P_Sem5_Ses5_ MATRIZ----

Vista previa del material en texto

MATRICES
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS
¿ 𝑪ó𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒎𝒊𝒔 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓𝒆𝒔?
𝑺𝒊 𝒅𝒆𝒃𝒐 𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍, ¿ 𝒄𝒖á𝒍 𝒔𝒆𝒓í𝒂?
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
Restaurante
Miraflores Surco Barranco San Isidro
Menú
Básico 1200 1400 1300 1000
Principal 1500 1600 1000 1500
Ejecutivo 800 700 500 1200
Restaurante
Miraflores Surco Barranco San Isidro
Menú
Básico 300 300 200 200
Principal 500 600 800 600
Ejecutivo 600 700 500 600
LOGRO
• Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante
conoce el uso de las matrices, opera y resuelve
problemas de aplicación a la economía y
administración de manera autónoma y con
seguridad.
MATRIZ
La forma más óptima de
colocar elementos en forma
ordenada.
3 1 2 1 3
4 −2 1 2 4
−3 1 2 3 0[
[
¿Qué relación encuentras
entre la imagen mostrada y las
matrices?
MATRIZ
2 7 2 1 5
0 1 3 6 9
7 3 8 0 5
𝐴 =
2 7 2 1 5
0 1 3 6 9
7 3 8 0 5
2
0
7
7
1
3
2
3
8
1
6
0
5
9
5
= 𝒂𝒊,𝒋
Fila
Columna
𝒂𝟑,𝟐 =3
𝒂𝟐,𝟒 = 6 𝒂𝟏,𝟓 = 5
𝒂𝟑,𝟑 = 8𝒂𝟒,𝟑 = ∄
𝟑 × 𝟓
Orden 
de la 
Matriz
Sus elementos pueden ser 
vistos por filas
Sus elementos pueden ser 
vistos por Columnas
TIPOS DE MATRICES
2. Matriz columna (o vector columna):Cuando tiene una sola columna 
(n=1).
3×1
6
E = 2
-7
 
 
 
  
Ejemplo:
0 0 0
A = 0 0 0
0 0 0
 
 
 
  
0 0 0
B =
0 0 0
 
 
 
3. Matriz nula: Cuando todos sus elementos son cero.
Ejemplo:
1. Matriz fila (o vector fila): Cuando tiene una sola fila (m=1).
 1×4M = 1 -5 3 2Ejemplo:
TIPOS DE MATRICES
4. Matriz cuadrada: Cuando m = n (N ̊ filas = N ̊ columnas)
8 -2 1
A = 3 -5 9
-6 0 2
 
 
 
  
Ejemplo:
nnnnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A














...
...
...
21
22221
11211

Diagonales:
diagonal principal
diagonal principal
diagonal secundaria
TIPOS DE MATRICES
5. Matriz diagonal: Aquella cuyos elementos que no pertenecen a la
diagonal principal son todos iguales a cero.
Ejemplo:











800
040
002
D
6. Matriz identidad: Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la
diagonal principal son todos iguales a la unidad.
4
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
  
 
 
 
Ejemplos:
2x2 2
1 0
= =
0 1
 
   
 
3x3 3
1 0 0
, 0 1 0
0 0 1
 
 
   
 
  
TIPOS DE MATRICES
7. Matriz triangular superior: Matriz cuadrada cuyos elementos que
se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero.
8. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos que
están por encima de la diagonal principal son iguales a cero.
2 -3 1
B = 0 -5 7
0 0 4
 
 
 
  
9 0 0
C = -1 4 0
2 3 -8
 
 
 
  
Ejemplos
M. triangular
inferior
M. triangular
superior
TIPOS DE MATRICES/ ÁLGEBRA 
DE MATRICES
9. Matriz simétrica: Matriz cuadrada donde los elementos simétricos,
respecto de la diagonal principal, son iguales.
Ejemplo: 
1 3 8
E = 3 2 7
8 7 8
 
 
 
   diagonal principal
TIPOS DE MATRICES/ ÁLGEBRA 
DE MATRICES
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA 
MATRIZ
𝟒
1 2 3
−1 0 −2
1
−3
2
3
1
0
=
4 8 12
−4 0 −8
4
−12
8
12
4
0
−𝟑
2 −1 2
3 1 −2
2 0 −3
=
−6 3 −6
−9 −3 6
−6 0 9
ÁLGEBRA DE MATRICES
SUMA DE MATRICES: SOLO ES POSIBLE SI LOS TAMAÑOS SON 
IGUALES
𝐴 =
1 2 3
2 4 2
1
3
2
5
1
1
𝐵 =
1 1 3
4 2 2
1 0 1
𝐶 =
1 2 5
2 1 2
1
2
2
1
3
1
𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐵 𝐴 + 𝐶
𝟒 × 𝟑
𝟑
𝟒 × 𝟑
NO ES POSIBLE NO ES POSIBLE
¿𝑪𝒖á𝒍 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆𝒔?
SI ES POSIBLE
¿Se puede efectuar?
ÁLGEBRA DE MATRICES
1 2 3
2 4 2
1
3
2
5
1
1
+
1 2 5
2 1 2
1
2
2
1
3
1
=
𝟐 𝟒 𝟖
𝟒 𝟓 𝟒
𝟐 𝟒 𝟒
𝟓 𝟔 𝟐
DIFERENCIA DE MATRICES
Para la…
Se cumple la misma condición 
para que se pueda efectuar, sólo 
cambia el operador.
ÁLGEBRA DE MATRICES
PRODUCTO DE MATRICES
𝐴3×𝟐 𝐵𝟑×5× = No se puede efectuar el producto
𝐴3×𝟔 ×
𝐵𝟔×5 =
𝐵6×𝟓 × 𝐴𝟑×6 = No se puede efectuar el producto
La condición para que una matriz 𝐴𝑚×𝑛 se pueda multiplicar (en ese
orden) por otra matriz 𝐵𝑛×𝑝, es que el número de columnas de 𝐴 sea
igual al número de filas de 𝐵.
Si se puede efectuar el producto
Ejemplos:
ÁLGEBRA DE MATRICES
En general: 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 El producto de matrices no es 
conmutativo
Propiedad:
Si el producto se puede efectuar, la matriz producto será de tamaño 𝑃𝑚×𝑝,
donde 𝑚 es la cantidad de filas de 𝐴, y 𝑝 es la cantidad de columnas de
𝐵.
ÁLGEBRA DE MATRICES 
2 1 1
2 3 5
0 1 2
2 1 0 −2
3 1 −1 1
1 0 2 2
𝐴3 × 𝐵3×4 = 𝑃3×4
=
4 3 1+ +
8
2 + 1 + 0
3
0 + (−1) 2+
1
−4 + 1 + 2
−1
4 + 9 + 5
18
2 + 3 + 0 0 + (−3)+ 10 −4 + 3 + 10
5 7 9
0 3 2+ + 0 1 0+ + 0 (−1) 4+ + 0 1 4+ +
5 1 3 5
ÁLGEBRA DE MATICES
TRANSPOSICIÓN DE UNA MATRIZ
Si E =
2 2
3 −2
2 −3 3×2
, entonces 𝐸𝑇 =
2 3 2
2 −2 −3 2×3
Toda matriz 𝑨𝒎×𝒏 tiene una matriz transpuesta representada por 𝑨𝒏×𝒎
𝑻 .
La matriz transpuesta se obtiene al intercambiar las filas por las
columnas (o viceversa).
Ejemplo:
PROBLEMA DE APLICACIÓN
Un empresario de confecciones tiene 12 tiendas en Gamarra y cada
una le reporta un ingreso representado por la matriz 𝑰𝟑×𝟒; a su vez las
mismas tiendas le representan un costo representado por la matriz
𝑪𝟑×𝟒.
¿Qué tienda le representa los mayores costos? 
Si es posible, halle una matriz que represente las ganancias. 
¿Qué tienda le reporta la mayor ganancia?
¿Qué tienda le reporta la menor ganancia? 
𝐼3×4 =
400 500 400 600
500 300 500 300
600 400 400 500
𝐶3×4 =
80 60 40 70
50 40 60 50
70 50 60 80
PROBLEMA DE APLICACIÓN
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
𝑮𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 − 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
400 500 400 600
500 300 500 300
600 400 400 500
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆
𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 = −
𝟖𝟎 60 40 70
50 40 60 50
70 50 60 𝟖𝟎
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆
𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 =
320 440 360 𝟓𝟑𝟎
450 520 460 𝟐𝟓𝟎
𝟓𝟑𝟎 350 340 420
𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎: 𝒈(𝟏,𝟒) 𝒈(𝟑,𝟏)
𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎: 𝒈(𝟐,𝟒)
𝐿𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠:
𝒄(𝟏,𝟏) 𝒄𝟑,𝟒
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
Halle, si es posible AB: 1 2 -1
A = ,
3 1 4
 
 
 Solución
Se cumple: Nº de columnas de A = 3 = Nº de filas de B 
Cálculo de pij
p11: (fila 1 de A)(columna 1 de B) =  1 2 -1
-2
4
2
 
 
 
  
= 4
-2 5
B = 4 -3
2 1
 
 
 
  
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
 1 2 -1 = - 2
5
3
1
 
 

 
  De igual manera: p21 = 6, p22 = 16 
Nos queda: 1 2 -1
3 1 4
 
 
 
-2 5
4 -3
2 1
 
 
 
  





 

166
24
P
p12: (fila 1 de A)(columna 2 de B) =
EJERCICIOS EXPLICATIVOS 2 
2. Encontrar a, b, c, y d para que se cumpla la igualdad:
a b -a 2 3 b - a
2 = +
c d 1 3d c + d 4
     
     
     
EJERCICIO EXPLICATIVO 3
3. Halla la matriz B, si 𝑏11 = 1 y 𝑏12 = 0 y además se cumple:
1 0 -1 2 2
AB = , siendo A =
1 0 2 1 0
   
   
   






4;3
1;1
2.
dc
ba











02
01
01
3. BRespuestas:
EJERCICIO RETO
𝐴 =
50 46 56
35 50 30
42 44 50
𝐵 =
10 54 35
20 32 37
22 35 20
𝐶 =
2 4 1 2
0 2 1 3
1 2 3 1
Halle: 𝑚3,2 + 2𝑚2,1, si 𝑀 = 𝐴 − 2𝐵 . 𝐶
Considerando las matices:
¡AHORA TODOS A 
PRACTICAR!