SEM 11 - FACTORIZACION Q

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UNIDAD 4. Factorización en Q
"La matemática es la
ciencia del orden y la
medida, de bellas
cadenas de
razonamientos, todos
sencillos y fáciles".
René Descartes
4.1 FACTORIZACIÓN
Es el proceso que consiste en transformar un
polinomio racional entero en una multiplicación
de dos o más polinomios de grados mayores o
iguales a uno, llamados factores:
Y si estos factores no se pueden descomponer
en más factores se les denomina factores primos
(Es aquel factor algebraico irreductible en Q).
POLINOMIO FACTORIZADO # DE
FACTORES
PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3
P(x, y, z) = (xyz)2
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)(y + z)xyz
4.2 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
4.2.1 Factor Común Monomio
Factor común monomio es el monomio cuyo co-
e�ciente es el máximo común divisor de los co-
e�cientes del polinomio dado y cuya parte va-
riable esta formada por las variables comunes
con su menor exponente.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN MONOMIO
COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx 2� acx
P(x) = 2x2 � 4x + 6x3
4.2.2 Factor Común Polinomio
Factor común polinomio es un polinomio que se
repite como factor en cada uno de los términos
de un polinomio.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2� (a � 2)
y2(x + y - z) + m2(x + y - z)
x4(2a � 5b) + x(2a � 5b) � 5(2a - 5b)
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4.2.3 Factor Común por Agrupación
de Términos
Cuando TODOS los términos de un polinomio
no tienen la misma parte variable, se agrupa los
términos que si lo tienen y se hallan los respec-
tivos factores comunes.
POLINOMIO Factorización por
Agrupación
m2y2 � 7xy2 + m2z2 � 7xz2
5a � 3b � 3bc5+ 5ac5
6x 3� 1 � x2 + 6x
4.2.5 Aspa Simple
Es un método que permite factorizar algunos
trinomios de la forma:
ax2 + bxy + cy2
Su método es:
TRINOMIO FACTORIZACIÓN ASPA
SIMPLE
x2 + 8xy + 7y2
4x2 � 12xy + 5y2
x2 � 2x - 15
4.2.4 Identidades
Aquí utilizamos los diferentes productos nota-
bles ya estudiados.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN IDENTIDADES
x2 + 10x + 25
64 � x3
64x2 � 25
4.2.6 Método de Ru�ni
El método de Ru�ni será útil para encontrar las
raíces del polinomio. Las posibles raíces las bus-
caremos entre los divisores del coe�ciente prin-
cipal y el término independiente, también serán
posibles raices los divisores del término inde-
pendiente entre el coe�ciente principal. Iremos
probando cada uno de ellos para ver si el resto
da 0, en cuyo caso, se tratará de una raíz. El
número candidato a raíz es el que colocaremos
a la izquierda al aplicar Ru�ni.
Por ejemplo:
Halla las raíces del siguiente polinomio.
P (x) = x3 − 4x2 + x− 6
Solución:
Las posibles raices son: coe�ciente principal:
±1, término independiente: ±1,±2,±3,±6
por tanto:
P (x) = (x+ 1)(x− 2)(x− 3)
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Semana 11
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Señale los factores primos de segundo gra-
do: G(a, b) = a(1�b2) + b(1�a2)
Solución. :
Respuesta: 1-ab
2. Calcular la suma de los factores primos
de: T (x, y) = (xy + 1)2�(x+ y)2.
Solución. :
Respuesta: 2x+2y
3. Indique el factor primo que más se repite
en: E(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1) − (x +
2)(x− 1)− 1 + x
Solución. :
Respuesta: x− 1
4. Factorizar: F (x; y) = x4y�x2y3�x3y2 +
xy4 Halle la suma de factores primos.
Solución. :
Respuesta: 3x+ y
5. Factorizar: F (x) = (x+1)4�5(x+1)2+4
E indicar la suma de los términos inde-
pendientes de los factores primos.
Solución. :
Respuesta: 4
6. Cuántos factores primos resultan en:
P (x; y) = x9y�x3y7
Solución. :
Respuesta: 6
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7. Factorizar: F (x; y) = 12x2+6y2+17xy e
indicar la suma de los valores numéricos
de sus factores primos para x = 3; y = 2.
Solución. :
Respuesta: 31
8. Factorizar: x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+
x2y5 + xy6 + y7
Solución. :
Respuesta: (x+ y)(x2 + y2)(x4 + y4)
9. Factorizar x3 − 7x2 + 7x+ 15
Solución. :
Respuesta: (x+1)(x-3)(x-5)
10. Factorizar: x4 + 3x3 − 8x2 − 12x+ 16
Solución. :
Respuesta: (x-1)(x-2)(x+2)(x+4)
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Factorizar: P (x) = 3xn − 15xn−2�12xn−1
Solución. :
3xn−2(x2 − 5− 4x)
3xn−2(x− 5)(x+ 1)
Respuesta:3xn−2(x− 5)(x+ 1)
2. Factorizar: F (x; y) = x3y2+x2y+x2y3+
xy2 . El factor primo de 2do grado es:
Solución. :
x2y(xy + 1) + xy2(xy + 1)
(x2y + xy2)(xy + 1)
xy(x+ y)(xy + 1)
El factor primo de 2do grado es:
(xy + 1)
Respuesta: xy+1
3. Factorizar: F(x)= (x - 3)(x - 2)(x - 1) +
(x - 1)(x - 2) � (x - 1) e indicar la suma
de sus factores primos.
Solución. :
(x− 1)[(x− 3)(x− 2) + (x− 2)− 1]
(x− 1)[x2 − 5x+ 6 + x− 3]
(x− 1)[x2 − 4x+ 3]
(x− 1)2(x− 3)
Suma de factores primos
= (x− 1) + (x− 3)
= 2x− 4
Respuesta: 2x-4
4. Factorizar: xm+4yn+2�5xm+6yn−1�3xm+1yn+1
Solución. :
Respuesta: xm+1yn−1(x3y3 − 5x5 − 3y2)
5. Factorizar: F (x; y) = x2y2+x2y+xy2+xy
El número de factores primos es:
Solución. :
Respuesta: 4
6. Factorizar: n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)+(n+1)
Solución. :
Respuesta: (n+ 1)(n2 + 3n+ 3)
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7. Si un factor primo de: H(x) = x4�13x2+
36 Toma la forma (ax + b), donde: a+b =
−2 Hallar el valor de a � b
Solución. :
H(x) = x4�13x2 + 36
H(x) = (x2 − 9)(x2 − 4)
H(x) = (x+ 3)(x− 3)(x+ 2)(x− 2)
de la condición: (ax+ b) = (1x− 3)
cumple: a+ b = −2
entonces: a−b = 1− (−3) = 4
Respuesta: 4
8. Factorizar: x3y2+ y3z2�x3z2�y5 e indicar
la suma de factores primos lineales.
Solución. :
x3(x2 − z2) + y3(z2 − y2)
(y2 − z2)(x3 − y3)
(y − z)(y + z)(x− y)(x2 + xy + y2)
Suma de factores lineales
(y − z) + (y + z) + (x− y)
= x+ y
Respuesta: x+ y
9. ¾Cuántos factores primos tiene el siguien-
te polinomio? P (x) = x4+x3+4x2+3x+3
Solución. :
x4 + x3 + 3x2 + x2 + 3x+ 3
x2(x2 + x+ 1) + 3(x2 + x+ 1)
(x2 + 3)(x2 + x+ 1)
Respuesta: 2
10. Factorizar: P (x) = 9x2�18x + 8, Q(x) =
12x2+x− 6 e indicar la suma de sus fac-
tores primos no comunes.
Solución. :
Respuesta: 7x− 1
11. Factorizar: P (x; y) = x5y4+x5y2+x3y4+
x3y2 e indicar el factor primo de mayor
grado.
Solución. :
Respuesta: x3
12. ¾Cuántos factores primos tiene el siguien-
te polinomio? x3 − 13x2 + 12
Solución. :
Respuesta: 2
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
TAREA DOMICILIARIA
1. Factorizar e indicar el factor primo cuadrático:
Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3
Respuesta: x2 + 4y2
2. Factorizar:
6ax + 2ay + 3bx + by � 3cx � cy
Respuesta: (3x + y)(2a + b � c)
3. Factorice e indique la suma de los términos independientes de los factores primos.
F (x, y) = 4x2(3x2 + 10x+ 8) + 15xy(3x2 + 10x+ 8)− 54y2(3x2 + 10x+ 8)
Respuesta: 6
4. Factorizar:
P (a; b; c) = a2�abc�ac�ab+ b2c+ bc Indicar el número de factores primos.
Respuesta: 2
5. Factorizar:
6x4 + 5x3 − 14x2 + x+ 2
Respuesta: :(2x-1)(x+2)(x-1)(3x+1)
6. Señale el factor primo cuadrático:
x5 − 2x4 − x+ 2
Respuesta: x2 + 1
7. ¾Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?
P (x) = x4 + x3 + 7x2 + 6x+ 6
Respuesta: 2
8. Factorizar:
F (x) = (x+ 1)4 − 17(x+ 1)2 + 16
e indicar la suma de los términos independientes de los factores primos.
Respuesta: 4
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