SEM 10 - DIVISION ALGEBRAICA

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UNIDAD 3. División Algebraica
�El álgebra es muy
generosa. Siempre nos
dice más de lo que le
preguntamos.�
D'Alembert.
3.2 DIVISIÓN ALGEBRAICA
3.2.1 División Algebraica.
Para dividir expresiones algebraicas se uti-
liza la ley de los signos que es igual a la de la
multiplicación. Recordando que: la división de
signos iguales da positivo +; y la división de
signos diferentes da negativo -.
Tenemos las siguientes divisiones de:
a) Monomio entre monomio.
Para dividir dos monomios solo dividimos
parte numérica entre parte numérica y parte li-
teral entre parte literal.
Por ejemplo:
36x4y7
10x6y5
= 185 x
−2y2
b) Polinomio entre monomio.
Para dividir un polinomio entre un mono-
mio se divide cada término del polinomio entre
el monomio.
Por ejemplo:
12x3y7−8x4y6
10xy4
= 65x
2y−3 − 45x
3y2
c) Polinomio entre Polinomio.
Para poder dividir un polinomio entre po-
linomio, generalmente de una variable usamos
los siguientes casos: el método clásico y el mé-
todo de horner.
3.2.2 Método Clásico
En la división:
Por el algoritmo de la división tenemos.
1
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3.2.3 Método de Horner
Para dividir dos polinomios por el método
de Horner, primeramente se trazan dos rectas
que se intersecten, una vertical y otra horizon-
tal. Encima de la recta horizontal y la derecha
de la vertical se colocan los coe�cientes del div-
idendo con su propio signo. A la izquierda de
la recta vertical se coloca el primer coe�ciente
del divisor con su propio signo y debajo de la
horizontal se colocan el resto de coe�cientes del
divisor con signo cambiado.
3.2.4 Método de Ru�ni
Es un caso particular del Método de Horner.
Se aplica para dividir un polinomio D(x) entre
un divisor d(x), que tenga o adopte la forma
lineal:
3.2.5 Teorema del Resto
Este teorema tiene por �nalidad hallar el
resto de una división sin efectuar la división.
Se siguen los siguientes pasos:
i) Se iguala el divisor a cero.
ii) Se despeja una variable.
iii) Se reemplaza el valor o equivalente de
esta variable en el dividendo cuantas veces sea
necesario. Es decir:
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
Semana 10
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Indicar la diferencia entre el cociente y el
residuo al dividir:
2x7−x4−2x2−3x5+4
x3−2x+3
Solución. :
Respuesta: 2x4 + 20x2 − 32x+ 4
2. Indicar la suma de los coe�cientes del co-
ciente de:
6x5−x3+9x2+2x−8
2x3+3+x
Solución. :
Respuesta: 1
3. Halla el valor de a si la división es exacta.
x5−x4−2x3+2x2+x−a
x2+2x+1
Solución. :
Respuesta: 1
4. Calcular el valor de: a+b+c. Si el cociente
de:
8x5+ax3+bx2+cx+16
2x3+x2+3
es 4x2 − 2x + 3 y el residuo es −10x2 +
8x+ 7
Solución. :
Respuesta: 11
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5. Se divide el polinomio:
P (x) = x6−2x5+4x4−2x3−3x2+px+q
con q(x) = x− 1
se obtiene como residuo 5. Calcular p+ q
Solución. :
Respuesta: 7
6. Determinar el cociente entero que resulta
al dividir
30x20+x19+60x2+2x+1
30x+1
Solución. :
Respuesta: q(x) = x19 + 2x
7. Hallar el resto de dividir:
3x60 + x40 − x31 + x11 − 2
entre x10 + 2
Solución. :
Respuesta: 6x+ 206
8. Hallar el valor de ”n” si la división es
exacta.
12x30+16x29+9x+n
3x+4
Solución. :
Respuesta: 12
9. Calcular el resto en:
mxm+1−(m+4)xm−1+10
x−1
Solución. :
Respuesta: 6
10. A partir de la siguiente división:
3x22+2x21+8x+7
x−1
Calcular la suma de coe�cientes del co-
ciente.
Solución. :
Respuesta: 111
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Al efectuar la siguiente división
4x4+13x3+28x2+25x+12
4x2+5x+6
indicar el cociente y residuo.
Solución. :
4 4 13 28 25 12
-5 -5 -6
-6 8 -10 -12
. 12 -15 -18
1 2 3 -2 -6
por lo tanto:
q(x) = x2 + 2x+ 3
y r(x) = −2x− 6
Respuesta:
q(x) = x2 + 2x+ 3
r(x) = −2x− 6
2. Hallar el valor de: ”a+ b” si la división es
exacta.
x5−x4−2x3+bx2+x+a
x2+2x+1
Solución. :
1 1 -1 -2 b 1 a
-2 -2 -1
-1 -3 6 3
3 -6 -3
b-3 -2b+6 -b+3
1 -3 3 b-3 0 0
de aqui tenemos
i) 1− 3− 2b+ 6 = 0 ⇒ b = 2
ii) a− b+ 3 = 0 ⇒ a = −1
∴ a+ b = 1
Respuesta: 1
3. Aplicando el método de Horner, hallar el
residuo y cociente de:
5x5+17x4−21x−46+50x2
4x2−2x+x3−3
Solución. :
Respuesta:
r(x) = −29x2 + 14x+ 20
q(x) = 5x2 − 3x+ 22
4. Calcular el valor de: m − 2n + p. Si la
división
8x5+4x3+mx2−nx−p
2x3+x2+3
es exacta.
Solución. :
Respuesta: 24
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5. Hallar el resto de dividir
3x8 − 28x4 − 5x2 + x− 4 entre x3 + 3
Solución. :
Tenemos P (x) = 3x8−28x4−5x2+x−4
y x3 + 3 = 0 de aqui x3 = −3
reemplazando
P = 3
(
x3
)2
x2 − 28
(
x3
)
x− 5x2 + x− 4
R = 3 (−3)2 x2 − 28 (−3)x− 5x2 + x− 4
R = 27x2 + 84x− 5x2 + x− 4
Resto = 22x2 + 85x− 4
Respuesta: 22x2 + 85x− 4
6. Determinar el cociente entero que resulta
al dividir.
5x12−x11+10x2+8x−1
5x−1
Solución. :
D(x) = 5x12 − x11 + 0x10 + ... + 0x3 +
10x2 + 8x− 1
y d(x) = 5x− 1
5x− 1 = 0 5 -1 0 ... 0 10 8 -1
↓
x = 15 ↓ 1 0 ... 0 0 2 2
5 0 0 ... 0 10 10 1(
1
5
)
1 0 0 ... 0 2 2
Respuesta: q(x) = x11 + 2x+ 2
7. Calcular el valor de la constante k para
que el resto de la división:
3x3+kx2−3x+2
x−3
sea 11.
Solución. :
Resto = 11
P (x) = 3x3+ kx2− 3x+2 y q(x) = x− 3
tenemos
Resto = P (3)
11 = 3(3)3 + k(3)2 − 3(3) + 2
k = −7
Respuesta: k = −7
8. Hallar el resto de dividir:
x40 + 8x30 − 2x21 + 3x11 + 8 entre x5 + 2
Solución. :
Respuesta: −20x+ 776
9. Determinar la suma de coe�cientes del co-
ciente entero que resulta al dividir
7x17+x16−14x2−5x+4
7x+1
es exacta.
Solución. :
Respuesta: −107
10. Hallar el valor de ”n” para que el polino-
mio:
x6 − 5x3 − 4x2 + n3
sea divisible por (x− 2)
Solución. :
Respuesta: −2
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
TAREA DOMICILIARIA
1. Dado
6x5+ax4−8x3−bx2−6x+4
2x3+3x2−1
si el cociente es 3x2 − 2x− 1 y el residuo es 2x2 − 8x+ 3. Calcular el valor de:
√
a− b
Respuesta: 3
2. Si la división:
bx4−bx3+91x−19a
x2−5x+1
si exacta, clacular el valor de:ab+ 3
Respuesta: 2
3. Calcular (a+ b) en:
P (x) = 6x5 + 11x4=2x2 + ax+ b sabiendo que es divisible por (3x2 + x=3)
Respuesta: -7
4. Calcular el resto de la división:
(3x−5)2018+(x−3)2016+4x
x−2
Respuesta: 10
5. Halle el cociente de la división:
6x6−6x4−18x2+20
3x2−6
Respuesta: 2x4 + 2x2 − 2
6. Halle la suma de los coe�cientes del resto de la división:
5y5+17y4=21y=46+50y2
4y2=2y+y3=3
Respuesta: 5
7. Halle el resto de la división:
3x60−x40−x31+x11−12
x10+2
Respuesta: 6x+ 164
8. Determine la suma de coe�cientes del cociente de:
3x20+x19+6x2−x+1
3x+1
Respuesta: 2
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