Matematicas para Ingenieria avanzadas

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M a t e m á t ic a s a va n za d a s pa r a in g e n ie r ía 2
Cá l c u l o v e c t o r ia l , 
ANÁLISIS DE 
Y ANÁLISIS COMPLEJO
DENNIS G. ZILL 
JACQUELINE M. D E W A R
LilllB Tercera edición
Contenido
Prefacio a la tercera edición en inglés v 
Prólogo a la edición en español ix
Proyecto para la sección 2.1 Red de dos puertos en circuitos 
Gareth Williams, Ph.D. eléctricos xv
Proyecto para la sección 2.2 Flujo de tráfico xvii 
Gareth Williams, Ph.D.
Proyecto para la sección 2 .15 Dependencia de la resistividad
Anton M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xix
Proyecto para la sección 3 .16 Superficies mínimas xx 
Jeff Dodd, Ph.D.
Proyecto para la sección 6.3 El átomo de hidrógeno xxii 
Matheus Grasselli, Ph.D.
Proyecto para la sección 7 .4 La desigualdad de
Jeff Dodd, Ph.D. incertidumbre en el
procesam iento de señales xxv
Proyecto para la sección 7 .4 Difracción de Fraunhofer 
Anton M. Jopko, Ph.D. a través de una abertura
circular xxvii
Proyecto para la sección 8 .2 Inestabilidades en m étodos 
Dmitry Pelinovsky, Ph.D. num éricos xxix
Parte 1 Vectores, matrices y cálculo vectorial 3 
Capítulo 1 Vectores 4
1.1 Vectores en el espacio 2D 5
1.2 Vectores en el espacio 3D 11
1.3 Producto escalar 16
1.4 Producto vectorial 23
1.5 Líneas y planos en e l espacio 3D 28
1.6 Espacios vectoriales 35
1.7 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt 44 
Ejercicios de repaso del capítulo 1 49
Capítulo
Capítulo
Parte 2 
Capítulo
2 Matrices 51
2.1 Álgebra matricial 52
2.2 Sistem as de ecuaciones algebraicas lineales 61
2.3 Rango de una matriz 72
2.4 Determinantes 77
2.5 Propiedades de los determ inantes 82
2.6 Inversa de una matriz 89
2 .6 .1 Cálculo de la inversa 89
2 .6 .2 Utilización de la inversa para resolver 
sistem as 95
2.7 Regla de Cramer 99
2.8 El problema del valor propio 102
2.9 Potencias de las matrices 108
2 .10 Matrices ortogonales 112
2.11 Aproximación de valores propios 119
2.12 Diagonalización 126
2.13 Criptografía 135
2 .14 Código corrector de errores 138
2.15 Método de los mínimos cuadrados 144
2.16 Modelos discretos de com partim iento 147 
Ejercicios de repaso del capítulo 2 151
3 Cálculo vectorial 155
3.1 Funciones vectoriales 156
3.2 Movimiento sobre una curva 162
3.3 Curvatura y com ponentes de la aceleración 167
3 .4 Derivadas parciales 171
3 .5 Derivada direccional 178
3 .6 Planos tangentes y líneas normales 184
3.7 Divergencia y rotacional 187
3 .8 Integrales de línea 193
3 .9 Independencia de la trayectoria 202
3 .1 0 Integrales dobles 209
3 .11 Integrales dobles en coordenadas polares 218
3 .12 Teorema de Green 223
3 .13 Integrales de superficie 228
3 .1 4 Teorema de Stokes 237
3 .15 Integrales triples 243
3 .16 Teorema de la divergencia 254
3 .17 Cambio de variables en integrales m últip les 260 
Ejercicios de repaso del capítulo 3 267
Series de Fourier y ecuaciones diferenciales 
parciales 271
4 Funciones ortogonales y series 
de Fourier 272
4.1 Funciones ortogonales 273
4 .2 Series de Fourier 278
CONTENIDO
4.3 Series de Fourier de cosenos y senos 283
4 .4 Series com plejas de Fourier 290
4 .5 Problema de Sturm-Liouville 294
4 .6 Series de B essel y de Legendre 301
4 .6 .1 Serie de Fourier-Bessel 302
4 .6 .2 Serie de Fourier-Legendre 305 
Ejercicios de repaso del capítulo 4 308
Capítulo 5 Problemas de valores en la frontera 
en coordenadas rectangulares 309
5.1 Ecuaciones d iferenciales parciales separables 310
5.2 Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la
frontera 314
5.3 La ecuación de calor 319
5.4 La ecuación de onda 322
5.5 La ecuación de Laplace 327
5.6 Problemas de valores en la frontera 
hom ogéneos 332
no
5.7 Desarrollos en series ortogonales 339
5.8 Serie de Fourier con dos variables 343
Ejercicios de repaso del capítulo 5 346
Capítulo 6 Problemas de valores en la frontera en otros 
sistemas coordenados 348
6.1 Problemas en coordenadas polares 349
6 .2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: 
funciones de Bessel 354
6.3 Problemas en coordenadas esféricas: polinom ios de 
Legendre 360
Ejercicios de repaso del capítulo 6 363
Capítulo 7 Método de la transformada integral 365
7.1 Función de error 366
7.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace 367
7.3 Integral de Fourier 375
7 .4 Transformadas de Fourier 380
7.5 Transformada rápida de Fourier 386 
Ejercicios de repaso del capítulo 7 395
Capítulo 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales 
parciales 397
8.1 La ecuación de Laplace 398
8.2 La ecuación de calor 403
8.3 La ecuación de onda 409
Ejercicios de repaso del capítulo 8 412
CONTENIDO xiii
Parte 3 Análisis complejo 415
Capítulo 9
Capítulo 10
Capítulo 11
Capítulo 12
Funciones de una variable compleja 416
9.1 Números com plejos 417
9 .2 Potencias y raíces 421
9.3 Conjuntos en el plano com plejo 425
9 .4 Funciones de una variable compleja 428
9 .5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 434
9 .6 Funciones exponenciales y logarítmicas 439
9 .7 Funciones trigonom étricas e hiperbólicas 445
9 .8 Funciones trigonom étricas e hiperbólicas 
inversas 449
Ejercicios de repaso del capítulo 9 452
Integración en el plano complejo 453
10.1 Integrales de contorno 454
10.2 Teorema de Cauchy-Goursat 459
10.3 Independencia de la trayectoria 464
10 .4 Fórmulas integrales de Cauchy 470 
Ejercicios de repaso del capítulo 10 475
Series y residuos 477
11.1 Sucesiones y series 478
11.2 Serie de Taylor 483
11.3 Series de Laurent 489
11 .4 Ceros y polos 497
11.5 Residuos y teorem a del residuo 500
11.6 Cálculo de integrales reales 506 
Ejercicios de repaso capítulo 11 512
Transformaciones conformes 514
12.1 Funciones com plejas como transform aciones 515
12.2 Transformaciones conform es 519
12.3 Transformaciones racionales lineales 526
12.4 Transformaciones de Schwarz-Christoffel 532
12.5 Fórmulas integrales de Poisson 537
12.6 Aplicaciones 541
Ejercicios de repaso del capítulo 12 548
Apéndice Transformaciones conformes AP-1 
Respuestas a los problemas seleccionados 
de número impar RESP-1 
índice l-l
xiv CONTENIDO
■
Matemáticas avanzadas para 
ingeniería II:
■
■
Cálculo vectorial, análisis de Fourier 
y análisis complejo
Por bayet
' ^
1 Vectores
2 Matrices
3 Cálculo vectorial
3
C A P Í T U L O
1
Vectores
Estructura del capítulo
1.1 Vectores en el espacio 2D
1.2 Vectores en el espacio 3D
1.3 Producto escalar
1.4 Producto vectorial
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
1.6 Espacios vectoriales
1.7 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Ejercicios de repaso del capítulo 1
El concepto de vector suele abordarse en prácticamente todos los 
cursos de cálculo, así como en los de física e ingeniería. Para la 
mayoría de los lectores este capítulo representa, por lo tanto, un 
repaso de temas fam iliares como los productos escalar y vectorial. 
De cualquier forma, en la sección 1.6 se plantea el concepto 
abstracto de vector.
4
1.1 Vectores en el espacio 2D
0 Introducción En ciencias, matemáticas e ingeniería, se distinguen dos cantidades 
importantes: los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un riúmero real o 
una cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud, la temperatura y la presión 
sanguínea se representan con números como 80 m, 20°C y la relación sistólica/diastólica 
120/80. Por su parte, un vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tanto 
magnitud como dirección.
M Vectores geométricos Geométricamente, un vector se representa por medio de un 
segmento de línea dirigido — esto es, por una flecha— y se denota con un símbolo en ne­
gritas o mediante un símbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B . La figura 1.1 
muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el peso w, la velocidad v y la fuerza retar­
dante de fricción Fy.
a) b) c)
Figura 1.1 Ejemplos de cantidades vectoriales
I I Notación y terminología Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo punto
terminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un vector se escribe|| AB ||. 
Cuando dos vectores tienen la misma magnitud y la misma dirección se dice que son 
iguales. Así, en la figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cual 
significa que un vector puede moverse de una posición a otra siempre y cuando su mag­
nitud y dirección no varíen. El negativo de un vector AB , denotado corno - A B , es un 
vector que tiene la misma magnitud que AB pero posee dirección opuesta. Si k i= 0 es un 
escalar, el múltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es \k\ veces más largo 
que AB . Si k > 0, entonces kA B tiene la misma dirección que el vector AB ; si k < 0, 
entonces kA B tiene dirección opuesta a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0 
es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y sólo si, entre ellos son múltiplos es­
calares diferentes de cero. Véase la figura 1.3.
H Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial común, como el punto 
A de la figura 1 Aa). Así, si los vectores no paralelos AB y A C son los lados de un parale- 
logramo como el de la figura 1 Ab), se dice que el vector que se halla en la diagonal princi­
pal, o A D , es la suma de AB y A C . Se escribe
AD = AB + A C .
La diferencia entre los vectores AB y A C se define como
AB - A C = AB + ( -A C ) .
*Cuando se pregunta cuál es la dirección de 0 normalmente se responde que al vector cero se le puede asig­
nar cualquier dirección. Específicamente, se necesita el 0 para poder tener un álgebra vectorial.
A C
Figura 1.2 Vectores igualas
Figura 1.3 Vectores paralelos
B
a)
b)
Figura 1.4 El vector AD es la 
suma de A B y AC 1
1.1 Vectores en el espacio 2D
i 5
a)
b)
Figura 1.5 El vector CB es la 
resta de A B menos AC
Como se ve en la figura 1.5a), la resta AB - A C se inteipreta como la diagonal principal 
del paralelogramo cuyos lados son AB y - A C . Sin embargo, como se muestra en la fi­
gura 1.5b), también es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado del 
triángulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretación, se observa que la resta 
vectorial CB = AB - A C apunta hacia el punto terminal del vector del cual se está 
restando el segundo vector. Si AB = A C entonces
AB - A C = 0.
H Vectores en un plano coordenado Para describir analíticamente ún vector, su­
póngase — para el resto de esta sección— que los vectores considerados se encuentran en 
un plano coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el plano 
se le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen O 
y punto terminal P(x¡, yj), se denomina el vector de posición del punto P y se escribe 
como
O P = ( x u y l).
ü Componentes En general, un vector a en R 2 es cualquier par ordenado de números 
reales,
a = <fl1; a2).
Los números a { y a2 se conocen como los componentes del vector a.
Como se mostrará en el primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vector 
de posición.
b)
Figura 1.7 Los vectores en a) y b ) 
son los mismos
Ejemplo 1 Vector de posición
El desplazamiento entre los puntos (a-, y ) y (x + 4, y + 3) de la figura 1 J a ) se escribe (4, 3). 
Como se ve en la figura l .lb ) , el vector de posición de (4 , 3) es el vector que inicia en el 
origen y termina en el punto P(4, 3). □
Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicación de vectores por escalares, 
etc., se definan en función de sus componentes.
D E F I N I C I Ó N 1.1 Suma, multiplicación escalar, igualdad
Sean a = ( a 11a 2) y b = ( ii,¡» 2) vectores en R2.
i) Suma: a + b = {a x + b¡, a2 + b2) (1)
ii) Multiplicación escalar: ka = (k a h ka2) (2)
iii) Igualdad: a = b si, y sólo si, a , = b h a2 = b2 (3)
■ Resta Utilizando (2), se define el negativo de un vector b como
- b = ( - l ) b = ( - b l, - b 2).
La resta o diferencia de dos vectores se define entonces como
a - b = a + (-b ) = (a¡ - b u a2 - b2). (4)
CAPITULO 1 Vectores
En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores O Pt y OP2 . En la figura 1.8¿>), el ' 
vector P \P 2 . con punto inicial P t y punto terminal P2, es la resta de los vectores de posi­
ción
P tP 2 = OP2 - OP, = {x2 - x u y 2 - y i).
Como se muestra en la figura 1.8¿>), el vector P¡P2 puede dibujarse comenzando por el 
punto terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o también como el 
vector de posición OP cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2- x ¡ , y 2- y ¡). Recuérdese 
que OP y P\P2 se consideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la misma 
dirección.
Ejemplo 2 Suma y resta de dos vectores
Si a = (1, 4) y b = (-6 , 3), encuentre a + b, a - b y 2a + 3b.
Solución Se utilizan (1), (2) y (4).
a + b = (1 + (-6 ), 4 + 3) = <-5, 7) 1 '
a - b = <1 - (-6 ), 4 - 3) = <7, 1)
2a + 3b = <2, 8) + ( -1 8 , 9> = ( -1 6 , 17). Q
§¡ Propiedades La definición de un vector por medio de sus componentes se utiliza 
para verificar cada una de las siguientes propiedades de los vectores en R2:
Propiedades de los vectores
i) a + b = b + a
ii) a + (b + c) = (a + b) + c
iii) a + 0 = a
iv) a + (-a ) = 0
v) k(a + b) = ka + kb, k es un escalar
v í ) (k x + k2)a = k xa + k2a, y k2 son escalares
vii) k \(k2a) = (kik-^a, k ] y k2 son escalares
viii) la = a
ix) Oa = 0
(ley conmutativa) 
(ley asociativa) 
(identidad aditiva) 
(inverso aditivo)
(vector cero)
El vector cero, 0, de las propiedades iii), iv) y ix) se define como
0 = <0, 0>.
H Magnitud La magnitud, longitud o norma de un vector a se denota como Hall. Con 
base en el teorema de Pitágoras y la figura 1.9, se define la magnitud de un vector
a ,= (fl1, a 2) como = \ / a } + a].
Claramente, ||a|| s 0 para cualquier, vector a, y Hall = 0 si, y sólo si, a = 0. Por ejemplo, 
si a = (6, -2 ), entonces ||a|| = \ / 6 2 + ( —2)2 = V 4 0 = 2"\/To.
ES Vectores unitarios Un vector que tiene magnitud 1 se denomina vector unitario. 
Se puede obtener un vector unitario u en la misma dirección que un vector a no nulo, mul­
tiplicando a por el recíproco de su magnitud. El vector u = (l/llall)a es un vector unitario, 
ya que
1
Hall = 1.
Figura 1.9 Un triángulo 
rectángulo
>'2>
y,)
b)
. !»
Figura 1.8 En b), OP y PXP2 son 
el mismo vector
1.1 Vectores en el espacio 2D 7
y
j
i
a)
Figura 1.10 i y j forman una base 
para R 2
Ejemplo 3 Vectores unitarios
Dado a = (2, -1 ), genere un vector unitario con la misma dirección que a y otro con 
dirección opuesta.
Solución La magnitud del vector a es ||a|| = V a + (— l)2 = V E . Así, un vector uni­
tario con la misma dirección que a es el múltiplo escalar
u =: v l a = v ^ 2 ,~ ^ ( v t v f ) -
Un vector unitario con la dirección opuesta a a es el negativo de u:
— — ^ 
V E ' V E / ’
□
Si a y b son vectores y Cj y c2 son escalares, entonces la expresión c¡a + c2b se de­
nomina una combinación lineal de a y b. Como se muestra a Continuación, cualquier 
vector en R2 puede escribirse como una combinación lineal de dos vectores especiales.
I Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a¡, a2) puede escri­
birse como una suma:
(ah a2) = (a¡, 0) + (0, a2) = a ^ l , 0) + a2<0, 1>. (5)
A los vectores unitarios ( 1, 0) y (0 , 1) usualmente se les asignan los símbolos especiales 
i y j. Véase la figura 1.10«). Así, si
i = <1.0> y j = <0,1>, 
Entonces (5) se convierte en a = a jí + a2j. (6)
Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidi- 
mensionales, puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinación lineal 
única de i y j. Si a = «¡i + a2j es un vector de posición, entonces la figura 1. 1 0b) muestra 
que a es la suma de los vectores a¡i y a2j , que tienen al origen como punto inicial común y 
se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a, se llama la componente hori­
zontal de a, y el escalar a2 se denomina lá componente vertical de a.
Ejemplo 4 Operaciones vectoriales utilizando i y j
a) <4, 7) = 4i + 7jb) (2i - 5j) + (8i + 13j) = lOi + 8j
c) | | i+ j | | = V i
d) 1 0 ( 3 i - j ) = 3 0 i - 1 0 j
e) a = 6i + 4j y b = 9i + 6j son paralelos, ya que b es un m últiplo escalar de a. Se 
observa que b = |a . □
Ejemplo 5 Gráficas de suma vectorial y de resta vectorial 
Sean a = 4i + 2j y b = -2 i + 5j. Graficar a + b y a - b.
8 CAPÍTULO 1 Vectores
Solución Las gráficas d ea + b = 2i + 7j y a - b = 6 i - 3 j se ilustran en las figuras 1.11a) 
y 1.1 \b), respectivamente.
Figura 1.11 Suma a + b en a); resta a - b en b) □
EJERCICIOS 1.1 Las respuestas a los problemas impares selacdonados comienzan en la página RESP-T.
En los problem as 1-8, encuentre a) 3a, b) a + b, c) a - b,
d) lla + b|| y é) | |a -b || .
1. a = 2¡ + 4j, b = - i + 4j
2 . a = (1 ,1 ) , b = (2, 3)
3. a = <4, 0), b = (0, -5 )
4- a = é i — ¿ j, b = 2 i + 6 J
5. a = - 3 i + 2 j, b = 7j
6 . a = (1 ,3 ) , b = -5a
7. a = -b , b = 2i - 9j
8 . a = <7, 10), b = (1, 2)
En los problemas 9-14, encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b.
9. a = (1 ,-3 ) , b = ( -1 ,1 )
10. a = i + j, b = 3i - 2j 11. a = i - j, b = -3 i + 4j
12. a = (2 ,0 ) , b = (0, -3 ) 13. a = (4 ,1 0 ), b = -2 (1 ,3 )
14. a = ( 3 ,1 ) + ( -1 ,2 ) , b = (6, 5) - (1, 2)
En los problemas 15-18, encuentre el vector P¡P2 ■ Grafique 
P {P2 y su vector de posición correspondiente.
15. P ,(3 ,2 ), P2(5, 7) 16. /> ,(-2 ,-1 ), P2(4 ,-5 )
17. P,(3, 3 ) , / 2(5, 5) 18. P,(0 ,3 ), P2(2, 0)
19. Encuentre el punto terminal del vector P ,P 2 = 4i + 8j 
si su punto inicial es (-3 , 10).
20 . Encuentre,el punto inicial del vector P\P2 = ( -5 , -1 ) si 
su punto terminal es (4, 7).
21. Determine cuáles de los siguientes vectores son parale­
los a a = 4i + 6j.
a) - 4 i - 6 j 
c) 10Í + 15j 
e) 8i + 12j
-i - 1 jb)
d) 2(i - j) - 3( 2 i - f2 j) 
/ ) (5i + j) - (7i + 4j)
22. Determine un escalar c de m anera que a = 3i + cj y 
b = - i + 9j sean paralelos
En los problemas 23 y 24, encuentre a + (b + c) para los vecto­
res dados. ■ ;
23. a = (5, 1), b = (-2 , 4), c = (3, 10) |!!
24. a = (1, 1), b = (4 ,3 ) , c = ( 0 ,- 2 )
En los problemas 25-28, encuentre un vector unitario a) con la 
misma dirección que a, y b) con dirección opuesta a a.
25. a = (2, 2) 
27. a = (0, -5 )
26. a = ( -3 , 4)
28. a = ( l , - V 3 ) ::
En los problemas 29 y 30, a = (2, 8) y b = (3, 4).; Encuentre un 
vector unitario con la misma dirección que el vector indicado.
29. a + b 30. 2 a - 3 b
En los problemas 31 y 32, encuentre un vector b que sea parale­
lo al vector dado y tenga la magnitud indicada.
31. a = 3¡ + 7j, ||b|| = 2 32. a 2 J ’ = 3
33. Encuentre un vector con dirección opuesta a a — (4 , 10), 
pero j partes más largo.
34. Puesto que a = (1, 1) y b = (-1 , 0), encuentre un vec­
tor con la misma dirección que a + b, pero 5 veces más 
largo. :
1.1 Vectores en el espacio 2D
En los problemas 35 y 36, utilice la figura correspondiente para 
dibujar el vector indicado.
35. 3 b - a 36. a + (b + c) 
b
Figura 1.12 Vectores 
para el problema 35
Figura 1.13 Vectores para 
el problema 36
En los problemas 37 y 38, exprese al vector x en función de los 
vectores a y b.
37. 38.
Figura 1.14 Vector x del Figura 1.15 Vector x del 
problema 37 problema 38
En los problemas 39 y 40, utilice la figura correspondiente para 
demostrar el resultado proporcionado.
39. a + b + c = 0 40. a + b + c + d = 0
Figura 1.16 Vectores 
para el problema 39
Figura 1.17 Vectores para 
el problema 40
En los problemas 41 y 42, exprese al vector a = 2i + 3j como 
una combinación lineal de los vectores b y c proporcionados.
41. b = i + j , c = i - j
42. b — -2 i + 4j, c = 5i + 7j
Se dice que un vector es tangente a una curva en un punto si es 
paralelo a la tangente en el punto. En los problemas 43 y 44, 
encuentre un vector unitario tangente a la curva proporcionada 
en el punto indicado.
y = ¡ x 2 + 1, (2, 2) 44. y = - x 2 + 3x, (0, 0)
Al caminal-, el pie de una persona golpea el suelo con una 
fuerza F formando un ángulo 6 con respecto a la vertical. 
En la figura 1.18, el vector F se descompone en sus com­
ponentes vectoriales Fg, que es paralela al terreno, y F„, 
que es perpendicular al mismo. Con el propósito de que 
el pie no se deslice, la fuerza F,; debe contrarrestarse con 
la fuerza opuesta de fricción F^; esto es, Fy = - F r
43.
45.
a)
b)
Considere que IIFyll= /xJIFJI, donde /jl es el coeficien­
te de fricción, para mostrar que tan 6 = ¡jl. El pie 
no se deslizará para ángulos menores o iguales a 6 . 
Si /x = 0.6 para un tacón de hule que golpea una 
banqueta de asfalto, encuentre el ángulo de “no 
deslizamiento”.
Figura 1.18 Vector F del problema 45
46. Un semáforo de 200 Ib cuelga en equilibrio de dos ca­
bles. Como muestra la figura 1.1%), se considera que el 
peso del semáforo se representa por w y las fuerzas en 
los dos cables por Fj y F2. De la figura 1.19c), se observa 
que una condición de equilibrio es
w + Fj + F 2 — 0. (7)
Observe el problema 39. Si 
w = - 200j
F, = (||F ,|| eos 20°)i + (||F,|| sen 20°)j 
F2 = —(||F2|| eos 15°)i + (||F2|| sen 15°)j, 
utilice (7) para determinar las magnitudes de F, y F 2. 
[Sugerencia: Vuelva a leer el inciso iii) de la definición 
1.1.]
b)
t > .
c)
Figura 1.19 Tres vectores de fuerza del problema 46
47. Una carga eléctrica Q se distribuye uniformemente a lo 
largo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20.
10 CAPÍTULO 1 Vectores
La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje a debida 
a la carga Q es F = Fxi + Fy j donde
F = M .
47re0 .
F
31 47780
L d y
_a 2a(L2 + y 2f 2 
y d y
_a 2a(L2 + y2)3' 2'
Determine F.
. . Q
L q
Figura 1.20 Carga sobre el eje x del problema 47
48. Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un 
paralelogramo se bisecan entre sí. [Sugerencia: Suponga 
que M es el punto medio, de una diagonal y N, el punto 
medio de la otra.]
49.
50.
Utilizando vectores, muestre que el segmento de línea 
que se encuentra entre los puntos medios de dos lados de 
un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de 
su longitud. I:
Un avión sale de un aeropuerto localizado en el origen 
O y vuela 150 millas en la dirección 20° norte, desde 
el este, hacia la ciudad A. Desde A, el aeroplano vuela 
entonces 200 millas en la dirección 23° oeste, desde el 
norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avión vuela 240 
millas en la dirección 10° sur, desde el oeste, hqJcia la 
ciudad C. Exprese la ubicación de la ciudad C, copio un 
vector r tal como se muestra en la figura 1.21. Encuentre 
la distancia desde O hasta C.
N 1
Figura 1.21 Avión del problema 50
I 1.2 Vectores en el espacio 3D
■ Introducción En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posición de un 
punto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales, o per­
pendiculares, llamados los ejes y y x. Si P es el punto de intersección entre la línea x = a 
(perpendicular al eje x) y la línea y - b (perpendicular al eje y), se dice entonces que el par 
ordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Véase la 
figura 1.22. En esta sección se amplían los conceptos de coordenadas cartesianas y vectores 
a tres dimensiones.
■ Sistem a coordenado rectangular en el espacio 3D E n tres dimensiones, o es­
pacio 3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutua­
mente ortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O. 
Estos ejes, mostrados en la figura 1.23«), se nombran de acuerdo con la llamada regla
plano !
b)
Figura 1.22 Coordenadas ¡:: 
rectangulares en el espacio 2D
Figura 1.23 Coordenadas rectangulares en el espacio 3D
1.2 Vectores en el espacio 3D i: 11
de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha — apuntando en la dirección del 
eje x positivo— se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntará en la direc­
ción de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Estenuevo eje se nombra 
como eje z. Las líneas punteadas de la figura 1.23«) representan al eje negativo. Ahora, si
x = a, y = b, z = c
Figura 1.24 Octantes
til Octantes Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. Como se 
muestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan 
al plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidas 
como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se 
denomina el primer octante. No existe consenso para la denominación de los otros siete 
octantes.
La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado o 
en un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se describe también, por ejemplo, el plano 
xy a través de la sencilla ecuación z = 0. Análogamente, el plano xz es y = 0 y el plano y?. 
es x = 0 .
Ejes Coordenadas Plano Coordenadas
x (a, 0 ,0 ) xy (a, b, 0)
y (0, b , 0) xz (a, 0, c)
Z (0, 0, c) yz (0, b, c)
Ejemplo 1 Gráficas de tres puntos
Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3 , -1 ) y (-2 , -2 , 0).
son planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto P 
en el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de números 
(a, b, c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Los 
números a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura
1.23b).
Figura 1.25 Puntos del ejemplo 1
Figura 1.26 Distancia d entre dos 
puntos del espacio 3D
Solución De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, únicamente (4, 5, 6) se encuen­
tra en el primer octante. El punto (-2, -2 , 0) se encuentra en el plano xy. O
[d(Pl,P 2) f = [ V ( x 2 - x ,)2 + (y2 - ^i)2]2 + Iz2 - Zil2
ü Fórmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P|(jC|, y\, z¡) y 
P2(x2, y2, Z2) del espacio 3D, considérese su proyección sobre el plano xy. Como se muestra 
en la figura 1.26, la distancia entre (x¡, y!, 0) y (x2, y2, 0) se deduce a partir de la 
conocida fórmula de la distancia en el plano, y es igual a A /(x2 — x j)2 + (y2 — y ,)2. 
Si las coordenadas de P3 son (x2, y2, ¿j), entonces el teorema de Pitágoras aplicado al trián­
gulo rectángulo P\P2P?, lleva a
o d(P h P2) = V ( x 2 - x t)2 + (y2 - y ,)2 + (z2 ~ Zt)2. ( i)
Ejemplo 2 Distancia entre dos puntos 
Encuentre la distancia entre (2, -3 , 6) y (-1 , -7 , 4).
Solución Al seleccionar P2 como (2, -3 , 6) y P, como (-1, -7 , 4), la fórmula (1) da
d = V (2 - (~ 1 ))2 + ( - 3 - ( —7))2 + (6 - 4)2 = V 2 9 . ' □
II Fórmula del punto medio La fórmula para determinar el punto medio de un seg­
mento de línea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma análoga a la del
12 CAPÍTULO 1 Vectores
espacio 2D. Si P\(xt, y u Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordena­
das del punto medio del segmento de línea que existe entre ellos son
x, + x 2 y¡ + y 2 z¡ + z2
(2)
Ejemplo 3 Coordenadas de un punto medio
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea entre los dos puntos del 
ejemplo 2.
Solución De (2) se obtiene
'2 + ( - 1 ) - 3 + ( - 7 ) 6 + 4
2 ’
’5 ,5 . □
■ Vectores en el espacio 3D Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta orde­
nada de números reales
a =l (fllt a 2> fl3)>
donde a lt a2 y a 3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores del 
espacio 3D se denota por el símbolo R3. El vector de posición de un punto P(x¡, y {, z,) en 
el espacio es el vector OP = (xu y u Zj) cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto 
terminal es P. Ver la figura 1.27.
Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicación escalar, etc', son 
generalizaciones naturales de aquéllas para vectores en R2.
D E F I N I C I O N 1.2 Definiciones por componentes 
en el espacio 3D
Sea a = {ah a2, a 3) y b = (bh b2, b3) vectores en R3.
i) Suma: a + b = {ax + b u a 2 + b2, a 3 + b3)
ii) Multiplicación escalar: ka = (ka it ka2, ka3)
iii) Igualdad: a = b si, y sólo si, a¡ = b¡, a2 = b2, a3 = 
¿v) Negativo: - b = ( - l ) b = (-¿>,, - b 2, - b 3)
v) Resta: a - b = a + (-b ) = {al - b u a2 - b2, a 3 - b3)
ví) Vector cero: 0 = <0, 0, 0)
vil) Magnitud: ||a|| = v a ] + a\ + a\
Si OP¡ y OP2 son los vectores de posición de los puntos P\(x\, y\, Zi) y P2(x2, y2, z2) , '
entonces el vector P\P 2 está dado por
P XP2 = OP2 - OP, = (x2 - x i, y 2 - y i, z 2 -Z i) . (3)
Al igual que en el espacio 2D, P tP2 puede dibujarse tanto como un vector cuyo punto 
inicial es P { y cuyo punto term inal es P2 o como un vector de posición OP cuyo pun­
to terminal es
P(x2 - x u y 2 - y u z2 — Zi).
Vea la figura 1.28.
Figura 1.28 OP y PXP2 son el 
mismo vector
Ejemplo 4 Vector entre dos puntos
E ncuentre el vector P \P 2 si los puntos P, y P 2 están dados por PX4, 6, - 2 ) y P 2
(1 ,8 ,3 ).
1.2 Vectores en el espacio 3D 13
b)
Figura 1.29 i, j y k forman una 
base para /?3
Solución Si los vectores de posición de los puntos son ( )P l = (4,6, -2 ) y OP2 = (1, 8, 3), 
entonces a partir de (3) se tiene
P\P 2 = OP2 - O P{ = (1 - 4, 8 - 6, 3 - (-2 )) = (-3 , 2, 5). □
Ejemplo 5 Magnitud de un vector
Con base en el inciso vii) de la definición 1.2, se observa que a = ( - f , f , f ) es un vector 
unitario, ya que
13 Vectores i, j, k En la sección anterior se vio que los vectores unitarios i = (1, 0) y 
j = (0, 1) son una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier 
vector a del espacio 2D puede escribirse como una combinación lineal de i y j: a = a ^ 
+ a2j . Para el sistema de vectores tridimensionales, el conjunto de vectores unitarios si­
guiente proporciona una base
i = ( 1 ,0 ,0 ) , j = ( 0 ,1 ,0 ) , , k = (0 ,0 ,1 ) .
Cualquier vector a = (a¡, a2, a3) del espacio 3D puede expresarse como una combinación 
lineal de i, j y k:
(a¡, a2, a 3) = {a¡, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a 3)
= a , ( l , 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a 3(0, 0, 1),
Esto es, a = «ji + a2j + a 3k.
Los vectores i, j y k se ilustran en la figura 1.29a). En la figura 1.296) se observa que 
un vector de posición a = a ,i + a2j + a 3k es la suma de los vectores a,!, a2j y a 3k, que 
se encuentran sobre los ejes ordenados y tienen el origen como punto inicial común.
Ejemplo 6 Vector expresado en térm inos de i, j, k
El vector a = (7, -5 , 13) es el mismo que a = 7i - 5j + 13k. □
Cuando la tercera dimensión se toma en cuenta, cualquier vector en el plano xy se 
describe en forma equivalente a un vector tridimensional que se halla sobre el plano co­
ordenado z = 0. Aunque los vectores (a,, a2) y (a b a2, 0) no son técnicamente iguales, se 
pasa por alto la diferencia. Ésto es debido a que, por ejemplo, se denota (1, 0) y (1, 0, 0) 
mediante el mismo símbolo i. Pero para evitar cualquier confusión posible, en lo suce­
sivo los vectores se consideran siempre tridimensionales, y los símbolos i y j representan 
únicamente (1, 0, 0) y (0, 1, 0), respectivamente. En forma similar, un vector en el plano 
xy o en el plano xz debe tener una componente nula. En el plano yz, un vector
b = (0, b2, ¿>3) se escribe b = ¿>2j + ^ k .
En el plano xz, un vector
c = (c,, 0, c3) es lo mismo que c = c,i + c3k.
Ejemplo 7 Vector en e l plano x z
a) El vector a = 5i + 3k está en el plano coordenado xz.
b) ||5Í +, 3k|| = V 5 2 + 32 = V § , □
14 CAPÍTULO 1 Vectores
Ejemplo 8 Combinación lineal
Si a = 3i - 4j + 8k y b = i - 4k, encuentre 5a - 2b.
Solución Se considera b un vector tridimensional por lo que se escribe, para destacar­
lo, b = i + Oj - 4k. De
5a = 15¡ - 20j + 40k y 2b = 2i + 0 j - 8 k
se tiene 5a - 2b = (15i - 20j + 40k) - (2i + Oj - 8k) 
= 13i - 20j + 48k.
EJERCICIOS 1.2 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página
En los problemas 1-6, grafique el punto dado. Utilice los mis­
mos ejes coordenados.
1 . ( 1 , 1 ,5 ) , 2. (0 ,0 ,4 )
3. (3 ,4 ,0) 4. (6 ,0 ,0 )
5. (6 , - 2 ,0 ) 6 . (5, -4 , 3)
En los problemas 7-10, describa geom étricamente todos los 
puntos P(x, y, z) que satisfacen las condiciones dadas.
7. z = 5 8 . x = 1
9. x = 2, y ,= 3 10. x = 4, y = -1 , z = 7
11. Proporcione las coordenadas de los vértices del para­
lelepípedo rectangular cuyos lados son los planos coor­
denados y los planos x = 2, y = 5, z = 8.
12. En la figu ra 1.30, se m uestran dos vértices de un 
paralelepípedo rectangular cuyos lados son paralelos 
a los planos coordenados. Encuentre las coordenadas 
de los seis vértices restantes.
(-1 ,6 , 7)
4
(3 ,3 ,4 )
Figura 1.30 Paralelepípedo rectangular del problema 12
13. Considere el punto P (-2, 5,4 ).
a) Si se dibujan líneas desde P que sean perpendicu­
lares a los planos coordenados, ¿cuáles son las co­
ordenadas del punto localizado en la base de cada 
perpendicular?
b ) Si se dibuja una línea que va de P al plano z = -2 , 
¿cuáles son las coordenadas del punto en la base de 
la perpendicular?
c) Encuentre el punto del plano x = 3 más cercano a P.
14. Determine una ecuación de un plano paralelo a,un plano 
coordenado que contenga los pares de puntos propor­
cionados.
a) ( 3 ,4 ,-5 ) , (-2 , 8 ,-5 ) ¡
b) (1, - 1, 1), ( l . - l . - l )
c) (-2 , 1,2), (2, 4, 2)
En los problemas 15-20, describa la ubicación de los| puntos 
P(x, y, z) que satisface la ecuación o las ecuaciones dadas.
15. xyz = 0 16. x 2 + y 2 + ,z2 = y ;
17. (x + í )2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 0
18. (x - '2 )(z - 8) = 0
19. z2 - 2 5 = 0 20. x = y = z
En los problemas 21 y 22, encuentre la distancia entre los pun­
tos proporcionados.
21. (3 ,-1 ,2 ) , (6, 4, 8) 22. ( -1 ,-3 , 5), (0, 4, 3)
23. Encuentre la distancia desde el punto (7, -3 , -4 ) hasta 
á) el plano yz y b) el eje x. ' £
24. Encuentre la distancia desde el punto (-6, 2, +3) hasta
a) el plano xz y b) el origen.
En los problemas 25-28, los tres puntos proporcionados forman 
un triángulo. Determine qué triángulos son isósceles y cuáles 
son triángulos rectángulos.
25. (0 ,0 ,0 ) , (3, 6 ,-6 ) , (2, 1,2) f
26. (0, 0 ,0 ), (1 ,2 , 4), (3, 2, 2 V 2 )
27. (1 ,2 , 3), (4, 1,3), (4, 6, 4)
28. ( 1, 1, - 1) , ( 1, 1, 1) , ( 0 , - 1, 1)
En los problemas 29 y 30, utilice la fórmula de la distancia para 
demostrar que los puntos proporcionados son colineales.
29. P ¿ l ,2 ,0 ) ,P 2( - 2 , - 2 , - 3 ) ,P 3(7 ,1 0 ,6 ) |
30. P\(2, 3, 2), P 2( l, 4, 4), P 3(5, 0, -4 )
En los problemas 31 y 32, encuentre la incógnita.
31. P ¿x, 2, 3), P2(2, 1, 1); d{Px, P2) = V 2 T
32. P x(x, x, 1), P2(0, 3, 5); d(P u P2) = 5
1.2 Vectores en el espacio 3D
En los problemas 33 y 34, encuentre las coordenadas del punto 
medio del segmento de línea queúnealos puntos proporcionados.
33. (1 ,3 , {), (7 ,-2 , f ) 34. (0, 5, -8 ), (4, 1, -6 )
35. Las coordenadas del punto medio del segmento de línea 
que une a P x(xu y lt z¡) y P2(2, 3, 6) son (-1 , -4 , 8). 
Encuentre las coordenadas de P¡.
36. Sea P 3 el punto medio del segm ento de línea entre 
P i(-3 , 4, 1) y P2(-5 , 8, 3). Encuentre las coordenadas 
del punto medio del segmento de línea que une a los 
puntos a) P ¡y P3y b) Py y P2.
En los problemas 37-40, encuentre el vector P¡P2 ■
37. />,(3, 4, 5), P2(0, -2 , 6)
38. P ,(-2 , 4, 0), P 2(6, | , 8 )
39. /y o , -1 , 0), P2(2, 0, 1)
40. P , ( | J , 5 ) , P 2( - Í , - | , 1 2 )
En los problem as 41 -48 , a = (1, -3 , 2), b = (-1 , 1, 1) y 
c = (2, 6, 9). Encuentre el vector o el escalar indicados.
41. a + (b + c)
43. b + 2(a - 3c) 
45. ||a + c||
42. 2a - (b - c)
44. 4(a + 2c) - 6b
46. ||c|| ||2b||
a b
+ 5
a INI
47.
48. ||b ||a + ||a ||b
49. Encuentre un vector unitario cuya dirección sea opuesta 
a a = <10, -5 , 10>.
50. Encuentre un vector unitario con la misma dirección 
que a = i - 3j + 2k.
51. Encuentre un vector b que sea 4 veces más largo que 
a = i - j + k y tenga su misma dirección.
52. Encuentre un vector b para el cual ||b|| = 2 y sea para­
lelo a a = (-6 , 3, -2 ) pero con dirección opuesta.
53. Utilizando los vectores a y b que se muestran en la figu­
ra 1.31, dibuje el “vector promedio” \ (a + b).
Figura 1.31 Vectores para el problema 53
b)
a b
c)
Figura 1.32 Ángulo 8 en (1)
1.3 Producto escalar
H Introducción En esta sección y la siguiente, se, consideran dos tipos de producto 
entre vectores, consecuencia del estudio de la mecánica y también la electricidad y el 
magnetismo. El primero de estos productos se conoce como producto escalar, producto 
punto o producto interior.
11 Una definición El producto escalar entre dos vectores a y b resulta ser un escalar y 
se denota comúnmente como a • b.
D E F I N I C I Ó N 1.3 Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores a y b es el escalar
a • b = ||a||||b|| eos 9, 
donde 9 es el ángulo entre los vectores, de forma que 0 S 0 < tt.
( 1)
La figura 1.32 ilustra el ángulo 9 en tres casos. Si los vectores a y b no son paralelos, 
entonces 9 es el más pequeño de los dos ángulos posibles entre ellos.
Ejemplo 1 Producto escalar utilizando (1)
De (1) se obtiene
Puesto que ||i|| = ||j|| =
i • i = 1, j • j = 1, k k = 1,
;|| = 1, y, en cada caso, eos 9 = 1. □
(2)
16 CAPÍTULO 1 Vectores
■ Formulación por com ponentes del producto escalar El producto escalar puede 
expresarse en función de los componentes de dos vectores. Suponga que 0 es el ángulo 
comprendido entre los vectores a = a,i + a2j + ^ k y b = b,i + b2j + b3k. Entonces el vector
c = b - a = (¿>, - a ,)i + (b2 - a2)j + (b-¡ - a3)k 
es el tercer lado del triángulo indicado en la figura 1.33. Por la ley de cosenos, se escribe
||c||2 = ||b||2 + ||a||2 - 2||a|| ||b|| eos 6 o ||a|| ||b|| eos 9 = ¡ (||b||2 + ||a|í2 - ||c||2). (3)
Utilizando ||a||2 = a ,2 + a2 + a3, ||b||2 = b¡ + b2 + ¿>32, ||b - a ||2 = (b , - a ,)2 + (b2 - a2)2 + 
(¿3 - a 3)2, se simplifica el lado derecho de la segunda ecuación en (3) para obtener a ,b x 
+ a2b2 + «3¿>3. Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es la definición del producto 
escalar, se acaba de deducir una formulación alternativa del mismo:
a • b = a ,b x + a2b2 + a3b}. (4)
En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus 
componentes correspondientes.
Ejemplo 2 Producto escalar utilizando (4)
Si a = lOi + 2j - 6k y b = - 2 i + 4j - 3k, entonces a partir de (4) se obtiene que
a b = (10) ( - £ ) + (2)(4) + (-6X -3 ) = 21. □
ü Propiedades El producto escalar posee las siguientes propiedades.
Propiedades del producto escalar
i) a b = 0 si a = O o b = 0
ii) a b = b • a (ley conmutativa)
iii) a • (b + c) = a • b + a • c (ley distributiva)
iv) a • (fcb) = (ka) ■b = k( a ■b), k es un escalar
V) a SO IV o
Vi) a ■ a = ||a||2
Cada una de estas propiedades, con excepción posiblemente de iii), deberían ser eviden­
tes a partir de (1). Cabe señalar que v¡) establece que la magnitud de un vector
a = ci\i + a2 j + a3k 
Puede escribirse en términos del producto escalar:
||a|| = "S/a • a = V a\ + a\ + a], .
Se puede utilizar (4) para demostrar iii): si a = a ,i + d2j + a 3k, b = b,i + b2j + ¿>3k y c = c j 
+ c2j + c3k, entonces se tiene de (4) que
a • (b + c) = cix(b { + Cj) + a 2(b2 + c2) + a3(b3 + c3)
= («jZ?, + a2b2 + a 3¿ 3) + (d\Cx + a2c2 + a 3c3)
= a • b + a ■ c.
® Vectores ortogonales Si a y b son vectores no nulos, la definición 1.3 implica en­
tonces que
i) a ■b > 0 si, y sólo si, d es agudo,
•i) a 1b < 0 si, y sólo si, 0 es obtuso y
•i) a ■b = 0 si, y sólo si, eos 0 = 0
Figura 1.33 Vector c Utilizado 
para la deducción de (4)
1.3 Producto escalar 17
En el último caso, el único número en [0, 77] para el que eos 9 = 0 es 9 = 7r/2. Cuando 
sucede esto, se dice que los vectores son perpendiculares u ortogonales. De esta forma 
se llega al siguiente resultado:
a , ¡3 y 7
T E O R E M A 1.1 Criterio para vectores ortogonales
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si, y sólo si, a • b = 0.Puesto que 0 ■ b = 0 para cualquier vector b, el vector cero se considera ortogonal a 
cualquier vector.
Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales
Del teorema 1.1, y del hecho que el producto escalar es conmutativo, se tiene inmedia­
tamente que
i • j = j • i = 0, j ■ k = k ■ j = 0, k • i = i ■ k = 0. (5) □
Ejemplo 4 Vectores ortogonales
Si a = -3 i - j + 4k y b = 2i + 14j + 5k, entonces
a • b = (—3)(2) + ( - l ) ( l4 ) + (4)(5) = 0. 
A partir del teorema 1.1, se concluye que a y b son ortogonales.
H Ángulo entre dos vectores Al igualar las dos formulaciones del producto escalar, 
(1) y (4), se determina el ángulo entre dos vectores a partir de
eos ti =
a xb\ + a2b2 + .a3¿>3
(6)
Ejemplo 5 Ángulo entre dos vectores 
Encuentre el ángulo entre a = 2i + 3j + k y b = - i + 5j + k.
Solución A partir de ||a|| = \ / l 4 , ||b|| = \ / T 7 , a ■ b = 14, se observa de (6) que
14 V 4 2
cosí; =
V I 4 V 2 7 9 
, / V 4 2 \
y entonces 9 = eos I —- — I ~ 0.77 radianes o 9 ~ 44.9o.
ü Cosenos directores Para un vector no nulo a = fl,i + a2j + a3k del espacio 3D, los 
ángulos a, ¡i y y que forma a con los vectores unitarios i, j y k, respectivamente, se deno­
minan ángulos directores de a. Véase la figura 1.34. Ahora, de (6),
a • i a • j a • k
c o s a = .. ........ eos p = . . . . eos y =miiic , iNiiijir ■ iiainikir
Que se simplifican para llegar a
a \ a2 °3c o s a = -¡¡-77, c o s^ = 7p¡r, eos y = 7—7-.
W a a
18 CAPÍTULO 1 Vectores
Se dice que eos a , eos /3 y eos y son los cosenos directores de a. Los cosenos directores 
de un vector no nulo a son simplemente las componentes del vector unitario (l/||a||)a:
1 ^1 ^2 ^3
T n ra = 7]—77i + 77-¡7 j + 7¡-¡rk = (c o sa ) i + (eos/3) j + (co sy ) k.
INI INI INI INI
Como la magnitud de (l/||a||)a es 1, de la anterior ecuación se tiene que
cos2a + cós2/3 + eos2y = 1 .
Ejemplo 6 Ángulos y cosenos directores
Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector a = 2i + 5j + 4k.
Solución De ||a|| = V 2 2 + 52 + 42 = V 4 5 = 3 V 5 , se observa que los cosenos di­
rectores son
2----------------5 4 
c o s a = -----eos¡3 = -¡=, co sy =y—, y—, f y—.
3 V 5 3 V 5 3 V 5 
Los ángulos directores son
a = cos“' í ----- 7= ] « 1.27 radianes o a = 12.1°
U v V
f3 = eos 1 ^ y / j 5=5 rac *̂anes 0 41.8°
y = eos-1 ^ rac*ianes 0 1 5=3 53.4°. □
Del ejemplo 6 se observa que
, , , 4 25 16 
eos a + eos B + eos y = - — t- - — I- — = 1.
45 45 45
H Componente de a sobre b La ley distributiva y (5) permiten expresar las componen­
tes de un vector a = a , i + a2j + a}k en términos del producto escalar:
a, = a • i, a2 = a • j , a3 = a ■ k. (7)
Simbólicamente, los componentes de a se escriben como
comp¡a = a • i, com pja = a • j, com pka = a • k. (8)
A continuación se ve que los resultados indicados en (8) se utilizan para encontrar la 
componente de a sobre un vector arbitrario b. Nótese que en cualquiera de los dos
casos mostrados en la figura 1.35,
com pba = ||a|| eos 8 . (9)
En la figura 1.35¿>), compba < 0 ya que t t !2 < 0 rs tt. Ahora, escribiendo (9) como
||a|| ||b||cos0 a - b 
c° m pba - ||b || - - j Ñ p
Se observa que com pba = a • ( jA rb ) = ^TiT- (10)
\l|b|| J llbll
En otras palabras, para encontrar la componente de a sobre un vector b, se multiplica 
escalarmente a por un vector unitario con la dirección de b.
Ejemplo 7 Componente de un vector sobre otro vector 
Sean a = 2i + 3 j - 4 k y b = i+ j + 2k. Encuentre compba y compab.
llli>
b)
Figura 1.35 Componente de a 
sobre b
1.3 Producto escalar
Solución Primero se genera un vector unitario con la dirección de b:
IN = V 6 , n^| b = (i + j + 2k). 
Entonces, a partir de (10) se tiene
1 3
com pba = (2i + 3j - 4k) ■ — 7= (i + j + 2k) = -------p.
V 6 V 6
M odificando (10) consecuentemente, se tiene
com pab = b a .
Figura 1.36 Trabajo realizado por 
una fuerza F
Figura 1.37 Proyecciones de a 
sobre i, j y k
Por lo tanto, V 2 9 , i r U - - ^
INI V 29
(2i + 3 j - 4 k )
1 3
com pjb = (1 + j + 2k) • —-¡= (2i + 3j - 4k) = -
V29 V 2 9 '
□
II Interpretación física del producto escalar Cuando una fuerza constante de mag­
nitud F mueve a un objeto una distancia d en la misma dirección de la fuerza, el trabajo 
realizado es simplemente W = Fd. Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un 
cuerpo actúa en un ángulo 9 con respecto a la dirección del movimiento, entonces el trabajo 
realizado por F se define como el producto de la componente de F en la dirección del des­
plazamiento y la distancia lldll que el cuerpo se mueve:
W = (||F|| eos 9) IIFII ||d|| eos 0 .
Véase la figura 1.36. A partir de la definición 1.3 se concluye que si F causa un desplaza­
miento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es
W = F • d. ( 11)
Ejemplo 8 Trabajo realizado por una fuerza constante
Encuentre el trabajo realizado por una fuerza constante F = 2i + 4j si su punto de apli­
cación sobre un bloque se mueve de P i( l , 1) a P2(4, 6). Suponga que ||F|| se mide en 
newtons y lldll en metros.
Solución El desplazamiento del bloque está dado por
d = P J \ = O P 2 ~ O P ¡ = 3i + 5j.
De (11) se tiene que el trabajo realizado es
W = (2i + 4j) • (3i + 5j) = 26 N-m. □
ü Proyección de a sobre b Como se ilustra en la figura 1.37, la proyección de un
vector a en cualquiera de las direcciones determinadas por i, j, k es simplemente el vector 
resultante de multiplicar la componente de a en la dirección especificada por un vector 
unitario en esa dirección; por ejemplo,
proy¡a = (comp¡a)i = (a • i)i = a (i
etc. La figura 1.38 muestra el caso general de la proyección de a sobre b:
proyba = (compba) I t¡-¡7 b 1 =
b • b
( 12)
Ejemplo 9 Proyección de un vector sobre otro vector 
Encuentre la proyección de a = 4i + j sobre el vector b = 2i + 3j. Grafique.
vector 1 
unitario ||bll
proyba
Figura 1.38 Proyección de a 
sobre b
20 CAPÍTULO 1 Vectores
Solución En primer lugar, se calculan las componentes de a y b. Como 
encuentra a partir de (10) que
com pba = (4i + j ) • — j = (2i + 3j) =
= V ñ , se
V ñ \ÍV b
Así, de (11),
11 V 1 ^ 22. 33 .
proyba = [ — ¡ = )( — j = )(2i + 3j) = — 1 +
• V ñ A V ñ / ' ’ ’ ~J/ 13' 13
La gráfica de este vector se muestra en la figura 1.39. □ Figura 1.39 Proyección de a sobre 
b en el ejemplo 9
EJERCICIOS 1.3 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-2.
En los problem as 1 y 2, encuentre a • b si el m enor ángulo 
entre a y b es el que se propone.
||a|| = 10, 
Hall = 6,
= 5, 9 = t t /4 
| = 12, 9 = tt/6
En los problem as 3-14, a = (2, - 3 , 4), b = (-1 , 2, 5) y 
c = (3, 6, -1). Encuentre el vector o el escalar indicados.
3. a • b
5. a • c
7. a - ( 4 b )
9. a • a
11. a • (a + b + c) 
a • b '
13.
b • b
4. b • c
6 . a • (b + c)
8 . b ■ (a - c)
10. (2b) • (3c)
12. (2a ) - ( a - 2b)
14. (c • b) a
15. Determine qué pares de los siguientes vectores son or­
togonales entre sí:
a) < 2 ,0 ,1 ) b) 3i + 2 j - k
c) 2i - j - k d) ¡ - 4j + 6k
e) <1,-1, 1) f ) < -4,3, 8)
16. Determine un escalar c de manera que los vectores pro­
porcionados sean ortogonales entre sí.
á) a = 2i - cj + 3k, b — 3i + 2j + 4k
b) a = (c, 5, c>, b = <-3, 4, c)
17. Encuentre un vector v = <xb y x, 1) que sea ortogonal 
tanto a a = <3, 1, -1 ) como a b = <-3, 2, 2).
18. Un rom bo es un paralelogram o de ángulos oblicuos 
que tiene sus cuatro lados iguales. Utilice el producto 
escalar para mostrar que las diagonales de un rombo 
son perpendiculares entre sí.
19. Verifique que el vector
a • b
20. Determine un escalar c de manera que el ángulo entre 
a = i + cj y b = i + j sea de 45°.
En los problemas 21-24, encuentre el ángulo 9 comprendido 
entre los vectores proporcionados. |
21. a = 3 i - k , b = 2¡ + 2k i
22. a = 2i + j , b = - 3 i - 4 j j
23. a = < 2 ,4 ,0 ) , b = < - 1 ,- 1 ,4 )
24. a = <2 , 2 * 2 )’ b = (2, -4 , 6),¡;
i!
En los problem as 25-28 , encuentre los cosenos directores y 
los ángulos directores del vector proporcionado.
25. a = i + 2j + 3k
27. a = <1, 0, - V 3 )
26. a = 6i + 6j - 3k
28. a = <5, 7, 2)
29. Encuentre el ángulo entre la diagonal AD del cubo 
mostrado en la figura 1.40 y la arista AB. Determine el 
ángulo éntre la diagonal AD del cubo y la diagonal 
A C .
30. Muestre que si los vectores no nulos a y b son ortogo­
nales, entonces sus cosenos directores satisfacen
es ortogonal al vector a. eos a, eos a 2 + eos (3¡ eos /32 + eos yj eos y2 H 0.
1.3 Producto escalar 21
31. Un avión se encuentra a 4 km de altura, 5 km al sur 
y 7 km al este de un aeropuerto. Véase la figura 1.41. 
Encuentre los ángulos directores del avión.
Figura 1.41 Avión 
del problema 31
32. Obtenga un vector unitario cuyos ángulos directores 
sean iguales con respecto a los tres ejes coordenados.
En los problemas 33-36, a = (1, -1 ,3 ) y b = (2 ,6 ,3). Encuentre 
el número indicado.
33. compba 34. compab
35. compa(b - a) 36. comp2b(a + b)
En los problemas 37 y 38, encuentre la componente del vector 
proporcionado en la dirección del origen al punto indicado.
37. a = 4¡ + 6j, P (3, 10)
38. a = <2, 1 ,-1 ) , P ( l , -1 ,1 )
En los problemas 39-42, encuentre la proyba.
39. a = -5¡ + 5j, b = -3 i + 4j
40. a = 4i + 2j, b = -3 ¡ + j
41 . a = - i - 2j + 7k, b = 6i - 3j - 2k
42. a = <1, 1, 1), b = (-2 , 2 ,-1 )
En los problemas 43 y 44, a = 4i + 3j y b = - i + j. Encuentre 
el vector indicado.
43. proy(a+b)a 44. proy(a_b)b
45. Un trineo se jala horizontalmente sobre hielo con una 
cuerda atada a su parte frontal. El trineo se mueve 100 
pies gracias a una fuerza de 20 libras que actúa en un 
ángulo de 60° con respecto a la horizontal. Encuentre el 
trabajo realizado.
46. Encuentre el trabajo realizado si el punto en el que la 
fuerza constante F = 4i + 3j + 5k se aplica a un objeto 
y éste se mueve de P](3, 1, -2 ) a P2(2, 4, 6). Considere 
que ||F|| se mide en newtons y ||d|| en metros.
47. Un bloque de peso w se jala a lo largo de una superficie 
horizontal sin fricción por medio de una fuerza cons­
tante F, de magnitud 30 newtons, en la dirección dada 
por el vector d. Véase la figura 1.42. Considere que ||d|| 
se mide en metros.
Figura 1.42 Bloque 
del problema 47
a) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso w?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F si 
d = 4i + 3j?
48. Una fuerza constante F de magnitud 3 Ib se aplica al 
bloque m ostrado en la figura 1.43. F tiene la misma 
dirección que el vector a = 3i + 4j. Encuentre el trabajo 
realizado, en la dirección del movimiento, si el bloque 
se mueve desde P ,(3 ,1) hasta P2(9, 3). Considere que la 
distancia se mide en pies.
Figura 1.43
Bloque del 
problema 48
50. Utilice el producto escalar para demostrar la desigual­
dad de Cauchy-Schwarz: la ■ bl S ||a|| ||b||.
51. U tilice el p roducto esca lar para dem ostrar la des­
igualdad triangular ||a + b|| ^ ||a|| + ||b||. [Sugerencia: 
Considere la propiedad vi) del producto escalar.]
52. Demuestre que el vector n = ai + bj es perpendicular a la 
línea cuya ecuación es ax + by + c = 0. [Sugerencia: Sean 
P\(X\, ^j) y P2(x2, y2) puntos diferentes sobre la línea.]
53. Utilice el resultado del problema 52 y la figura 1.45 para 
mostrar que la distancia d desde un punto P\(xx,y{) a una 
línea ax + by + c = 0 es d = \ax, + byx+ c \ / \ / a 2 + b1.
Figura 1.45 Distancia 
d en el problema 53
Figura 1.44 Molécula del 
problema 49
49. En la molécula de metano CH4, los átomos de hidró­
geno se localizan en los cuatro vértices de un tetraedro 
regular. Véase la figura 1.44. La distancia entre el cen­
tro de un átomo de hidrógeno y el centro de un átomo 
de carbono es de 1.10 angstroms 
(1 angstrom = 10“'° m), y el án­
gulo de unión hidrógeno-carbo- 
no-hidrógeno es de 6 = 109.5°. 
U tilizando únicam ente métodos 
vectoriales, encuentre la distancia 
entre dos átomos de hidrógeno.
22 CAPÍTULO 1 Vectores
1.4 Producto vectorial
■ Introducción En pontraste con el producto escalar, que es un escalar o un número, el 
siguiente producto especial de dos vectores a y b es otro vector que se denomina producto 
vectorial o producto cruz.
M Una definición El producto vectorial de los vectores a y b se denota por a X b.
D E F I N I C I Ó N 1. 4 Producto vectorial de dos vectores 
El producto vectorial de dos vectores a y b en R 3 es el vector
a X b = (||a|| ||b|| sen 0)n, (1)
donde 6 es el ángulo entre los vectores de forma que O s 0 < 7 r y n e s u n vector 
unitario perpendicular al plano que forman a y b, cuya dirección está dada por la 
regla de la mano derecha.
Como se observa en la figura 1.46«), si los dedos de la mano derecha apuntan a lo largo 
del vector a y entonces se doblan hacia el vector b, el dedo pulgar proporciona la di­
rección de n y, por lo tanto, de a X b. En la figura 1.46b) la regla de la mano derecha 
muestra la dirección de b X a.
mano derecha
a)
Figura 1.46 Regla de la mano derecha.
Ejemplo 1 El torque como producto vectorial
En física se dice que una fuerza F que actúa sobre el extremo de un vector posición r, 
como se muestra en la figura 1.47, produce un torque r definido por r = r X F. Por 
ejemplo, si ||F|| = 20 N, ||r|| = 3.5 m y 6 = 30°, entonces a partir de (1) ||r|| = (3.5)(20)sen 
30° = 35 N-m. Si F y r están en el plano de la página, la regla de la mano derecha im­
plica que la dirección de r es perpendicular a la página y hacia afuera (hacia el lector).
Como se muestra en la figura 1.48, cuando se aplica una fuerza F a una llave inglesa, 
la magnitud del torque r es una medida del efecto de giro alrededor del punto pivote P y 
el vector r se dirige a lo largo del eje del tornillo. En este caso t apunta hacia adentro de 
la página. O
Propiedades
i)
ii)
iii)
¿V)
v)
vi)
vii)
viii)
El producto vectorial tiene las siguientes propiedades.
Propiedades del producto vectorial
a X b = 0 s i a = 0 o b = 0 
a X b = -b X a
a X (b + c) = (a X b) + (a X c)
(a + b) X c = (a X c) + (b X c) 
a X (kb) = (ka) X b = k(a X b), 
a X a = 0 
a ■ (a X b) = 0 
b ■ (a X b) = 0
(leyes distributivas) 
k es un escalar
Figura 1.48 Vectores del ejemplo 1
1.4 Producto vectorial
Figura 1.49 Nemotecnia del 
ejemplo 3
La propiedad v í ) viene de (1), puesto que 0 = 0. Las propiedades vii) y viii) son sim­
plemente enunciados que se infieren de que a X b es perpendicular al plano que con­
tiene a a y b. La propiedad ii) debería ser intuitivamente clara a partir de la figura 1.46.
Bi Vectores paralelos Cuando el ángulo entre dos vectores no nulos es 0 = 0 o
0 = *77, entoftces sen 0 = 0, por lo que se debe cumplir que a X b = 0. Esto se plantea for­
malmente en el siguiente teorema.
Criterio para vectores paralelos 
Dos vectores no nulos a y b son paralelos si, y sólo si, a X b = 0.
' _______________________________________________________ )
Ejemplo 2 Vectores paralelos
a) A partir de la propiedad v í ) se tiene
i X i = 0, j X j = 0, k X k = 0. (2)
b) Si a = 2i + j - k y b = - 6i - 3j + 3k = -3 a , entonces a y b son paralelos. 
Por lo tanto, a partir del teorema 1.2, a X b = 0. Obsérvese que este resultado 
también se obtiene com binando las propiedades v) y vi). o
De (1), si a = i, b = j , entonces
‘ x j = (ll¡ll l l j l l s e n y ^ n = n. (3)
Pero, puesto que un vector unitario perpendicular al plano que contiene a i y j, con direc­
ción dada por la regla de la mano derecha, es k, se tiene de (3) que n = k. En otras palabras:
i X j = k.
T E O R E M A 7.2
Ejemplo 3 Nemotecnia
Los productos vectoriales de cualquier par de vectores en el conjunto i, j, k pueden ob­
tenerse utilizando la nemotecnia circular ilustrada en la figura 1.49, esto es,
j X i = - k 
k X j = - i (4) □ 
i X k = - j
■ Definición alterna del producto vectorial Al igual que con el producto escalar, 
se puede utilizar la ley distributiva iii) para llegar a una formulaciónalterna del producto 
vectorial:
a X b = («[i + a 2j + a3k) X i + b2j + ¿>3k)
= a li X (bii + b2j + b3k) + a2j X (b {i + b2j + ¿>3k) 
+ a3k X (Z î + b2j + ¿>3k) 
= cf1¿>1(i X i) + üib2(\ X j) + a,&3(¡ X k) 
+ «2*1 (j x i) + a2b2(S X j) + a 2b3( j X k) 
+ a3Z?i(k X i) + a3b2(k X j) + a3b3(k X k). (5)
De los resultados en (2) y (4), (5) se simplifica en
a X b = (a2b 3 - a 3b2)i - - a3b x)j + (a xb2 - <72*i)k. (6 )
i X j = k 
j X k = i > 
k x i = j
y a partir de la propiedad ii)
24 CAPÍTULO 1 Vectores
Se observa que las componentes del vector en (6) pueden escribirse como determinantes 
de orden 2:
a X b = j +
a2 «3 
b2 b3
A su vez, (7) se escribe como un determinante de orden 3:
i j k
a X b =
o, a2 
b y b3
k. (7)
(8)d j £?2 
b\ b2 b3
La expresión del lado derecho en (8) no es un determinante real, puesto que no todos sus 
valores son escalares; (8) es simplemente una manera de recordar la complicada expre­
sión (6).
Ejemplo 4 Producto vectorial
Sean a = 4i - 2j + 5k y b = 3i + j - k. Encuentre a X b.
Solución A partir de (8) se tiene 
a X b =
= -3 i + 19j + lOk
La formulación del producto vectorial proporcionada en (7) permite demostrar algu­
nas de las propiedades i)-viii). Por ejemplo, para demostrar ii) se escribe
i j k - 2 5 4 5 4 - 2
4 - 2 5 = i — j + 11 - 1 3 - 1 3
3 1 - 1
a X b =
a2 a 3
bn bo
a i a 3 
b i b}
j +
a , a2 
b\ b2
i +
b\ ¿>3
j -
b\ b2
«i <23 a\ a2
b2 b3 b\ b3 b i b2 Ai — j + ka2 a-¡ a. a3 «i a2 J
k = —b X a.
La demostración de la propiedad iii) se deja como ejercicio.
Si Productos especiales El llamado triple producto escalar de lps vectores a, b y c es
a • (b X c). Entonces,
a ■ (b X c) = ( a , i + a2j + a3k)
b2 b\ b3 b\ b2
i — j + k
- C2 c 1 c3 ci ; c2 _
b2 /?3 b\ ¿3 b\ b2
Cl¡ - a2 + a3
c2 c 3 Cl c 3 c¡ c2
Así, se observa que
a ■ (b X c) =
a , a2 a 3 
b\ b2 b3 
c i c2 c 3
(9)
Además se tiene, de las propiedades de los determinantes, que
a • (b X c) = (a X b) • c.
1.4 Producto vectorial
a
b
b)
Figura 1.50 Área de un 
paralelogramo en o); área de un 
triángulo en b)
b x c
Iii
b
Figura 1.51 Volumen de un 
paralelepípedo
El triple producto vectorial de los vectores a, b y c es a X (b X c). Se deja como ejer-. 
cicio demostrar que
a X (b X c) = (a • c)b - (a • b)c. ( 10)
Si Áreas y volumen Dos vectores no nulos y no paralelos a y b pueden considerarse los 
lados de un paralelogramo. El área A de un paralelogramo es A = (base)(altura). De la 
figura 1.50a), se observa que A = ||b||(||a|| sen 9) = ||a|| ||b|| sen 9
A = ||a X b||. ( 11)
Al igual que en la figura 1.50b), se observa que el área de un triángulo de lados a y b
es
A =
1
2 IIa X b||. ( 12)
De manera semejante, si los vectores a, b y c no se hallan sobre el mismo plano, entonces 
el volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c que se muestran en la figura 1.51 es
V = (área de la base)(altura)
= ||b X c|| lcompbXcal 
1
= llb x c|| a
b X c
b X c
V = |a • (b X c)|. (13)
Debido a este último resultado, al triple producto escalar también se le conoce como el 
producto caja de a, b y c.
Ejemplo 5 Área de un triángulo.
H alle el área del triángulo determ inado por los puntos P |( l , 1, 1), P2(2, 3, 4) y
P3<?, 0 , - 1).
Solución Los vectores P\P2 y P\P3 pueden tomarse como dos lados del triángulo. 
Como P \P i = i + 2j + 3k y P tP 3 == i - 3j - 5k, se tiene
i j k 2 3 1 3 1 2
1 2 3 = i — j +- 3 - 5 1 - 5 1 - 3
1 - 3 - 5
= - i + 8j - 5k.
De (12) se observa que el área es
A = — ||—i + 8j - 5k|| = xV ^lO unidades cuadradas □
H Vectores coplanares Cuando los vectores se hallan en el mismo plano se dice que 
son coplanares. Se acaba de ver que si los vectores a, b y c no son coplanares, entonces 
necesariamente a • (b X c) + 0, ya que el volumen de un paralelepípedo con aristas a, b y c 
tiene volumen diferente de cero. En forma equivalente, esto significa que si a • (b X c) = 0, 
entonces los vectores a, b y c son coplanares. Como la proposición opuesta también es 
cierta, se tiene que
a • (b X c) = 0 si, y sólo si, a, b y c son coplanares.
26 CAPÍTULO 1 Vectores
Comentarios
Al trabajar con vectores, se debe tener cuidado de no mezclar los símbolos • y X con 
los símbolos para la multiplicación ordinaria, y ser especialmente cuidadosos en el uso,
o ausencia, de paréntesis. Por ejemplo, expresiones como
a X b X c a - b X c a b e a - be
no están bien definidas o carecen de significado.
EJERCICIOS 1.4 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-2.
En los problemas 1-10, encuentre a X b.
1. a = i - j , b = 3j + 5k
2. a = 2 i+ j , b = 4 ¡ - k
3. a = <1, -3 , 1>, b = <2, 0, 4)
4. a = (1, 1, 1>, b = (-5 , 2, 3)
5. a = 2i - j + 2k, b = - ¡ + 3j - k
6 . a = 4i + j - 5k, b = 2i + 3j - k
7. a = ( k , 0 , k ) , b = (4, 6 , 0)
8 . a = <0, 5, 0), b = (2, -3 , 4>
9. a = <2, 2, -4), b = (-3 , -3 , 6)
10. a = <8, 1, - 6), b = <1, - 2 , 10)
En los problemas 11 y 12, encuentre P ,P2 X PjP3 .
11. P,(2, 1,3), P2(0 .3 . - 1 ) , P3(—1, 2, 4)
12. P ,(0 ,0 , 1), P2(0, 1,2), P3( l , 2, 3)
En los problemas 13 y 14, encuentre un vector que sea perpen­
dicular tanto a a como a b.
13. a = 2i + 7j - 4k, b = i + j - k
14. a = <-1 ,-2 , 4), b = < 4 ,-1 ,0 )
En los problemas 15 y 16, verifique que a • (a X b) = 0 y que 
b • (a X b) = 0.
15. a = <5,-2 ,1) , b = <2, 0, -7>
16. a = 2 i - 4 j» b = 2i - 2j + 6k
En los problemas 17 y 18, a ) calcule b X c a continuación, 
a X (b X c). b) Verifique los resultados de la parte a) por medio 
de ( 1 0 ) de esta sección.
17. a = i - j + 2k 18, a = 3 ¡ - 4 k
b = 2 i + j + k b = i + 2j — k 
c = 3i + j + k c = - i + 5j + 8k
En los problemas 19-36, encuentre el vector o el escalar indi­
cados sin usar (8), (9) o (10).
19. (2¡) X j 20 . i X (-3k)
21 .
"—i1
CNX 22 . i X (j X k)
23. [(2k) X (3j)] X (4j) 24. (2i - j + 5k) X i
25. (i + j) X (i + 5k) 26. i X k - 2(j X i)
27. k ' ( j X k ) 28. i • [j x (-k)]
29. ||4j - 5(i X j)|| 30. (i x j) • (3j X i)
31. i X (i X j) 32. (i X j) X i
33. (i X i) X j 34. (i • i)(i X j)
35. 2j * [i X (j — 3k)], 36. (i X k) X (j X i)
En los problemas 37-44, a X b = 4¡ - 3j + 6k y c = 2i + 4j - 
Encuentre el vector o el escalar indicados.
37. a X (3b)
39. (-a) X b
41. (a X b) X c
43. a • (b X c)
38. b X a
40. ||a X b||
42. (a X b) ■ c
44. (4a) ■ (b X c)
En los problem as 45 y 46, a ) verifique que el cuadrilátero,; 
proporcionado sea un paralelogramo, y b) encuentre el área 
del paralelogramo.
45.
46.
Figura 1.53 Paralelogramo del problema 46
En los problemas 47-50, halle el área del triángulo determina­
do por los puntos proporcionados.
47. P ,( l , 1, 1), P 2( 1,2 , 1), P 3( 1, 1,2)
48. P ,(0 ,0 ,0 ) , P 2(0, 1,2), P 3(2 ,2 ,0 ) ,
49. P ,( l , 2, 4), P 2( l, -1 , 3), P3( - l , -1 , 2) ¡
50. P ,(1 ,0 , 3), P 2(0, 0, 6), P 3(2, 4, 5)
En los problemas 51 y 52, encuentre el volumen del paralele­
pípedo para el cual los vectores proporcionados son tres aristas.,
5 1. a = i + j, b = - i + 4j, c = 2i + 2j + 2k
52. a = 3 i + j + k, b = i + 4j + k, c = i + j + 5k
53. D eterm ine si los vectores a = 4i + 6j, b = - 2 i + 
6 j - 6 k y c = § i + 3j + ¿ k son coplanares.
1.4 Producto vectorial
54. Determine si los cuatro puntos P j( l , 1 ,-2 ), P 2(4, 0, -3 ), 
P 3( I , -5 , 10) y P4(-7 , 2, 4) se encuentran en el mismo 
plano.
55. Como se müestra en la figura 1.54, el vector a se halla 
en el plano xy y el vector b, a lo largo del eje z positivo. 
Sus magnitudes son ||a|| = 6.4 y ||b|| = 5.
a)
b)
c)
Utilice la definición 1.4 para encontrar ||a X b||. 
Utilice la regla de la mano derecha para encontrar 
la dirección a X b.
Utilice la parte b) para expresar a X b en función 
de los vectores unitarios i, j, k.
56.
57.
Figura 1.54 Vectores 
para el problema 55
Dos vectores a y b se encuentran en el plano xz de 
forma que el ángulo entre ellos es de 120°. Si ||a|| = 
V 2 7 y |]b|| = 8, encuentretodos los valores posibles 
de a X b.
Una malla tridimensional es una colección de com bi­
naciones enteras de tres vectores base no coplanares a, 
b y c. En cristalografía, una malla puede especificar las 
ubicaciones de los átomos en un cristal. Los estudios
de difracción con rayos X de cristales utilizan la “malla 
recíproca”, que tiene como base 
^ b X c c X a ^ a X b
a • (b X c) b • (c X a) c • (a X b)'
a) Una determinada malla tiene vectores base a = i, b 
= j y c = 5 (i + j + k). Encuentre los vectores base 
para la malla recíproca.
b) La celda unitaria de la malla recíproca es el para­
lelepípedo con aristas A, B y C, m ientras que la 
ce lda un ita ria de la m alla orig inal es el p a ra ­
lelepípedo con aristas a, b y c. Muestre que el volu­
men de la celda unitaria de la m alla recíproca es 
el recíproco del volumen de la celda unitaria de la 
malla original. [Sugerencia: Comience con B X C 
y utilice ( 10).]
58. Utilice (7) para demostrar la propiedad iii) del producto 
vectorial.
59. Demuestre a X (b X c) = (a • c)b - (a • b)c.
60. Demuestre o refute a X (b X c) = (a X b) X c.
61 . Demuestre a ■ (b X c) = (a X b) • c.
62. Demuestre a X (b X c) + b X (c X a) + c X (a X b) 
= 0 .
63. Demuestre la identidad de Lagrange:
lia X b ||2 = ||a||2||b ||2 - (a - b )2
64. ¿a X b = a X c implica que b = c?
65. Muestre que (a + b) X (a - b) = 2b X a.
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
Figura 1.55 Línea que pasa por 
diferentes puntos en el espacio 3D
■ Formulación alter­
nativa de la ecuación 
vectorial.
M Introducción En esta sección se analiza cómo encontrar diversas ecuaciones de lí­
neas y planos en el espacio 3D.
ü Líneas: ecuación vectorial Al igual que en el plano, dos puntos distintos cualesquie­
ra del espacio 3D determinan una única línea entre ellos. Para encontrar una ecuación de la 
línea que pasa por P x(xh y x, z¡) y P2(x2, ),2> z2), se considera que P(x, y , z) es cualquier punto 
sobre la línea. En la figura 1.55, si de r = O P , r , = OP¡ y r2 = OP2 , se observa que el 
vector a = r 2 - r , es paralelo al vector r - r 2. Así,
r - r2 = /(r2 - r,). (1)
Si se escribe
& = r2 - r y = (x2 —X \,y 2 — y\, z2 - Z \ ) = {ci\, a2, a-¿), (2)
entonces (1) implica que una ecuación vectorial para la línea !£a es
r = r2 + ta.
El vector a se denomina un vector director de la línea.
Puesto que r - r, es también paralelo a í£ a, una ecuación vectorial alternativa para la 
línea es r = r, + ta. Desde luego, r = rj + í(-a) y r — r¡ + t(ka), siendo k un escalar di­
ferente de cero, son también ecuaciones para ¡£„.
Ejemplo 1 Ecuación vectorial de una línea
Encuentre una ecuación vectorial para la línea que pasa por (2, -1 , 8) y (5, 6, -3).
28 CAPÍTULO 1 Vectores
Solución Defina a = (2 - 5, - 1 - 6, 8 - (-3)) = (-3 , -7 , 11). Las siguientes tres son 
posibles ecuaciones vectoriales para la línea:
(x, y, z) = <2, - 1 ,8 ) + í<-3, -7 , 11) (3)
(x, y, z) = (5, 6, -3 ) + í ( - 3, -7 , 11) (4)
(x,y , z) = <5, 6, -3 ) + t{3, 7, -11). (5) Q
I! Ecuaciones paramétricas Si se escribe (2) como
( x ,y , z ) = (x2 + t(x2 - x¡), y 2 + t ( y 2 - y¡), z2 + t(z2 - zO)
= (x2 + a¡ t ,y2 + a2t, z2 + a3t)
e igualando componentes, se obtiene
x '= *2 + a¡t, y = y2 + a2t, z = z2 + a3t. (6)
Las ecuaciones en (6) se denominan ecuaciones paramétricas para la línea que pasa por 
P y y P2. Al incrementar el parámetro t desde - o o hasta oo, puede pensarse que el punto 
P {x, y, z) traza la línea completa. Si el parámetro t se restringe a un intervalo cerrado 
[í0, f)], entonces P (x , y, z) traza un segmento de línea que comienza en el punto corres­
pondiente a t0 y finaliza en el punto correspondiente a t¡. Por ejemplo, en la figura 1.55, si
- 1 < f < 0, entonces P(x, y, z) traza el segmento de línea que comienza en P \(xh y u z¡) 
y finaliza en P2(x2, y2, z2).
Ejemplo 2 Ecuaciones paramétricas de una Línea
Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea del ejemplo 1.
Solución A partir de (3), se tiene que
x = 2 - 3t, y = -1 - 7í, z = 8 + l l r . (7)
Un conjunto alterno de ecuaciones paramétricas se obtiene a partir de (5):
x = 5 + 3t, y = 6 + I t, z — - 3 - 11 ?. (8) □
Note que el valor t = 0 en (7) resulta en (2, -1 , 8), mientras que t = -1 debe utilizarse 
en (8), para obtener el mismo punto.
Ejemplo 3 Vector paralelo a una línea
Encuentre un vector a que sea paralelo a la línea ÍEa cuyas ecuaciones paramétricas son 
x = 4 + 9t, y = -1 4 + 5í, z = 1 - 3í.
Solución Los coeficientes (o un múltiplo constante diferente de cero de los coeficientes) 
del parámetro en cada ecuación son las componentes de un vector paralelo a la línea. Así, 
a = 9i + 5j - 3k es paralelo a ,cf ,a y. por lo tanto, es un vector director de lá línea. □
13 Ecuaciones sim étricas A partir de (6), se observa que es posible eliminar el paráme­
tro si se escribe
[ _ x - x 2 ^ y - y 2 ^ z ~ z 2 
a¡ a2 a 3
siempre y cuando los tres números a x, a2 y a3 no sean nulos. Se dice que las ecuaciones 
resultantes
x ~ x 2 - y 2 ^ z r z2
ü] #3
son ecuaciones simétricas para la línea que pasa por P , y P2.
(9)
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
Ejemplo 4 Ecuaciones simétricas de una línea
Encuentre ecuaciones simétricas para la línea que pasa por (4, 10, -6 ) y (7, 9, 2).
Solución Defina a, = 7 - 4 = 3, a2 = 9 - 10 = -1 y a 3 = 2 - ( - 6 ) = 8. A partir de (9) se 
obtienen ecuaciones simétricas para la línea
x - 7 y — 9 z - 2
□3 - 1 8
Si uno de los números a x, a2 o a 3 es cero en (6), se utilizan las dos ecuaciones res­
tantes para eliminar el parámetro t. Por ejemplo, si = 0, a2 =/= 0, a3 + 0, entonces (6) 
conduce a
y - y 2 z - z2 
* = x2 y t = --------- = ---------- .
« 2 «3
„ . y - y i z - z2 
En este caso, x = x 2, ----------= ----------
a2 f l3
son ecuaciones simétricas para la línea.
Ejemplo 5 Ecuaciones simétricas de una línea
Encuentre ecuaciones simétricas para la línea que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1).
Solución Defina a, = 5 - 2 = 3, a 2 = 3 - 1 = 2 y a 3 = 1 - 1 = 0 . De la explicación 
anterior, se tiene que las siguientes ecuaciones son simétricas para la línea
* - 5 _ y ~ 3 ■
3 2 ’ Z
En otras palabras, las ecuaciones simétricas describen una línea en el plano z = 1. O
Una línea en el espacio también se determina especificando un punto P\{xu y h Zi) y 
un vector director no nulo a. Por el punto P u únicamente pasa una línea ü£a paralela al 
vector dado. Si P(x, y, z) es un punto sobre la línea mostrada en la figura 1.56, enton­
ces, como antes,
OP - O Pl = ta o r = r, + ta.
Ejemplo 6 Línea paralela a un vector
Escriba ecuaciones vectoriales, param étricas y sim étricas para la línea que pasa por 
(4, 6, -3 ) y es paralela a a = 5i - lOj + 2k.
Solución Con ci¡ = 5, ci2 = -10 y a3 = 2. se tiene inmediatamente
Vectoriales: (x, y, z) = <4, 6, -3 ) + t{5, -1 0 , 2)
Paramétricas: x = 4 + 5f, y = 6 - 1 0 f , z = - 3 + 2/
x - 4 y - 6 z + 3
Simétricas: — -— = ---------= ----------. n
5 - 1 0 2 u
ü Planos: ecuación vectorial En la figura 1.57a) se ilustra que a través de un punto 
dado P |(jc1s y\, z,) pasan un número infinito de planos. Sin embargo, como se muestra en 
la figura 1.576), si se especifican un punto P { y un vector n, únicamente existe un plano
9 que contiene a P, con n normal, o perpendicular, al plano. Es más, si P(x, y, z) es
CAPÍTULO 1 Vectores
cualquier punto sobre 2?, y r = O P , r, = OP¡, entonces, como se muestra en la figura 
1.57c), r - r, está en el plano. De esto se deduce que la ecuación vectorial del plano es
n • (r - rj) = 0 . (10)
• P,
P ^ l,y v z1) tP(x , y , z )
a) b)
Figura 1.57 Vector n perpendicular a un plano
H Ecuación cartesiana Específicamente, si el vector normal es n = ai + bj + ck, 
entonces (10) conduce a la ecuación cartesiana del plano que contiene a P¡(x¡, y u z¡):
a ( x - x 1) + b ( y - y l) + c ( z - z i ) = 0 . (11)
Ejemplo 7 Plano perpendicular a unvector
Encuentre una ecuación del plano que contiene al punto (4, -1 , 3) y es perpendicular al 
vector n = 2i + 8j - 5k.
Solución De (11) se obtiene inmediatamente que la ecuación es
2 ( x - 4 ) + 8Cy + 1) - 5 ( z - 3) = 0 o 2x + 8y - 5¿ + 15 = 0. □
La ecuación (11) puede escribirse en todo caso como ax + by + cz + d = 0 utilizando 
la siguiente igualdad d = -a x l - by¡ - cz\. Inversamente, se demuestra a continuación 
que cualquier ecuación lineal de la forma
ax + by + cz + d = 0, donde a, b, c no sean ceros al m ismo tiempo (12) 
es un plano.
T E O R E M A 1.3 Plano con vector normal
La gráfica de cualquier ecuación del tipo ax + by + cz + d = 0, en la que a, b 
y c no son iguales a cero simultáneamente, es un plano cuyo vector normal es n = 
ai + bj + ck.
Demostración Supóngase que x0, y0 y z0 son números que satisfacen la ecuación dada. 
Entonces, ax0 + by0 + cz0 + d = 0 que implica que d = -a x 0 - by0 - cz0■ Reemplazando 
este último valor de d en la ecuación original se obtiene, tras simplificar, a(x - x0) + 
b(y - y0) + c(z - z0) = 0, o, en términos vectoriales,
[ai + bj + ck] ■ [ ( * - x 0)i + ( y - y0)j + ( z - z0)k] = 0.
Esta última ecuación implica que ai + bj + ck es normal al plano que contiene al punto 
(*o. yo. zo) y al vector (* - *o)> + Cy - yo)j + (z - z0)k. □
Ejemplo 8 Vector normal a un piano
Un vector normal al piano 3x - 4y + 10z - 8 = 0 es n = 3i - 4j + 10k. □
Figura 1.56 Línea determinada 
por un punto P y un vector a
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D 31
(r2 - r i) x (r3 — r i)
Figura 1.58 Los vectores r2 - rt 
y r3 — Tj están en un plano, y su 
producto vectorial es normal al 
mismo plano
(1, O ,- 1 ) 
(3 ,1 ,4 ) .
Desde luego, cualquier múltiplo escalar no nulo de un vector normal es también per­
pendicular al plano.
Tres puntos no colineales P \,P 2 y P3 también determinan un plano.* Para obtener una 
ecuación del plano, únicamente se necesita formar dos vectores entre dos pares de pun­
tos. Como se muestra en la figura 1.58, su producto vectorial es un vector normal al
plano que los contiene. Si P(x, y , z) representa algún punto del plano, y r = O P , r, =
O P ¡ , r 2 = OP2 , r 3 = OP3 , entonces r - r , (está en el plano, lo mismo que r - r 2 y
r - r 3). En consecuencia,
[(r2 - r , ) X ( r 3 - r , ) ] • ( r - r , ) = 0 ■ (13)
es una ecuación vectorial del plano. No hay que m emorizar esta fórmula. El procedi­
miento es el mismo que el de (10), excepto que el vector n normal al plano se obtiene a 
través del producto vectorial.
Ejemplo 9 Tres puntos que determinan un plano
Encuentre una ecuación del plano que contiene a (1, 0, -1 ), (3, 1, 4) y (2, -2 , 0).
Solución Se necesitan tres vectores. Emparejando los puntos como se muestra a la izquier­
da conduce a los vectores de la derecha; el orden en el que se resten entre sí es irrelevante.
u = 2i + j + 5k,
Ahora,
(3, 1 ,4 ) 
(2, - 2 ,0 ) .
v = i + 3 j + 4k, w
U X V =
(2, - 2,0)
(*, y, z).
k
5 = -1 li - 3j + 5k 
4
(x - 2 )i + (y + 2) j + zk.
es un vector normal al plano que contiene los puntos dados. Por consiguiente, una ecua­
ción vectorial del plano es (u X v) • w = 0, la cual lleva a
- l l ( j e - 2 ) - 3 ( y + 2) + 5z = 0 -1 Ix - 3y + 5z + 16 = 0.
Eü Gráficas La gráfica de (12) con una o incluso dos variables faltantes también es un 
plano. Por ejemplo, en la sección 1.2 se indica que las gráficas de
* = *0. y = yo, Zo>
donde x0, y0, z0 son constantes, representan planos perpendiculares a los ejes x, y, z, res­
pectivamente. En general, para graficar un plano, se debe tratar de encontrar
i) las intersecciones x, y, z y, si es necesario,
ii) la traza del plano sobre cada plano coordenado.
Una traza de un plano sobre un plano coordenado es la línea de intersección del plano 
con el plano coordenado.
Ejemplo 10 Gráfica de un plano
Grafique la ecuación 2x + 3y + 6z = 18.
Solución Si se establece que: y = 0, z = 0 se obtiene x = 9
x = 0, z = 0 se obtiene y = 6 
x = 0, y = 0 se obtiene z = 3.
Las intersecciones x, y y z son 9, 6 y 3, respectivamente. Como se muestra en la figura 
1.59, se utilizan los puntos (9, 0, 0), (0, 6, 0 ) y (0, 0, 3 ) para dibujar la gráfica del plano 
en el primer ociante. O
Figura 1.59 Plano del ejemplo 10
*Cuando alguien se sienta a una mesa de cuatro patas que se balancea, se pregunta si vale la pena reempla- 
zarla por una mesa de tres patas.
32 CAPÍTULO 1 Vectores
Ejemplo 11 Gráfica de un plano
Grafique la ecuación 6x + 4y = 12.
Solución En dos dimensiones, la gráfica de la ecuación es una línea que se interseca en 
x = 2 y en y = 3: Sin embargo, en tres dimensiones, esta línea es la, traza de un plano sobre 
el plano coordenado xy. Como z no está especificada, puede ser cualquier número real. En 
otras palabras, (x, y, z) es un punto sobre el plano siempre y cuando x y y se relacionen con 
la ecuación proporcionada. Como se muestra en la figura 1.60, la gráfica es un plano para­
lelo al eje z. □
Ejemplo 12 Gráfica de un plano
Grafique la ecuación x, + y - z = 0.
Solución Obsérvese en primer lugar que el plano pasa por el origen (0, 0, 0). Ahora, la 
traza del plano sobre el plano xz (y = 0) es z = x, mientras que su traza sobre el plano yz 
(x = 0) es z = y. Dibujando estas dos líneas, se obtiene la gráfica mostrada en la figura 
1.61. , □
Dos planos S?, y 2?2 que 110 son paralelos deben intersecarse en una línea ££. Véase la 
figura 1.62. El ejemplo 13 ilustra una manera de encontrar ecuaciones paramétricas para 
la línea de intersección. En el ejemplo 14 se observa cómo encontrar un punto de inter­
sección (x0, y0, Zq) de un plano 2P y una línea X . Véase la figura 1.63.
Ejemplo 13 Línea de intersección de dos planos
Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea de intersección de
2x - 3y + 4z = 1 
x - y - z — 5.
Solución En un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, se elige arbitrariamente una 
variable, por ejerhplo, z = t, y se resuelve para x y y a . partir de
2x - 3y = 1 —4? 
x - y = 5 + t.
Al realizar esto, se encuentra que x = 14 + It, y = 9 + 6f, z = t. Éstas son ecuaciones 
paramétricas para la línea de,intersección de los planos dados. □
Ejemplo 14 Punto de intersección de una línea con un plano
Encuentre el punto de intersección del plano 3x - 2y + z = -5 y la línea x = 1 + t, 
y = - 2 + 2 t ,z = '4 t .
Solución Si (x0 , y0, Zo) denota el punto de intersección, entonces se debe tener 3x0 - 2y0 + 
Zq = -5 y x0 = 1 + t0, y0 = - 2 + 2t0, zQ = 410, para cualquier número t0. Sustituyendo estas 
últimas ecuaciones en la ecuación del plano se tiene
3(1 + t0) - 2 (-2 + 2 t0) + 410 = - 5 o t0 = -4 .
De las ecuaciones paramétricas para la línea, se obtiene entonces x0 
Zo = -16 . El punto de intersección es (-3 , -10 , -16).
= - 3 , yo = - 1 0 y 
□
Figura 1.62 Los planos se 
intersecan en una línea
entre un plano y una línea
Figura 1.60 Plano del ejemplo 11
6x + 4y
Figura 1.61 Plano del ejemplo 12
x + y
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D 33
1 1 ' (4 , 2 > 3 )> (—6 , 4 > 6 )
En los problemas 1-6, encuentre una ecuación vectorial para 
la línea que pasa por los puntos proporcionados.
1. (1 ,2 , 1), (3, 5, -2 ) 2. (0 ,4 , 5), (-2 , 6, 3)
3. (5 , - 5 , ! ) . ( - § . f . " i ) 4. (10, 2 ,-1 0 ) , (5 ,-3 , 5)
5. (1, 1 ,-1 ) , (-4 , 1 ,-1 ) 6. (3, 2 ,1 ), ( f . l , -2 )
En los problem as 7-12, encuentre ecuaciones param étricas 
para la línea que pasa por los puntos proporcionados.
7. (2, 3, 5), ( 6 ,- 1 ,8 ) 8. (2, 0, 0), (0, 4, 9)
9. (1 ,0 ,0 ) , a - 2 , - 7 ) 10. (0, 0, 5), (-2 , 4, 0)
12. (-3 , 7, 9), ( 4 ,- 8 ,- 1 )
En los problemas 13-18, encuentre ecuaciones simétricas para 
la línea que pasa por los puntos proporcionados.
13. (1 ,4 ,-9 ) , (1 0 ,1 4 ,-2 ) 14. ( | , 0 , (1 ,3 , \ ) ■
15. (4, 2, 1), (-7 , 2, 5) 16. ( - 5 ,-2 ,-4 ) , (1, 1, 2)
17. (5, 10 ,-2), (5, 1 ,-14) 18. ( | , - j , 5 ) , ( L I , - ¿ )
En los problemas 19-22, encuentre ecuaciones