P_Sem7_Ses7_ Sistema de Ecuaciones -Gauss

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SOLUCIÓN MATRICIAL DE UN 
SISTEMA DE ECUACIONES 
LINEALES (GAUSS)
Semana 7
LOGRO
• El alumno, al término de la clase resuelve un
sistema de ecuaciones por el método Gauss,
haciendo uso de la definición de “matriz
escalonada”.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES 
USANDO OPERACIONES ELEMENTALES 
Se resolvió un sistema mediante determinantes
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑥 − 3𝑧 = 1
1 −2 1
1 2 −1
1 −2 1
¡El método no responde! ¿Qué pasa si 
el 
determinante 
es cero?
¡No puede usar este método!
CUIDADO esto no 
significa que el 
sistema no tiene 
solución
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES 
USANDO OPERACIONES ELEMENTALES 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝛼
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + ñ𝑧 = 𝛽
𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑟𝑧 = 𝛾
Cuando escalone la matriz puede 
suceder 3 casos
Matriz de 
orden 3
𝑎 𝑏 𝑐 𝛼
𝑚 𝑛 ñ 𝛽
𝑝 𝑞 𝑟 𝛾
𝑨
𝑨𝒂
Matriz 
aumentada 
de orden 3x4
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES 
USANDO OPERACIONES ELEMENTALES 
Rango de 𝑨 = 𝟑 ;
Rango de 𝑨𝒂 = 𝟑
hay solución 
única
𝑎 𝑏 𝑐 𝛼
0 𝑛 ñ 𝛽
0 0 𝑟 𝛾
𝑎 𝑏 𝑐 𝛼
0 𝑛 ñ 𝛽
0 0 0 𝛾
𝑎 𝑏 𝑐 𝛼
0 𝑛 ñ 𝛽
0 0 0 0
Rango de 𝑨 = 𝟐 ;
Rango de 𝑨𝒂 = 𝟑
No hay solución 
Rango de 𝑨 = 𝟐 ;
Rango de 𝑨𝒂 = 𝟐
hay solución 
Este caso no 
se verá en 
este curso
Determinante≠ 0 Determinante= 0
Determinante= 0
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Un sistema de ecuaciones es un sistema matricial
𝟐𝑥 + +𝑦 = 1
−𝑥 + 𝟐𝑦 = 7 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂
+𝟐 𝟏
−𝟏 𝟐
𝑥
𝑦
=
1
7
Para resolverlo elimine las variables y separe las constantes:
Matriz de 
coeficientes
Matriz de 
variables
Matriz de 
constantes
2 1
−1 2 Escalone la matriz 
1
7
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.- → (2𝑓2)
02 1
−2 4
1
14 → (𝑓2 + 𝑓1)
2 1
0 5
1
15
Rango de 𝑨 = 𝟐 ;
Rango de 𝑨𝒂 = 𝟐
hay solución 
única
2.- Si vuelve a colocar las variables al sistema escalonado
+2𝑥 + +𝑦 = 1
0 5𝑦 = 15
3.- observe que la variable “x” desapareció y puede resolver el sistema
𝒚 = 𝟑
2𝑥 + 3 = 1 ⇒ 2𝑥 = 1 − 3 ⇒ 𝒙 = −𝟏
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Resolver el sistema:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 09
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
1.- Eliminando las variables y separando 
las constantes.
1 1 1
2 3 −4
1 −1 1
 
1
9
−1
2.- Escalonando la matriz.
2 02 2
2 03 −4
1 −1 1
 
2
9
−1
→ (2𝑓1)
→ (2𝑓3)
2 02 2
2 03 −4
2 −2 2
 
2
9
−2
2 2 2
0 1 −6
2 −2 02
2 2 2
0 1 −6
0 −4 0
 
2
7
−4
2 2 2
0 4 −24
0 −4 0
 
2
28
−4
2 2 002
0 4 −24
0 0 −24
 
02
28
24
→ (𝑓2 − 𝑓1) → (𝑓3 − 𝑓1) 
2
7
−2
→ (4𝑓2) → (𝑓3 + 𝑓2)
Rango de 𝑨 = 𝟑 ;
Rango de 𝑨𝒂 = 𝟑
hay solución 
única
5.- vuelva a colocar las variables al sistema 
escalonado
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
4𝑦 − 24𝑧 = 28
−24𝑧 = 24
De la última relación: −24𝑧 = 24 ⇒ 𝒛 = −𝟏
En la segunda relación:
4𝑦 − 24 −1 = 28 ⇒ 4𝑦 = 28 − 24 ⇒ 𝒚 = 𝟏
En la primera relación:
2𝑥 + 2 1 + 2 −1 = 2 ⇒ 2𝑥 = 2 ⇒ 𝒙 = 𝟏
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Una empresa produce 3 tipos de zapatos para dama: económico, estándar y
de lujo. Para fabricar cada par de zapatos, se necesitaron unidades de caucho,
cuero y cuerina, tal como se indica en la siguiente tabla:
Caucho 
(und.)
Cuero 
(und.)
Cuerina (und)
Económico 1 2 1
Estándar 1 3 1
Lujo 1 5 2
La compañía tenía en stock 400 unidades de caucho, 1500 de cuero y 600
de cuerina. Si la compañía utilizó todas sus unidades de materiales,
¿cuántos pares de zapato de cada tipo fabricaron?
Resolución
x + y + z = 400
2x + 3y + 5z = 1500
x + y + 2z = 600
1 1 1 400
2 3 5 1500
1 1 2 600
2. Determinar la matriz ampliada. 
1. Plantear el Sistema de Ecuaciones según los datos. 
1 1 1 400
2 3 5 1500
1 1 2 600
3. Escalonar la matriz a través de operaciones elementales en filas.
F2- 2F1 1 1 1 400
0 1 3 700
1 1 2 600
1 1 1 400
0 1 3 700
1 1 2 600
F3- F1 1 1 1 400
0 1 3 700
0 0 1 200
Resolución
4. De la última matriz se obtiene:
x + y + z = 400
y + 3z = 700
Resolución
y+3z = 700
y+3(200) = 700 
y+600 = 700 
x+y+z = 400
x+100+200 = 400
x+300 = 400
Rpta: 100 pares de zapatos económicos,
100 pares de zapatos estándar y 200
pares de zapatos de lujo.
y = 100
x = 100
z = 200
z = 200
EJERCICIO RETO
Determine la solución del sistema:
1. Determinamos la matriz ampliada. 
1 1 1 3
2 1 1 4
3 2 1 6
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6
EJERCICIO RETO
2. Escalonar a través de operaciones elementales en filas:
1 1 1 3
2 1 1 4
3 2 1 6
F2- 2F1
1 1 1 3
0 −1 − 1 −2
3 2 1 6
F3- 3F1
1 1 1 3
0 −1 − 1 −2
0 −1 − 2 −3
F3- F2
1 1 1 3
0 −1 − 1 −2
0 0 − 1 −1
EJERCICIO RETO
3. De la última matriz se obtiene:
x + y + z = 30
- y - z = -2
-z = -1
-z = -1
x+y+z = 3
-y – z = -2 x+1+1 = 3
-y –(1) = -2 x+2 = 3
-y-1 = -2 x = 3-2
y = -1
y = 1
z = 1
x = 1
EJERCICIO RETO
Determine la solución del sistema por cualquier método.
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 2
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 𝑤
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 𝑤
= 0
= 3
En grupo de 4 alumnos resolver los 
ejercicios de la separata
a. ¿En comparación con los métodos Matricial y de Cramer cual 
considera más práctico?
b. El método de la matriz ampliada es mucho mas efectivo para 
determinar el tipo de Sistemas de una ecuación lineal?
c. Las operaciones de las filas en ese método le presentó alguna 
dificultad o tuvo que hacer uso de su calculadora?
Cierre