P_Sem9_Ses9_ Relaciones y Funciones

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RELACIONES Y FUNCIONES.
Semana 9
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I
LOGRO
• Al finalizar la unidad de aprendizaje, el estudiante
diferencia entre relación y función, procesa y aplica
los fundamentos teórico-prácticos para resolver
problemas relacionados a Gestión y Negocios.
PRODUCTO CARTESIANO 
Dado los conjuntos A y B, el producto cartesiano se define como:
𝐴𝑥𝐵 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
Ejemplo 1
Dado los conjuntos: 𝐴 = 0,1,2 𝑦 𝐵 = 2,4 , hallar: 𝐴𝑥𝐵
𝐴𝑥𝐵 = 0,2 ; 0,4 ; 1,2 ; 1,4 ; 2,2 ; 2,4
Ejemplo 2
Dado el conjunto: 𝐴 = 4,3, −1 , hallar: 𝐴𝑥𝐴
𝐴𝑥𝐴 =
4,4 ; 4,3 ; 4, −1 ; 3,4 ; 3,3 ; 3, −1 ; −1,4 ; −1,3 ; −1, −1
PROPIEDAD
𝐴𝑥𝐵 ≠ 𝐵𝑥𝐴
RELACIONES
Dado un producto cartesiano AxB, al conjunto de elementos que genera
este producto se le llama RELACIÓN.
En el orden del Producto Cartesiano a los elementos de A se les llama
DOMINIO y los elementos de B se les llama RANGO.
EJEMPLOS
Si: 𝑨 = −𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟐 𝑩 = −𝟐; 𝟎;−𝟏; 𝟏
Hallar:
𝑅1 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴𝑥𝐵
𝑎
𝑏
= 1 ; 𝑅2 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴𝑥𝐵 𝑎 + 𝑏 ≥ 2
Es un 
comportamiento 
entre sus elementos
Es otro 
comportamiento 
entre sus elementos
Solución:
𝐴𝑥𝐵 =
−1;−2 , −1; 0 , −1;−1 , −1; 1 ,
0;−2 , 0; 0 , 0; −1 , 0; 1 ,
1; −2 , 1; 0 , 1; −1 , 1; 1 ,
2;−2 , 2; 0 , 2;−1 , (2; 1)
𝑅1 = −1;−1 , (1; 1)
𝑅2 = 2; 0 , 2; 1 , (1,1)
Sabemos que ℝ = {−∞,…− 2,−1,0,1,2… .+∞}
ℝ𝑥ℝ = { −3,−1 3,1 … }
Representación grafica:
ℝ
ℝ
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏
−𝟏−𝟐−𝟑
−𝟏
𝑥 (𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎)
𝑦 (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎)
Se llama 
Relación
FUNCIONES
Definición de Función
Una función es una relación que hace corresponder a cada elemento
“x” a lo más un elemento “y”.
La notación de una función es 𝑦 = 𝑓(𝑥) que se lee "𝑦 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑓 𝑑𝑒 𝑥“,
donde “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente.
El conjunto de valores que puede tomar “x” se denomina DOMINIO de
una función, y al conjunto de valores que puede tomar “y” se le
denomina RANGO de la función.
¿Cómo diferenciamos entre una función y 
una relación?
Si nos dan los elementos de un Producto Cartesiano
𝐴 = { −2,2 −1,3 0,2 3,1 2,2 }
𝐵 = { −3,−3 −1,0 0,1 1,1 0,2 }
Solo observe el primer elemento de cada Par Ordenado, si no se repite
es una FUNCIÓN
Basta que dos primeros elementos se repitan para que quede
como RELACIÓN.
¿Cómo diferenciamos entre una función y 
una relación?
Si nos dan los comportamientos entre sus elementos 
𝐵 = { 𝑥, 𝑦 /
Sería muy fácil si conociera las graficas
Al trazar una recta vertical sobre la grafica basta que toque a la grafica
en dos puntos para que sea RELACIÓN
𝑥2 + 𝑦2 = 9}
𝐵
¿Cómo diferenciamos entre una función y 
una relación?
𝐴 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 + 2𝑦 = 4}
Al trazar una recta vertical sobre la grafica si la toca en solo un punto es
FUNCIÓN
𝐴
𝒙
𝒚
𝑥 + 2𝑦 = 4
Al reconocer que la Relación es una función, debe despejar la variable “y”.
2𝑦 = 4 − 𝑥
𝑦 = 2 −
1
2
𝑥
𝒇(𝒙) = 𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒙
Se llama Regla de 
correspondencia
Si observa la grafica, para todo valor de 
“x” hay un punto en la grafica.
Por ello Dominio f(x)= todos los reales
Si observa la grafica, para todo valor de 
“y” hay un punto en la grafica.
Por ello Rango f(x)= todos los reales
Toda Regla de 
correspondencia debe tener 
siempre su dominio
EJEMPLOS
SOLUCIÓN: 
𝑎) 𝑅1 = 1,4 , 1,5 , 1,6
¿Porqué NO ES FUNCIÓN?
¿ES FUNCIÓN?
No es función porque al elemento
1 de A, le corresponde más de un
Elemento en B.
Otra forma de resolver la pregunta:
Observe cada par ¿se repite el primer elemento?
Sí se repite entonces la relación no es función
EJEMPLOS
SOLUCIÓN:
𝒃) 𝑹𝟏 = 𝟏, 𝟒 , 𝟐, 𝟒 , 𝟑, 𝟒
¿Porqué es FUNCIÓN?
¿ES FUNCIÓN?
Es función porque a cada elemento de A, le
corresponde un elemento en B.
(No importa que sea el mismo)
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏: 𝑫𝒇(𝒙) = 𝟏, 𝟐, 𝟑
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏: 𝑹𝒇(𝒙) = 𝟒
Observe cada par ¿se repite el primer elemento?
Como no se repite entonces la relación es 
función
EJEMPLOS
SOLUCIÓN: 
𝑐) 𝑅1 = 1,4 , 2,5 , 3,6
¿ES FUNCIÓN? Observe cada par ¿se repite el primer elemento?
No se repite entonces la relación es función
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏: 𝑫𝒇(𝒙) = 𝟏, 𝟐, 𝟑
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏: 𝑹𝒇(𝒙) = 𝟒, 𝟓, 𝟔
EJEMPLOS
Dados los conjuntos 𝐴 = 1,2,3 𝑦 𝐵 = 4,5,6,7 , reconocer si las siguientes 
relaciones representan una función:
𝑎) 𝑅1 = 1,4 , 1,5 , 1,6
𝑏) 𝑅1 = 1,4 , 2,4 , 3,4
𝑐) 𝑅1 = 1,4 , 2,5 , 3,6
¡Ahora todos a
practicar!