Polinomio completo respecto a �x� con
T.I.(x)=-7y
Ejemplo.
P (x; y) = x4y + 3x2y5 − 3x3 + xy4 − 5
Polinomio completo respecto a �x�
1
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2.3.3 Polinomios homogéneos.
Es aquel polinomio en el que todos sus tér-
minos son del mismo grado absoluto.
Ejemplo.Sea
P (x, y) = 7x2y2z4 − 3x3y3z2 + 5xy7
Polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.
Ejemplo.Sea
P (x; y) = 6x5y − 3x4y2 + x6 − 2y6
Polinomio cuyo grado de homogeneidad es 6.
2.3.4 Polinomios idénticos
Dos polinomios son idénticos si veri�can:
Los dos polinomios tienen el mismo gra-
do.
Los coe�cientes de los términos semejan-
tes son iguales.
Ejemplo.Sean
P (x, y) = ax9y − bx5y4 + cx3y8
Q(x, y) = 6x3y8 − 3x5y4 + 5x9
P (x, y) ≡ Q(x, y)
Así a=5, b=3, c=6
Ejemplo.Sean
P (x) = (a+ 5)x2 − 8x2 + 13x7
Q(x) = −4x7+4x2 + 17x7
P (x) ≡ Q(x)
Así a=7
2.3.5 Polinomio idénticamente nulo
Es aquel polinomio cuyos coe�cientes de ca-
da uno de sus términos son ceros.
Ejemplo.Sea el polinomio
P (x, y) = Ax3 +Bx4y2 +Cx2y8 +Dy5 ≡ 0
Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D =
0
Ejemplo.Sea el polinomio
P (x, y) = (A−1)x3+Bx4y2+(C+8)x2y8+
Dy5 ≡ 0
Se debe cumplir: A= 1; B = 0; C = -8; D
= 0
Propiedades:
1. Siendo P(x) un polinomio completo se
cumple:
N° de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1
Ejemplo. P (x) = 5x4 + 3x2 − 8− 4x+ x3
Se observa que:
El grado del polinomio completo es 4.
El número de términos es 5 (contando al
término independiente)
2. En todo polinomio completo y ordenado P(x)
la diferencia de grados relativos de dos términos
consecutivos vale 1.
Ejemplo. 5x4 + 3x3 − 8x2 − 4x+ 12
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
Semana 7
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Si :
P (x) = 8xa−5 + 5xb−4 − 3xc−2
es un polinomio completo y ordenado en
forma decreciente. Calcule: 2a+ b− c
Solución. :
Respuesta: 17
2. Si :
P (x) = 16xb+c + 32xa+b + 24xb−d +
8xa+d + xa−2
Si es completo y ordenado en forma de-
creciente, hallar: a− b+ c− d.
Solución. :
Respuesta: 5
3. Calcular a, b, c si el polinomio
P (x) = ax2 + bx + c − 7x2 − 5x + 11 es
idénticamente nulo.
Solución. :
Respuesta: a=7, b=5, c=-11
4. Hallar �(a+ b)(ab)� sabiendo que
P (x, y) = xa−2bya+b − 15xby2b+a +
2xa−by8
es un polinomio homogéneo
Solución. :
Respuesta: 160
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5. Calcular a + b + 4c si el polinomio es
idénticamente nulo.
P (x) = 3+(a− 5)x2− 7x+4c+ bx− 3x2
Solución. :
Respuesta: 12
6. Si el polinomio:
P (x) = axa+3 + (b − 2)xa+2b+6 + (c2 +
1)xb+c−4
Es completo y ordenado en forma crecien-
te, proporcionar la suma de sus coe�cien-
tes.
Solución. :
Respuesta: 44
7. Si los polinomios:
P (x, y) = xayb+1 + xcyd−3,
y Q(x, y) = xa+1yb + x4−ay3−b
Son idénticos, calcule: a+ b+ c+ d.
Solución. :
Respuesta: 10
8. En un polinomio P (x, y) homogéneo y
completo en �x� e �y�, la suma de los gra-
dos absolutos de todos sus términos es
156. ¾Cuál es el grado de homogeneidad?
Solución. :
Respuesta: 12
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Si el polinomio:
P (x, y) : 5xm+3y2n+1 − 4xm−1y3n+1
es homogéneo y la relación de los expo-
nentes de �x� en sus dos términos es como
3 a 1. Calcular m+ n.
Solución. :
i) La relación de los exponentes x es:
m+3
m−1 =
3
1
m+ 3 = 3m− 3 de aqui m = 3
ii) Por ser homogéneo
m+ 3 + 2n+ 1 = m− 1 + 3n+ 1
7 + 2n = 3 + 3n de aqui n = 4
Respuesta: ∴m+ n = 7
2. Calcule a + b + c si el polinomio es idén-
ticamente nulo
P (y) = (a−3)y2−3by+(6−2a)y2+2c−a
Solución. :
Agrupando
P (y) = (3− a)y2 − (3b)y + (2c− a)
tenemos:3− a = 0, −3b = 0, 2c = a
de aqui: a=3, b=0, c=3/2
Respuesta: ∴a+ b+ c = 9/2
3. Si los polinomios:
P (x) = ax2 + c
y Q(x) = (10�a)x2 + (a�b+ 3)x�3c+ b
Son idénticos, calcule a+ b+ c
Solución. :
Coe�cientes de x2 tenemos
a = 10− a⇒ a = 5
Coe�cientes de x tenemos
a− b+ 3 = 0
5− b+ 3 = 0⇒ b = 8
coe�cientes independientes
c = −3c+ b
4c = 8⇒ c = 2
Respuesta: ∴ a+ b+ c = 15
4. Si el polinomio:
P (x, y) = 6xm+4y3n+2 − 7xm−4y5n+4
es homogéneo y la relación de los expo-
nentes de x es como 6 a 3. Calcular m−n.
Solución. :
Respuesta: 9
5. Calcular 5a + 2b + 3c si el polinomio es
idénticamente nulo con a<0
P (x) = 3 + 3c− bx+ 5x+ (ax)2 − 9x2
Solución. :
Respuesta: -8
6. Si los polinomios:
P (x) = (a + b)x2 + (c + 4)x y Q(x) =
12x+ (2a�c)
Son idénticos, calcule: a, b y c
Solución. :
Respuesta: a=4, b=-4 y c=8
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7. Si
P (x, y) = 36x3nym+1(x6 + 2y3m−12)
es homogéneo y de grado 19, hallar el va-
lor de: m+ n.
Solución. :
Multiplicando tenemos:
P (x, y) = 36x3n+6ym+1 + 72x3ny4m−11)
por ser homogéneo
3n+ 6 +m+ 1 = 3n+ 4m− 11
⇒ 18 = 3m⇒ 6 = m
luego como es homogéneo de grado 19
3n+ 13 = 19⇒ n = 2
Así m+n=8
Respuesta: 8
8. Si el polinomio P(x) es ordenado y com-
pleto. Indicar cuántos términos tiene:
P (x) = (n− 2)xn−9 + (n− 3)xn−8 + ...
Solución. :
Como es ordenado y completo, el primer
término es una constante.
n− 9 = 0⇒ n = 9
Reemplazando se tiene
P (x) = 7+6x+5x2+4x3+3x4+2x5+x6
7 términos
Respuesta: 7
9. Si el polinomio:
P (x, y) = xa−4y2b−3(x8 + yb−6)
es homogéneo, cuyo grado de homogenei-
dad es 30. Señalar los valores de a y b.
Solución. :
Respuesta: a=1, b=14
10. El polinomio:
p(x) = nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+
· · ·
Es ordenado y completo. Halle el grado
del polinomio p(x).
Solución. :
Respuesta: 4
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
TAREA DOMICILIARIA
1. En cuanto excede el grado relativo de ´´x´´ al grado relativo de ´´y´´ en:(2x2y3 +
5x6y2)(3x4y − 4x5y4)
Respuesta: 4
2. Calcular m.n−1 si el polinomio: P (x, y) = 6x3m+1yn + 21xmy7n+1 es homogéneo
Respuesta: 3
3. Si los polinomios: P (x) = x3 − 4xa, Q(x) = xa+2 + (b− 2a)x son idénticos, calcular: a+b
Respuesta: -1
4. El siguiente polinomio describe el proceso de elaboración de de un determinado artículo
de consumo masivo y las variables que lo afectan: P (x, y, z) = 3x4m−1y3−mz + 5 y
2m.
x6−5m
Determine el valor que debe tomar m para que el polinomio sea considerado homogéneo
Respuesta: 2
5. Sea el polinomio ordenado y completo. Hallar el valor de P =
√
2m− n . si: T (y) =
3y2m+n − 2yn+a − ya−4 + 2a
Respuesta: 3
6. En un polinomio P(x,y), homogéneo y completo en �x� e �y�, la suma de los grados absolutos
de todos sus términos es 420. ¾Cuál es su grado de homogeneidad?
Respuesta: 20
7. Si el polinomio:
P (x, y) = 6xm+4y3n+2 − 7xm−4y5n+4
es homogéneo y la relación de los exponentes de �x� en sus dos términos es como 6 a 3.
Calcular m+ n.
Respuesta: ∴m+ n = 15
8. Calcular a+ 2b, si el polinomio:
P (x, y) = 121xa−5yb+1(x9 + y−b)
es homogéneo y de grado 24.
Respuesta: 10
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