MATRICES SEMANA 6

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MATRICES
Sólo es luchador quien
lucha consigo mismo
De�nición:
Es un arreglo rectangular de números reales ordenados
por �las y columnas.
Los elementos de la matriz A son los escalares (aij),
i = 1, ...,m j = 1, ...n de la forma
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 amn

Donde i= indica posición de �la, j= indica posición
de columna
Orden de una matriz
Esta dado por el producto mxn, donde m=número de
�las y n= número de columnas
Ejemplo 1
A =
[
2 7 −1
3 −4 5
]
2x3
Es una matriz de orden2x3 (2�las y 3 columnas)
Ejemplo 2
B =
 −2 −11 3
7 5

3x2
Es una matriz de orden3x2 (3 �las y 2 columnas)
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Es una matriz que solo tiene una �la, es decir
que m = 1 y por tanto es de orden 1xn
A =
[
a11 a12 . . . a1n
]
1xn
Matriz Columna
Es una matriz que solo tiene una columna, es
decir n = 1 y por tanto es de orden mx1
B =

a11
a21
...
am1

mx1
Matriz Cuadrada
Es aquella que tiene el mismo número de �las que
de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice
que la matriz cuadrada es de orden n
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 amn

Ejemplo 3
A =
 3 1 26 5 −3
7 0 4

3x3
1
MATRICES
Operaciones con Matrices
Suma de Matrices
Para la suma de matrices tienen que ser del mismo
orden, y se suma componente a componente, es decir
A+B = C ⇒ aij + bij = cij ∀i = 1, ...n, j = 1, ...n
Ejemplo 4
Sean las matrices
A =
 3 1 20 5 −3
7 0 4
 y B =
 −1 2 42 5 8
0 1 −2

Hallar A+B
A+B =
 2 3 62 10 5
7 1 2

Diferencia de Matrices
Se de�ne de la misma forma que la suma de matri-
ces
Ejemplo 5
Sean las matrices
A =
 3 1 20 5 −3
7 0 4
 y B =
 −1 2 42 5 8
0 1 −2

Hallar A−B
A−B =
 4 −1 −2−2 0 −11
7 −1 6

Multiplicación de un número por
una Matriz
Dado un número real r, el producto de r por la ma-
triz A se de�ne por rA, donde el escalar r multiplica a
cada una las componentes de la matriz, es decir:
rA = r
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 ra11 ra12 ra13ra21 ra22 ra23
ra31 ra32 ra33

Ejemplo 6
Si
r = 3 y A =
 6 2 13 −4 5
1 −2 7

⇒ rA =
 18 6 39 −12 15
3 −6 21

Multiplicación de Matrices
Sean las matrices A = (aij)mxp y B = (bij)pxn en-
tonces el producto AxB es otra matriz C = (cij)mxn
El producto de dos matrices A y B, tambien puede
ser denotados simplemente como AB
Ejemplo 7
Sean las matrices
A =
 2 −4−3 2
4 1

3X2
B =
(
3 2
1 0
)
2X2
Hallar AB
AB =
 2 4−7 −6
13 8

3x2
Determinante de una matriz
DE ORDEN UNO
A = (a11)⇒ det(A) = |A| = a11
Ejemplo 8
A = (3)⇒ det(3) = |A| = 3
DE ORDEN DOS
B =
(
a11 a12
a21 a22
)
2X2
⇒ det(B) = |B| = a11a22 − a12a21
Ejemplo 9
B =
(
2 3
4 1
)
2X2
⇒ det(B) = |B| = (2)1− (3)4 = 2− 12 = −10
DE ORDEN TRES
Ejemplo 10
C =
 3 2 10 2 −5
−2 1 4

3x3
det(C) = 3
(
2 −5
1 4
)
−2
(
0 −5
−2 4
)
+1
(
0 2
−2 1
)
= 3(8 + 5)− 2(0− 10) + 1(0 + 4)
= (3)13− 2(−10) + (1)4 = 63
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MATRICES
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
Semana 6 Sesión 6
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sea la matriz
A =
(
−4 −3
5 3
)
Determinar
C = A2 + 2A
2. Despeje la matriz desconocida X, de
3X −A = B
donde :A =
(
2 3
−6 1
)
B =
(
9 −1
1 3
)
3. Dadas las matrices:
A =
 3 0 12 0 0
1 1 4
 y B =
 1 0 11 3 1
1 1 0

Calcular: AB − 2(A+B) + 3(A−B)
4. Calcule las determinantes de las matrices:
A =
(
−6 2
3 2
)
y B =
 2 1 03 −4 2
−2 1 4

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MATRICES
5. Una epresa se dedica a la fabrica de ro-
pa deportiva(CAMISETAS),los produce
en color azul,celeste y rojo.La produccion
(en miles de camisetas) en las fabricas de
Hunter(H) y Mira�ores (M) estan dados
por las siguientes matrices:
H =
small medio large
70 50 30 azul
50 30 20 celeste
60 30 60 rojo
M =
small medio large
60 20 40 azul
30 60 30 celeste
40 50 90 rojo
a) Determine la representacion ma-
tricial de la produccion total del
fabricante b)Halle la produccion total
de camisetas de color celeste en la talla
small c) Si la produccion en la fabri-
ca de Hunter se incrementa en un 30% y
en la fabrica de mira�ores disminuye en
un 20%.Halle la matriz que represente la
nueva produccion total
6. Un empresario de confecciones tiene 12
tiendas en Gamarra y cada una le repor-
ta un ingreso representado por la matriz
A3x4; a su vez las mismas tiendas la repre-
sentan un costo representado por la ma-
triz C3x4
¾Qué tienda le representa los mayores cos-
tos? Si es posible, halle una matriz que
represente las ganancias.
¾Qué tienda le reporta la mayor ganan-
cia?
¾Qué tienda le reporta la menor ganan-
cia?
A =
 400 500 400 600500 300 500 300
600 400 400 500

y
C =
 80 60 40 7050 40 60 50
70 50 60 80

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MATRICES
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Sean
A =
 2 63 2
−1 0
 ;B = ( 2 4 −1
2 0 3
)
C =
 0 −12 5
3 2
 ;D =
 12
0

Determinar si es posible: a)A + 2C b) 5A + C
c)B − 2D d) 3A+B
2. Sean
A =
 9 1 11 2 1
1 18 1

C =
 1 11 1
1 1

Determinar AC
3. Dadas las matrices:
A =
 −3 0 2−1 0 1
2 5 −2
 y B =
 3 1 50 −2 6
3 −3 7

Calcular: a) 1
2
(A+B) b) 3A− 2B c) AB :
4. Calcule las determinantes de las matrices:
A =
(
14 2
−1 2
)
y B =
 9 2 227 7 7
18 5 4

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MATRICES
5. Indique los elementos de las siguientes
matrices:
M = [mij ]2x3 ,mij =
{
−i2, si i 6= j
2j − j, si i = j
N = [nij ]3x3 , nij =
{
−2, si i < 2
3j − i, si i > 2
6. Hallar las matrices X e Y que veri�quen
el sistema:
2X+Y =
(
1 4
2 0
)
X−Y =
(
1 −1
1 0
)
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MATRICES
7. Se tiene la siguiente producción de polos para
niños, damas y caballeros en colores rojo ,azul
y blanco en dos departamentos dada por las si-
guientes matrices:La producción en Arequipa es-
tá dada por la matriz A y la producción en Puno
está dada por la matriz B
A =

Niños Damas Caballeros
10 30 26 rojo
18 40 30 azul
20 30 24 blanco

B =

Niños Damas Caballeros
10 20 20 Rojo
30 40 60 Azul
80 50 10 Blanco

a) Determine la representación matricial de la
producción total b)Halle la producción total
de polos de color azul para damas c)Si la pro-
ducción en Arequipa disminuye en un 50% y la
producción en Puno se incrementa en un 20%.
Hallar la matriz que representa la nueva produc-
ción total
8. La empresa distribuidora de autos PeruVagen de
San Luis presenta las ventas, del mes de Julio, de
los autos WV modelo Bora y Vento mediante la
matriz A siguiente:
 Negro Rojo P lata50 20 28 Bora
30 60 14 V ento

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está
representada por la matriz B siguiente: Negro Rojo P lata25 50 40 Bora
30 20 35 V ento

a) Indique el modelo y color de auto más vendido
en cada local.
b) Escriba una matriz que represente la venta total
de ambos locales e indique el modelo y color de auto
que menos se vendió en el mes de Julio.
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MATRICES
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
TAREA DOMICILIARIA
1. Efectuar el siguiente producto:
( −3 2 )
(
1 −1
5 2
)(
0
1
)
2. Dadas las matrices:
A =
(
7 −2
3 1
)
y B =
(
−3 0
−2 2
)
Determinar
a)− 2A+ 3B
b)
1
2
(AB) c)B(−A) d)AA−BB
3. Dadas las matrices:
A =
 8 1 11 2 2
1 16 1
 y B =
 1 11 1
1 2

Determinar AB
4. Hallar la matriz X que veri�que la si-
guiente ecuacion:
2X +
(
1 5
−3 2
)2
=
(
−1 4
4 1
)
5. Hallar la determinante de la siguiente
matriz:
 3 −1 −12 1 0
3 1 2

6. Hallar X e Y si
X + Y = 2A y X +B = 2Y
Teniendo las matrices
A =
(
2 3
−1 1
)
B =
(
2 −3
5 1
)
C =
 2 00 2
3 0

7. Un fabricante de pantalones para niños, damas
y caballeros los produce en color crema, rojo y
verde. La capacidad de producción (en miles de
panatlones) en santa lucia está dada por la si-
guiente matriz:
Niños Damas Caballeros
70 30 80 crema
28 14 18 rojo
24 16 26 verde

La producción en villa el salvador está dada por
la matriz:
Niños Damas Caballeros
80 60 30 crema20 40 10 rojo
50 80 70 verde

a) Determine la representación ma-
tricial total de la producción del
fabricante b)Halle la producción total
de pantalones color rojo para niños c)Si
la producción en la fábrica de Santa Lu-
cía disminuye en un 50% y en la fábrica
de Villa el Salvador se incrementa en un
20%, hallar la matriz que representa la
nueva producción total
8. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de
la zona industrial de Villa el Salvador, fabrican-
tes de camas de una plaza, plaza y media y dos
plazas en colores blanco, cedro y nogal. La pro-
ducción mensual de la fábrica administrada por
Manuel se representa mediante la matriz M si-
guiente:
M =

1plaza plazaY media 2plazas
15 20 27 B
10 18 28 C
12 16 30 N

Mientras que la producción mensual de la fábrica
administrada por Juan está dado por la matriz N si-
guiente:
N =

1plaza plazaY media 2plazas
14 22 26 B
11 15 30 C
12 13 31 N

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más
fabricada, por cada uno de los hermanos.
b) Halle la matriz que representa la producción to-
tal mensual.
c) Halle la producción total de camas de dos plazas
en color cedro.
d) Halle la producción total de camas de una plaza
en color blanco.
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MATRICES
RESPUESTAS
1. -7
2. a) (
−23 4
−12 4
)
b) ( −17
2 −2
−11
2 1
)
c) (
21 −6
8 −6
)
d) (
34 −16
22 −9
)
3. AB =
 10 115 7
18 19

4.
(
3
2
−11
2
13
2 6
)
5. 11
6. X =
(
2 5
−3 1
)
Y =
(
2 1
1 1
)
7. a)A+B =

Niños Damas Caballeros
150 90 110 crema
48 54 28 rojo
74 96 96 verde

b) 48000 pantalones
c)  131 87 7638 55 21
72 104 97

8. a) Manuel: dos plazas,30, nogal. Juan:dos plazas,
31,nogal.
b)  19 42 5321 33 58
24 29 61

c) 58
d) 19
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